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Theorem infleinflem2 43595
Description: Lemma for infleinf 43596, when inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
infleinflem2.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
infleinflem2.b (𝜑𝐵 ⊆ ℝ*)
infleinflem2.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
infleinflem2.x (𝜑𝑋𝐵)
infleinflem2.t (𝜑𝑋 < (𝑅 − 2))
infleinflem2.z (𝜑𝑍𝐴)
infleinflem2.l (𝜑𝑍 ≤ (𝑋 +𝑒 1))
Assertion
Ref Expression
infleinflem2 (𝜑𝑍 < 𝑅)

Proof of Theorem infleinflem2
StepHypRef Expression
1 infleinflem2.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
21adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑍 = -∞) → 𝑅 ∈ ℝ)
3 simpr 485 . . 3 ((𝜑𝑍 = -∞) → 𝑍 = -∞)
4 simpr 485 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 = -∞) → 𝑍 = -∞)
5 mnflt 13044 . . . . 5 (𝑅 ∈ ℝ → -∞ < 𝑅)
65adantr 481 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 = -∞) → -∞ < 𝑅)
74, 6eqbrtrd 5127 . . 3 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 = -∞) → 𝑍 < 𝑅)
82, 3, 7syl2anc 584 . 2 ((𝜑𝑍 = -∞) → 𝑍 < 𝑅)
9 simpl 483 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑍 = -∞) → 𝜑)
10 neqne 2951 . . . 4 𝑍 = -∞ → 𝑍 ≠ -∞)
1110adantl 482 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑍 = -∞) → 𝑍 ≠ -∞)
121adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑍 ≠ -∞) → 𝑅 ∈ ℝ)
13 id 22 . . . . . . . 8 (𝜑𝜑)
14 infleinflem2.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝐵)
15 infleinflem2.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ*)
1615sselda 3944 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝐵) → 𝑋 ∈ ℝ*)
1713, 14, 16syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
1817adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑍 ≠ -∞) → 𝑋 ∈ ℝ*)
19 infleinflem2.z . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍𝐴)
20 infleinflem2.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
2120sselda 3944 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑍𝐴) → 𝑍 ∈ ℝ*)
2213, 19, 21syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍 ∈ ℝ*)
2322adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑍 ≠ -∞) → 𝑍 ∈ ℝ*)
24 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑍 ≠ -∞) → 𝑍 ≠ -∞)
25 pnfxr 11209 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ ℝ*
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
27 peano2rem 11468 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅 − 1) ∈ ℝ)
2827rexrd 11205 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅 − 1) ∈ ℝ*)
291, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑅 − 1) ∈ ℝ*)
3015, 14sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
31 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*)
32 1xr 11214 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ*
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℝ* → 1 ∈ ℝ*)
3431, 33xaddcld 13220 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℝ* → (𝑋 +𝑒 1) ∈ ℝ*)
3530, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋 +𝑒 1) ∈ ℝ*)
36 infleinflem2.l . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑍 ≤ (𝑋 +𝑒 1))
37 infleinflem2.t . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 < (𝑅 − 2))
38 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑋 = -∞ → (𝑋 +𝑒 1) = (-∞ +𝑒 1))
39 1re 11155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ ℝ
40 renepnf 11203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 ∈ ℝ → 1 ≠ +∞)
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ≠ +∞
42 xaddmnf2 13148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 ∈ ℝ* ∧ 1 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 1) = -∞)
4332, 41, 42mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (-∞ +𝑒 1) = -∞
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑋 = -∞ → (-∞ +𝑒 1) = -∞)
4538, 44eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑋 = -∞ → (𝑋 +𝑒 1) = -∞)
4645adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → (𝑋 +𝑒 1) = -∞)
4727mnfltd 13045 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ ℝ → -∞ < (𝑅 − 1))
4847adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → -∞ < (𝑅 − 1))
4946, 48eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → (𝑋 +𝑒 1) < (𝑅 − 1))
5049adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ 𝑋 = -∞) → (𝑋 +𝑒 1) < (𝑅 − 1))
51503adantl3 1168 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ*𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑋 = -∞) → (𝑋 +𝑒 1) < (𝑅 − 1))
