infleinflem2 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem infleinflem2 41014

Description: Lemma for infleinf 41015, when inf(𝐵, ℝ^*, < ) = -∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
infleinflem2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ^*)
infleinflem2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ^*)
infleinflem2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
infleinflem2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
infleinflem2.t	⊢ (𝜑 → 𝑋 < (𝑅 − 2))
infleinflem2.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐴)
infleinflem2.l	⊢ (𝜑 → 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1))

**Assertion**
Ref	Expression
infleinflem2	⊢ (𝜑 → 𝑍 < 𝑅)

**Proof of Theorem infleinflem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		infleinflem2.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
2	1	adantr 473	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = -∞) → 𝑅 ∈ ℝ)
3		simpr 477	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = -∞) → 𝑍 = -∞)
4		simpr 477	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 = -∞) → 𝑍 = -∞)
5		mnflt 12328	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → -∞ < 𝑅)
6	5	adantr 473	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 = -∞) → -∞ < 𝑅)
7	4, 6	eqbrtrd 4945	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 = -∞) → 𝑍 < 𝑅)
8	2, 3, 7	syl2anc 576	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = -∞) → 𝑍 < 𝑅)
9		simpl 475	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑍 = -∞) → 𝜑)
10		neqne 2969	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑍 = -∞ → 𝑍 ≠ -∞)
11	10	adantl 474	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑍 = -∞) → 𝑍 ≠ -∞)
12	1	adantr 473	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑅 ∈ ℝ)
13		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
14		infleinflem2.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
15		infleinflem2.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ^*)
16	15	sselda 3854	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ ℝ^*)
17	13, 14, 16	syl2anc 576	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ^*)
18	17	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑋 ∈ ℝ^*)
19		infleinflem2.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐴)
20		infleinflem2.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ^*)
21	20	sselda 3854	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) → 𝑍 ∈ ℝ^*)
22	13, 19, 21	syl2anc 576	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ^*)
23	22	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑍 ∈ ℝ^*)
24		simpr 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑍 ≠ -∞)
25		pnfxr 10486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ^*)
27		peano2rem 10746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅 − 1) ∈ ℝ)
28	27	rexrd 10482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅 − 1) ∈ ℝ^*)
29	1, 28	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑅 − 1) ∈ ℝ^*)
30	15, 14	sseldd 3855	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ^*)
31		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ^* → 𝑋 ∈ ℝ^*)
32		1xr 10492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ^*
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ^* → 1 ∈ ℝ^*)
34	31, 33	xaddcld 12503	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ^* → (𝑋 +_𝑒 1) ∈ ℝ^*)
35	30, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 +_𝑒 1) ∈ ℝ^*)
36		infleinflem2.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1))
37		infleinflem2.t	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < (𝑅 − 2))
38		oveq1 6977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑋 = -∞ → (𝑋 +_𝑒 1) = (-∞ +_𝑒 1))
39		1re 10431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ∈ ℝ
40		renepnf 10480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 ≠ +∞)
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ≠ +∞
42		xaddmnf2 12432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((1 ∈ ℝ^* ∧ 1 ≠ +∞) → (-∞ +_𝑒 1) = -∞)
43	32, 41, 42	mp2an 679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (-∞ +_𝑒 1) = -∞
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑋 = -∞ → (-∞ +_𝑒 1) = -∞)
45	38, 44	eqtrd 2808	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑋 = -∞ → (𝑋 +_𝑒 1) = -∞)
46	45	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → (𝑋 +_𝑒 1) = -∞)
47	27	mnfltd 12329	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → -∞ < (𝑅 − 1))
48	47	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → -∞ < (𝑅 − 1))
49	46, 48	eqbrtrd 4945	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → (𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1))
50	49	adantlr 702	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^*) ∧ 𝑋 = -∞) → (𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1))
51	50	3adantl3 1148	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑋 = -∞) → (𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1))
52		simpl 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ ¬ 𝑋 = -∞) → (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)))
53		simpl2 1172	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ ¬ 𝑋 = -∞) → 𝑋 ∈ ℝ^*)
54		neqne 2969	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑋 = -∞ → 𝑋 ≠ -∞)
55	54	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ ¬ 𝑋 = -∞) → 𝑋 ≠ -∞)
56		simp2 1117	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → 𝑋 ∈ ℝ^*)
57	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → +∞ ∈ ℝ^*)
58		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℝ)
59		2re 11507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ∈ ℝ
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → 2 ∈ ℝ)
61	58, 60	resubcld 10861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅 − 2) ∈ ℝ)
62	61	rexrd 10482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅 − 2) ∈ ℝ^*)
63	62	3ad2ant1 1113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → (𝑅 − 2) ∈ ℝ^*)
64		simp3 1118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → 𝑋 < (𝑅 − 2))
65	61	ltpnfd 12326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅 − 2) < +∞)
66	65	3ad2ant1 1113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → (𝑅 − 2) < +∞)
67	56, 63, 57, 64, 66	xrlttrd 12362	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → 𝑋 < +∞)
68	56, 57, 67	xrltned 41000	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → 𝑋 ≠ +∞)
69	68	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ ¬ 𝑋 = -∞) → 𝑋 ≠ +∞)
70	53, 55, 69	xrred 41008	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ ¬ 𝑋 = -∞) → 𝑋 ∈ ℝ)
71		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → 𝑋 ∈ ℝ)
72	71	ad2antlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → 𝑋 ∈ ℝ)
73	61	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → (𝑅 − 2) ∈ ℝ)
74		1red 10432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
75	72, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → 1 ∈ ℝ)
76		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → 𝑋 < (𝑅 − 2))
