MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xnn0xadd0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xnn0xadd0 13226
Description: The sum of two extended nonnegative integers is 0 iff each of the two extended nonnegative integers is 0. (Contributed by AV, 14-Dec-2020.)
Assertion
Ref Expression
xnn0xadd0 ((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))

Proof of Theorem xnn0xadd0
StepHypRef Expression
1 elxnn0 12546 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0* ↔ (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 = +∞))
2 elxnn0 12546 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ0* ↔ (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 = +∞))
3 nn0re 12481 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
4 nn0re 12481 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ)
5 rexadd 13211 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
63, 4, 5syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
76eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 + 𝐵) = 0))
8 nn0ge0 12497 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
93, 8jca 513 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
10 nn0ge0 12497 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐵)
114, 10jca 513 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
12 add20 11726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
139, 11, 12syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
147, 13bitrd 279 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
1514biimpd 228 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
1615expcom 415 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))))
17 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 = +∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 +∞))
1817eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 = +∞ → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 +𝑒 +∞) = 0))
1918adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 +𝑒 +∞) = 0))
20 nn0xnn0 12548 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0*)
21 xnn0xrnemnf 12556 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞))
22 xaddpnf1 13205 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
2320, 21, 223syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
2423adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
2524eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝐴 +𝑒 +∞) = 0 ↔ +∞ = 0))
2619, 25bitrd 279 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ +∞ = 0))
27 0re 11216 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
28 renepnf 11262 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℝ → 0 ≠ +∞)
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 0 ≠ +∞
3029nesymi 2999 . . . . . . . . . . 11 ¬ +∞ = 0
3130pm2.21i 119 . . . . . . . . . 10 (+∞ = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
3226, 31syl6bi 253 . . . . . . . . 9 ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
3332ex 414 . . . . . . . 8 (𝐵 = +∞ → (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))))
3416, 33jaoi 856 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℕ0𝐵 = +∞) → (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))))
352, 34sylbi 216 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))))
3635com12 32 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐵 ∈ ℕ0* → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))))
37 oveq1 7416 . . . . . . . . 9 (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 𝐵))
3837eqeq1d 2735 . . . . . . . 8 (𝐴 = +∞ → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ (+∞ +𝑒 𝐵) = 0))
39 xnn0xrnemnf 12556 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞))
40 xaddpnf2 13206 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
4139, 40syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ0* → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
4241eqeq1d 2735 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ0* → ((+∞ +𝑒 𝐵) = 0 ↔ +∞ = 0))
4338, 42sylan9bb 511 . . . . . . 7 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ +∞ = 0))
4443, 31syl6bi 253 . . . . . 6 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
4544ex 414 . . . . 5 (𝐴 = +∞ → (𝐵 ∈ ℕ0* → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))))
4636, 45jaoi 856 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 = +∞) → (𝐵 ∈ ℕ0* → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))))
471, 46sylbi 216 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐵 ∈ ℕ0* → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))))
4847imp 408 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
49 oveq12 7418 . . 3 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (0 +𝑒 0))
50 0xr 11261 . . . 4 0 ∈ ℝ*
51 xaddrid 13220 . . . 4 (0 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 0) = 0)
5250, 51ax-mp 5 . . 3 (0 +𝑒 0) = 0
5349, 52eqtrdi 2789 . 2 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0)
5448, 53impbid1 224 1 ((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  cr 11109  0cc0 11110   + caddc 11113  +∞cpnf 11245  -∞cmnf 11246  *cxr 11247  cle 11249  0cn0 12472  0*cxnn0 12544   +𝑒 cxad 13090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-xadd 13093
This theorem is referenced by:  vtxd0nedgb  28745
  Copyright terms: Public domain W3C validator