MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash1snb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hash1snb 13405
Description: The size of a set is 1 if and only if it is a singleton (containing a set). (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
hash1snb (𝑉𝑊 → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))
Distinct variable group:   𝑉,𝑎
Allowed substitution hint:   𝑊(𝑎)

Proof of Theorem hash1snb
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑉) = 1 → (♯‘𝑉) = 1)
2 hash1 13390 . . . . . . . . 9 (♯‘1𝑜) = 1
31, 2syl6eqr 2823 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑉) = 1 → (♯‘𝑉) = (♯‘1𝑜))
43adantl 467 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (♯‘𝑉) = (♯‘1𝑜))
5 1onn 7873 . . . . . . . . 9 1𝑜 ∈ ω
6 nnfi 8309 . . . . . . . . 9 (1𝑜 ∈ ω → 1𝑜 ∈ Fin)
75, 6mp1i 13 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑉) = 1 → 1𝑜 ∈ Fin)
8 hashen 13335 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 1𝑜 ∈ Fin) → ((♯‘𝑉) = (♯‘1𝑜) ↔ 𝑉 ≈ 1𝑜))
97, 8sylan2 580 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 1) → ((♯‘𝑉) = (♯‘1𝑜) ↔ 𝑉 ≈ 1𝑜))
104, 9mpbid 222 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝑉 ≈ 1𝑜)
11 en1 8176 . . . . . 6 (𝑉 ≈ 1𝑜 ↔ ∃𝑎 𝑉 = {𝑎})
1210, 11sylib 208 . . . . 5 ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 1) → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎})
1312ex 397 . . . 4 (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = 1 → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))
1413a1d 25 . . 3 (𝑉 ∈ Fin → (𝑉𝑊 → ((♯‘𝑉) = 1 → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎})))
15 hashinf 13322 . . . . 5 ((𝑉𝑊 ∧ ¬ 𝑉 ∈ Fin) → (♯‘𝑉) = +∞)
16 eqeq1 2775 . . . . . 6 ((♯‘𝑉) = +∞ → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ +∞ = 1))
17 1re 10241 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
18 renepnf 10289 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℝ → 1 ≠ +∞)
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . 8 1 ≠ +∞
20 df-ne 2944 . . . . . . . . 9 (1 ≠ +∞ ↔ ¬ 1 = +∞)
21 pm2.21 121 . . . . . . . . 9 (¬ 1 = +∞ → (1 = +∞ → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))
2220, 21sylbi 207 . . . . . . . 8 (1 ≠ +∞ → (1 = +∞ → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))
2319, 22ax-mp 5 . . . . . . 7 (1 = +∞ → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎})
2423eqcoms 2779 . . . . . 6 (+∞ = 1 → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎})
2516, 24syl6bi 243 . . . . 5 ((♯‘𝑉) = +∞ → ((♯‘𝑉) = 1 → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))
2615, 25syl 17 . . . 4 ((𝑉𝑊 ∧ ¬ 𝑉 ∈ Fin) → ((♯‘𝑉) = 1 → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))
2726expcom 398 . . 3 𝑉 ∈ Fin → (𝑉𝑊 → ((♯‘𝑉) = 1 → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎})))
2814, 27pm2.61i 176 . 2 (𝑉𝑊 → ((♯‘𝑉) = 1 → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))
29 fveq2 6330 . . . 4 (𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) = (♯‘{𝑎}))
30 vex 3354 . . . . 5 𝑎 ∈ V
31 hashsng 13357 . . . . 5 (𝑎 ∈ V → (♯‘{𝑎}) = 1)
3230, 31ax-mp 5 . . . 4 (♯‘{𝑎}) = 1
3329, 32syl6eq 2821 . . 3 (𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) = 1)
3433exlimiv 2010 . 2 (∃𝑎 𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) = 1)
3528, 34impbid1 215 1 (𝑉𝑊 → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wex 1852  wcel 2145  wne 2943  Vcvv 3351  {csn 4316   class class class wbr 4786  cfv 6029  ωcom 7212  1𝑜c1o 7706  cen 8106  Fincfn 8109  cr 10137  1c1 10139  +∞cpnf 10273  chash 13317
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11496  df-z 11581  df-uz 11890  df-fz 12530  df-hash 13318
This theorem is referenced by:  hash1n0  13407  hashle2pr  13457  hashge2el2difr  13461  hash1to3  13471  cshwrepswhash1  16012  mat1scmat  20559  tgldim0eq  25615  lfuhgr1v0e  26365  usgr1v0e  26437  nbgr1vtx  26473  uvtx01vtx  26521  uvtxa01vtx0OLD  26523  cplgr1vlem  26556  cplgr1v  26557  1loopgrvd2  26630  vdgn1frgrv2  27474  frgrwopreg1  27496  frgrwopreg2  27497  c0snmgmhm  42439
  Copyright terms: Public domain W3C validator