Theorem sge0repnf 46744

Description: The of nonnegative extended reals is a real number if and only if it is not +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0repnf.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
sge0repnf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0repnf	⊢ (𝜑 → ((Σ^‘𝐹) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞))

Proof of Theorem sge0repnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renepnf 11192	. . . 4 ⊢ ((Σ^‘𝐹) ∈ ℝ → (Σ^‘𝐹) ≠ +∞)
2	1	neneqd 2938	. . 3 ⊢ ((Σ^‘𝐹) ∈ ℝ → ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘𝐹) ∈ ℝ → ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞))
4		rge0ssre 13384	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
5		0xr 11191	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → 0 ∈ ℝ*)
7		pnfxr 11198	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
9		sge0repnf.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
10		sge0repnf.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
11	9, 10	sge0xrcl 46743	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ*)
12	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ*)
13	9, 10	sge0ge0 46742	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (Σ^‘𝐹))
14	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → 0 ≤ (Σ^‘𝐹))
15		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞)
16		nltpnft 13091	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Σ^‘𝐹) ∈ ℝ* → ((Σ^‘𝐹) = +∞ ↔ ¬ (Σ^‘𝐹) < +∞))
17	11, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘𝐹) = +∞ ↔ ¬ (Σ^‘𝐹) < +∞))
18	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → ((Σ^‘𝐹) = +∞ ↔ ¬ (Σ^‘𝐹) < +∞))
19	15, 18	mtbid 324	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → ¬ ¬ (Σ^‘𝐹) < +∞)
20	19	notnotrd 133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → (Σ^‘𝐹) < +∞)
21	6, 8, 12, 14, 20	elicod 13323	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → (Σ^‘𝐹) ∈ (0[,)+∞))
22	4, 21	sselid 3933	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ)
23	22	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ (Σ^‘𝐹) = +∞ → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ))
24	3, 23	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘𝐹) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038  +∞cpnf 11175  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178   ≤ cle 11179  [,)cico 13275  [,]cicc 13276  Σ^{^}csumge0 46720

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-sum 15622  df-sumge0 46721

This theorem is referenced by:  sge0rern  46746  sge0supre  46747  sge0less  46750  sge0le  46765  sge0split  46767  sge0iunmpt  46776  sge0rpcpnf  46779  sge0xadd  46793  sge0repnfmpt  46797  sge0gtfsumgt  46801  omeiunltfirp  46877  hoidmv1lelem1  46949  hoidmv1lelem2  46950  hoidmv1lelem3  46951  hoidmv1le  46952  hoidmvlelem3  46955  hoidmvlelem5  46957