Theorem xpncan 13405

Description: Extended real version of pncan 11587. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpncan	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +e 𝐵) +e -e𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem xpncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexneg 13365	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -e𝐵 = -𝐵)
2	1	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -e𝐵 = -𝐵)
3	2	oveq2d 7456	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +e 𝐵) +e -e𝐵) = ((𝐴 +e 𝐵) +e -𝐵))
4		renegcl 11645	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
5	4	ad2antlr 740	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → -𝐵 ∈ ℝ)
6		rexr 11379	. . . . . 6 ⊢ ( -𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ*)
7		renepnf 11381	. . . . . 6 ⊢ ( -𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ≠ +∞)
8		xaddmnf2 13383	. . . . . 6 ⊢ (( -𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +e -𝐵) = -∞)
9	6, 7, 8	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ( -𝐵 ∈ ℝ → (-∞ +e -𝐵) = -∞)
10	5, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (-∞ +e -𝐵) = -∞)
11		oveq1 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 +e 𝐵) = (-∞ +e 𝐵))
12		rexr 11379	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
13		renepnf 11381	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≠ +∞)
14		xaddmnf2 13383	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +e 𝐵) = -∞)
15	12, 13, 14	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (-∞ +e 𝐵) = -∞)
16	15	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-∞ +e 𝐵) = -∞)
17	11, 16	sylan9eqr 2820	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +e 𝐵) = -∞)
18	17	oveq1d 7455	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → ((𝐴 +e 𝐵) +e -𝐵) = (-∞ +e -𝐵))
19		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 = -∞)
20	10, 18, 19	3eqtr4d 2808	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → ((𝐴 +e 𝐵) +e -𝐵) = 𝐴)
21		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
22		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐴 ≠ -∞)
23	12	ad2antlr 740	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
24		renemnf 11382	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≠ -∞)
25	24	ad2antlr 740	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐵 ≠ -∞)
26	4	ad2antlr 740	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → -𝐵 ∈ ℝ)
27	26, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → -𝐵 ∈ ℝ*)
28		renemnf 11382	. . . . . 6 ⊢ ( -𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ≠ -∞)
29	26, 28	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → -𝐵 ≠ -∞)
30		xaddass 13403	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ ( -𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝐵 ≠ -∞)) → ((𝐴 +e 𝐵) +e -𝐵) = (𝐴 +e (𝐵 +e -𝐵)))
31	21, 22, 23, 25, 27, 29, 30	syl222anc 1414	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → ((𝐴 +e 𝐵) +e -𝐵) = (𝐴 +e (𝐵 +e -𝐵)))
32		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
33	32, 26	rexaddd 13388	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐵 +e -𝐵) = (𝐵 + -𝐵))
34	32	recnd 11361	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐵 ∈ ℂ)
35	34	negidd 11683	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐵 + -𝐵) = 0)
36	33, 35	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐵 +e -𝐵) = 0)
37	36	oveq2d 7456	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +e (𝐵 +e -𝐵)) = (𝐴 +e 0))
38		xaddrid 13395	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +e 0) = 𝐴)
39	38	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +e 0) = 𝐴)
40	37, 39	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +e (𝐵 +e -𝐵)) = 𝐴)
41	31, 40	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → ((𝐴 +e 𝐵) +e -𝐵) = 𝐴)
42	20, 41	pm2.61dane 3046	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +e 𝐵) +e -𝐵) = 𝐴)
43	3, 42	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +e 𝐵) +e -e𝐵) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  (class class class)co 7440  ℝcr 11223  0cc0 11224   + caddc 11227  +∞cpnf 11364  -∞cmnf 11365  ℝ^*cxr 11366   -cneg 11566   -_ecxne 13262   +_e cxad 13263

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-sub 11567  df-neg 11568  df-xneg 13265  df-xadd 13266

This theorem is used by:  xnpcan  13406  xleadd1  13409  xaddeq0  33412