infleinflem2 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem infleinflem2 46119

Description: Lemma for infleinf 46120, when inf(𝐵, ℝ^*, < ) = -∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
infleinflem2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ^*)
infleinflem2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ^*)
infleinflem2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
infleinflem2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
infleinflem2.t	⊢ (𝜑 → 𝑋 < (𝑅 − 2))
infleinflem2.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐴)
infleinflem2.l	⊢ (𝜑 → 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1))

**Assertion**
Ref	Expression
infleinflem2	⊢ (𝜑 → 𝑍 < 𝑅)

**Proof of Theorem infleinflem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		infleinflem2.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = -∞) → 𝑅 ∈ ℝ)
3		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = -∞) → 𝑍 = -∞)
4		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 = -∞) → 𝑍 = -∞)
5		mnflt 13159	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → -∞ < 𝑅)
6	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 = -∞) → -∞ < 𝑅)
7	4, 6	eqbrtrd 5135	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 = -∞) → 𝑍 < 𝑅)
8	2, 3, 7	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = -∞) → 𝑍 < 𝑅)
9		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑍 = -∞) → 𝜑)
10		neqne 2968	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑍 = -∞ → 𝑍 ≠ -∞)
11	10	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑍 = -∞) → 𝑍 ≠ -∞)
12	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑅 ∈ ℝ)
13		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
14		infleinflem2.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
15		infleinflem2.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ^*)
16	15	sselda 3938	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ ℝ^*)
17	13, 14, 16	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ^*)
18	17	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑋 ∈ ℝ^*)
19		infleinflem2.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐴)
20		infleinflem2.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ^*)
21	20	sselda 3938	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) → 𝑍 ∈ ℝ^*)
22	13, 19, 21	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ^*)
23	22	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑍 ∈ ℝ^*)
24		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑍 ≠ -∞)
25		pnfxr 11274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ^*)
27		peano2rem 11536	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅 − 1) ∈ ℝ)
28	27	rexrd 11270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅 − 1) ∈ ℝ^*)
29	1, 28	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑅 − 1) ∈ ℝ^*)
30	15, 14	sseldd 3939	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ^*)
31		id 23	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ^* → 𝑋 ∈ ℝ^*)
32		1xr 11279	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ^*
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ^* → 1 ∈ ℝ^*)
34	31, 33	xaddcld 13338	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ^* → (𝑋 +_𝑒 1) ∈ ℝ^*)
35	30, 34	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 +_𝑒 1) ∈ ℝ^*)
36		infleinflem2.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1))
37		infleinflem2.t	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < (𝑅 − 2))
38		oveq1 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑋 = -∞ → (𝑋 +_𝑒 1) = (-∞ +_𝑒 1))
39		1re 11219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ∈ ℝ
40		renepnf 11268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 ≠ +∞)
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ≠ +∞
42		xaddmnf2 13266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((1 ∈ ℝ^* ∧ 1 ≠ +∞) → (-∞ +_𝑒 1) = -∞)
43	32, 41, 42	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (-∞ +_𝑒 1) = -∞
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑋 = -∞ → (-∞ +_𝑒 1) = -∞)
45	38, 44	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑋 = -∞ → (𝑋 +_𝑒 1) = -∞)
46	45	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → (𝑋 +_𝑒 1) = -∞)
47	27	mnfltd 13160	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → -∞ < (𝑅 − 1))
48	47	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → -∞ < (𝑅 − 1))
49	46, 48	eqbrtrd 5135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → (𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1))
50	49	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^*) ∧ 𝑋 = -∞) → (𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1))
51	50	3adantl3 1187	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑋 = -∞) → (𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1))
52		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ ¬ 𝑋 = -∞) → (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)))
53		simpl2 1211	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ ¬ 𝑋 = -∞) → 𝑋 ∈ ℝ^*)
54		neqne 2968	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑋 = -∞ → 𝑋 ≠ -∞)
55	54	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ ¬ 𝑋 = -∞) → 𝑋 ≠ -∞)
56		simp2 1155	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → 𝑋 ∈ ℝ^*)
57	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → +∞ ∈ ℝ^*)
58		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℝ)
59		2re 12326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ∈ ℝ
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → 2 ∈ ℝ)
61	58, 60	resubcld 11653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅 − 2) ∈ ℝ)
62	61	rexrd 11270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅 − 2) ∈ ℝ^*)
63	62	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → (𝑅 − 2) ∈ ℝ^*)
64		simp3 1156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → 𝑋 < (𝑅 − 2))
65	61	ltpnfd 13157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅 − 2) < +∞)
66	65	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → (𝑅 − 2) < +∞)
67	56, 63, 57, 64, 66	xrlttrd 13195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → 𝑋 < +∞)
68	56, 57, 67	xrltned 46106	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → 𝑋 ≠ +∞)
69	68	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ ¬ 𝑋 = -∞) → 𝑋 ≠ +∞)
70	53, 55, 69	xrred 46113	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ ¬ 𝑋 = -∞) → 𝑋 ∈ ℝ)
71		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → 𝑋 ∈ ℝ)
72	71	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → 𝑋 ∈ ℝ)
73	61	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → (𝑅 − 2) ∈ ℝ)
74		1red 11220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
