infleinflem2 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem infleinflem2 45382

Description: Lemma for infleinf 45383, when inf(𝐵, ℝ^*, < ) = -∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
infleinflem2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ^*)
infleinflem2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ^*)
infleinflem2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
infleinflem2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
infleinflem2.t	⊢ (𝜑 → 𝑋 < (𝑅 − 2))
infleinflem2.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐴)
infleinflem2.l	⊢ (𝜑 → 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1))

**Assertion**
Ref	Expression
infleinflem2	⊢ (𝜑 → 𝑍 < 𝑅)

**Proof of Theorem infleinflem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		infleinflem2.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = -∞) → 𝑅 ∈ ℝ)
3		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = -∞) → 𝑍 = -∞)
4		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 = -∞) → 𝑍 = -∞)
5		mnflt 13165	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → -∞ < 𝑅)
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 = -∞) → -∞ < 𝑅)
7	4, 6	eqbrtrd 5165	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 = -∞) → 𝑍 < 𝑅)
8	2, 3, 7	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = -∞) → 𝑍 < 𝑅)
9		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑍 = -∞) → 𝜑)
10		neqne 2948	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑍 = -∞ → 𝑍 ≠ -∞)
11	10	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑍 = -∞) → 𝑍 ≠ -∞)
12	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑅 ∈ ℝ)
13		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
14		infleinflem2.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
15		infleinflem2.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ^*)
16	15	sselda 3983	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ ℝ^*)
17	13, 14, 16	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ^*)
18	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑋 ∈ ℝ^*)
19		infleinflem2.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐴)
20		infleinflem2.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ^*)
21	20	sselda 3983	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) → 𝑍 ∈ ℝ^*)
22	13, 19, 21	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ^*)
23	22	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑍 ∈ ℝ^*)
24		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑍 ≠ -∞)
25		pnfxr 11315	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ^*)
27		peano2rem 11576	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅 − 1) ∈ ℝ)
28	27	rexrd 11311	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅 − 1) ∈ ℝ^*)
29	1, 28	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑅 − 1) ∈ ℝ^*)
30	15, 14	sseldd 3984	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ^*)
31		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ^* → 𝑋 ∈ ℝ^*)
32		1xr 11320	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ^*
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ^* → 1 ∈ ℝ^*)
34	31, 33	xaddcld 13343	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ^* → (𝑋 +_𝑒 1) ∈ ℝ^*)
35	30, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 +_𝑒 1) ∈ ℝ^*)
36		infleinflem2.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1))
37		infleinflem2.t	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < (𝑅 − 2))
38		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑋 = -∞ → (𝑋 +_𝑒 1) = (-∞ +_𝑒 1))
39		1re 11261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ∈ ℝ
40		renepnf 11309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 ≠ +∞)
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ≠ +∞
42		xaddmnf2 13271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((1 ∈ ℝ^* ∧ 1 ≠ +∞) → (-∞ +_𝑒 1) = -∞)
43	32, 41, 42	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (-∞ +_𝑒 1) = -∞
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑋 = -∞ → (-∞ +_𝑒 1) = -∞)
45	38, 44	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑋 = -∞ → (𝑋 +_𝑒 1) = -∞)
46	45	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → (𝑋 +_𝑒 1) = -∞)
47	27	mnfltd 13166	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → -∞ < (𝑅 − 1))
48	47	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → -∞ < (𝑅 − 1))
49	46, 48	eqbrtrd 5165	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → (𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1))
50	49	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^*) ∧ 𝑋 = -∞) → (𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1))
51	50	3adantl3 1169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑋 = -∞) → (𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1))
52		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ ¬ 𝑋 = -∞) → (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)))
53		simpl2 1193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ ¬ 𝑋 = -∞) → 𝑋 ∈ ℝ^*)
54		neqne 2948	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑋 = -∞ → 𝑋 ≠ -∞)
55	54	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ ¬ 𝑋 = -∞) → 𝑋 ≠ -∞)
56		simp2 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → 𝑋 ∈ ℝ^*)
57	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → +∞ ∈ ℝ^*)
58		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℝ)
59		2re 12340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ∈ ℝ
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → 2 ∈ ℝ)
61	58, 60	resubcld 11691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅 − 2) ∈ ℝ)
62	61	rexrd 11311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅 − 2) ∈ ℝ^*)
63	62	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → (𝑅 − 2) ∈ ℝ^*)
64		simp3 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → 𝑋 < (𝑅 − 2))
65	61	ltpnfd 13163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅 − 2) < +∞)
66	65	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → (𝑅 − 2) < +∞)
67	56, 63, 57, 64, 66	xrlttrd 13201	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → 𝑋 < +∞)
68	56, 57, 67	xrltned 45368	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → 𝑋 ≠ +∞)
69	68	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ ¬ 𝑋 = -∞) → 𝑋 ≠ +∞)
70	53, 55, 69	xrred 45376	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ ¬ 𝑋 = -∞) → 𝑋 ∈ ℝ)
71		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → 𝑋 ∈ ℝ)
72	71	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → 𝑋 ∈ ℝ)
73	61	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → (𝑅 − 2) ∈ ℝ)
74		1red 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
75	72, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → 1 ∈ ℝ)
76		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → 𝑋 < (𝑅 − 2))
