MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  renfdisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem renfdisj 10389
Description: The reals and the infinities are disjoint. (Contributed by NM, 25-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
renfdisj (ℝ ∩ {+∞, -∞}) = ∅

Proof of Theorem renfdisj
StepHypRef Expression
1 disj 4213 . 2 ((ℝ ∩ {+∞, -∞}) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ 𝑥 ∈ {+∞, -∞})
2 renepnf 10377 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ≠ +∞)
3 renemnf 10378 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ≠ -∞)
42, 3nelprd 4396 . 2 (𝑥 ∈ ℝ → ¬ 𝑥 ∈ {+∞, -∞})
51, 4mprgbir 3109 1 (ℝ ∩ {+∞, -∞}) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1653  wcel 2157  cin 3769  c0 4116  {cpr 4371  cr 10224  +∞cpnf 10361  -∞cmnf 10362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-resscn 10282
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-op 4376  df-uni 4630  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-id 5221  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-er 7983  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-pnf 10366  df-mnf 10367
This theorem is referenced by:  ssxr  10398
  Copyright terms: Public domain W3C validator