Theorem xnn0xadd0 13162

Description: The sum of two extended nonnegative integers is 0 iff each of the two extended nonnegative integers is 0. (Contributed by AV, 14-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
xnn0xadd0	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))

Proof of Theorem xnn0xadd0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxnn0 12476	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = +∞))
2		elxnn0 12476	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0* ↔ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ 𝐵 = +∞))
3		nn0re 12410	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		nn0re 12410	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		rexadd 13147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
6	3, 4, 5	syl2an 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
7	6	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 + 𝐵) = 0))
8		nn0ge0 12426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
9	3, 8	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
10		nn0ge0 12426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐵)
11	4, 10	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
12		add20 11649	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
13	9, 11, 12	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
14	7, 13	bitrd 279	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
15	14	biimpd 229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
16	15	expcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))))
17		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 +∞))
18	17	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 = +∞ → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 +𝑒 +∞) = 0))
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 +𝑒 +∞) = 0))
20		nn0xnn0 12478	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℕ0*)
21		xnn0xrnemnf 12486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞))
22		xaddpnf1 13141	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
23	20, 21, 22	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
24	23	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
25	24	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝐴 +𝑒 +∞) = 0 ↔ +∞ = 0))
26	19, 25	bitrd 279	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ +∞ = 0))
27		0re 11134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		renepnf 11180	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ≠ +∞)
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≠ +∞
30	29	nesymi 2989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ +∞ = 0
31	30	pm2.21i 119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+∞ = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
32	26, 31	biimtrdi 253	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
33	32	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))))
34	16, 33	jaoi 857	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∨ 𝐵 = +∞) → (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))))
35	2, 34	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))))
36	35	com12 32	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐵 ∈ ℕ0* → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))))
37		oveq1 7365	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 𝐵))
38	37	eqeq1d 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = +∞ → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ (+∞ +𝑒 𝐵) = 0))
39		xnn0xrnemnf 12486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞))
40		xaddpnf2 13142	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0* → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
42	41	eqeq1d 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0* → ((+∞ +𝑒 𝐵) = 0 ↔ +∞ = 0))
43	38, 42	sylan9bb 509	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ +∞ = 0))
44	43, 31	biimtrdi 253	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
45	44	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐵 ∈ ℕ0* → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))))
46	36, 45	jaoi 857	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = +∞) → (𝐵 ∈ ℕ0* → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))))
47	1, 46	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐵 ∈ ℕ0* → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))))
48	47	imp 406	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
49		oveq12 7367	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (0 +𝑒 0))
50		0xr 11179	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
51		xaddrid 13156	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 0) = 0)
52	50, 51	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (0 +𝑒 0) = 0
53	49, 52	eqtrdi 2787	. 2 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0)
54	48, 53	impbid1 225	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026   + caddc 11029  +∞cpnf 11163  -∞cmnf 11164  ℝ^*cxr 11165   ≤ cle 11167  ℕ₀cn0 12401  ℕ₀^*cxnn0 12474   +_𝑒 cxad 13024

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-xadd 13027

This theorem is referenced by:  vtxd0nedgb  29562