MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash1snb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hash1snb 13427
Description: The size of a set is 1 if and only if it is a singleton (containing a set). (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
hash1snb (𝑉𝑊 → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))
Distinct variable group:   𝑉,𝑎
Allowed substitution hint:   𝑊(𝑎)

Proof of Theorem hash1snb
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑉) = 1 → (♯‘𝑉) = 1)
2 hash1 13412 . . . . . . . . 9 (♯‘1𝑜) = 1
31, 2syl6eqr 2865 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑉) = 1 → (♯‘𝑉) = (♯‘1𝑜))
43adantl 469 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (♯‘𝑉) = (♯‘1𝑜))
5 1onn 7959 . . . . . . . . 9 1𝑜 ∈ ω
6 nnfi 8395 . . . . . . . . 9 (1𝑜 ∈ ω → 1𝑜 ∈ Fin)
75, 6mp1i 13 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑉) = 1 → 1𝑜 ∈ Fin)
8 hashen 13358 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 1𝑜 ∈ Fin) → ((♯‘𝑉) = (♯‘1𝑜) ↔ 𝑉 ≈ 1𝑜))
97, 8sylan2 582 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 1) → ((♯‘𝑉) = (♯‘1𝑜) ↔ 𝑉 ≈ 1𝑜))
104, 9mpbid 223 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝑉 ≈ 1𝑜)
11 en1 8262 . . . . . 6 (𝑉 ≈ 1𝑜 ↔ ∃𝑎 𝑉 = {𝑎})
1210, 11sylib 209 . . . . 5 ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 1) → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎})
1312ex 399 . . . 4 (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = 1 → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))
1413a1d 25 . . 3 (𝑉 ∈ Fin → (𝑉𝑊 → ((♯‘𝑉) = 1 → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎})))
15 hashinf 13345 . . . . 5 ((𝑉𝑊 ∧ ¬ 𝑉 ∈ Fin) → (♯‘𝑉) = +∞)
16 eqeq1 2817 . . . . . 6 ((♯‘𝑉) = +∞ → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ +∞ = 1))
17 1re 10328 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
18 renepnf 10375 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℝ → 1 ≠ +∞)
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . 8 1 ≠ +∞
20 df-ne 2986 . . . . . . . . 9 (1 ≠ +∞ ↔ ¬ 1 = +∞)
21 pm2.21 121 . . . . . . . . 9 (¬ 1 = +∞ → (1 = +∞ → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))
2220, 21sylbi 208 . . . . . . . 8 (1 ≠ +∞ → (1 = +∞ → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))
2319, 22ax-mp 5 . . . . . . 7 (1 = +∞ → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎})
2423eqcoms 2821 . . . . . 6 (+∞ = 1 → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎})
2516, 24syl6bi 244 . . . . 5 ((♯‘𝑉) = +∞ → ((♯‘𝑉) = 1 → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))
2615, 25syl 17 . . . 4 ((𝑉𝑊 ∧ ¬ 𝑉 ∈ Fin) → ((♯‘𝑉) = 1 → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))
2726expcom 400 . . 3 𝑉 ∈ Fin → (𝑉𝑊 → ((♯‘𝑉) = 1 → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎})))
2814, 27pm2.61i 176 . 2 (𝑉𝑊 → ((♯‘𝑉) = 1 → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))
29 fveq2 6411 . . . 4 (𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) = (♯‘{𝑎}))
30 vex 3401 . . . . 5 𝑎 ∈ V
31 hashsng 13380 . . . . 5 (𝑎 ∈ V → (♯‘{𝑎}) = 1)
3230, 31ax-mp 5 . . . 4 (♯‘{𝑎}) = 1
3329, 32syl6eq 2863 . . 3 (𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) = 1)
3433exlimiv 2021 . 2 (∃𝑎 𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) = 1)
3528, 34impbid1 216 1 (𝑉𝑊 → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wex 1859  wcel 2157  wne 2985  Vcvv 3398  {csn 4377   class class class wbr 4851  cfv 6104  ωcom 7298  1𝑜c1o 7792  cen 8192  Fincfn 8195  cr 10223  1c1 10225  +∞cpnf 10359  chash 13340
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-rep 4971  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-pss 3792  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-tp 4382  df-op 4384  df-uni 4638  df-int 4677  df-iun 4721  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-tr 4954  df-id 5226  df-eprel 5231  df-po 5239  df-so 5240  df-fr 5277  df-we 5279  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-pred 5900  df-ord 5946  df-on 5947  df-lim 5948  df-suc 5949  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-om 7299  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-card 9051  df-cda 9278  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11309  df-n0 11563  df-z 11647  df-uz 11908  df-fz 12553  df-hash 13341
This theorem is referenced by:  hash1n0  13429  hashle2pr  13479  hashge2el2difr  13483  hash1to3  13493  cshwrepswhash1  16024  mat1scmat  20560  tgldim0eq  25618  lfuhgr1v0e  26368  usgr1v0e  26440  nbgr1vtx  26476  uvtx01vtx  26524  uvtxa01vtx0OLD  26526  cplgr1vlem  26559  cplgr1v  26560  1loopgrvd2  26633  vdgn1frgrv2  27477  frgrwopreg1  27499  frgrwopreg2  27500  c0snmgmhm  42483
  Copyright terms: Public domain W3C validator