Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  infleinflem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infleinflem1 41514
Description: Lemma for infleinf 41516, case 𝐵 ≠ ∅ ∧ -∞ < inf(𝐵, ℝ*, < ). (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
infleinflem1.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
infleinflem1.b (𝜑𝐵 ⊆ ℝ*)
infleinflem1.w (𝜑𝑊 ∈ ℝ+)
infleinflem1.x (𝜑𝑋𝐵)
infleinflem1.i (𝜑𝑋 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑊 / 2)))
infleinflem1.z (𝜑𝑍𝐴)
infleinflem1.l (𝜑𝑍 ≤ (𝑋 +𝑒 (𝑊 / 2)))
Assertion
Ref Expression
infleinflem1 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊))

Proof of Theorem infleinflem1
StepHypRef Expression
1 infleinflem1.a . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
2 infxrcl 12714 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
4 id 22 . . 3 (inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
53, 4syl 17 . 2 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
6 infleinflem1.z . . 3 (𝜑𝑍𝐴)
71, 6sseldd 3965 . 2 (𝜑𝑍 ∈ ℝ*)
8 infleinflem1.b . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ*)
9 infxrcl 12714 . . . 4 (𝐵 ⊆ ℝ* → inf(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑 → inf(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11 infleinflem1.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ ℝ+)
12 rpxr 12386 . . . 4 (𝑊 ∈ ℝ+𝑊 ∈ ℝ*)
1311, 12syl 17 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ ℝ*)
1410, 13xaddcld 12682 . 2 (𝜑 → (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊) ∈ ℝ*)
15 infxrlb 12715 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑍𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑍)
161, 6, 15syl2anc 584 . 2 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑍)
17 infleinflem1.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
188sselda 3964 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐵) → 𝑋 ∈ ℝ*)
1917, 18mpdan 683 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
2011rpred 12419 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
2120rehalfcld 11872 . . . . 5 (𝜑 → (𝑊 / 2) ∈ ℝ)
2221rexrd 10679 . . . 4 (𝜑 → (𝑊 / 2) ∈ ℝ*)
2319, 22xaddcld 12682 . . 3 (𝜑 → (𝑋 +𝑒 (𝑊 / 2)) ∈ ℝ*)
24 infleinflem1.l . . 3 (𝜑𝑍 ≤ (𝑋 +𝑒 (𝑊 / 2)))
25 pnfge 12513 . . . . . . 7 ((𝑋 +𝑒 (𝑊 / 2)) ∈ ℝ* → (𝑋 +𝑒 (𝑊 / 2)) ≤ +∞)
2623, 25syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 +𝑒 (𝑊 / 2)) ≤ +∞)
2726adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → (𝑋 +𝑒 (𝑊 / 2)) ≤ +∞)
28 oveq1 7152 . . . . . . 7 (inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞ → (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊) = (+∞ +𝑒 𝑊))
2928adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊) = (+∞ +𝑒 𝑊))
30 rpre 12385 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ ℝ+𝑊 ∈ ℝ)
31 renemnf 10678 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ ℝ → 𝑊 ≠ -∞)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℝ+𝑊 ≠ -∞)
33 xaddpnf2 12608 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℝ*𝑊 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝑊) = +∞)
3412, 32, 33syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ℝ+ → (+∞ +𝑒 𝑊) = +∞)
3511, 34syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (+∞ +𝑒 𝑊) = +∞)
3635adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → (+∞ +𝑒 𝑊) = +∞)
3729, 36eqtr2d 2854 . . . . 5 ((𝜑 ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → +∞ = (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊))
3827, 37breqtrd 5083 . . . 4 ((𝜑 ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → (𝑋 +𝑒 (𝑊 / 2)) ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊))
398, 17sseldd 3965 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
4010, 22xaddcld 12682 . . . . . . 7 (𝜑 → (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑊 / 2)) ∈ ℝ*)
41 rphalfcl 12404 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℝ+ → (𝑊 / 2) ∈ ℝ+)
4211, 41syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑊 / 2) ∈ ℝ+)