75	72, 74	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → 1 ∈ ℝ)
76		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → 𝑋 < (𝑅 − 2))
77	72, 73, 75, 76	ltadd1dd 11836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → (𝑋 + 1) < ((𝑅 − 2) + 1))
78		recn 11201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℂ)
79		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑅 ∈ ℂ → 𝑅 ∈ ℂ)
80		2cnd 12330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑅 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
81		1cnd 11213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑅 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
82	79, 80, 81	subsubd 11608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑅 ∈ ℂ → (𝑅 − (2 − 1)) = ((𝑅 − 2) + 1))
83		2m1e1 12376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (2 − 1) = 1
84	83	oveq2i 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑅 − (2 − 1)) = (𝑅 − 1)
85	84	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑅 ∈ ℂ → (𝑅 − (2 − 1)) = (𝑅 − 1))
86	82, 85	eqtr3d 2802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑅 ∈ ℂ → ((𝑅 − 2) + 1) = (𝑅 − 1))
87	78, 86	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → ((𝑅 − 2) + 1) = (𝑅 − 1))
88	87	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → ((𝑅 − 2) + 1) = (𝑅 − 1))
89	77, 88	breqtrd 5139	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → (𝑋 + 1) < (𝑅 − 1))
90	71, 74	rexaddd 13271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 +_𝑒 1) = (𝑋 + 1))
91	90	breq1d 5121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → ((𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1) ↔ (𝑋 + 1) < (𝑅 − 1)))
92	91	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → ((𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1) ↔ (𝑋 + 1) < (𝑅 − 1)))
93	89, 92	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → (𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1))
94	93	an32s 665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1))
95	94	3adantl2 1186	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1))
96	52, 70, 95	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ ¬ 𝑋 = -∞) → (𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1))
97	51, 96	pm2.61dan 825	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) → (𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1))
98	1, 30, 37, 97	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1))
99	22, 35, 29, 36, 98	xrlelttrd 13196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑍 < (𝑅 − 1))
100	27	ltpnfd 13157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅 − 1) < +∞)
101	1, 100	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑅 − 1) < +∞)
102	22, 29, 26, 99, 101	xrlttrd 13195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 < +∞)
103	22, 26, 102	xrltned 46106	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ +∞)
104	103	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑍 ≠ +∞)
105	23, 24, 104	xrred 46113	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑍 ∈ ℝ)
106	36	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1))
107		simpl3 1212	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) ∧ 𝑋 = -∞) → 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1))
108	45	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → (𝑋 +_𝑒 1) = -∞)
109		mnflt 13159	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → -∞ < 𝑍)
110	109	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → -∞ < 𝑍)
111	108, 110	eqbrtrd 5135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → (𝑋 +_𝑒 1) < 𝑍)
112		mnfxr 11277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -∞ ∈ ℝ^*
113	108, 112	eqeltrdi 2873	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → (𝑋 +_𝑒 1) ∈ ℝ^*)
114		rexr 11266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → 𝑍 ∈ ℝ^*)
115	114	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → 𝑍 ∈ ℝ^*)
116	113, 115	xrltnled 11288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → ((𝑋 +_𝑒 1) < 𝑍 ↔ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)))
117	111, 116	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 = -∞) → ¬ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1))
118	117	3ad2antl1 1204	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) ∧ 𝑋 = -∞) → ¬ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1))
119	107, 118	pm2.65da 829	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) → ¬ 𝑋 = -∞)
120	119	neqned 2967	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) → 𝑋 ≠ -∞)
121	105, 18, 106, 120	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑋 ≠ -∞)
122	1, 17, 37, 68	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ +∞)
123	122	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑋 ≠ +∞)
124	18, 121, 123	xrred 46113	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑋 ∈ ℝ)
125	37	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑋 < (𝑅 − 2))
126	12, 124, 125	jca31 524	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)))
127		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) → 𝑍 ∈ ℝ)
128		simp-4r 796	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) → 𝑋 ∈ ℝ)
129	71, 74	readdcld 11249	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
130	90, 129	eqeltrd 2865	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 +_𝑒 1) ∈ ℝ)
131	128, 130	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) → (𝑋 +_𝑒 1) ∈ ℝ)
132	58	ad4antr 745	. . . . 5 ⊢ (((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) → 𝑅 ∈ ℝ)
133		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) → 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1))
134	130	ad3antlr 744	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → (𝑋 +_𝑒 1) ∈ ℝ)
135	27	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → (𝑅 − 1) ∈ ℝ)
136	58	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
137	93	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → (𝑋 +_𝑒 1) < (𝑅 − 1))
138	136	ltm1d 12158	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → (𝑅 − 1) < 𝑅)
139	134, 135, 136, 137, 138	lttrd 11382	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → (𝑋 +_𝑒 1) < 𝑅)
140	139	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) → (𝑋 +_𝑒 1) < 𝑅)
141	127, 131, 132, 133, 140	lelttrd 11379	. . . 4 ⊢ (((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 < (𝑅 − 2)) ∧ 𝑍 ∈ ℝ) ∧ 𝑍 ≤ (𝑋 +_𝑒 1)) → 𝑍 < 𝑅)
142	126, 105, 106, 141	syl21anc 851	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ -∞) → 𝑍 < 𝑅)
143	9, 11, 142	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑍 = -∞) → 𝑍 < 𝑅)
144	8, 143	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → 𝑍 < 𝑅)

