Theorem xnn0xadd0 13223

Description: The sum of two extended nonnegative integers is 0 iff each of the two extended nonnegative integers is 0. (Contributed by AV, 14-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
xnn0xadd0	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))

Proof of Theorem xnn0xadd0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxnn0 12543	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = +∞))
2		elxnn0 12543	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0* ↔ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ 𝐵 = +∞))
3		nn0re 12478	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		nn0re 12478	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		rexadd 13208	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
6	3, 4, 5	syl2an 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
7	6	eqeq1d 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 + 𝐵) = 0))
8		nn0ge0 12494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
9	3, 8	jca 513	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
10		nn0ge0 12494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐵)
11	4, 10	jca 513	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
12		add20 11723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
13	9, 11, 12	syl2an 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
14	7, 13	bitrd 279	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
15	14	biimpd 228	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
16	15	expcom 415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))))
17		oveq2 7414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 +∞))
18	17	eqeq1d 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 = +∞ → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 +𝑒 +∞) = 0))
19	18	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 +𝑒 +∞) = 0))
20		nn0xnn0 12545	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℕ0*)
21		xnn0xrnemnf 12553	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞))
22		xaddpnf1 13202	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
23	20, 21, 22	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
24	23	adantl 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
25	24	eqeq1d 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝐴 +𝑒 +∞) = 0 ↔ +∞ = 0))
26	19, 25	bitrd 279	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ +∞ = 0))
27		0re 11213	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		renepnf 11259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ≠ +∞)
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≠ +∞
30	29	nesymi 2999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ +∞ = 0
31	30	pm2.21i 119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+∞ = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
32	26, 31	syl6bi 253	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
33	32	ex 414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))))
34	16, 33	jaoi 856	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∨ 𝐵 = +∞) → (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))))
35	2, 34	sylbi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))))
36	35	com12 32	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐵 ∈ ℕ0* → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))))
37		oveq1 7413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 𝐵))
38	37	eqeq1d 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = +∞ → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ (+∞ +𝑒 𝐵) = 0))
39		xnn0xrnemnf 12553	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞))
40		xaddpnf2 13203	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0* → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
42	41	eqeq1d 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0* → ((+∞ +𝑒 𝐵) = 0 ↔ +∞ = 0))
43	38, 42	sylan9bb 511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ +∞ = 0))
44	43, 31	syl6bi 253	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
45	44	ex 414	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐵 ∈ ℕ0* → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))))
46	36, 45	jaoi 856	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = +∞) → (𝐵 ∈ ℕ0* → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))))
47	1, 46	sylbi 216	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐵 ∈ ℕ0* → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))))
48	47	imp 408	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
49		oveq12 7415	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (0 +𝑒 0))
50		0xr 11258	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
51		xaddrid 13217	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 0) = 0)
52	50, 51	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (0 +𝑒 0) = 0
53	49, 52	eqtrdi 2789	. 2 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0)
54	48, 53	impbid1 224	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941   class class class wbr 5148  (class class class)co 7406  ℝcr 11106  0cc0 11107   + caddc 11110  +∞cpnf 11242  -∞cmnf 11243  ℝ^*cxr 11244   ≤ cle 11246  ℕ₀cn0 12469  ℕ₀^*cxnn0 12541   +_𝑒 cxad 13087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-xadd 13090

This theorem is referenced by:  vtxd0nedgb  28735