infleinflem2 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem infleinflem2 45374

Description: Lemma for infleinf 45375, when inf(𝐵, ℝ^*, < ) = -∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
infleinflem2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ^*)
infleinflem2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ^*)
infleinflem2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
infleinflem2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
infleinflem2.t	⊢ (𝜑 → 𝑋 < (𝑅 − 2))
infleinflem2.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐴)
infleinflem2.l	⊢ (𝜑 → 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1))

**Assertion**
Ref	Expression
infleinflem2	⊢ (𝜑 → 𝑍 < 𝑅)

**Proof of Theorem infleinflem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		infleinflem2.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = -∞) → 𝑅 ∈ ℝ)
3		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = -∞) → 𝑍 = -∞)
4		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 = -∞) → 𝑍 = -∞)
5		mnflt 13090	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → -∞ < 𝑅)
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 = -∞) → -∞ < 𝑅)
7	4, 6	eqbrtrd 5132	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 = -∞) → 𝑍 < 𝑅)
8	2, 3, 7	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = -∞) → 𝑍 < 𝑅)
9		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑍 = -∞) → 𝜑)
10		neqne 2934	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑍 = -∞ → 𝑍 ≠ -∞)
11	10	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑍 = -∞) → 𝑍 ≠ -∞)
12	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑅 ∈ ℝ)
13		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
14		infleinflem2.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
15		infleinflem2.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ^*)
16	15	sselda 3949	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ ℝ^*)
17	13, 14, 16	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ^*)
18	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑋 ∈ ℝ^*)
19		infleinflem2.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐴)
20		infleinflem2.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ^*)
21	20	sselda 3949	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) → 𝑍 ∈ ℝ^*)
22	13, 19, 21	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ^*)
23	22	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑍 ∈ ℝ^*)
24		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑍 ≠ -∞)
25		pnfxr 11235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ^*)
27		peano2rem 11496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅 − 1) ∈ ℝ)
28	27	rexrd 11231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅 − 1) ∈ ℝ^*)
29	1, 28	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑅 − 1) ∈ ℝ^*)
30	15, 14	sseldd 3950	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ^*)
31		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ^* → 𝑋 ∈ ℝ^*)
32		1xr 11240	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ^*
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ^* → 1 ∈ ℝ^*)
34	31, 33	xaddcld 13268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ^* → (𝑋 +_𝑒 1) ∈ ℝ^*)
35	30, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 +_𝑒 1) ∈ ℝ^*)
36		infleinflem2.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1))
37		infleinflem2.t	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < (𝑅 − 2))
38		oveq1 7397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑋 = -∞ → (𝑋 +_𝑒 1) = (-∞ +_𝑒 1))
39		1re 11181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ∈ ℝ
40		renepnf 11229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 ≠ +∞)
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ≠ +∞
42		xaddmnf2 13196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((1 ∈ ℝ^* ∧ 1 ≠ +∞) → (-∞ +_𝑒 1) = -∞)
43	32, 41, 42	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (-∞ +_𝑒 1) = -∞
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑋 = -∞ → (-∞ +_𝑒 1) = -∞)
45	38, 44	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑋 = -∞ → (𝑋 +_𝑒 1) = -∞)
46	45	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → (𝑋 +_𝑒 1) = -∞)
47	27	mnfltd 13091	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → -∞ < (𝑅 − 1))
48	47	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → -∞ < (𝑅 − 1))
49	46, 48	eqbrtrd 5132	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → (𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1))
50	49	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^*) ∧ 𝑋 = -∞) → (𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1))
51	50	3adantl3 1169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑋 = -∞) → (𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1))
52		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ ¬ 𝑋 = -∞) → (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)))
53		simpl2 1193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ ¬ 𝑋 = -∞) → 𝑋 ∈ ℝ^*)
54		neqne 2934	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑋 = -∞ → 𝑋 ≠ -∞)
55	54	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ ¬ 𝑋 = -∞) → 𝑋 ≠ -∞)
56		simp2 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → 𝑋 ∈ ℝ^*)
57	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → +∞ ∈ ℝ^*)
58		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℝ)
59		2re 12267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ∈ ℝ
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → 2 ∈ ℝ)
61	58, 60	resubcld 11613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅 − 2) ∈ ℝ)
62	61	rexrd 11231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅 − 2) ∈ ℝ^*)
63	62	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → (𝑅 − 2) ∈ ℝ^*)
64		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → 𝑋 < (𝑅 − 2))
65	61	ltpnfd 13088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅 − 2) < +∞)
66	65	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → (𝑅 − 2) < +∞)
67	56, 63, 57, 64, 66	xrlttrd 13126	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → 𝑋 < +∞)
68	56, 57, 67	xrltned 45360	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → 𝑋 ≠ +∞)
69	68	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ ¬ 𝑋 = -∞) → 𝑋 ≠ +∞)
70	53, 55, 69	xrred 45368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ ¬ 𝑋 = -∞) → 𝑋 ∈ ℝ)
71		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → 𝑋 ∈ ℝ)
72	71	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → 𝑋 ∈ ℝ)
73	61	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → (𝑅 − 2) ∈ ℝ)
74		1red 11182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
75	72, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → 1 ∈ ℝ)
76		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → 𝑋 < (𝑅 − 2))