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2146 ≠ wne 2960 ⊆ wss 3906 class class class wbr 5111 (class class class)co 7416 ℂcc 11109 ℝcr 11110 1c1 11112 + caddc 11114 +∞cpnf 11251 -∞cmnf 11252 ℝ^*cxr 11253 < clt 11254 ≤ cle 11255 − cmin 11452 2c2 12306 +_𝑒 cxad 13146

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2148 ax-9 2156 ax-10 2179 ax-11 2195 ax-12 2216 ax-ext 2737 ax-sep 5259 ax-nul 5271 ax-pow 5338 ax-pr 5406 ax-un 7738 ax-cnex 11167 ax-resscn 11168 ax-1cn 11169 ax-icn 11170 ax-addcl 11171 ax-addrcl 11172 ax-mulcl 11173 ax-mulrcl 11174 ax-mulcom 11175 ax-addass 11176 ax-mulass 11177 ax-distr 11178 ax-i2m1 11179 ax-1ne0 11180 ax-1rid 11181 ax-rnegex 11182 ax-rrecex 11183 ax-cnre 11184 ax-pre-lttri 11185 ax-pre-lttrn 11186 ax-pre-ltadd 11187 ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2569 df-eu 2599 df-clab 2744 df-cleq 2757 df-clel 2840 df-nfc 2914 df-ne 2961 df-nel 3067 df-ral 3082 df-rex 3092 df-reu 3372 df-rab 3419 df-v 3459 df-sbc 3747 df-csb 3855 df-dif 3909 df-un 3911 df-in 3913 df-ss 3923 df-nul 4287 df-if 4490 df-pw 4566 df-sn 4592 df-pr 4594 df-op 4598 df-uni 4875 df-iun 4960 df-br 5112 df-opab 5176 df-mpt 5195 df-id 5558 df-po 5571 df-so 5572 df-xp 5669 df-rel 5670 df-cnv 5671 df-co 5672 df-dm 5673 df-rn 5674 df-res 5675 df-ima 5676 df-iota 6496 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-riota 7373 df-ov 7419 df-oprab 7420 df-mpo 7421 df-1st 7988 df-2nd 7989 df-er 8696 df-en 8946 df-dom 8947 df-sdom 8948 df-pnf 11256 df-mnf 11257 df-xr 11258 df-ltxr 11259 df-le 11260 df-sub 11454 df-neg 11455 df-2 12314 df-xadd 13149

This theorem is used by: infleinf 46120

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