Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  infleinflem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infleinflem1 43691
Description: Lemma for infleinf 43693, case 𝐵 ≠ ∅ ∧ -∞ < inf(𝐵, ℝ*, < ). (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
infleinflem1.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
infleinflem1.b (𝜑𝐵 ⊆ ℝ*)
infleinflem1.w (𝜑𝑊 ∈ ℝ+)
infleinflem1.x (𝜑𝑋𝐵)
infleinflem1.i (𝜑𝑋 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑊 / 2)))
infleinflem1.z (𝜑𝑍𝐴)
infleinflem1.l (𝜑𝑍 ≤ (𝑋 +𝑒 (𝑊 / 2)))
Assertion
Ref Expression
infleinflem1 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊))

Proof of Theorem infleinflem1
StepHypRef Expression
1 infleinflem1.a . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
2 infxrcl 13258 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
4 id 22 . . 3 (inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
53, 4syl 17 . 2 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
6 infleinflem1.z . . 3 (𝜑𝑍𝐴)
71, 6sseldd 3946 . 2 (𝜑𝑍 ∈ ℝ*)
8 infleinflem1.b . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ*)
9 infxrcl 13258 . . . 4 (𝐵 ⊆ ℝ* → inf(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑 → inf(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11 infleinflem1.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ ℝ+)
12 rpxr 12929 . . . 4 (𝑊 ∈ ℝ+𝑊 ∈ ℝ*)
1311, 12syl 17 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ ℝ*)
1410, 13xaddcld 13226 . 2 (𝜑 → (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊) ∈ ℝ*)
15 infxrlb 13259 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑍𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑍)
161, 6, 15syl2anc 585 . 2 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑍)
17 infleinflem1.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
188sselda 3945 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐵) → 𝑋 ∈ ℝ*)
1917, 18mpdan 686 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
2011rpred 12962 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
2120rehalfcld 12405 . . . . 5 (𝜑 → (𝑊 / 2) ∈ ℝ)
2221rexrd 11210 . . . 4 (𝜑 → (𝑊 / 2) ∈ ℝ*)
2319, 22xaddcld 13226 . . 3 (𝜑 → (𝑋 +𝑒 (𝑊 / 2)) ∈ ℝ*)
24 infleinflem1.l . . 3 (𝜑𝑍 ≤ (𝑋 +𝑒 (𝑊 / 2)))
25 pnfge 13056 . . . . . . 7 ((𝑋 +𝑒 (𝑊 / 2)) ∈ ℝ* → (𝑋 +𝑒 (𝑊 / 2)) ≤ +∞)
2623, 25syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 +𝑒 (𝑊 / 2)) ≤ +∞)
2726adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → (𝑋 +𝑒 (𝑊 / 2)) ≤ +∞)
28 oveq1 7365 . . . . . . 7 (inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞ → (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊) = (+∞ +𝑒 𝑊))
2928adantl 483 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊) = (+∞ +𝑒 𝑊))
30 rpre 12928 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ ℝ+𝑊 ∈ ℝ)
31 renemnf 11209 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ ℝ → 𝑊 ≠ -∞)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℝ+𝑊 ≠ -∞)
33 xaddpnf2 13152 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℝ*𝑊 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝑊) = +∞)
3412, 32, 33syl2anc 585 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ℝ+ → (+∞ +𝑒 𝑊) = +∞)
3511, 34syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (+∞ +𝑒 𝑊) = +∞)
3635adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → (+∞ +𝑒 𝑊) = +∞)
3729, 36eqtr2d 2774 . . . . 5 ((𝜑 ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → +∞ = (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊))
3827, 37breqtrd 5132 . . . 4 ((𝜑 ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → (𝑋 +𝑒 (𝑊 / 2)) ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊))
398, 17sseldd 3946 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
4010, 22xaddcld 13226 . . . . . . 7 (𝜑 → (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑊 / 2)) ∈ ℝ*)
41 rphalfcl 12947 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℝ+ → (𝑊 / 2) ∈ ℝ+)
