Theorem xnn0xadd0 13417

Description: The sum of two extended nonnegative integers is 0 iff each of the two extended nonnegative integers is 0. (Contributed by AV, 14-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
xnn0xadd0	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → ((𝐴 +e 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))

Proof of Theorem xnn0xadd0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxnn0 12721	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = +∞))
2		elxnn0 12721	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0* ↔ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ 𝐵 = +∞))
3		nn0re 12655	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		nn0re 12655	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		rexadd 13402	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +e 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
6	3, 4, 5	syl2an 608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 +e 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
7	6	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 +e 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 + 𝐵) = 0))
8		nn0ge0 12671	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
9	3, 8	jca 521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
10		nn0ge0 12671	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐵)
11	4, 10	jca 521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
12		add20 11868	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
13	9, 11, 12	syl2an 608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
14	7, 13	bitrd 282	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 +e 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
15	14	biimpd 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 +e 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
16	15	expcom 419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴 +e 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))))
17		oveq2 7459	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐴 +e 𝐵) = (𝐴 +e +∞))
18	17	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 = +∞ → ((𝐴 +e 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 +e +∞) = 0))
19	18	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝐴 +e 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 +e +∞) = 0))
20		nn0xnn0 12723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℕ0*)
21		xnn0xrnemnf 12731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞))
22		xaddpnf1 13396	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +e +∞) = +∞)
23	20, 21, 22	3syl 19	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 +e +∞) = +∞)
24	23	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 +e +∞) = +∞)
25	24	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝐴 +e +∞) = 0 ↔ +∞ = 0))
26	19, 25	bitrd 282	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝐴 +e 𝐵) = 0 ↔ +∞ = 0))
27		0re 11349	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		renepnf 11396	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ≠ +∞)
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≠ +∞
30	29	nesymi 3016	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ +∞ = 0
31	30	pm2.21i 120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+∞ = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
32	26, 31	biimtrdi 256	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝐴 +e 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
33	32	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴 +e 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))))
34	16, 33	jaoi 871	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∨ 𝐵 = +∞) → (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴 +e 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))))
35	2, 34	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴 +e 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))))
36	35	com12 33	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐵 ∈ ℕ0* → ((𝐴 +e 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))))
37		oveq1 7458	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 +e 𝐵) = (+∞ +e 𝐵))
38	37	eqeq1d 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = +∞ → ((𝐴 +e 𝐵) = 0 ↔ (+∞ +e 𝐵) = 0))
39		xnn0xrnemnf 12731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞))
40		xaddpnf2 13397	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +e 𝐵) = +∞)
41	39, 40	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0* → (+∞ +e 𝐵) = +∞)
42	41	eqeq1d 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0* → ((+∞ +e 𝐵) = 0 ↔ +∞ = 0))
43	38, 42	sylan9bb 519	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → ((𝐴 +e 𝐵) = 0 ↔ +∞ = 0))
44	43, 31	biimtrdi 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → ((𝐴 +e 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
45	44	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐵 ∈ ℕ0* → ((𝐴 +e 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))))
46	36, 45	jaoi 871	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = +∞) → (𝐵 ∈ ℕ0* → ((𝐴 +e 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))))
47	1, 46	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐵 ∈ ℕ0* → ((𝐴 +e 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))))
48	47	imp 412	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → ((𝐴 +e 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
49		oveq12 7460	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 +e 𝐵) = (0 +e 0))
50		0xr 11395	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
51		xaddrid 13411	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ* → (0 +e 0) = 0)
52	50, 51	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (0 +e 0) = 0
53	49, 52	eqtrdi 2814	. 2 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 +e 𝐵) = 0)
54	48, 53	impbid1 228	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → ((𝐴 +e 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  0cc0 11239   + caddc 11242  +∞cpnf 11379  -∞cmnf 11380  ℝ^*cxr 11381   ≤ cle 11383  ℕ₀cn0 12646  ℕ₀^*cxnn0 12719   +_e cxad 13279

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-xnn0 12720  df-xadd 13282

This theorem is used by:  vtxd0nedgb  30126