Users' Mathboxes Mathbox for ML < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icorempo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icorempo 36100
Description: Closed-below, open-above intervals of reals. (Contributed by ML, 26-Jul-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
icorempo.1 𝐹 = ([,) ↾ (ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
icorempo 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem icorempo
StepHypRef Expression
1 icorempo.1 . 2 𝐹 = ([,) ↾ (ℝ × ℝ))
2 df-ico 13314 . . . 4 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
32reseq1i 5970 . . 3 ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)}) ↾ (ℝ × ℝ))
4 ressxr 11242 . . . 4 ℝ ⊆ ℝ*
5 resmpo 7513 . . . 4 ((ℝ ⊆ ℝ* ∧ ℝ ⊆ ℝ*) → ((𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)}) ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)}))
64, 4, 5mp2an 690 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)}) ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
73, 6eqtri 2760 . 2 ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
8 nfv 1917 . . . 4 𝑧(𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)
9 nfrab1 3451 . . . 4 𝑧{𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)}
10 nfrab1 3451 . . . 4 𝑧{𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)}
11 rabid 3452 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)} ↔ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)))
12 rexr 11244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
13 nltmnf 13093 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℝ* → ¬ 𝑥 < -∞)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ → ¬ 𝑥 < -∞)
15 renemnf 11247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ≠ -∞)
1615neneqd 2945 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ → ¬ 𝑥 = -∞)
1714, 16jca 512 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ → (¬ 𝑥 < -∞ ∧ ¬ 𝑥 = -∞))
18 pm4.56 987 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((¬ 𝑥 < -∞ ∧ ¬ 𝑥 = -∞) ↔ ¬ (𝑥 < -∞ ∨ 𝑥 = -∞))
1917, 18sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ → ¬ (𝑥 < -∞ ∨ 𝑥 = -∞))
20 mnfxr 11255 . . . . . . . . . . . . . . 15 -∞ ∈ ℝ*
21 xrleloe 13107 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ -∞ ↔ (𝑥 < -∞ ∨ 𝑥 = -∞)))
2212, 20, 21sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ≤ -∞ ↔ (𝑥 < -∞ ∨ 𝑥 = -∞)))
2319, 22mtbird 324 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → ¬ 𝑥 ≤ -∞)
24 breq2 5146 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = -∞ → (𝑥𝑧𝑥 ≤ -∞))
2524notbid 317 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = -∞ → (¬ 𝑥𝑧 ↔ ¬ 𝑥 ≤ -∞))
2623, 25syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑧 = -∞ → ¬ 𝑥𝑧))
2726con2d 134 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥𝑧 → ¬ 𝑧 = -∞))
28 rexr 11244 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
29 pnfnlt 13092 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝑦)
30 breq1 5145 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = +∞ → (𝑧 < 𝑦 ↔ +∞ < 𝑦))
3130notbid 317 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = +∞ → (¬ 𝑧 < 𝑦 ↔ ¬ +∞ < 𝑦))
3229, 31syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑧 = +∞ → ¬ 𝑧 < 𝑦))
3332con2d 134 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑧 < 𝑦 → ¬ 𝑧 = +∞))
3428, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑧 < 𝑦 → ¬ 𝑧 = +∞))
3527, 34im2anan9 620 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥𝑧𝑧 < 𝑦) → (¬ 𝑧 = -∞ ∧ ¬ 𝑧 = +∞)))
3635anim2d 612 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)) → (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (¬ 𝑧 = -∞ ∧ ¬ 𝑧 = +∞))))
37 renepnf 11246 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ≠ +∞)
3837neneqd 2945 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℝ → ¬ 𝑧 = +∞)
3938pm4.71i 560 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑧 = +∞))
40 xrnemnf 13081 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑧 ≠ -∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∨ 𝑧 = +∞))
4140anbi1i 624 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ ℝ*𝑧 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝑧 = +∞) ↔ ((𝑧 ∈ ℝ ∨ 𝑧 = +∞) ∧ ¬ 𝑧 = +∞))
42 df-ne 2941 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ≠ -∞ ↔ ¬ 𝑧 = -∞)
4342anbi2i 623 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑧 ≠ -∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ ¬ 𝑧 = -∞))
4443anbi1i 624 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ ℝ*𝑧 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝑧 = +∞) ↔ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ ¬ 𝑧 = -∞) ∧ ¬ 𝑧 = +∞))
45 pm5.61 999 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ ℝ ∨ 𝑧 = +∞) ∧ ¬ 𝑧 = +∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑧 = +∞))
4641, 44, 453bitr3i 300 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 ∈ ℝ* ∧ ¬ 𝑧 = -∞) ∧ ¬ 𝑧 = +∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑧 = +∞))
47 anass 469 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 ∈ ℝ* ∧ ¬ 𝑧 = -∞) ∧ ¬ 𝑧 = +∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (¬ 𝑧 = -∞ ∧ ¬ 𝑧 = +∞)))
4839, 46, 473bitr2ri 299 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (¬ 𝑧 = -∞ ∧ ¬ 𝑧 = +∞)) ↔ 𝑧 ∈ ℝ)
4936, 48syl6ib 250 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℝ))
5011, 49biimtrid 241 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)} → 𝑧 ∈ ℝ))
5111simprbi 497 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)} → (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦))
5251a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)} → (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)))
5350, 52jcad 513 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)} → (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦))))
54 rabid 3452 . . . . . 6 (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)} ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)))
5553, 54syl6ibr 251 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)} → 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)}))
56 rabss2 4072 . . . . . . 7 (ℝ ⊆ ℝ* → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)} ⊆ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
574, 56ax-mp 5 . . . . . 6 {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)} ⊆ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)}
5857sseli 3975 . . . . 5 (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)} → 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
5955, 58impbid1 224 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)} ↔ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)}))
608, 9, 10, 59eqrd 3998 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)} = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
6160mpoeq3ia 7472 . 2 (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)}) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
621, 7, 613eqtri 2764 1 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  {crab 3432  wss 3945   class class class wbr 5142   × cxp 5668  cres 5672  cmpo 7396  cr 11093  +∞cpnf 11229  -∞cmnf 11230  *cxr 11231   < clt 11232  cle 11233  [,)cico 13310
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-cnex 11150  ax-resscn 11151  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5568  df-po 5582  df-so 5583  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-er 8688  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-xr 11236  df-ltxr 11237  df-le 11238  df-ico 13314
This theorem is referenced by:  icoreresf  36101  icoreval  36102
  Copyright terms: Public domain W3C validator