infleinflem2 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem infleinflem2 45726

Description: Lemma for infleinf 45727, when inf(𝐵, ℝ^*, < ) = -∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
infleinflem2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ^*)
infleinflem2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ^*)
infleinflem2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
infleinflem2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
infleinflem2.t	⊢ (𝜑 → 𝑋 < (𝑅 − 2))
infleinflem2.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐴)
infleinflem2.l	⊢ (𝜑 → 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1))

**Assertion**
Ref	Expression
infleinflem2	⊢ (𝜑 → 𝑍 < 𝑅)

**Proof of Theorem infleinflem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		infleinflem2.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = -∞) → 𝑅 ∈ ℝ)
3		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = -∞) → 𝑍 = -∞)
4		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 = -∞) → 𝑍 = -∞)
5		mnflt 13049	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → -∞ < 𝑅)
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 = -∞) → -∞ < 𝑅)
7	4, 6	eqbrtrd 5122	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 = -∞) → 𝑍 < 𝑅)
8	2, 3, 7	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = -∞) → 𝑍 < 𝑅)
9		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑍 = -∞) → 𝜑)
10		neqne 2941	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑍 = -∞ → 𝑍 ≠ -∞)
11	10	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑍 = -∞) → 𝑍 ≠ -∞)
12	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑅 ∈ ℝ)
13		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
14		infleinflem2.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
15		infleinflem2.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ^*)
16	15	sselda 3935	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ ℝ^*)
17	13, 14, 16	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ^*)
18	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑋 ∈ ℝ^*)
19		infleinflem2.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐴)
20		infleinflem2.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ^*)
21	20	sselda 3935	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) → 𝑍 ∈ ℝ^*)
22	13, 19, 21	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ^*)
23	22	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑍 ∈ ℝ^*)
24		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑍 ≠ -∞)
25		pnfxr 11198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ^*)
27		peano2rem 11460	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅 − 1) ∈ ℝ)
28	27	rexrd 11194	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅 − 1) ∈ ℝ^*)
29	1, 28	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑅 − 1) ∈ ℝ^*)
30	15, 14	sseldd 3936	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ^*)
31		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ^* → 𝑋 ∈ ℝ^*)
32		1xr 11203	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ^*
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ^* → 1 ∈ ℝ^*)
34	31, 33	xaddcld 13228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ^* → (𝑋 +_𝑒 1) ∈ ℝ^*)
35	30, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 +_𝑒 1) ∈ ℝ^*)
36		infleinflem2.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1))
37		infleinflem2.t	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < (𝑅 − 2))
38		oveq1 7375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑋 = -∞ → (𝑋 +_𝑒 1) = (-∞ +_𝑒 1))
39		1re 11144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ∈ ℝ
40		renepnf 11192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 ≠ +∞)
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ≠ +∞
42		xaddmnf2 13156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((1 ∈ ℝ^* ∧ 1 ≠ +∞) → (-∞ +_𝑒 1) = -∞)
43	32, 41, 42	mp2an 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (-∞ +_𝑒 1) = -∞
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑋 = -∞ → (-∞ +_𝑒 1) = -∞)
45	38, 44	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑋 = -∞ → (𝑋 +_𝑒 1) = -∞)
46	45	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → (𝑋 +_𝑒 1) = -∞)
47	27	mnfltd 13050	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → -∞ < (𝑅 − 1))
48	47	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → -∞ < (𝑅 − 1))
49	46, 48	eqbrtrd 5122	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → (𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1))
50	49	adantlr 716	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^*) ∧ 𝑋 = -∞) → (𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1))
51	50	3adantl3 1170	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑋 = -∞) → (𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1))
52		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ ¬ 𝑋 = -∞) → (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)))
53		simpl2 1194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ ¬ 𝑋 = -∞) → 𝑋 ∈ ℝ^*)
54		neqne 2941	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑋 = -∞ → 𝑋 ≠ -∞)
55	54	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ ¬ 𝑋 = -∞) → 𝑋 ≠ -∞)
56		simp2 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → 𝑋 ∈ ℝ^*)
57	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → +∞ ∈ ℝ^*)
58		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℝ)
59		2re 12231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ∈ ℝ
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → 2 ∈ ℝ)
61	58, 60	resubcld 11577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅 − 2) ∈ ℝ)
62	61	rexrd 11194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅 − 2) ∈ ℝ^*)
63	62	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → (𝑅 − 2) ∈ ℝ^*)
64		simp3 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → 𝑋 < (𝑅 − 2))
65	61	ltpnfd 13047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅 − 2) < +∞)
66	65	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → (𝑅 − 2) < +∞)
67	56, 63, 57, 64, 66	xrlttrd 13085	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → 𝑋 < +∞)
68	56, 57, 67	xrltned 45713	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → 𝑋 ≠ +∞)
69	68	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ ¬ 𝑋 = -∞) → 𝑋 ≠ +∞)
70	53, 55, 69	xrred 45720	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ ¬ 𝑋 = -∞) → 𝑋 ∈ ℝ)
71		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → 𝑋 ∈ ℝ)
72	71	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → 𝑋 ∈ ℝ)
73	61	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → (𝑅 − 2) ∈ ℝ)
74		1red 11145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
75	72, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → 1 ∈ ℝ)
76		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → 𝑋 < (𝑅 − 2))
