Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  infleinflem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infleinflem1 45381
Description: Lemma for infleinf 45383, case 𝐵 ≠ ∅ ∧ -∞ < inf(𝐵, ℝ*, < ). (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
infleinflem1.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
infleinflem1.b (𝜑𝐵 ⊆ ℝ*)
infleinflem1.w (𝜑𝑊 ∈ ℝ+)
infleinflem1.x (𝜑𝑋𝐵)
infleinflem1.i (𝜑𝑋 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑊 / 2)))
infleinflem1.z (𝜑𝑍𝐴)
infleinflem1.l (𝜑𝑍 ≤ (𝑋 +𝑒 (𝑊 / 2)))
Assertion
Ref Expression
infleinflem1 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊))

Proof of Theorem infleinflem1
StepHypRef Expression
1 infleinflem1.a . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
2 infxrcl 13375 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
4 id 22 . . 3 (inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
53, 4syl 17 . 2 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
6 infleinflem1.z . . 3 (𝜑𝑍𝐴)
71, 6sseldd 3984 . 2 (𝜑𝑍 ∈ ℝ*)
8 infleinflem1.b . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ*)
9 infxrcl 13375 . . . 4 (𝐵 ⊆ ℝ* → inf(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑 → inf(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11 infleinflem1.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ ℝ+)
12 rpxr 13044 . . . 4 (𝑊 ∈ ℝ+𝑊 ∈ ℝ*)
1311, 12syl 17 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ ℝ*)
1410, 13xaddcld 13343 . 2 (𝜑 → (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊) ∈ ℝ*)
15 infxrlb 13376 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑍𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑍)
161, 6, 15syl2anc 584 . 2 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑍)
17 infleinflem1.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
188sselda 3983 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐵) → 𝑋 ∈ ℝ*)
1917, 18mpdan 687 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
2011rpred 13077 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
2120rehalfcld 12513 . . . . 5 (𝜑 → (𝑊 / 2) ∈ ℝ)
2221rexrd 11311 . . . 4 (𝜑 → (𝑊 / 2) ∈ ℝ*)
2319, 22xaddcld 13343 . . 3 (𝜑 → (𝑋 +𝑒 (𝑊 / 2)) ∈ ℝ*)
24 infleinflem1.l . . 3 (𝜑𝑍 ≤ (𝑋 +𝑒 (𝑊 / 2)))
25 pnfge 13172 . . . . . . 7 ((𝑋 +𝑒 (𝑊 / 2)) ∈ ℝ* → (𝑋 +𝑒 (𝑊 / 2)) ≤ +∞)
2623, 25syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 +𝑒 (𝑊 / 2)) ≤ +∞)
2726adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → (𝑋 +𝑒 (𝑊 / 2)) ≤ +∞)
28 oveq1 7438 . . . . . . 7 (inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞ → (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊) = (+∞ +𝑒 𝑊))
2928adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊) = (+∞ +𝑒 𝑊))
30 rpre 13043 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ ℝ+𝑊 ∈ ℝ)
31 renemnf 11310 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ ℝ → 𝑊 ≠ -∞)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℝ+𝑊 ≠ -∞)
33 xaddpnf2 13269 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℝ*𝑊 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝑊) = +∞)
3412, 32, 33syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ℝ+ → (+∞ +𝑒 𝑊) = +∞)
3511, 34syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (+∞ +𝑒 𝑊) = +∞)
3635adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → (+∞ +𝑒 𝑊) = +∞)
3729, 36eqtr2d 2778 . . . . 5 ((𝜑 ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → +∞ = (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊))
3827, 37breqtrd 5169 . . . 4 ((𝜑 ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → (𝑋 +𝑒 (𝑊 / 2)) ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊))
398, 17sseldd 3984 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
4010, 22xaddcld 13343 . . . . . . 7 (𝜑 → (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑊 / 2)) ∈ ℝ*)
41 rphalfcl 13062 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℝ+ → (𝑊 / 2) ∈ ℝ+)
