Theorem sge0repnf 46835

Description: The of nonnegative extended reals is a real number if and only if it is not +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0repnf.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
sge0repnf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0repnf	⊢ (𝜑 → ((Σ^‘𝐹) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞))

Proof of Theorem sge0repnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renepnf 11187	. . . 4 ⊢ ((Σ^‘𝐹) ∈ ℝ → (Σ^‘𝐹) ≠ +∞)
2	1	neneqd 2938	. . 3 ⊢ ((Σ^‘𝐹) ∈ ℝ → ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘𝐹) ∈ ℝ → ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞))
4		rge0ssre 13403	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
5		0xr 11186	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → 0 ∈ ℝ*)
7		pnfxr 11193	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
9		sge0repnf.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
10		sge0repnf.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
11	9, 10	sge0xrcl 46834	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ*)
12	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ*)
13	9, 10	sge0ge0 46833	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (Σ^‘𝐹))
14	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → 0 ≤ (Σ^‘𝐹))
15		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞)
16		nltpnft 13110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Σ^‘𝐹) ∈ ℝ* → ((Σ^‘𝐹) = +∞ ↔ ¬ (Σ^‘𝐹) < +∞))
17	11, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘𝐹) = +∞ ↔ ¬ (Σ^‘𝐹) < +∞))
18	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → ((Σ^‘𝐹) = +∞ ↔ ¬ (Σ^‘𝐹) < +∞))
19	15, 18	mtbid 324	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → ¬ ¬ (Σ^‘𝐹) < +∞)
20	19	notnotrd 133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → (Σ^‘𝐹) < +∞)
21	6, 8, 12, 14, 20	elicod 13342	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → (Σ^‘𝐹) ∈ (0[,)+∞))
22	4, 21	sselid 3920	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ)
23	22	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ (Σ^‘𝐹) = +∞ → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ))
24	3, 23	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘𝐹) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℝcr 11031  0cc0 11032  +∞cpnf 11170  ℝ^*cxr 11172   < clt 11173   ≤ cle 11174  [,)cico 13294  [,]cicc 13295  Σ^{^}csumge0 46811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-inf2 9556  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-rp 12937  df-ico 13298  df-icc 13299  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-seq 13958  df-exp 14018  df-hash 14287  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-clim 15444  df-sum 15643  df-sumge0 46812

This theorem is referenced by:  sge0rern  46837  sge0supre  46838  sge0less  46841  sge0le  46856  sge0split  46858  sge0iunmpt  46867  sge0rpcpnf  46870  sge0xadd  46884  sge0repnfmpt  46888  sge0gtfsumgt  46892  omeiunltfirp  46968  hoidmv1lelem1  47040  hoidmv1lelem2  47041  hoidmv1lelem3  47042  hoidmv1le  47043  hoidmvlelem3  47046  hoidmvlelem5  47048