77	72, 73, 75, 76	ltadd1dd 11796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → (𝑋 + 1) < ((𝑅 − 2) + 1))
78		recn 11165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℂ)
79		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑅 ∈ ℂ → 𝑅 ∈ ℂ)
80		2cnd 12271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑅 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
81		1cnd 11176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑅 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
82	79, 80, 81	subsubd 11568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑅 ∈ ℂ → (𝑅 − (2 − 1)) = ((𝑅 − 2) + 1))
83		2m1e1 12314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (2 − 1) = 1
84	83	oveq2i 7401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑅 − (2 − 1)) = (𝑅 − 1)
85	84	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑅 ∈ ℂ → (𝑅 − (2 − 1)) = (𝑅 − 1))
86	82, 85	eqtr3d 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑅 ∈ ℂ → ((𝑅 − 2) + 1) = (𝑅 − 1))
87	78, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → ((𝑅 − 2) + 1) = (𝑅 − 1))
88	87	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → ((𝑅 − 2) + 1) = (𝑅 − 1))
89	77, 88	breqtrd 5136	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → (𝑋 + 1) < (𝑅 − 1))
90	71, 74	rexaddd 13201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 +_𝑒 1) = (𝑋 + 1))
91	90	breq1d 5120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → ((𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1) ↔ (𝑋 + 1) < (𝑅 − 1)))
92	91	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → ((𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1) ↔ (𝑋 + 1) < (𝑅 − 1)))
93	89, 92	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → (𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1))
94	93	an32s 652	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1))
95	94	3adantl2 1168	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1))
96	52, 70, 95	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ ¬ 𝑋 = -∞) → (𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1))
97	51, 96	pm2.61dan 812	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → (𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1))
98	1, 30, 37, 97	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1))
99	22, 35, 29, 36, 98	xrlelttrd 13127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑍 < (𝑅 − 1))
100	27	ltpnfd 13088	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅 − 1) < +∞)
101	1, 100	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑅 − 1) < +∞)
102	22, 29, 26, 99, 101	xrlttrd 13126	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 < +∞)
103	22, 26, 102	xrltned 45360	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ +∞)
104	103	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑍 ≠ +∞)
105	23, 24, 104	xrred 45368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑍 ∈ ℝ)
106	36	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1))
107		simpl3 1194	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) ∧ 𝑋 = -∞) → 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1))
108	45	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → (𝑋 +_𝑒 1) = -∞)
109		mnflt 13090	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → -∞ < 𝑍)
110	109	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → -∞ < 𝑍)
111	108, 110	eqbrtrd 5132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → (𝑋 +_𝑒 1) < 𝑍)
112		mnfxr 11238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -∞ ∈ ℝ^*
113	108, 112	eqeltrdi 2837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → (𝑋 +_𝑒 1) ∈ ℝ^*)
114		rexr 11227	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → 𝑍 ∈ ℝ^*)
115	114	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → 𝑍 ∈ ℝ^*)
116	113, 115	xrltnled 45366	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → ((𝑋 +_𝑒 1) < 𝑍 ↔ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)))
117	111, 116	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → ¬ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1))
118	117	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) ∧ 𝑋 = -∞) → ¬ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1))
119	107, 118	pm2.65da 816	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) → ¬ 𝑋 = -∞)
120	119	neqned 2933	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) → 𝑋 ≠ -∞)
121	105, 18, 106, 120	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑋 ≠ -∞)
122	1, 17, 37, 68	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ +∞)
123	122	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑋 ≠ +∞)
124	18, 121, 123	xrred 45368	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑋 ∈ ℝ)
125	37	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑋 < (𝑅 − 2))
126	12, 124, 125	jca31 514	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)))
127		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) → 𝑍 ∈ ℝ)
128		simp-4r 783	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) → 𝑋 ∈ ℝ)
129	71, 74	readdcld 11210	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
130	90, 129	eqeltrd 2829	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 +_𝑒 1) ∈ ℝ)
131	128, 130	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) → (𝑋 +_𝑒 1) ∈ ℝ)
132	58	ad4antr 732	. . . . 5 ⊢ (((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) → 𝑅 ∈ ℝ)
133		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) → 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1))
134	130	ad3antlr 731	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → (𝑋 +_𝑒 1) ∈ ℝ)
135	27	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → (𝑅 − 1) ∈ ℝ)
136	58	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
137	93	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → (𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1))
138	136	ltm1d 12122	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → (𝑅 − 1) < 𝑅)
139	134, 135, 136, 137, 138	lttrd 11342	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → (𝑋 +_𝑒 1) < 𝑅)
140	139	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) → (𝑋 +_𝑒 1) < 𝑅)
141	127, 131, 132, 133, 140	lelttrd 11339	. . . 4 ⊢ (((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) → 𝑍 < 𝑅)
142	126, 105, 106, 141	syl21anc 837	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑍 < 𝑅)
143	9, 11, 142	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑍 = -∞) → 𝑍 < 𝑅)
144	8, 143	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → 𝑍 < 𝑅)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2926 ⊆ wss 3917 class class class wbr 5110 (class class class)co 7390 ℂcc 11073 ℝcr 11074 1c1 11076 + caddc 11078 +∞cpnf 11212 -∞cmnf 11213 ℝ^*cxr 11214 < clt 11215 ≤ cle 11216 − cmin 11412 2c2 12248 +_𝑒 cxad 13077