77	72, 73, 75, 76	ltadd1dd 11874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → (𝑋 + 1) < ((𝑅 − 2) + 1))
78		recn 11245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℂ)
79		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑅 ∈ ℂ → 𝑅 ∈ ℂ)
80		2cnd 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑅 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
81		1cnd 11256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑅 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
82	79, 80, 81	subsubd 11648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑅 ∈ ℂ → (𝑅 − (2 − 1)) = ((𝑅 − 2) + 1))
83		2m1e1 12392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (2 − 1) = 1
84	83	oveq2i 7442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑅 − (2 − 1)) = (𝑅 − 1)
85	84	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑅 ∈ ℂ → (𝑅 − (2 − 1)) = (𝑅 − 1))
86	82, 85	eqtr3d 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑅 ∈ ℂ → ((𝑅 − 2) + 1) = (𝑅 − 1))
87	78, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → ((𝑅 − 2) + 1) = (𝑅 − 1))
88	87	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → ((𝑅 − 2) + 1) = (𝑅 − 1))
89	77, 88	breqtrd 5169	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → (𝑋 + 1) < (𝑅 − 1))
90	71, 74	rexaddd 13276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 +_𝑒 1) = (𝑋 + 1))
91	90	breq1d 5153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → ((𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1) ↔ (𝑋 + 1) < (𝑅 − 1)))
92	91	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → ((𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1) ↔ (𝑋 + 1) < (𝑅 − 1)))
93	89, 92	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → (𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1))
94	93	an32s 652	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1))
95	94	3adantl2 1168	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1))
96	52, 70, 95	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ ¬ 𝑋 = -∞) → (𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1))
97	51, 96	pm2.61dan 813	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → (𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1))
98	1, 30, 37, 97	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1))
99	22, 35, 29, 36, 98	xrlelttrd 13202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑍 < (𝑅 − 1))
100	27	ltpnfd 13163	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅 − 1) < +∞)
101	1, 100	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑅 − 1) < +∞)
102	22, 29, 26, 99, 101	xrlttrd 13201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 < +∞)
103	22, 26, 102	xrltned 45368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ +∞)
104	103	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑍 ≠ +∞)
105	23, 24, 104	xrred 45376	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑍 ∈ ℝ)
106	36	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1))
107		simpl3 1194	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) ∧ 𝑋 = -∞) → 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1))
108	45	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → (𝑋 +_𝑒 1) = -∞)
109		mnflt 13165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → -∞ < 𝑍)
110	109	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → -∞ < 𝑍)
111	108, 110	eqbrtrd 5165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → (𝑋 +_𝑒 1) < 𝑍)
112		mnfxr 11318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -∞ ∈ ℝ^*
113	108, 112	eqeltrdi 2849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → (𝑋 +_𝑒 1) ∈ ℝ^*)
114		rexr 11307	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → 𝑍 ∈ ℝ^*)
115	114	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → 𝑍 ∈ ℝ^*)
116	113, 115	xrltnled 45374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → ((𝑋 +_𝑒 1) < 𝑍 ↔ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)))
117	111, 116	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → ¬ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1))
118	117	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) ∧ 𝑋 = -∞) → ¬ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1))
119	107, 118	pm2.65da 817	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) → ¬ 𝑋 = -∞)
120	119	neqned 2947	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) → 𝑋 ≠ -∞)
121	105, 18, 106, 120	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑋 ≠ -∞)
122	1, 17, 37, 68	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ +∞)
123	122	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑋 ≠ +∞)
124	18, 121, 123	xrred 45376	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑋 ∈ ℝ)
125	37	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑋 < (𝑅 − 2))
126	12, 124, 125	jca31 514	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)))
127		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) → 𝑍 ∈ ℝ)
128		simp-4r 784	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) → 𝑋 ∈ ℝ)
129	71, 74	readdcld 11290	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
130	90, 129	eqeltrd 2841	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 +_𝑒 1) ∈ ℝ)
131	128, 130	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) → (𝑋 +_𝑒 1) ∈ ℝ)
132	58	ad4antr 732	. . . . 5 ⊢ (((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) → 𝑅 ∈ ℝ)
133		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) → 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1))
134	130	ad3antlr 731	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → (𝑋 +_𝑒 1) ∈ ℝ)
135	27	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → (𝑅 − 1) ∈ ℝ)
136	58	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
137	93	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → (𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1))
138	136	ltm1d 12200	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → (𝑅 − 1) < 𝑅)
139	134, 135, 136, 137, 138	lttrd 11422	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → (𝑋 +_𝑒 1) < 𝑅)
140	139	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) → (𝑋 +_𝑒 1) < 𝑅)
141	127, 131, 132, 133, 140	lelttrd 11419	. . . 4 ⊢ (((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) → 𝑍 < 𝑅)
142	126, 105, 106, 141	syl21anc 838	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑍 < 𝑅)
143	9, 11, 142	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑍 = -∞) → 𝑍 < 𝑅)
144	8, 143	pm2.61dan 813	1 ⊢ (𝜑 → 𝑍 < 𝑅)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1087 = wceq 1540 ∈ wcel 2108 ≠ wne 2940 ⊆ wss 3951 class class class wbr 5143 (class class class)co 7431 ℂcc 11153 ℝcr 11154 1c1 11156 + caddc 11158 +∞cpnf 11292 -∞cmnf 11293 ℝ^*cxr 11294 < clt 11295 ≤ cle 11296 − cmin 11492 2c2 12321 +_𝑒 cxad 13152