77	72, 73, 75, 76	ltadd1dd 11760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → (𝑋 + 1) < ((𝑅 − 2) + 1))
78		recn 11128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℂ)
79		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑅 ∈ ℂ → 𝑅 ∈ ℂ)
80		2cnd 12235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑅 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
81		1cnd 11139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑅 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
82	79, 80, 81	subsubd 11532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑅 ∈ ℂ → (𝑅 − (2 − 1)) = ((𝑅 − 2) + 1))
83		2m1e1 12278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (2 − 1) = 1
84	83	oveq2i 7379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑅 − (2 − 1)) = (𝑅 − 1)
85	84	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑅 ∈ ℂ → (𝑅 − (2 − 1)) = (𝑅 − 1))
86	82, 85	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑅 ∈ ℂ → ((𝑅 − 2) + 1) = (𝑅 − 1))
87	78, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → ((𝑅 − 2) + 1) = (𝑅 − 1))
88	87	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → ((𝑅 − 2) + 1) = (𝑅 − 1))
89	77, 88	breqtrd 5126	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → (𝑋 + 1) < (𝑅 − 1))
90	71, 74	rexaddd 13161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 +_𝑒 1) = (𝑋 + 1))
91	90	breq1d 5110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → ((𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1) ↔ (𝑋 + 1) < (𝑅 − 1)))
92	91	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → ((𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1) ↔ (𝑋 + 1) < (𝑅 − 1)))
93	89, 92	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → (𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1))
94	93	an32s 653	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1))
95	94	3adantl2 1169	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1))
96	52, 70, 95	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ ¬ 𝑋 = -∞) → (𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1))
97	51, 96	pm2.61dan 813	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → (𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1))
98	1, 30, 37, 97	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1))
99	22, 35, 29, 36, 98	xrlelttrd 13086	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑍 < (𝑅 − 1))
100	27	ltpnfd 13047	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅 − 1) < +∞)
101	1, 100	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑅 − 1) < +∞)
102	22, 29, 26, 99, 101	xrlttrd 13085	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 < +∞)
103	22, 26, 102	xrltned 45713	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ +∞)
104	103	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑍 ≠ +∞)
105	23, 24, 104	xrred 45720	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑍 ∈ ℝ)
106	36	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1))
107		simpl3 1195	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) ∧ 𝑋 = -∞) → 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1))
108	45	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → (𝑋 +_𝑒 1) = -∞)
109		mnflt 13049	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → -∞ < 𝑍)
110	109	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → -∞ < 𝑍)
111	108, 110	eqbrtrd 5122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → (𝑋 +_𝑒 1) < 𝑍)
112		mnfxr 11201	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -∞ ∈ ℝ^*
113	108, 112	eqeltrdi 2845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → (𝑋 +_𝑒 1) ∈ ℝ^*)
114		rexr 11190	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → 𝑍 ∈ ℝ^*)
115	114	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → 𝑍 ∈ ℝ^*)
116	113, 115	xrltnled 11212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → ((𝑋 +_𝑒 1) < 𝑍 ↔ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)))
117	111, 116	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → ¬ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1))
118	117	3ad2antl1 1187	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) ∧ 𝑋 = -∞) → ¬ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1))
119	107, 118	pm2.65da 817	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) → ¬ 𝑋 = -∞)
120	119	neqned 2940	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) → 𝑋 ≠ -∞)
121	105, 18, 106, 120	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑋 ≠ -∞)
122	1, 17, 37, 68	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ +∞)
123	122	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑋 ≠ +∞)
124	18, 121, 123	xrred 45720	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑋 ∈ ℝ)
125	37	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑋 < (𝑅 − 2))
126	12, 124, 125	jca31 514	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)))
127		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) → 𝑍 ∈ ℝ)
128		simp-4r 784	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) → 𝑋 ∈ ℝ)
129	71, 74	readdcld 11173	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
130	90, 129	eqeltrd 2837	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 +_𝑒 1) ∈ ℝ)
131	128, 130	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) → (𝑋 +_𝑒 1) ∈ ℝ)
132	58	ad4antr 733	. . . . 5 ⊢ (((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) → 𝑅 ∈ ℝ)
133		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) → 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1))
134	130	ad3antlr 732	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → (𝑋 +_𝑒 1) ∈ ℝ)
135	27	ad3antrrr 731	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → (𝑅 − 1) ∈ ℝ)
136	58	ad3antrrr 731	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
137	93	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → (𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1))
138	136	ltm1d 12086	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → (𝑅 − 1) < 𝑅)
139	134, 135, 136, 137, 138	lttrd 11306	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → (𝑋 +_𝑒 1) < 𝑅)
140	139	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) → (𝑋 +_𝑒 1) < 𝑅)
141	127, 131, 132, 133, 140	lelttrd 11303	. . . 4 ⊢ (((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) → 𝑍 < 𝑅)
142	126, 105, 106, 141	syl21anc 838	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑍 < 𝑅)
143	9, 11, 142	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑍 = -∞) → 𝑍 < 𝑅)
144	8, 143	pm2.61dan 813	1 ⊢ (𝜑 → 𝑍 < 𝑅)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1087 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ≠ wne 2933 ⊆ wss 3903 class class class wbr 5100 (class class class)co 7368 ℂcc 11036 ℝcr 11037 1c1 11039 + caddc 11041 +∞cpnf 11175 -∞cmnf 11176 ℝ^*cxr 11177 < clt 11178 ≤ cle 11179 − cmin 11376 2c2 12212 +_𝑒 cxad 13036