4342rpxrd 12420 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑊 / 2) ∈ ℝ*)
44 infleinflem1.i . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑊 / 2)))
4539, 40, 43, 44xleadd1d 41473 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 +𝑒 (𝑊 / 2)) ≤ ((inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑊 / 2)) +𝑒 (𝑊 / 2)))
4645adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → (𝑋 +𝑒 (𝑊 / 2)) ≤ ((inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑊 / 2)) +𝑒 (𝑊 / 2)))
4710adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → inf(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
48 neqne 3021 . . . . . . . 8 (¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞ → inf(𝐵, ℝ*, < ) ≠ +∞)
4948adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → inf(𝐵, ℝ*, < ) ≠ +∞)
5043adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → (𝑊 / 2) ∈ ℝ*)
5111adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → 𝑊 ∈ ℝ+)
52 rpre 12385 . . . . . . . . 9 ((𝑊 / 2) ∈ ℝ+ → (𝑊 / 2) ∈ ℝ)
53 renepnf 10677 . . . . . . . . 9 ((𝑊 / 2) ∈ ℝ → (𝑊 / 2) ≠ +∞)
5441, 52, 533syl 18 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ℝ+ → (𝑊 / 2) ≠ +∞)
5551, 54syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → (𝑊 / 2) ≠ +∞)
56 xaddass2 12631 . . . . . . 7 (((inf(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) ≠ +∞) ∧ ((𝑊 / 2) ∈ ℝ* ∧ (𝑊 / 2) ≠ +∞) ∧ ((𝑊 / 2) ∈ ℝ* ∧ (𝑊 / 2) ≠ +∞)) → ((inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑊 / 2)) +𝑒 (𝑊 / 2)) = (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 ((𝑊 / 2) +𝑒 (𝑊 / 2))))
5747, 49, 50, 55, 50, 55, 56syl222anc 1378 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → ((inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑊 / 2)) +𝑒 (𝑊 / 2)) = (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 ((𝑊 / 2) +𝑒 (𝑊 / 2))))
58 rehalfcl 11851 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ ℝ → (𝑊 / 2) ∈ ℝ)
5958, 58rexaddd 12615 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℝ → ((𝑊 / 2) +𝑒 (𝑊 / 2)) = ((𝑊 / 2) + (𝑊 / 2)))
60 recn 10615 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ ℝ → 𝑊 ∈ ℂ)
61 2halves 11853 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ ℂ → ((𝑊 / 2) + (𝑊 / 2)) = 𝑊)
6260, 61syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℝ → ((𝑊 / 2) + (𝑊 / 2)) = 𝑊)
6359, 62eqtrd 2853 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ℝ → ((𝑊 / 2) +𝑒 (𝑊 / 2)) = 𝑊)
6463oveq2d 7161 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℝ → (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 ((𝑊 / 2) +𝑒 (𝑊 / 2))) = (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊))
6551, 30, 643syl 18 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 ((𝑊 / 2) +𝑒 (𝑊 / 2))) = (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊))
6657, 65eqtrd 2853 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → ((inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑊 / 2)) +𝑒 (𝑊 / 2)) = (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊))
6746, 66breqtrd 5083 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → (𝑋 +𝑒 (𝑊 / 2)) ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊))
6838, 67pm2.61dan 809 . . 3 (𝜑 → (𝑋 +𝑒 (𝑊 / 2)) ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊))
697, 23, 14, 24, 68xrletrd 12543 . 2 (𝜑𝑍 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊))
705, 7, 14, 16, 69xrletrd 12543 1 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wss 3933   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  infcinf 8893  cc 10523  cr 10524   + caddc 10528  +∞cpnf 10660  -∞cmnf 10661  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664   / cdiv 11285  2c2 11680  +crp 12377   +𝑒 cxad 12493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-2 11688  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496
This theorem is referenced by:  infleinf  41516
  Copyright terms: Public domain W3C validator