Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climxrre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climxrre 45706
Description: If a sequence ranging over the extended reals converges w.r.t. the standard topology on the complex numbers, then there exists an upper set of the integers over which the function is real-valued (the weaker hypothesis 𝐹 ∈ dom ⇝ is probably not enough, since in principle we could have +∞ ∈ ℂ and -∞ ∈ ℂ). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climxrre.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climxrre.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climxrre.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
climxrre.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
climxrre.c (𝜑𝐹𝐴)
Assertion
Ref Expression
climxrre (𝜑 → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝑗,𝐹   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍   𝜑,𝑗

Proof of Theorem climxrre
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climxrre.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
21ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3 climxrre.z . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 climxrre.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
54ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
6 climxrre.c . . . . 5 (𝜑𝐹𝐴)
76ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → 𝐹𝐴)
8 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) → +∞ ∈ ℂ)
9 climxrre.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
109recnd 11287 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1110adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
128, 11subcld 11618 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) → (+∞ − 𝐴) ∈ ℂ)
13 renepnf 11307 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)
1413necomd 2994 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → +∞ ≠ 𝐴)
159, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → +∞ ≠ 𝐴)
1615adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) → +∞ ≠ 𝐴)
178, 11, 16subne0d 11627 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) → (+∞ − 𝐴) ≠ 0)
1812, 17absrpcld 15484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) → (abs‘(+∞ − 𝐴)) ∈ ℝ+)
1918adantr 480 . . . . 5 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → (abs‘(+∞ − 𝐴)) ∈ ℝ+)
20 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ -∞ ∈ ℂ) → -∞ ∈ ℂ)
2110adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ -∞ ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2220, 21subcld 11618 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ -∞ ∈ ℂ) → (-∞ − 𝐴) ∈ ℂ)
239adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ -∞ ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℝ)
24 renemnf 11308 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
2524necomd 2994 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ ≠ 𝐴)
2623, 25syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ -∞ ∈ ℂ) → -∞ ≠ 𝐴)
2720, 21, 26subne0d 11627 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ -∞ ∈ ℂ) → (-∞ − 𝐴) ≠ 0)
2822, 27absrpcld 15484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ -∞ ∈ ℂ) → (abs‘(-∞ − 𝐴)) ∈ ℝ+)
2928adantlr 715 . . . . 5 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → (abs‘(-∞ − 𝐴)) ∈ ℝ+)
3019, 29ifcld 4577 . . . 4 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → if((abs‘(+∞ − 𝐴)) ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)), (abs‘(+∞ − 𝐴)), (abs‘(-∞ − 𝐴))) ∈ ℝ+)
3119rpred 13075 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → (abs‘(+∞ − 𝐴)) ∈ ℝ)
3229rpred 13075 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → (abs‘(-∞ − 𝐴)) ∈ ℝ)
3331, 32min1d 45422 . . . . 5 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → if((abs‘(+∞ − 𝐴)) ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)), (abs‘(+∞ − 𝐴)), (abs‘(-∞ − 𝐴))) ≤ (abs‘(+∞ − 𝐴)))
3433adantr 480 . . . 4 ((((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) ∧ +∞ ∈ ℂ) → if((abs‘(+∞ − 𝐴)) ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)), (abs‘(+∞ − 𝐴)), (abs‘(-∞ − 𝐴))) ≤ (abs‘(+∞ − 𝐴)))
3531, 32min2d 45423 . . . . 5 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → if((abs‘(+∞ − 𝐴)) ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)), (abs‘(+∞ − 𝐴)), (abs‘(-∞ − 𝐴))) ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)))
3635adantr 480 . . . 4 ((((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → if((abs‘(+∞ − 𝐴)) ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)), (abs‘(+∞ − 𝐴)), (abs‘(-∞ − 𝐴))) ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)))
372, 3, 5, 7, 30, 34, 36climxrrelem 45705 . . 3 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
381ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℤ)
394ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
406ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → 𝐹𝐴)
4118adantr 480 . . . 4 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → (abs‘(+∞ − 𝐴)) ∈ ℝ+)
4218rpred 13075 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) → (abs‘(+∞ − 𝐴)) ∈ ℝ)
4342leidd 11827 . . . . 5 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) → (abs‘(+∞ − 𝐴)) ≤ (abs‘(+∞ − 𝐴)))
4443ad2antrr 726 . . . 4 ((((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ +∞ ∈ ℂ) → (abs‘(+∞ − 𝐴)) ≤ (abs‘(+∞ − 𝐴)))
45 pm2.21 123 . . . . . 6 (¬ -∞ ∈ ℂ → (-∞ ∈ ℂ → (abs‘(+∞ − 𝐴)) ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴))))
4645imp 406 . . . . 5 ((¬ -∞ ∈ ℂ ∧ -∞ ∈ ℂ) → (abs‘(+∞ − 𝐴)) ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)))
4746adantll 714 . . . 4 ((((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → (abs‘(+∞ − 𝐴)) ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)))
4838, 3, 39, 40, 41, 44, 47climxrrelem 45705 . . 3 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
4937, 48pm2.61dan 813 . 2 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
501ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℤ)
514ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
526ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → 𝐹𝐴)
5328adantlr 715 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → (abs‘(-∞ − 𝐴)) ∈ ℝ+)
54 pm2.21 123 . . . . . 6 (¬ +∞ ∈ ℂ → (+∞ ∈ ℂ → (abs‘(-∞ − 𝐴)) ≤ (abs‘(+∞ − 𝐴))))
5554imp 406 . . . . 5 ((¬ +∞ ∈ ℂ ∧ +∞ ∈ ℂ) → (abs‘(-∞ − 𝐴)) ≤ (abs‘(+∞ − 𝐴)))
5655ad4ant24 754 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) ∧ +∞ ∈ ℂ) → (abs‘(-∞ − 𝐴)) ≤ (abs‘(+∞ − 𝐴)))
5728rpred 13075 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ -∞ ∈ ℂ) → (abs‘(-∞ − 𝐴)) ∈ ℝ)
5857leidd 11827 . . . . 5 ((𝜑 ∧ -∞ ∈ ℂ) → (abs‘(-∞ − 𝐴)) ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)))
5958ad4ant13 751 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → (abs‘(-∞ − 𝐴)) ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)))
6050, 3, 51, 52, 53, 56, 59climxrrelem 45705 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
61 nfv 1912 . . . . . . 7 𝑘((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ)
62 nfv 1912 . . . . . . . 8 𝑘 𝑗𝑍
63 nfra1 3282 . . . . . . . 8 𝑘𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ
6462, 63nfan 1897 . . . . . . 7 𝑘(𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
6561, 64nfan 1897 . . . . . 6 𝑘(((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ))
66 simp-4l 783 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝜑)
673uztrn2 12895 . . . . . . . . . 10 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
6867adantlr 715 . . . . . . . . 9 (((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
6968adantll 714 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
70 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
714fdmd 6747 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑍)
7271adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → dom 𝐹 = 𝑍)
7370, 72eleqtrrd 2842 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
7466, 69, 73syl2anc 584 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
754ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
7666, 69, 75syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
77 rspa 3246 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
7877adantll 714 . . . . . . . . . 10 (((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
7978adantll 714 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
80 simpllr 776 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ¬ -∞ ∈ ℂ)
81 nelne2 3038 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → (𝐹𝑘) ≠ -∞)
8279, 80, 81syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ≠ -∞)
83 simp-4r 784 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ¬ +∞ ∈ ℂ)
84 nelne2 3038 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) → (𝐹𝑘) ≠ +∞)
8579, 83, 84syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ≠ +∞)
8676, 82, 85xrred 45315 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
8774, 86jca 511 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ))
8865, 87ralrimia 3256 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ))
894ffund 6741 . . . . . . 7 (𝜑 → Fun 𝐹)
90 ffvresb 7145 . . . . . . 7 (Fun 𝐹 → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)))
9189, 90syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)))
9291ad3antrrr 730 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)))
9388, 92mpbird 257 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
94 r19.26 3109 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 1) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 1))
9594simplbi 497 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 1) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
9695ad2antll 729 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 1))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
97 breq2 5152 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 1))
9897anbi2d 630 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 1 → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 1)))
9998rexralbidv 3221 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 1)))
1003fvexi 6921 . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 ∈ V
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑍 ∈ V)
1024, 101fexd 7247 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ V)
103 eqidd 2736 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
104102, 103clim 15527 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))))
1056, 104mpbid 232 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
106105simprd 495 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
107 1rp 13036 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
108107a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
10999, 106, 108rspcdva 3623 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 1))
11096, 109reximddv 3169 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1113rexuz3 15384 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ))
1121, 111syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ))
113110, 112mpbird 257 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
114113ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
11593, 114reximddv 3169 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
11660, 115pm2.61dan 813 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
11749, 116pm2.61dan 813 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3478  ifcif 4531   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  cres 5691  Fun wfun 6557  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  1c1 11154  +∞cpnf 11290  -∞cmnf 11291  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  cz 12611  cuz 12876  +crp 13032  abscabs 15270  cli 15517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521
This theorem is referenced by:  xlimclim2  45796
  Copyright terms: Public domain W3C validator