Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climxrre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climxrre 45765
Description: If a sequence ranging over the extended reals converges w.r.t. the standard topology on the complex numbers, then there exists an upper set of the integers over which the function is real-valued (the weaker hypothesis 𝐹 ∈ dom ⇝ is probably not enough, since in principle we could have +∞ ∈ ℂ and -∞ ∈ ℂ). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climxrre.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climxrre.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climxrre.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
climxrre.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
climxrre.c (𝜑𝐹𝐴)
Assertion
Ref Expression
climxrre (𝜑 → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝑗,𝐹   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍   𝜑,𝑗

Proof of Theorem climxrre
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climxrre.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
21ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3 climxrre.z . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 climxrre.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
54ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
6 climxrre.c . . . . 5 (𝜑𝐹𝐴)
76ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → 𝐹𝐴)
8 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) → +∞ ∈ ℂ)
9 climxrre.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
109recnd 11289 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1110adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
128, 11subcld 11620 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) → (+∞ − 𝐴) ∈ ℂ)
13 renepnf 11309 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)
1413necomd 2996 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → +∞ ≠ 𝐴)
159, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → +∞ ≠ 𝐴)
1615adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) → +∞ ≠ 𝐴)
178, 11, 16subne0d 11629 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) → (+∞ − 𝐴) ≠ 0)
1812, 17absrpcld 15487 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) → (abs‘(+∞ − 𝐴)) ∈ ℝ+)
1918adantr 480 . . . . 5 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → (abs‘(+∞ − 𝐴)) ∈ ℝ+)
20 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ -∞ ∈ ℂ) → -∞ ∈ ℂ)
2110adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ -∞ ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2220, 21subcld 11620 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ -∞ ∈ ℂ) → (-∞ − 𝐴) ∈ ℂ)
239adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ -∞ ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℝ)
24 renemnf 11310 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
2524necomd 2996 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ ≠ 𝐴)
2623, 25syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ -∞ ∈ ℂ) → -∞ ≠ 𝐴)
2720, 21, 26subne0d 11629 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ -∞ ∈ ℂ) → (-∞ − 𝐴) ≠ 0)
2822, 27absrpcld 15487 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ -∞ ∈ ℂ) → (abs‘(-∞ − 𝐴)) ∈ ℝ+)
2928adantlr 715 . . . . 5 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → (abs‘(-∞ − 𝐴)) ∈ ℝ+)
3019, 29ifcld 4572 . . . 4 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → if((abs‘(+∞ − 𝐴)) ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)), (abs‘(+∞ − 𝐴)), (abs‘(-∞ − 𝐴))) ∈ ℝ+)
3119rpred 13077 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → (abs‘(+∞ − 𝐴)) ∈ ℝ)
3229rpred 13077 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → (abs‘(-∞ − 𝐴)) ∈ ℝ)
3331, 32min1d 45483 . . . . 5 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → if((abs‘(+∞ − 𝐴)) ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)), (abs‘(+∞ − 𝐴)), (abs‘(-∞ − 𝐴))) ≤ (abs‘(+∞ − 𝐴)))
3433adantr 480 . . . 4 ((((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) ∧ +∞ ∈ ℂ) → if((abs‘(+∞ − 𝐴)) ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)), (abs‘(+∞ − 𝐴)), (abs‘(-∞ − 𝐴))) ≤ (abs‘(+∞ − 𝐴)))
3531, 32min2d 45484 . . . . 5 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → if((abs‘(+∞ − 𝐴)) ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)), (abs‘(+∞ − 𝐴)), (abs‘(-∞ − 𝐴))) ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)))
3635adantr 480 . . . 4 ((((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → if((abs‘(+∞ − 𝐴)) ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)), (abs‘(+∞ − 𝐴)), (abs‘(-∞ − 𝐴))) ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)))
372, 3, 5, 7, 30, 34, 36climxrrelem 45764 . . 3 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
381ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℤ)
394ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
406ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → 𝐹𝐴)
4118adantr 480 . . . 4 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → (abs‘(+∞ − 𝐴)) ∈ ℝ+)
4218rpred 13077 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) → (abs‘(+∞ − 𝐴)) ∈ ℝ)
4342leidd 11829 . . . . 5 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) → (abs‘(+∞ − 𝐴)) ≤ (abs‘(+∞ − 𝐴)))
4443ad2antrr 726 . . . 4 ((((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ +∞ ∈ ℂ) → (abs‘(+∞ − 𝐴)) ≤ (abs‘(+∞ − 𝐴)))
45 pm2.21 123 . . . . . 6 (¬ -∞ ∈ ℂ → (-∞ ∈ ℂ → (abs‘(+∞ − 𝐴)) ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴))))
4645imp 406 . . . . 5 ((¬ -∞ ∈ ℂ ∧ -∞ ∈ ℂ) → (abs‘(+∞ − 𝐴)) ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)))
4746adantll 714 . . . 4 ((((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → (abs‘(+∞ − 𝐴)) ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)))
4838, 3, 39, 40, 41, 44, 47climxrrelem 45764 . . 3 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
4937, 48pm2.61dan 813 . 2 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
501ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℤ)
514ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
526ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → 𝐹𝐴)
5328adantlr 715 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → (abs‘(-∞ − 𝐴)) ∈ ℝ+)
54 pm2.21 123 . . . . . 6 (¬ +∞ ∈ ℂ → (+∞ ∈ ℂ → (abs‘(-∞ − 𝐴)) ≤ (abs‘(+∞ − 𝐴))))
5554imp 406 . . . . 5 ((¬ +∞ ∈ ℂ ∧ +∞ ∈ ℂ) → (abs‘(-∞ − 𝐴)) ≤ (abs‘(+∞ − 𝐴)))
5655ad4ant24 754 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) ∧ +∞ ∈ ℂ) → (abs‘(-∞ − 𝐴)) ≤ (abs‘(+∞ − 𝐴)))
5728rpred 13077 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ -∞ ∈ ℂ) → (abs‘(-∞ − 𝐴)) ∈ ℝ)
5857leidd 11829 . . . . 5 ((𝜑 ∧ -∞ ∈ ℂ) → (abs‘(-∞ − 𝐴)) ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)))
5958ad4ant13 751 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → (abs‘(-∞ − 𝐴)) ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)))
6050, 3, 51, 52, 53, 56, 59climxrrelem 45764 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ -∞ ∈ ℂ) → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
61 nfv 1914 . . . . . . 7 𝑘((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ)
62 nfv 1914 . . . . . . . 8 𝑘 𝑗𝑍
63 nfra1 3284 . . . . . . . 8 𝑘𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ
6462, 63nfan 1899 . . . . . . 7 𝑘(𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
6561, 64nfan 1899 . . . . . 6 𝑘(((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ))
66 simp-4l 783 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝜑)
673uztrn2 12897 . . . . . . . . . 10 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
6867adantlr 715 . . . . . . . . 9 (((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
6968adantll 714 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
70 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
714fdmd 6746 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑍)
7271adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → dom 𝐹 = 𝑍)
7370, 72eleqtrrd 2844 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
7466, 69, 73syl2anc 584 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
754ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
7666, 69, 75syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
77 rspa 3248 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
7877adantll 714 . . . . . . . . . 10 (((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
7978adantll 714 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
80 simpllr 776 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ¬ -∞ ∈ ℂ)
81 nelne2 3040 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → (𝐹𝑘) ≠ -∞)
8279, 80, 81syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ≠ -∞)
83 simp-4r 784 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ¬ +∞ ∈ ℂ)
84 nelne2 3040 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) → (𝐹𝑘) ≠ +∞)
8579, 83, 84syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ≠ +∞)
8676, 82, 85xrred 45376 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
8774, 86jca 511 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ))
8865, 87ralrimia 3258 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ))
894ffund 6740 . . . . . . 7 (𝜑 → Fun 𝐹)
90 ffvresb 7145 . . . . . . 7 (Fun 𝐹 → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)))
9189, 90syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)))
9291ad3antrrr 730 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)))
9388, 92mpbird 257 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
94 r19.26 3111 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 1) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 1))
9594simplbi 497 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 1) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
9695ad2antll 729 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 1))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
97 breq2 5147 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 1))
9897anbi2d 630 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 1 → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 1)))
9998rexralbidv 3223 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 1)))
1003fvexi 6920 . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 ∈ V
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑍 ∈ V)
1024, 101fexd 7247 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ V)
103 eqidd 2738 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
104102, 103clim 15530 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))))
1056, 104mpbid 232 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
106105simprd 495 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
107 1rp 13038 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
108107a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
10999, 106, 108rspcdva 3623 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 1))
11096, 109reximddv 3171 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1113rexuz3 15387 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ))
1121, 111syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ))
113110, 112mpbird 257 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
114113ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
11593, 114reximddv 3171 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) ∧ ¬ -∞ ∈ ℂ) → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
11660, 115pm2.61dan 813 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ ℂ) → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
11749, 116pm2.61dan 813 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  ifcif 4525   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  cres 5687  Fun wfun 6555  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  1c1 11156  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  cz 12613  cuz 12878  +crp 13034  abscabs 15273  cli 15520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524
This theorem is referenced by:  xlimclim2  45855
  Copyright terms: Public domain W3C validator