Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xnn0xadd0 Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: The sum of two extended nonnegative integers is 0 iff each of the two extended nonnegative integers is 0. (Contributed by AV, 14-Dec-2020.)
Assertion
Ref Expression
xnn0xadd0 ((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))

StepHypRef Expression
1 elxnn0 12008 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0* ↔ (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 = +∞))
2 elxnn0 12008 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ0* ↔ (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 = +∞))
3 nn0re 11943 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
4 nn0re 11943 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ)
5 rexadd 12666 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
63, 4, 5syl2an 598 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
76eqeq1d 2760 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 + 𝐵) = 0))
8 nn0ge0 11959 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
93, 8jca 515 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
10 nn0ge0 11959 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐵)
114, 10jca 515 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
12 add20 11190 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
139, 11, 12syl2an 598 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
147, 13bitrd 282 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
1514biimpd 232 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
1615expcom 417 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))))
17 oveq2 7158 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 = +∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 +∞))
1817eqeq1d 2760 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 = +∞ → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 +𝑒 +∞) = 0))
1918adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 +𝑒 +∞) = 0))
20 nn0xnn0 12010 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0*)
21 xnn0xrnemnf 12018 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞))
22 xaddpnf1 12660 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
2320, 21, 223syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
2423adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
2524eqeq1d 2760 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝐴 +𝑒 +∞) = 0 ↔ +∞ = 0))
2619, 25bitrd 282 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ +∞ = 0))
27 0re 10681 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
28 renepnf 10727 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℝ → 0 ≠ +∞)
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 0 ≠ +∞
3029nesymi 3008 . . . . . . . . . . 11 ¬ +∞ = 0
3130pm2.21i 119 . . . . . . . . . 10 (+∞ = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
3226, 31syl6bi 256 . . . . . . . . 9 ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
3332ex 416 . . . . . . . 8 (𝐵 = +∞ → (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))))
3416, 33jaoi 854 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℕ0𝐵 = +∞) → (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))))
352, 34sylbi 220 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))))
3635com12 32 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐵 ∈ ℕ0* → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))))
37 oveq1 7157 . . . . . . . . 9 (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 𝐵))
3837eqeq1d 2760 . . . . . . . 8 (𝐴 = +∞ → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ (+∞ +𝑒 𝐵) = 0))
39 xnn0xrnemnf 12018 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞))
40 xaddpnf2 12661 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
4139, 40syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ0* → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
4241eqeq1d 2760 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ0* → ((+∞ +𝑒 𝐵) = 0 ↔ +∞ = 0))
4338, 42sylan9bb 513 . . . . . . 7 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ +∞ = 0))
4443, 31syl6bi 256 . . . . . 6 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
4544ex 416 . . . . 5 (𝐴 = +∞ → (𝐵 ∈ ℕ0* → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))))
4636, 45jaoi 854 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 = +∞) → (𝐵 ∈ ℕ0* → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))))
471, 46sylbi 220 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐵 ∈ ℕ0* → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))))
4847imp 410 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
49 oveq12 7159 . . 3 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (0 +𝑒 0))
50 0xr 10726 . . . 4 0 ∈ ℝ*
51 xaddid1 12675 . . . 4 (0 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 0) = 0)
5250, 51ax-mp 5 . . 3 (0 +𝑒 0) = 0
5349, 52eqtrdi 2809 . 2 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0)
5448, 53impbid1 228 1 ((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951   class class class wbr 5032  (class class class)co 7150  ℝcr 10574  0cc0 10575   + caddc 10578  +∞cpnf 10710  -∞cmnf 10711  ℝ*cxr 10712   ≤ cle 10714  ℕ0cn0 11934  ℕ0*cxnn0 12006   +𝑒 cxad 12546 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-n0 11935  df-xnn0 12007  df-xadd 12549 This theorem is referenced by:  vtxd0nedgb  27377
 Copyright terms: Public domain W3C validator