Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climxrre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climxrre 43981
Description: If a sequence ranging over the extended reals converges w.r.t. the standard topology on the complex numbers, then there exists an upper set of the integers over which the function is real-valued (the weaker hypothesis 𝐹 ∈ dom ⇝ is probably not enough, since in principle we could have +∞ ∈ ℂ and -∞ ∈ ℂ). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climxrre.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climxrre.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climxrre.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
climxrre.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
climxrre.c (𝜑𝐹𝐴)
Assertion
Ref Expression
climxrre (𝜑 → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝑗,𝐹   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍   𝜑,𝑗

Proof of Theorem climxrre
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climxrre.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
21ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3 climxrre.z . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 climxrre.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
54ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
6 climxrre.c . . . . 5 (𝜑𝐹𝐴)
76ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → 𝐹𝐴)
8 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) → +∞ ∈ ℂ)
9 climxrre.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
109recnd 11183 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1110adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
128, 11subcld 11512 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) → (+∞ − 𝐴) ∈ ℂ)
13 renepnf 11203 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)
1413necomd 2999 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → +∞ ≠ 𝐴)
159, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → +∞ ≠ 𝐴)
1615adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) → +∞ ≠ 𝐴)
178, 11, 16subne0d 11521 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) → (+∞ − 𝐴) ≠ 0)
1812, 17absrpcld 15333 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) → (abs‘(+∞ − 𝐴)) ∈ ℝ+)
1918adantr 481 . . . . 5 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → (abs‘(+∞ − 𝐴)) ∈ ℝ+)
20 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ -∞ ∈ ℂ) → -∞ ∈ ℂ)
2110adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ -∞ ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2220, 21subcld 11512 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ -∞ ∈ ℂ) → (-∞ − 𝐴) ∈ ℂ)
239adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ -∞ ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℝ)
24 renemnf 11204 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
2524necomd 2999 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ ≠ 𝐴)
2623, 25syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ -∞ ∈ ℂ) → -∞ ≠ 𝐴)
2720, 21, 26subne0d 11521 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ -∞ ∈ ℂ) → (-∞ − 𝐴) ≠ 0)
2822, 27absrpcld 15333 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ -∞ ∈ ℂ) → (abs‘(-∞ − 𝐴)) ∈ ℝ+)
2928adantlr 713 . . . . 5 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → (abs‘(-∞ − 𝐴)) ∈ ℝ+)
3019, 29ifcld 4532 . . . 4 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → if((abs‘(+∞ − 𝐴)) ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)), (abs‘(+∞ − 𝐴)), (abs‘(-∞ − 𝐴))) ∈ ℝ+)
3119rpred 12957 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → (abs‘(+∞ − 𝐴)) ∈ ℝ)
3229rpred 12957 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → (abs‘(-∞ − 𝐴)) ∈ ℝ)
3331, 32min1d 43697 . . . . 5 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → if((abs‘(+∞ − 𝐴)) ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)), (abs‘(+∞ − 𝐴)), (abs‘(-∞ − 𝐴))) ≤ (abs‘(+∞ − 𝐴)))
3433adantr 481 . . . 4 ((((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) ∧ +∞ ∈ ℂ) → if((abs‘(+∞ − 𝐴)) ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)), (abs‘(+∞ − 𝐴)), (abs‘(-∞ − 𝐴))) ≤ (abs‘(+∞ − 𝐴)))
3531, 32min2d 43698 . . . . 5 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → if((abs‘(+∞ − 𝐴)) ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)), (abs‘(+∞ − 𝐴)), (abs‘(-∞ − 𝐴))) ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)))
3635adantr 481 . . . 4 ((((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → if((abs‘(+∞ − 𝐴)) ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)), (abs‘(+∞ − 𝐴)), (abs‘(-∞ − 𝐴))) ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)))
372, 3, 5, 7, 30, 34, 36climxrrelem 43980 . . 3 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
381ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℤ)
394ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
406ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → 𝐹𝐴)
4118adantr 481 . . . 4 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → (abs‘(+∞ − 𝐴)) ∈ ℝ+)
4218rpred 12957 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) → (abs‘(+∞ − 𝐴)) ∈ ℝ)
4342leidd 11721 . . . . 5 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) → (abs‘(+∞ − 𝐴)) ≤ (abs‘(+∞ − 𝐴)))
4443ad2antrr 724 . . . 4 ((((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ +∞ ∈ ℂ) → (abs‘(+∞ − 𝐴)) ≤ (abs‘(+∞ − 𝐴)))
45 pm2.21 123 . . . . . 6 (¬ -∞ ∈ ℂ → (-∞ ∈ ℂ → (abs‘(+∞ − 𝐴)) ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴))))
4645imp 407 . . . . 5 ((¬ -∞ ∈ ℂ ∧ -∞ ∈ ℂ) → (abs‘(+∞ − 𝐴)) ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)))
4746adantll 712 . . . 4 ((((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → (abs‘(+∞ − 𝐴)) ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)))
4838, 3, 39, 40, 41, 44, 47climxrrelem 43980 . . 3 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
4937, 48pm2.61dan 811 . 2 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
501ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℤ)
514ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
526ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → 𝐹𝐴)
5328adantlr 713 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → (abs‘(-∞ − 𝐴)) ∈ ℝ+)
54 pm2.21 123 . . . . . 6 (¬ +∞ ∈ ℂ → (+∞ ∈ ℂ → (abs‘(-∞ − 𝐴)) ≤ (abs‘(+∞ − 𝐴))))
5554imp 407 . . . . 5 ((¬ +∞ ∈ ℂ ∧ +∞ ∈ ℂ) → (abs‘(-∞ − 𝐴)) ≤ (abs‘(+∞ − 𝐴)))
5655ad4ant24 752 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) ∧ +∞ ∈ ℂ) → (abs‘(-∞ − 𝐴)) ≤ (abs‘(+∞ − 𝐴)))
5728rpred 12957 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ -∞ ∈ ℂ) → (abs‘(-∞ − 𝐴)) ∈ ℝ)
5857leidd 11721 . . . . 5 ((𝜑 ∧ -∞ ∈ ℂ) → (abs‘(-∞ − 𝐴)) ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)))
5958ad4ant13 749 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → (abs‘(-∞ − 𝐴)) ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)))
6050, 3, 51, 52, 53, 56, 59climxrrelem 43980 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
61 nfv 1917 . . . . . . 7 𝑘((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ)
62 nfv 1917 . . . . . . . 8 𝑘 𝑗𝑍
63 nfra1 3267 . . . . . . . 8 𝑘𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ
6462, 63nfan 1902 . . . . . . 7 𝑘(𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
6561, 64nfan 1902 . . . . . 6 𝑘(((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ))
66 simp-4l 781 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝜑)
673uztrn2 12782 . . . . . . . . . 10 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
6867adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
6968adantll 712 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
70 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
714fdmd 6679 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑍)
7271adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → dom 𝐹 = 𝑍)
7370, 72eleqtrrd 2841 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
7466, 69, 73syl2anc 584 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
754ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
7666, 69, 75syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
77 rspa 3231 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
7877adantll 712 . . . . . . . . . 10 (((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
7978adantll 712 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
80 simpllr 774 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ¬ -∞ ∈ ℂ)
81 nelne2 3042 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → (𝐹𝑘) ≠ -∞)
8279, 80, 81syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ≠ -∞)
83 simp-4r 782 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ¬ +∞ ∈ ℂ)
84 nelne2 3042 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) → (𝐹𝑘) ≠ +∞)
8579, 83, 84syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ≠ +∞)
8676, 82, 85xrred 43589 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
8774, 86jca 512 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ))
8865, 87ralrimia 3241 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ))
894ffund 6672 . . . . . . 7 (𝜑 → Fun 𝐹)
90 ffvresb 7072 . . . . . . 7 (Fun 𝐹 → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)))
9189, 90syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)))
9291ad3antrrr 728 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)))
9388, 92mpbird 256 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
94 r19.26 3114 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 1) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 1))
9594simplbi 498 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 1) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
9695ad2antll 727 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 1))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
97 breq2 5109 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 1))
9897anbi2d 629 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 1 → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 1)))
9998rexralbidv 3214 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 1)))
1003fvexi 6856 . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 ∈ V
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑍 ∈ V)
1024, 101fexd 7177 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ V)
103 eqidd 2737 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
104102, 103clim 15376 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))))
1056, 104mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
106105simprd 496 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
107 1rp 12919 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
108107a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
10999, 106, 108rspcdva 3582 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 1))
11096, 109reximddv 3168 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1113rexuz3 15233 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ))
1121, 111syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ))
113110, 112mpbird 256 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
114113ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
11593, 114reximddv 3168 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
11660, 115pm2.61dan 811 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
11749, 116pm2.61dan 811 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  Vcvv 3445  ifcif 4486   class class class wbr 5105  dom cdm 5633  cres 5635  Fun wfun 6490  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  1c1 11052  +∞cpnf 11186  -∞cmnf 11187  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  cz 12499  cuz 12763  +crp 12915  abscabs 15119  cli 15366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370
This theorem is referenced by:  xlimclim2  44071
  Copyright terms: Public domain W3C validator