MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xaddnepnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xaddnepnf 13279
Description: Closure of extended real addition in the subset * / {+∞}. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xaddnepnf (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)

Proof of Theorem xaddnepnf
StepHypRef Expression
1 xrnepnf 13160 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞))
2 xrnepnf 13160 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = -∞))
3 rexadd 13274 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
4 readdcl 11238 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
53, 4eqeltrd 2841 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ)
65renepnfd 11312 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)
7 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝐵 = -∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 -∞))
8 rexr 11307 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
9 renepnf 11309 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)
10 xaddmnf1 13270 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
118, 9, 10syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
127, 11sylan9eqr 2799 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = -∞)
13 mnfnepnf 11317 . . . . . . 7 -∞ ≠ +∞
1413a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → -∞ ≠ +∞)
1512, 14eqnetrd 3008 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)
166, 15jaodan 960 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)
172, 16sylan2b 594 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)
18 oveq1 7438 . . . . 5 (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 𝐵))
19 xaddmnf2 13271 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞)
2018, 19sylan9eq 2797 . . . 4 ((𝐴 = -∞ ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = -∞)
2113a1i 11 . . . 4 ((𝐴 = -∞ ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞)) → -∞ ≠ +∞)
2220, 21eqnetrd 3008 . . 3 ((𝐴 = -∞ ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)
2317, 22jaoian 959 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)
241, 23sylanb 581 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  (class class class)co 7431  cr 11154   + caddc 11158  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  *cxr 11294   +𝑒 cxad 13152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-i2m1 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-xadd 13155
This theorem is referenced by:  xlt2add  13302
  Copyright terms: Public domain W3C validator