4211, 41syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑊 / 2) ∈ ℝ+)
4342rpxrd 12963 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑊 / 2) ∈ ℝ*)
44 infleinflem1.i . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑊 / 2)))
4539, 40, 43, 44xleadd1d 43650 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 +𝑒 (𝑊 / 2)) ≤ ((inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑊 / 2)) +𝑒 (𝑊 / 2)))
4645adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → (𝑋 +𝑒 (𝑊 / 2)) ≤ ((inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑊 / 2)) +𝑒 (𝑊 / 2)))
4710adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → inf(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
48 neqne 2948 . . . . . . . 8 (¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞ → inf(𝐵, ℝ*, < ) ≠ +∞)
4948adantl 483 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → inf(𝐵, ℝ*, < ) ≠ +∞)
5043adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → (𝑊 / 2) ∈ ℝ*)
5111adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → 𝑊 ∈ ℝ+)
52 rpre 12928 . . . . . . . . 9 ((𝑊 / 2) ∈ ℝ+ → (𝑊 / 2) ∈ ℝ)
53 renepnf 11208 . . . . . . . . 9 ((𝑊 / 2) ∈ ℝ → (𝑊 / 2) ≠ +∞)
5441, 52, 533syl 18 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ℝ+ → (𝑊 / 2) ≠ +∞)
5551, 54syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → (𝑊 / 2) ≠ +∞)
56 xaddass2 13175 . . . . . . 7 (((inf(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) ≠ +∞) ∧ ((𝑊 / 2) ∈ ℝ* ∧ (𝑊 / 2) ≠ +∞) ∧ ((𝑊 / 2) ∈ ℝ* ∧ (𝑊 / 2) ≠ +∞)) → ((inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑊 / 2)) +𝑒 (𝑊 / 2)) = (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 ((𝑊 / 2) +𝑒 (𝑊 / 2))))
5747, 49, 50, 55, 50, 55, 56syl222anc 1387 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → ((inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑊 / 2)) +𝑒 (𝑊 / 2)) = (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 ((𝑊 / 2) +𝑒 (𝑊 / 2))))
58 rehalfcl 12384 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ ℝ → (𝑊 / 2) ∈ ℝ)
5958, 58rexaddd 13159 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℝ → ((𝑊 / 2) +𝑒 (𝑊 / 2)) = ((𝑊 / 2) + (𝑊 / 2)))
60 recn 11146 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ ℝ → 𝑊 ∈ ℂ)
61 2halves 12386 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ ℂ → ((𝑊 / 2) + (𝑊 / 2)) = 𝑊)
6260, 61syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℝ → ((𝑊 / 2) + (𝑊 / 2)) = 𝑊)
6359, 62eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ℝ → ((𝑊 / 2) +𝑒 (𝑊 / 2)) = 𝑊)
6463oveq2d 7374 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℝ → (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 ((𝑊 / 2) +𝑒 (𝑊 / 2))) = (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊))
6551, 30, 643syl 18 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 ((𝑊 / 2) +𝑒 (𝑊 / 2))) = (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊))
6657, 65eqtrd 2773 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → ((inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑊 / 2)) +𝑒 (𝑊 / 2)) = (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊))
6746, 66breqtrd 5132 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → (𝑋 +𝑒 (𝑊 / 2)) ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊))
6838, 67pm2.61dan 812 . . 3 (𝜑 → (𝑋 +𝑒 (𝑊 / 2)) ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊))
697, 23, 14, 24, 68xrletrd 13087 . 2 (𝜑𝑍 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊))
705, 7, 14, 16, 69xrletrd 13087 1 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  wss 3911   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  infcinf 9382  cc 11054  cr 11055   + caddc 11059  +∞cpnf 11191  -∞cmnf 11192  *cxr 11193   < clt 11194  cle 11195   / cdiv 11817  2c2 12213  +crp 12920   +𝑒 cxad 13036
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-2 12221  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039
This theorem is referenced by:  infleinf  43693
  Copyright terms: Public domain W3C validator