4211, 41syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑊 / 2) ∈ ℝ+)
4342rpxrd 13078 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑊 / 2) ∈ ℝ*)
44 infleinflem1.i . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑊 / 2)))
4539, 40, 43, 44xleadd1d 45340 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 +𝑒 (𝑊 / 2)) ≤ ((inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑊 / 2)) +𝑒 (𝑊 / 2)))
4645adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → (𝑋 +𝑒 (𝑊 / 2)) ≤ ((inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑊 / 2)) +𝑒 (𝑊 / 2)))
4710adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → inf(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
48 neqne 2948 . . . . . . . 8 (¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞ → inf(𝐵, ℝ*, < ) ≠ +∞)
4948adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → inf(𝐵, ℝ*, < ) ≠ +∞)
5043adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → (𝑊 / 2) ∈ ℝ*)
5111adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → 𝑊 ∈ ℝ+)
52 rpre 13043 . . . . . . . 8 ((𝑊 / 2) ∈ ℝ+ → (𝑊 / 2) ∈ ℝ)
53 renepnf 11309 . . . . . . . 8 ((𝑊 / 2) ∈ ℝ → (𝑊 / 2) ≠ +∞)
5451, 41, 52, 534syl 19 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → (𝑊 / 2) ≠ +∞)
55 xaddass2 13292 . . . . . . 7 (((inf(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) ≠ +∞) ∧ ((𝑊 / 2) ∈ ℝ* ∧ (𝑊 / 2) ≠ +∞) ∧ ((𝑊 / 2) ∈ ℝ* ∧ (𝑊 / 2) ≠ +∞)) → ((inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑊 / 2)) +𝑒 (𝑊 / 2)) = (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 ((𝑊 / 2) +𝑒 (𝑊 / 2))))
5647, 49, 50, 54, 50, 54, 55syl222anc 1388 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → ((inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑊 / 2)) +𝑒 (𝑊 / 2)) = (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 ((𝑊 / 2) +𝑒 (𝑊 / 2))))
57 rehalfcl 12492 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ ℝ → (𝑊 / 2) ∈ ℝ)
5857, 57rexaddd 13276 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℝ → ((𝑊 / 2) +𝑒 (𝑊 / 2)) = ((𝑊 / 2) + (𝑊 / 2)))
59 recn 11245 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ ℝ → 𝑊 ∈ ℂ)
60 2halves 12494 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ ℂ → ((𝑊 / 2) + (𝑊 / 2)) = 𝑊)
6159, 60syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℝ → ((𝑊 / 2) + (𝑊 / 2)) = 𝑊)
6258, 61eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ℝ → ((𝑊 / 2) +𝑒 (𝑊 / 2)) = 𝑊)
6362oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℝ → (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 ((𝑊 / 2) +𝑒 (𝑊 / 2))) = (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊))
6451, 30, 633syl 18 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 ((𝑊 / 2) +𝑒 (𝑊 / 2))) = (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊))
6556, 64eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → ((inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑊 / 2)) +𝑒 (𝑊 / 2)) = (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊))
6646, 65breqtrd 5169 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞) → (𝑋 +𝑒 (𝑊 / 2)) ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊))
6738, 66pm2.61dan 813 . . 3 (𝜑 → (𝑋 +𝑒 (𝑊 / 2)) ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊))
687, 23, 14, 24, 67xrletrd 13204 . 2 (𝜑𝑍 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊))
695, 7, 14, 16, 68xrletrd 13204 1 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wss 3951   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  infcinf 9481  cc 11153  cr 11154   + caddc 11158  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296   / cdiv 11920  2c2 12321  +crp 13034   +𝑒 cxad 13152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-2 12329  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155
This theorem is referenced by:  infleinf  45383
  Copyright terms: Public domain W3C validator