52 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ*𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ ¬ 𝑋 = -∞) → (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ*𝑋 < (𝑅 − 2)))
53 simpl2 1192 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ*𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ ¬ 𝑋 = -∞) → 𝑋 ∈ ℝ*)
54 neqne 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑋 = -∞ → 𝑋 ≠ -∞)
5554adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ*𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ ¬ 𝑋 = -∞) → 𝑋 ≠ -∞)
56 simp2 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ*𝑋 < (𝑅 − 2)) → 𝑋 ∈ ℝ*)
5725a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ*𝑋 < (𝑅 − 2)) → +∞ ∈ ℝ*)
58 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℝ)
59 2re 12227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 ∈ ℝ
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑅 ∈ ℝ → 2 ∈ ℝ)
6158, 60resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅 − 2) ∈ ℝ)
6261rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅 − 2) ∈ ℝ*)
63623ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ*𝑋 < (𝑅 − 2)) → (𝑅 − 2) ∈ ℝ*)
64 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ*𝑋 < (𝑅 − 2)) → 𝑋 < (𝑅 − 2))
6561ltpnfd 13042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅 − 2) < +∞)
66653ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ*𝑋 < (𝑅 − 2)) → (𝑅 − 2) < +∞)
6756, 63, 57, 64, 66xrlttrd 13078 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ*𝑋 < (𝑅 − 2)) → 𝑋 < +∞)
6856, 57, 67xrltned 43581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ*𝑋 < (𝑅 − 2)) → 𝑋 ≠ +∞)
6968adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ*𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ ¬ 𝑋 = -∞) → 𝑋 ≠ +∞)
7053, 55, 69xrred 43589 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ*𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ ¬ 𝑋 = -∞) → 𝑋 ∈ ℝ)
71 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑋 ∈ ℝ → 𝑋 ∈ ℝ)
7271ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → 𝑋 ∈ ℝ)
7361ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → (𝑅 − 2) ∈ ℝ)
74 1red 11156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑋 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
7572, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → 1 ∈ ℝ)
76 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → 𝑋 < (𝑅 − 2))
7772, 73, 75, 76ltadd1dd 11766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → (𝑋 + 1) < ((𝑅 − 2) + 1))
78 recn 11141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℂ)
79 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑅 ∈ ℂ → 𝑅 ∈ ℂ)
80 2cnd 12231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑅 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
81 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑅 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
8279, 80, 81subsubd 11540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑅 ∈ ℂ → (𝑅 − (2 − 1)) = ((𝑅 − 2) + 1))
83 2m1e1 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 − 1) = 1
8483oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑅 − (2 − 1)) = (𝑅 − 1)
8584a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑅 ∈ ℂ → (𝑅 − (2 − 1)) = (𝑅 − 1))
8682, 85eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑅 ∈ ℂ → ((𝑅 − 2) + 1) = (𝑅 − 1))
8778, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑅 ∈ ℝ → ((𝑅 − 2) + 1) = (𝑅 − 1))
8887ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → ((𝑅 − 2) + 1) = (𝑅 − 1))
8977, 88breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → (𝑋 + 1) < (𝑅 − 1))
9071, 74rexaddd 13153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 +𝑒 1) = (𝑋 + 1))
9190breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑋 ∈ ℝ → ((𝑋 +𝑒 1) < (𝑅 − 1) ↔ (𝑋 + 1) < (𝑅 − 1)))
9291ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → ((𝑋 +𝑒 1) < (𝑅 − 1) ↔ (𝑋 + 1) < (𝑅 − 1)))
9389, 92mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → (𝑋 +𝑒 1) < (𝑅 − 1))
9493an32s 650 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝑋 +𝑒 1) < (𝑅 − 1))
95943adantl2 1167 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ*𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝑋 +𝑒 1) < (𝑅 − 1))
9652, 70, 95syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ*𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ ¬ 𝑋 = -∞) → (𝑋 +𝑒 1) < (𝑅 − 1))
9751, 96pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ*𝑋 < (𝑅 − 2)) → (𝑋 +𝑒 1) < (𝑅 − 1))
981, 30, 37, 97syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋 +𝑒 1) < (𝑅 − 1))
9922, 35, 29, 36, 98xrlelttrd 13079 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑍 < (𝑅 − 1))