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2702 ax-sep 5254 ax-nul 5264 ax-pow 5323 ax-pr 5390 ax-un 7714 ax-cnex 11131 ax-resscn 11132 ax-1cn 11133 ax-icn 11134 ax-addcl 11135 ax-addrcl 11136 ax-mulcl 11137 ax-mulrcl 11138 ax-mulcom 11139 ax-addass 11140 ax-mulass 11141 ax-distr 11142 ax-i2m1 11143 ax-1ne0 11144 ax-1rid 11145 ax-rnegex 11146 ax-rrecex 11147 ax-cnre 11148 ax-pre-lttri 11149 ax-pre-lttrn 11150 ax-pre-ltadd 11151 ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2709 df-cleq 2722 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2927 df-nel 3031 df-ral 3046 df-rex 3055 df-reu 3357 df-rab 3409 df-v 3452 df-sbc 3757 df-csb 3866 df-dif 3920 df-un 3922 df-in 3924 df-ss 3934 df-nul 4300 df-if 4492 df-pw 4568 df-sn 4593 df-pr 4595 df-op 4599 df-uni 4875 df-iun 4960 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5192 df-id 5536 df-po 5549 df-so 5550 df-xp 5647 df-rel 5648 df-cnv 5649 df-co 5650 df-dm 5651 df-rn 5652 df-res 5653 df-ima 5654 df-iota 6467 df-fun 6516 df-fn 6517 df-f 6518 df-f1 6519 df-fo 6520 df-f1o 6521 df-fv 6522 df-riota 7347 df-ov 7393 df-oprab 7394 df-mpo 7395 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-er 8674 df-en 8922 df-dom 8923 df-sdom 8924 df-pnf 11217 df-mnf 11218 df-xr 11219 df-ltxr 11220 df-le 11221 df-sub 11414 df-neg 11415 df-2 12256 df-xadd 13080

This theorem is referenced by: infleinf 45375

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