Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0repnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0repnf 43020
 Description: The of nonnegative extended reals is a real number if and only if it is not +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0repnf.x (𝜑𝑋𝑉)
sge0repnf.f (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
sge0repnf (𝜑 → ((Σ^𝐹) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^𝐹) = +∞))

Proof of Theorem sge0repnf
StepHypRef Expression
1 renepnf 10678 . . . 4 ((Σ^𝐹) ∈ ℝ → (Σ^𝐹) ≠ +∞)
21neneqd 2992 . . 3 ((Σ^𝐹) ∈ ℝ → ¬ (Σ^𝐹) = +∞)
32a1i 11 . 2 (𝜑 → ((Σ^𝐹) ∈ ℝ → ¬ (Σ^𝐹) = +∞))
4 rge0ssre 12834 . . . 4 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
5 0xr 10677 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐹) = +∞) → 0 ∈ ℝ*)
7 pnfxr 10684 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
87a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐹) = +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
9 sge0repnf.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑉)
10 sge0repnf.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
119, 10sge0xrcl 43019 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ^𝐹) ∈ ℝ*)
1211adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐹) = +∞) → (Σ^𝐹) ∈ ℝ*)
139, 10sge0ge0 43018 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (Σ^𝐹))
1413adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐹) = +∞) → 0 ≤ (Σ^𝐹))
15 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐹) = +∞) → ¬ (Σ^𝐹) = +∞)
16 nltpnft 12545 . . . . . . . . 9 ((Σ^𝐹) ∈ ℝ* → ((Σ^𝐹) = +∞ ↔ ¬ (Σ^𝐹) < +∞))
1711, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((Σ^𝐹) = +∞ ↔ ¬ (Σ^𝐹) < +∞))
1817adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐹) = +∞) → ((Σ^𝐹) = +∞ ↔ ¬ (Σ^𝐹) < +∞))
1915, 18mtbid 327 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐹) = +∞) → ¬ ¬ (Σ^𝐹) < +∞)
2019notnotrd 135 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐹) = +∞) → (Σ^𝐹) < +∞)
216, 8, 12, 14, 20elicod 12775 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐹) = +∞) → (Σ^𝐹) ∈ (0[,)+∞))
224, 21sseldi 3913 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐹) = +∞) → (Σ^𝐹) ∈ ℝ)
2322ex 416 . 2 (𝜑 → (¬ (Σ^𝐹) = +∞ → (Σ^𝐹) ∈ ℝ))
243, 23impbid 215 1 (𝜑 → ((Σ^𝐹) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^𝐹) = +∞))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  0cc0 10526  +∞cpnf 10661  ℝ*cxr 10663   < clt 10664   ≤ cle 10665  [,)cico 12728  [,]cicc 12729  Σ^csumge0 42996 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035  df-sumge0 42997 This theorem is referenced by:  sge0rern  43022  sge0supre  43023  sge0less  43026  sge0le  43041  sge0split  43043  sge0iunmpt  43052  sge0rpcpnf  43055  sge0xadd  43069  sge0repnfmpt  43073  sge0gtfsumgt  43077  omeiunltfirp  43153  hoidmv1lelem1  43225  hoidmv1lelem2  43226  hoidmv1lelem3  43227  hoidmv1le  43228  hoidmvlelem3  43231  hoidmvlelem5  43233
 Copyright terms: Public domain W3C validator