77	72, 73, 75, 76	ltadd1dd 11044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → (𝑋 + 1) < ((𝑅 − 2) + 1))
78		recn 10417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℂ)
79		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑅 ∈ ℂ → 𝑅 ∈ ℂ)
80		2cnd 11511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑅 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
81		1cnd 10426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑅 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
82	79, 80, 81	subsubd 10818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑅 ∈ ℂ → (𝑅 − (2 − 1)) = ((𝑅 − 2) + 1))
83		2m1e1 11566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (2 − 1) = 1
84	83	oveq2i 6981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑅 − (2 − 1)) = (𝑅 − 1)
85	84	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑅 ∈ ℂ → (𝑅 − (2 − 1)) = (𝑅 − 1))
86	82, 85	eqtr3d 2810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑅 ∈ ℂ → ((𝑅 − 2) + 1) = (𝑅 − 1))
87	78, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → ((𝑅 − 2) + 1) = (𝑅 − 1))
88	87	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → ((𝑅 − 2) + 1) = (𝑅 − 1))
89	77, 88	breqtrd 4949	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → (𝑋 + 1) < (𝑅 − 1))
90	71, 74	rexaddd 12437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 +_𝑒 1) = (𝑋 + 1))
91	90	breq1d 4933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → ((𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1) ↔ (𝑋 + 1) < (𝑅 − 1)))
92	91	ad2antlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → ((𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1) ↔ (𝑋 + 1) < (𝑅 − 1)))
93	89, 92	mpbird 249	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → (𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1))
94	93	an32s 639	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1))
95	94	3adantl2 1147	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1))
96	52, 70, 95	syl2anc 576	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ ¬ 𝑋 = -∞) → (𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1))
97	51, 96	pm2.61dan 800	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → (𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1))
98	1, 30, 37, 97	syl3anc 1351	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1))
99	22, 35, 29, 36, 98	xrlelttrd 12363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑍 < (𝑅 − 1))
100	27	ltpnfd 12326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅 − 1) < +∞)
101	1, 100	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑅 − 1) < +∞)
102	22, 29, 26, 99, 101	xrlttrd 12362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 < +∞)
103	22, 26, 102	xrltned 41000	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ +∞)
104	103	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑍 ≠ +∞)
105	23, 24, 104	xrred 41008	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑍 ∈ ℝ)
106	36	adantr 473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1))
107		simpl3 1173	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) ∧ 𝑋 = -∞) → 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1))
108	45	adantl 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → (𝑋 +_𝑒 1) = -∞)
109		mnflt 12328	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → -∞ < 𝑍)
110	109	adantr 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → -∞ < 𝑍)
111	108, 110	eqbrtrd 4945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → (𝑋 +_𝑒 1) < 𝑍)
112		mnfxr 10490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -∞ ∈ ℝ^*
113	108, 112	syl6eqel 2868	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → (𝑋 +_𝑒 1) ∈ ℝ^*)
114		rexr 10478	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → 𝑍 ∈ ℝ^*)
115	114	adantr 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → 𝑍 ∈ ℝ^*)
116	113, 115	xrltnled 41006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → ((𝑋 +_𝑒 1) < 𝑍 ↔ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)))
117	111, 116	mpbid 224	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → ¬ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1))
118	117	3ad2antl1 1165	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) ∧ 𝑋 = -∞) → ¬ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1))
119	107, 118	pm2.65da 804	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) → ¬ 𝑋 = -∞)
120	119	neqned 2968	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) → 𝑋 ≠ -∞)
121	105, 18, 106, 120	syl3anc 1351	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑋 ≠ -∞)
122	1, 17, 37, 68	syl3anc 1351	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ +∞)
123	122	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑋 ≠ +∞)
124	18, 121, 123	xrred 41008	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑋 ∈ ℝ)
125	37	adantr 473	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑋 < (𝑅 − 2))
126	12, 124, 125	jca31 507	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)))
127		simplr 756	. . . . 5 ⊢ (((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) → 𝑍 ∈ ℝ)
128		simp-4r 771	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) → 𝑋 ∈ ℝ)
129	71, 74	readdcld 10461	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
130	90, 129	eqeltrd 2860	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 +_𝑒 1) ∈ ℝ)
131	128, 130	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) → (𝑋 +_𝑒 1) ∈ ℝ)
132	58	ad4antr 719	. . . . 5 ⊢ (((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) → 𝑅 ∈ ℝ)
133		simpr 477	. . . . 5 ⊢ (((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) → 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1))
134	130	ad3antlr 718	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → (𝑋 +_𝑒 1) ∈ ℝ)
135	27	ad3antrrr 717	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → (𝑅 − 1) ∈ ℝ)
136	58	ad3antrrr 717	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
137	93	adantr 473	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → (𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1))
138	136	ltm1d 11365	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → (𝑅 − 1) < 𝑅)
139	134, 135, 136, 137, 138	lttrd 10593	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → (𝑋 +_𝑒 1) < 𝑅)
140	139	adantr 473	. . . . 5 ⊢ (((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) → (𝑋 +_𝑒 1) < 𝑅)
141	127, 131, 132, 133, 140	lelttrd 10590	. . . 4 ⊢ (((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) → 𝑍 < 𝑅)
142	126, 105, 106, 141	syl21anc 825	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑍 < 𝑅)
143	9, 11, 142	syl2anc 576	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑍 = -∞) → 𝑍 < 𝑅)
144	8, 143	pm2.61dan 800	1 ⊢ (𝜑 → 𝑍 < 𝑅)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 198 ∧ wa 387 ∧ w3a 1068 = wceq 1507 ∈ wcel 2048 ≠ wne 2961 ⊆ wss 3825 class class class wbr 4923 (class class class)co 6970 ℂcc 10325 ℝcr 10326 1c1 10328 + caddc 10330 +∞cpnf 10463 -∞cmnf 10464 ℝ^*cxr 10465 < clt 10466 ≤ cle 10467 − cmin 10662 2c2 11488 +_𝑒 cxad 12315

