MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xnn0xadd0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xnn0xadd0 13230
Description: The sum of two extended nonnegative integers is 0 iff each of the two extended nonnegative integers is 0. (Contributed by AV, 14-Dec-2020.)
Assertion
Ref Expression
xnn0xadd0 ((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))

Proof of Theorem xnn0xadd0
StepHypRef Expression
1 elxnn0 12550 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0* ↔ (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 = +∞))
2 elxnn0 12550 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ0* ↔ (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 = +∞))
3 nn0re 12485 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
4 nn0re 12485 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ)
5 rexadd 13215 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
63, 4, 5syl2an 594 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
76eqeq1d 2732 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 + 𝐵) = 0))
8 nn0ge0 12501 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
93, 8jca 510 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
10 nn0ge0 12501 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐵)
114, 10jca 510 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
12 add20 11730 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
139, 11, 12syl2an 594 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
147, 13bitrd 278 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
1514biimpd 228 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
1615expcom 412 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))))
17 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 = +∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 +∞))
1817eqeq1d 2732 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 = +∞ → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 +𝑒 +∞) = 0))
1918adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 +𝑒 +∞) = 0))
20 nn0xnn0 12552 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0*)
21 xnn0xrnemnf 12560 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞))
22 xaddpnf1 13209 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
2320, 21, 223syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
2423adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
2524eqeq1d 2732 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝐴 +𝑒 +∞) = 0 ↔ +∞ = 0))
2619, 25bitrd 278 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ +∞ = 0))
27 0re 11220 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
28 renepnf 11266 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℝ → 0 ≠ +∞)
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 0 ≠ +∞
3029nesymi 2996 . . . . . . . . . . 11 ¬ +∞ = 0
3130pm2.21i 119 . . . . . . . . . 10 (+∞ = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
3226, 31syl6bi 252 . . . . . . . . 9 ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
3332ex 411 . . . . . . . 8 (𝐵 = +∞ → (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))))
3416, 33jaoi 853 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℕ0𝐵 = +∞) → (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))))
352, 34sylbi 216 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))))
3635com12 32 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐵 ∈ ℕ0* → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))))
37 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 𝐵))
3837eqeq1d 2732 . . . . . . . 8 (𝐴 = +∞ → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ (+∞ +𝑒 𝐵) = 0))
39 xnn0xrnemnf 12560 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞))
40 xaddpnf2 13210 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
4139, 40syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ0* → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
4241eqeq1d 2732 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ0* → ((+∞ +𝑒 𝐵) = 0 ↔ +∞ = 0))
4338, 42sylan9bb 508 . . . . . . 7 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ +∞ = 0))
4443, 31syl6bi 252 . . . . . 6 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
4544ex 411 . . . . 5 (𝐴 = +∞ → (𝐵 ∈ ℕ0* → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))))
4636, 45jaoi 853 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 = +∞) → (𝐵 ∈ ℕ0* → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))))
471, 46sylbi 216 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐵 ∈ ℕ0* → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))))
4847imp 405 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
49 oveq12 7420 . . 3 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (0 +𝑒 0))
50 0xr 11265 . . . 4 0 ∈ ℝ*
51 xaddrid 13224 . . . 4 (0 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 0) = 0)
5250, 51ax-mp 5 . . 3 (0 +𝑒 0) = 0
5349, 52eqtrdi 2786 . 2 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0)
5448, 53impbid1 224 1 ((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wo 843   = wceq 1539  wcel 2104  wne 2938   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115  +∞cpnf 11249  -∞cmnf 11250  *cxr 11251  cle 11253  0cn0 12476  0*cxnn0 12548   +𝑒 cxad 13094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-xadd 13097
This theorem is referenced by:  vtxd0nedgb  29012
  Copyright terms: Public domain W3C validator