Theorem renfdisj 10690

Description: The reals and the infinities are disjoint. (Contributed by NM, 25-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renfdisj	⊢ (ℝ ∩ {+∞, -∞}) = ∅

Proof of Theorem renfdisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disj 4355	. 2 ⊢ ((ℝ ∩ {+∞, -∞}) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ 𝑥 ∈ {+∞, -∞})
2		renepnf 10678	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ≠ +∞)
3		renemnf 10679	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ≠ -∞)
4	2, 3	nelprd 4556	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ¬ 𝑥 ∈ {+∞, -∞})
5	1, 4	mprgbir 3121	1 ⊢ (ℝ ∩ {+∞, -∞}) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∩ cin 3880  ∅c0 4243  {cpr 4527  ℝcr 10525  +∞cpnf 10661  -∞cmnf 10662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667

This theorem is referenced by:  ssxr  10699