Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climxrre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climxrre 44545
Description: If a sequence ranging over the extended reals converges w.r.t. the standard topology on the complex numbers, then there exists an upper set of the integers over which the function is real-valued (the weaker hypothesis 𝐹 ∈ dom ⇝ is probably not enough, since in principle we could have +∞ ∈ β„‚ and -∞ ∈ β„‚). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climxrre.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
climxrre.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
climxrre.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
climxrre.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
climxrre.c (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
climxrre (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝑗,𝐹   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍   πœ‘,𝑗

Proof of Theorem climxrre
Dummy variables π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climxrre.m . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
21ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 climxrre.z . . . 4 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
4 climxrre.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
54ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
6 climxrre.c . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
76ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
8 simpr 485 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) β†’ +∞ ∈ β„‚)
9 climxrre.a . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
109recnd 11244 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
1110adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
128, 11subcld 11573 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) β†’ (+∞ βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚)
13 renepnf 11264 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 𝐴 β‰  +∞)
1413necomd 2996 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ β†’ +∞ β‰  𝐴)
159, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ +∞ β‰  𝐴)
1615adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) β†’ +∞ β‰  𝐴)
178, 11, 16subne0d 11582 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) β†’ (+∞ βˆ’ 𝐴) β‰  0)
1812, 17absrpcld 15397 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ+)
1918adantr 481 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ+)
20 simpr 485 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ -∞ ∈ β„‚)
2110adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2220, 21subcld 11573 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ (-∞ βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚)
239adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
24 renemnf 11265 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 𝐴 β‰  -∞)
2524necomd 2996 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ β†’ -∞ β‰  𝐴)
2623, 25syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ -∞ β‰  𝐴)
2720, 21, 26subne0d 11582 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ (-∞ βˆ’ 𝐴) β‰  0)
2822, 27absrpcld 15397 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ+)
2928adantlr 713 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ+)
3019, 29ifcld 4574 . . . 4 (((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ if((absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)) ≀ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)), (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)), (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴))) ∈ ℝ+)
3119rpred 13018 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
3229rpred 13018 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
3331, 32min1d 44261 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ if((absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)) ≀ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)), (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)), (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴))) ≀ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)))
3433adantr 481 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) ∧ -∞ ∈ β„‚) ∧ +∞ ∈ β„‚) β†’ if((absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)) ≀ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)), (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)), (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴))) ≀ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)))
3531, 32min2d 44262 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ if((absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)) ≀ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)), (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)), (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴))) ≀ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)))
3635adantr 481 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) ∧ -∞ ∈ β„‚) ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ if((absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)) ≀ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)), (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)), (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴))) ≀ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)))
372, 3, 5, 7, 30, 34, 36climxrrelem 44544 . . 3 (((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„)
381ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
394ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
406ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
4118adantr 481 . . . 4 (((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ+)
4218rpred 13018 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
4342leidd 11782 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)) ≀ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)))
4443ad2antrr 724 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) ∧ +∞ ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)) ≀ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)))
45 pm2.21 123 . . . . . 6 (Β¬ -∞ ∈ β„‚ β†’ (-∞ ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)) ≀ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴))))
4645imp 407 . . . . 5 ((Β¬ -∞ ∈ β„‚ ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)) ≀ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)))
4746adantll 712 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)) ≀ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)))
4838, 3, 39, 40, 41, 44, 47climxrrelem 44544 . . 3 (((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„)
4937, 48pm2.61dan 811 . 2 ((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„)
501ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
514ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
526ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
5328adantlr 713 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ+)
54 pm2.21 123 . . . . . 6 (Β¬ +∞ ∈ β„‚ β†’ (+∞ ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)) ≀ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴))))
5554imp 407 . . . . 5 ((Β¬ +∞ ∈ β„‚ ∧ +∞ ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)) ≀ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)))
5655ad4ant24 752 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) ∧ -∞ ∈ β„‚) ∧ +∞ ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)) ≀ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)))
5728rpred 13018 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
5857leidd 11782 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)) ≀ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)))
5958ad4ant13 749 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) ∧ -∞ ∈ β„‚) ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)) ≀ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)))
6050, 3, 51, 52, 53, 56, 59climxrrelem 44544 . . 3 (((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„)
61 nfv 1917 . . . . . . 7 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚)
62 nfv 1917 . . . . . . . 8 β„²π‘˜ 𝑗 ∈ 𝑍
63 nfra1 3281 . . . . . . . 8 β„²π‘˜βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚
6462, 63nfan 1902 . . . . . . 7 β„²π‘˜(𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
6561, 64nfan 1902 . . . . . 6 β„²π‘˜(((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚))
66 simp-4l 781 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ πœ‘)
673uztrn2 12843 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
6867adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
6968adantll 712 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
70 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
714fdmd 6728 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝑍)
7271adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ dom 𝐹 = 𝑍)
7370, 72eleqtrrd 2836 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘˜ ∈ dom 𝐹)
7466, 69, 73syl2anc 584 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ dom 𝐹)
754ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
7666, 69, 75syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
77 rspa 3245 . . . . . . . . . . 11 ((βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
7877adantll 712 . . . . . . . . . 10 (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
7978adantll 712 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
80 simpllr 774 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ Β¬ -∞ ∈ β„‚)
81 nelne2 3040 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  -∞)
8279, 80, 81syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  -∞)
83 simp-4r 782 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ Β¬ +∞ ∈ β„‚)
84 nelne2 3040 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  +∞)
8579, 83, 84syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  +∞)
8676, 82, 85xrred 44154 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
8774, 86jca 512 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ))
8865, 87ralrimia 3255 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ))
894ffund 6721 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
90 ffvresb 7126 . . . . . . 7 (Fun 𝐹 β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)))
9189, 90syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)))
9291ad3antrrr 728 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)))
9388, 92mpbird 256 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)) β†’ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„)
94 r19.26 3111 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 1) ↔ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 1))
9594simplbi 498 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 1) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
9695ad2antll 727 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 1))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
97 breq2 5152 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 1 β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯ ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 1))
9897anbi2d 629 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 1 β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 1)))
9998rexralbidv 3220 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 1 β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 1)))
1003fvexi 6905 . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 ∈ V
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ V)
1024, 101fexd 7231 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
103 eqidd 2733 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
104102, 103clim 15440 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯))))
1056, 104mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯)))
106105simprd 496 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯))
107 1rp 12980 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
108107a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ+)
10999, 106, 108rspcdva 3613 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 1))
11096, 109reximddv 3171 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
1113rexuz3 15297 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚))
1121, 111syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚))
113110, 112mpbird 256 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
114113ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
11593, 114reximddv 3171 . . 3 (((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„)
11660, 115pm2.61dan 811 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„)
11749, 116pm2.61dan 811 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474  ifcif 4528   class class class wbr 5148  dom cdm 5676   β†Ύ cres 5678  Fun wfun 6537  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  1c1 11113  +∞cpnf 11247  -∞cmnf 11248  β„*cxr 11249   < clt 11250   ≀ cle 11251   βˆ’ cmin 11446  β„€cz 12560  β„€β‰₯cuz 12824  β„+crp 12976  abscabs 15183   ⇝ cli 15430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434
This theorem is referenced by:  xlimclim2  44635
  Copyright terms: Public domain W3C validator