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1758 ax-4 1772 ax-5 1869 ax-6 1928 ax-7 1964 ax-8 2050 ax-9 2057 ax-10 2077 ax-11 2091 ax-12 2104 ax-13 2299 ax-ext 2745 ax-sep 5054 ax-nul 5061 ax-pow 5113 ax-pr 5180 ax-un 7273 ax-cnex 10383 ax-resscn 10384 ax-1cn 10385 ax-icn 10386 ax-addcl 10387 ax-addrcl 10388 ax-mulcl 10389 ax-mulrcl 10390 ax-mulcom 10391 ax-addass 10392 ax-mulass 10393 ax-distr 10394 ax-i2m1 10395 ax-1ne0 10396 ax-1rid 10397 ax-rnegex 10398 ax-rrecex 10399 ax-cnre 10400 ax-pre-lttri 10401 ax-pre-lttrn 10402 ax-pre-ltadd 10403 ax-pre-mulgt0 10404

This theorem depends on definitions: df-bi 199 df-an 388 df-or 834 df-3or 1069 df-3an 1070 df-tru 1510 df-ex 1743 df-nf 1747 df-sb 2014 df-mo 2544 df-eu 2580 df-clab 2754 df-cleq 2765 df-clel 2840 df-nfc 2912 df-ne 2962 df-nel 3068 df-ral 3087 df-rex 3088 df-reu 3089 df-rab 3091 df-v 3411 df-sbc 3678 df-csb 3783 df-dif 3828 df-un 3830 df-in 3832 df-ss 3839 df-nul 4174 df-if 4345 df-pw 4418 df-sn 4436 df-pr 4438 df-op 4442 df-uni 4707 df-iun 4788 df-br 4924 df-opab 4986 df-mpt 5003 df-id 5305 df-po 5319 df-so 5320 df-xp 5406 df-rel 5407 df-cnv 5408 df-co 5409 df-dm 5410 df-rn 5411 df-res 5412 df-ima 5413 df-iota 6146 df-fun 6184 df-fn 6185 df-f 6186 df-f1 6187 df-fo 6188 df-f1o 6189 df-fv 6190 df-riota 6931 df-ov 6973 df-oprab 6974 df-mpo 6975 df-1st 7494 df-2nd 7495 df-er 8081 df-en 8299 df-dom 8300 df-sdom 8301 df-pnf 10468 df-mnf 10469 df-xr 10470 df-ltxr 10471 df-le 10472 df-sub 10664 df-neg 10665 df-2 11496 df-xadd 12318

This theorem is referenced by: infleinf 41015

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