Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climxrre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climxrre 44065
Description: If a sequence ranging over the extended reals converges w.r.t. the standard topology on the complex numbers, then there exists an upper set of the integers over which the function is real-valued (the weaker hypothesis 𝐹 ∈ dom ⇝ is probably not enough, since in principle we could have +∞ ∈ β„‚ and -∞ ∈ β„‚). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climxrre.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
climxrre.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
climxrre.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
climxrre.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
climxrre.c (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
climxrre (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝑗,𝐹   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍   πœ‘,𝑗

Proof of Theorem climxrre
Dummy variables π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climxrre.m . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
21ad2antrr 725 . . . 4 (((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 climxrre.z . . . 4 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
4 climxrre.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
54ad2antrr 725 . . . 4 (((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
6 climxrre.c . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
76ad2antrr 725 . . . 4 (((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
8 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) β†’ +∞ ∈ β„‚)
9 climxrre.a . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
109recnd 11190 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
1110adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
128, 11subcld 11519 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) β†’ (+∞ βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚)
13 renepnf 11210 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 𝐴 β‰  +∞)
1413necomd 3000 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ β†’ +∞ β‰  𝐴)
159, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ +∞ β‰  𝐴)
1615adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) β†’ +∞ β‰  𝐴)
178, 11, 16subne0d 11528 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) β†’ (+∞ βˆ’ 𝐴) β‰  0)
1812, 17absrpcld 15340 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ+)
1918adantr 482 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ+)
20 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ -∞ ∈ β„‚)
2110adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2220, 21subcld 11519 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ (-∞ βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚)
239adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
24 renemnf 11211 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 𝐴 β‰  -∞)
2524necomd 3000 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ β†’ -∞ β‰  𝐴)
2623, 25syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ -∞ β‰  𝐴)
2720, 21, 26subne0d 11528 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ (-∞ βˆ’ 𝐴) β‰  0)
2822, 27absrpcld 15340 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ+)
2928adantlr 714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ+)
3019, 29ifcld 4537 . . . 4 (((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ if((absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)) ≀ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)), (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)), (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴))) ∈ ℝ+)
3119rpred 12964 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
3229rpred 12964 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
3331, 32min1d 43781 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ if((absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)) ≀ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)), (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)), (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴))) ≀ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)))
3433adantr 482 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) ∧ -∞ ∈ β„‚) ∧ +∞ ∈ β„‚) β†’ if((absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)) ≀ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)), (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)), (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴))) ≀ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)))
3531, 32min2d 43782 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ if((absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)) ≀ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)), (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)), (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴))) ≀ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)))
3635adantr 482 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) ∧ -∞ ∈ β„‚) ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ if((absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)) ≀ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)), (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)), (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴))) ≀ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)))
372, 3, 5, 7, 30, 34, 36climxrrelem 44064 . . 3 (((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„)
381ad2antrr 725 . . . 4 (((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
394ad2antrr 725 . . . 4 (((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
406ad2antrr 725 . . . 4 (((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
4118adantr 482 . . . 4 (((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ+)
4218rpred 12964 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
4342leidd 11728 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)) ≀ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)))
4443ad2antrr 725 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) ∧ +∞ ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)) ≀ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)))
45 pm2.21 123 . . . . . 6 (Β¬ -∞ ∈ β„‚ β†’ (-∞ ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)) ≀ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴))))
4645imp 408 . . . . 5 ((Β¬ -∞ ∈ β„‚ ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)) ≀ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)))
4746adantll 713 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)) ≀ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)))
4838, 3, 39, 40, 41, 44, 47climxrrelem 44064 . . 3 (((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„)