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2709 ax-sep 5243 ax-nul 5253 ax-pow 5312 ax-pr 5379 ax-un 7690 ax-cnex 11094 ax-resscn 11095 ax-1cn 11096 ax-icn 11097 ax-addcl 11098 ax-addrcl 11099 ax-mulcl 11100 ax-mulrcl 11101 ax-mulcom 11102 ax-addass 11103 ax-mulass 11104 ax-distr 11105 ax-i2m1 11106 ax-1ne0 11107 ax-1rid 11108 ax-rnegex 11109 ax-rrecex 11110 ax-cnre 11111 ax-pre-lttri 11112 ax-pre-lttrn 11113 ax-pre-ltadd 11114 ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2570 df-clab 2716 df-cleq 2729 df-clel 2812 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3063 df-reu 3353 df-rab 3402 df-v 3444 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-dif 3906 df-un 3908 df-in 3910 df-ss 3920 df-nul 4288 df-if 4482 df-pw 4558 df-sn 4583 df-pr 4585 df-op 4589 df-uni 4866 df-iun 4950 df-br 5101 df-opab 5163 df-mpt 5182 df-id 5527 df-po 5540 df-so 5541 df-xp 5638 df-rel 5639 df-cnv 5640 df-co 5641 df-dm 5642 df-rn 5643 df-res 5644 df-ima 5645 df-iota 6456 df-fun 6502 df-fn 6503 df-f 6504 df-f1 6505 df-fo 6506 df-f1o 6507 df-fv 6508 df-riota 7325 df-ov 7371 df-oprab 7372 df-mpo 7373 df-1st 7943 df-2nd 7944 df-er 8645 df-en 8896 df-dom 8897 df-sdom 8898 df-pnf 11180 df-mnf 11181 df-xr 11182 df-ltxr 11183 df-le 11184 df-sub 11378 df-neg 11379 df-2 12220 df-xadd 13039

This theorem is referenced by: infleinf 45727

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