Theorem sge0repnf 47395

Description: The of nonnegative extended reals is a real number if and only if it is not +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0repnf.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
sge0repnf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0repnf	⊢ (𝜑 → ((Σ^‘𝐹) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞))

Proof of Theorem sge0repnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renepnf 11357	. . . 4 ⊢ ((Σ^‘𝐹) ∈ ℝ → (Σ^‘𝐹) ≠ +∞)
2	1	neneqd 2961	. . 3 ⊢ ((Σ^‘𝐹) ∈ ℝ → ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘𝐹) ∈ ℝ → ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞))
4		rge0ssre 13587	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
5		0xr 11356	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → 0 ∈ ℝ*)
7		pnfxr 11363	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
9		sge0repnf.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
10		sge0repnf.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
11	9, 10	sge0xrcl 47394	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ*)
12	11	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ*)
13	9, 10	sge0ge0 47393	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (Σ^‘𝐹))
14	13	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → 0 ≤ (Σ^‘𝐹))
15		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞)
16		nltpnft 13294	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Σ^‘𝐹) ∈ ℝ* → ((Σ^‘𝐹) = +∞ ↔ ¬ (Σ^‘𝐹) < +∞))
17	11, 16	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘𝐹) = +∞ ↔ ¬ (Σ^‘𝐹) < +∞))
18	17	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → ((Σ^‘𝐹) = +∞ ↔ ¬ (Σ^‘𝐹) < +∞))
19	15, 18	mtbid 327	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → ¬ ¬ (Σ^‘𝐹) < +∞)
20	19	notnotrd 134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → (Σ^‘𝐹) < +∞)
21	6, 8, 12, 14, 20	elicod 13526	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → (Σ^‘𝐹) ∈ (0[,)+∞))
22	4, 21	sselid 3929	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ)
23	22	ex 418	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ (Σ^‘𝐹) = +∞ → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ))
24	3, 23	impbid 215	1 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘𝐹) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  0cc0 11200  +∞cpnf 11340  ℝ^*cxr 11342   < clt 11343   ≤ cle 11344  [,)cico 13478  [,]cicc 13479  Σ^{^}csumge0 47371

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-sum 15854  df-sumge0 47372

This theorem is used by:  sge0rern  47397  sge0supre  47398  sge0less  47401  sge0le  47416  sge0split  47418  sge0iunmpt  47427  sge0rpcpnf  47430  sge0xadd  47444  sge0repnfmpt  47448  sge0gtfsumgt  47452  omeiunltfirp  47528  hoidmv1lelem1  47600  hoidmv1lelem2  47601  hoidmv1lelem3  47602  hoidmv1le  47603  hoidmvlelem3  47606  hoidmvlelem5  47608