4937, 48pm2.61dan 812 . 2 ((πœ‘ ∧ +∞ ∈ β„‚) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„)
501ad2antrr 725 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
514ad2antrr 725 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
526ad2antrr 725 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
5328adantlr 714 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ+)
54 pm2.21 123 . . . . . 6 (Β¬ +∞ ∈ β„‚ β†’ (+∞ ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)) ≀ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴))))
5554imp 408 . . . . 5 ((Β¬ +∞ ∈ β„‚ ∧ +∞ ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)) ≀ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)))
5655ad4ant24 753 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) ∧ -∞ ∈ β„‚) ∧ +∞ ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)) ≀ (absβ€˜(+∞ βˆ’ 𝐴)))
5728rpred 12964 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
5857leidd 11728 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)) ≀ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)))
5958ad4ant13 750 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) ∧ -∞ ∈ β„‚) ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)) ≀ (absβ€˜(-∞ βˆ’ 𝐴)))
6050, 3, 51, 52, 53, 56, 59climxrrelem 44064 . . 3 (((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) ∧ -∞ ∈ β„‚) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„)
61 nfv 1918 . . . . . . 7 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚)
62 nfv 1918 . . . . . . . 8 β„²π‘˜ 𝑗 ∈ 𝑍
63 nfra1 3270 . . . . . . . 8 β„²π‘˜βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚
6462, 63nfan 1903 . . . . . . 7 β„²π‘˜(𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
6561, 64nfan 1903 . . . . . 6 β„²π‘˜(((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚))
66 simp-4l 782 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ πœ‘)
673uztrn2 12789 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
6867adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
6968adantll 713 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
70 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
714fdmd 6684 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝑍)
7271adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ dom 𝐹 = 𝑍)
7370, 72eleqtrrd 2841 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘˜ ∈ dom 𝐹)
7466, 69, 73syl2anc 585 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ dom 𝐹)
754ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
7666, 69, 75syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
77 rspa 3234 . . . . . . . . . . 11 ((βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
7877adantll 713 . . . . . . . . . 10 (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
7978adantll 713 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
80 simpllr 775 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ Β¬ -∞ ∈ β„‚)
81 nelne2 3043 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  -∞)
8279, 80, 81syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  -∞)
83 simp-4r 783 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ Β¬ +∞ ∈ β„‚)
84 nelne2 3043 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  +∞)
8579, 83, 84syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  +∞)
8676, 82, 85xrred 43673 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
8774, 86jca 513 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ))
8865, 87ralrimia 3244 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ))
894ffund 6677 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
90 ffvresb 7077 . . . . . . 7 (Fun 𝐹 β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)))
9189, 90syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)))
9291ad3antrrr 729 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)))
9388, 92mpbird 257 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)) β†’ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„)
94 r19.26 3115 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 1) ↔ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 1))
9594simplbi 499 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 1) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
9695ad2antll 728 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 1))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
97 breq2 5114 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 1 β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯ ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 1))
9897anbi2d 630 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 1 β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 1)))
9998rexralbidv 3215 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 1 β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 1)))
1003fvexi 6861 . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 ∈ V
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ V)
1024, 101fexd 7182 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
103 eqidd 2738 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
104102, 103clim 15383 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯))))
1056, 104mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯)))
106105simprd 497 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯))
107 1rp 12926 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
108107a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ+)
10999, 106, 108rspcdva 3585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 1))
11096, 109reximddv 3169 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
1113rexuz3 15240 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚))
1121, 111syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚))
113110, 112mpbird 257 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
114113ad2antrr 725 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
11593, 114reximddv 3169 . . 3 (((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) ∧ Β¬ -∞ ∈ β„‚) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„)
11660, 115pm2.61dan 812 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ +∞ ∈ β„‚) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„)
11749, 116pm2.61dan 812 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448  ifcif 4491   class class class wbr 5110  dom cdm 5638   β†Ύ cres 5640  Fun wfun 6495  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  β„cr 11057  1c1 11059  +∞cpnf 11193  -∞cmnf 11194  β„*cxr 11195   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  β„+crp 12922  abscabs 15126   ⇝ cli 15373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377
This theorem is referenced by:  xlimclim2  44155
  Copyright terms: Public domain W3C validator