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2157 ax-12 2177 ax-ext 2708 ax-sep 5296 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5432 ax-un 7755 ax-cnex 11211 ax-resscn 11212 ax-1cn 11213 ax-icn 11214 ax-addcl 11215 ax-addrcl 11216 ax-mulcl 11217 ax-mulrcl 11218 ax-mulcom 11219 ax-addass 11220 ax-mulass 11221 ax-distr 11222 ax-i2m1 11223 ax-1ne0 11224 ax-1rid 11225 ax-rnegex 11226 ax-rrecex 11227 ax-cnre 11228 ax-pre-lttri 11229 ax-pre-lttrn 11230 ax-pre-ltadd 11231 ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2065 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2816 df-nfc 2892 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3381 df-rab 3437 df-v 3482 df-sbc 3789 df-csb 3900 df-dif 3954 df-un 3956 df-in 3958 df-ss 3968 df-nul 4334 df-if 4526 df-pw 4602 df-sn 4627 df-pr 4629 df-op 4633 df-uni 4908 df-iun 4993 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5226 df-id 5578 df-po 5592 df-so 5593 df-xp 5691 df-rel 5692 df-cnv 5693 df-co 5694 df-dm 5695 df-rn 5696 df-res 5697 df-ima 5698 df-iota 6514 df-fun 6563 df-fn 6564 df-f 6565 df-f1 6566 df-fo 6567 df-f1o 6568 df-fv 6569 df-riota 7388 df-ov 7434 df-oprab 7435 df-mpo 7436 df-1st 8014 df-2nd 8015 df-er 8745 df-en 8986 df-dom 8987 df-sdom 8988 df-pnf 11297 df-mnf 11298 df-xr 11299 df-ltxr 11300 df-le 11301 df-sub 11494 df-neg 11495 df-2 12329 df-xadd 13155

This theorem is referenced by: infleinf 45383

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