10027ltpnfd 13042 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅 − 1) < +∞)
1011, 100syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑅 − 1) < +∞)
10222, 29, 26, 99, 101xrlttrd 13078 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 < +∞)
10322, 26, 102xrltned 43581 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍 ≠ +∞)
104103adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑍 ≠ -∞) → 𝑍 ≠ +∞)
10523, 24, 104xrred 43589 . . . . . . 7 ((𝜑𝑍 ≠ -∞) → 𝑍 ∈ ℝ)
10636adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑍 ≠ -∞) → 𝑍 ≤ (𝑋 +𝑒 1))
107 simpl3 1193 . . . . . . . . 9 (((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ*𝑍 ≤ (𝑋 +𝑒 1)) ∧ 𝑋 = -∞) → 𝑍 ≤ (𝑋 +𝑒 1))
10845adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → (𝑋 +𝑒 1) = -∞)
109 mnflt 13044 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑍 ∈ ℝ → -∞ < 𝑍)
110109adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → -∞ < 𝑍)
111108, 110eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . 11 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → (𝑋 +𝑒 1) < 𝑍)
112 mnfxr 11212 . . . . . . . . . . . . 13 -∞ ∈ ℝ*
113108, 112eqeltrdi 2846 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → (𝑋 +𝑒 1) ∈ ℝ*)
114 rexr 11201 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑍 ∈ ℝ → 𝑍 ∈ ℝ*)
115114adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → 𝑍 ∈ ℝ*)
116113, 115xrltnled 43587 . . . . . . . . . . 11 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → ((𝑋 +𝑒 1) < 𝑍 ↔ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋 +𝑒 1)))
117111, 116mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → ¬ 𝑍 ≤ (𝑋 +𝑒 1))
1181173ad2antl1 1185 . . . . . . . . 9 (((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ*𝑍 ≤ (𝑋 +𝑒 1)) ∧ 𝑋 = -∞) → ¬ 𝑍 ≤ (𝑋 +𝑒 1))
119107, 118pm2.65da 815 . . . . . . . 8 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ*𝑍 ≤ (𝑋 +𝑒 1)) → ¬ 𝑋 = -∞)
120119neqned 2950 . . . . . . 7 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ*𝑍 ≤ (𝑋 +𝑒 1)) → 𝑋 ≠ -∞)
121105, 18, 106, 120syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝜑𝑍 ≠ -∞) → 𝑋 ≠ -∞)
1221, 17, 37, 68syl3anc 1371 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ≠ +∞)
123122adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑍 ≠ -∞) → 𝑋 ≠ +∞)
12418, 121, 123xrred 43589 . . . . 5 ((𝜑𝑍 ≠ -∞) → 𝑋 ∈ ℝ)
12537adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑍 ≠ -∞) → 𝑋 < (𝑅 − 2))
12612, 124, 125jca31 515 . . . 4 ((𝜑𝑍 ≠ -∞) → ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)))
127 simplr 767 . . . . 5 (((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +𝑒 1)) → 𝑍 ∈ ℝ)
128 simp-4r 782 . . . . . 6 (((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +𝑒 1)) → 𝑋 ∈ ℝ)
12971, 74readdcld 11184 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
13090, 129eqeltrd 2838 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 +𝑒 1) ∈ ℝ)
131128, 130syl 17 . . . . 5 (((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +𝑒 1)) → (𝑋 +𝑒 1) ∈ ℝ)
13258ad4antr 730 . . . . 5 (((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +𝑒 1)) → 𝑅 ∈ ℝ)
133 simpr 485 . . . . 5 (((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +𝑒 1)) → 𝑍 ≤ (𝑋 +𝑒 1))
134130ad3antlr 729 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → (𝑋 +𝑒 1) ∈ ℝ)
13527ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → (𝑅 − 1) ∈ ℝ)
13658ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
13793adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → (𝑋 +𝑒 1) < (𝑅 − 1))
138136ltm1d 12087 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → (𝑅 − 1) < 𝑅)
139134, 135, 136, 137, 138lttrd 11316 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → (𝑋 +𝑒 1) < 𝑅)
140139adantr 481 . . . . 5 (((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +𝑒 1)) → (𝑋 +𝑒 1) < 𝑅)
141127, 131, 132, 133, 140lelttrd 11313 . . . 4 (((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +𝑒 1)) → 𝑍 < 𝑅)
142126, 105, 106, 141syl21anc 836 . . 3 ((𝜑𝑍 ≠ -∞) → 𝑍 < 𝑅)
1439, 11, 142syl2anc 584 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑍 = -∞) → 𝑍 < 𝑅)
1448, 143pm2.61dan 811 1 (𝜑𝑍 < 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wss 3910   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  1c1 11052   + caddc 11054  +∞cpnf 11186  -∞cmnf 11187  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  2c2 12208   +𝑒 cxad 13031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-2 12216  df-xadd 13034
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