MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpncan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpncan 12460
Description: Extended real version of pncan 10692. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpncan ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝑒𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem xpncan
StepHypRef Expression
1 rexneg 12421 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 = -𝐵)
21adantl 474 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → -𝑒𝐵 = -𝐵)
32oveq2d 6992 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝑒𝐵) = ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝐵))
4 renegcl 10750 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
54ad2antlr 714 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → -𝐵 ∈ ℝ)
6 rexr 10486 . . . . . 6 (-𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ*)
7 renepnf 10488 . . . . . 6 (-𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ≠ +∞)
8 xaddmnf2 12439 . . . . . 6 ((-𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 -𝐵) = -∞)
96, 7, 8syl2anc 576 . . . . 5 (-𝐵 ∈ ℝ → (-∞ +𝑒 -𝐵) = -∞)
105, 9syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (-∞ +𝑒 -𝐵) = -∞)
11 oveq1 6983 . . . . . 6 (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 𝐵))
12 rexr 10486 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
13 renepnf 10488 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≠ +∞)
14 xaddmnf2 12439 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞)
1512, 13, 14syl2anc 576 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞)
1615adantl 474 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞)
1711, 16sylan9eqr 2836 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = -∞)
1817oveq1d 6991 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝐵) = (-∞ +𝑒 -𝐵))
19 simpr 477 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 = -∞)
2010, 18, 193eqtr4d 2824 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝐵) = 𝐴)
21 simpll 754 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
22 simpr 477 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐴 ≠ -∞)
2312ad2antlr 714 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
24 renemnf 10489 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≠ -∞)
2524ad2antlr 714 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐵 ≠ -∞)
264ad2antlr 714 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → -𝐵 ∈ ℝ)
2726, 6syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → -𝐵 ∈ ℝ*)
28 renemnf 10489 . . . . . 6 (-𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ≠ -∞)
2926, 28syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → -𝐵 ≠ -∞)
30 xaddass 12458 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (-𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝐵 ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝐵) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝐵)))
3121, 22, 23, 25, 27, 29, 30syl222anc 1366 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝐵) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝐵)))
32 simplr 756 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
3332, 26rexaddd 12444 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐵 +𝑒 -𝐵) = (𝐵 + -𝐵))
3432recnd 10468 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐵 ∈ ℂ)
3534negidd 10788 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐵 + -𝐵) = 0)
3633, 35eqtrd 2814 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐵 +𝑒 -𝐵) = 0)
3736oveq2d 6992 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝐵)) = (𝐴 +𝑒 0))
38 xaddid1 12451 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
3938ad2antrr 713 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
4037, 39eqtrd 2814 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝐵)) = 𝐴)
4131, 40eqtrd 2814 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝐵) = 𝐴)
4220, 41pm2.61dane 3055 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝐵) = 𝐴)
433, 42eqtrd 2814 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝑒𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2967  (class class class)co 6976  cr 10334  0cc0 10335   + caddc 10338  +∞cpnf 10471  -∞cmnf 10472  *cxr 10473  -cneg 10671  -𝑒cxne 12321   +𝑒 cxad 12322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-id 5312  df-po 5326  df-so 5327  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-sub 10672  df-neg 10673  df-xneg 12324  df-xadd 12325
This theorem is referenced by:  xnpcan  12461  xleadd1  12464  xaddeq0  30236
  Copyright terms: Public domain W3C validator