Theorem hash1snb 14321

Description: The size of a set is 1 if and only if it is a singleton (containing a set). (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
hash1snb	⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))

Distinct variable group:   𝑉,𝑎

Allowed substitution hint:   𝑊(𝑎)

Proof of Theorem hash1snb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → (♯‘𝑉) = 1)
2		hash1 14306	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘1o) = 1
3	1, 2	eqtr4di 2784	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → (♯‘𝑉) = (♯‘1o))
4	3	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (♯‘𝑉) = (♯‘1o))
5		1onn 8550	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o ∈ ω
6		nnfi 9072	. . . . . . . . 9 ⊢ (1o ∈ ω → 1o ∈ Fin)
7	5, 6	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → 1o ∈ Fin)
8		hashen 14249	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 1o ∈ Fin) → ((♯‘𝑉) = (♯‘1o) ↔ 𝑉 ≈ 1o))
9	7, 8	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 1) → ((♯‘𝑉) = (♯‘1o) ↔ 𝑉 ≈ 1o))
10	4, 9	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝑉 ≈ 1o)
11		en1 8941	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ≈ 1o ↔ ∃𝑎 𝑉 = {𝑎})
12	10, 11	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 1) → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎})
13	12	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = 1 → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))
14	13	a1d 25	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) = 1 → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎})))
15		hashinf 14237	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ ¬ 𝑉 ∈ Fin) → (♯‘𝑉) = +∞)
16		eqeq1 2735	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑉) = +∞ → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ +∞ = 1))
17		1re 11107	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
18		renepnf 11155	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 ≠ +∞)
19		df-ne 2929	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ≠ +∞ ↔ ¬ 1 = +∞)
20		pm2.21 123	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 1 = +∞ → (1 = +∞ → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))
21	19, 20	sylbi 217	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ≠ +∞ → (1 = +∞ → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))
22	17, 18, 21	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (1 = +∞ → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎})
23	22	eqcoms 2739	. . . . . 6 ⊢ (+∞ = 1 → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎})
24	16, 23	biimtrdi 253	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑉) = +∞ → ((♯‘𝑉) = 1 → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))
25	15, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ ¬ 𝑉 ∈ Fin) → ((♯‘𝑉) = 1 → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))
26	25	expcom 413	. . 3 ⊢ (¬ 𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) = 1 → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎})))
27	14, 26	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) = 1 → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))
28		fveq2 6817	. . . 4 ⊢ (𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) = (♯‘{𝑎}))
29		hashsng 14271	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ V → (♯‘{𝑎}) = 1)
30	29	elv 3441	. . . 4 ⊢ (♯‘{𝑎}) = 1
31	28, 30	eqtrdi 2782	. . 3 ⊢ (𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) = 1)
32	31	exlimiv 1931	. 2 ⊢ (∃𝑎 𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) = 1)
33	27, 32	impbid1 225	1 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  Vcvv 3436  {csn 4571   class class class wbr 5086  ‘cfv 6476  ωcom 7791  1_oc1o 8373   ≈ cen 8861  Fincfn 8864  ℝcr 11000  1c1 11002  +∞cpnf 11138  ♯chash 14232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-oadd 8384  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-dju 9789  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-fz 13403  df-hash 14233

This theorem is referenced by:  hash1n0  14323  hashle2pr  14379  hashge2el2difr  14383  hash1to3  14394  cshwrepswhash1  17009  symgvalstruct  19304  c0snmgmhm  20375  mat1scmat  22449  tgldim0eq  28476  lfuhgr1v0e  29227  usgr1v0e  29299  nbgr1vtx  29331  uvtx01vtx  29370  cplgr1vlem  29402  cplgr1v  29403  1loopgrvd2  29477  vdgn1frgrv2  30268  frgrwopreg1  30290  frgrwopreg2  30291  extdg1id  33671