Theorem xaddnepnf 13173

Description: Closure of extended real addition in the subset ℝ^* / {+∞}. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xaddnepnf	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)

Proof of Theorem xaddnepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrnepnf 13054	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞))
2		xrnepnf 13054	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = -∞))
3		rexadd 13168	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
4		readdcl 11127	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
5	3, 4	eqeltrd 2828	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ)
6	5	renepnfd 11201	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)
7		oveq2 7377	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = -∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 -∞))
8		rexr 11196	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
9		renepnf 11198	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)
10		xaddmnf1 13164	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
11	8, 9, 10	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
12	7, 11	sylan9eqr 2786	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = -∞)
13		mnfnepnf 11206	. . . . . . 7 ⊢ -∞ ≠ +∞
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → -∞ ≠ +∞)
15	12, 14	eqnetrd 2992	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)
16	6, 15	jaodan 959	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)
17	2, 16	sylan2b 594	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)
18		oveq1 7376	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 𝐵))
19		xaddmnf2 13165	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞)
20	18, 19	sylan9eq 2784	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = -∞)
21	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞)) → -∞ ≠ +∞)
22	20, 21	eqnetrd 2992	. . 3 ⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)
23	17, 22	jaoian 958	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)
24	1, 23	sylanb 581	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7369  ℝcr 11043   + caddc 11047  +∞cpnf 11181  -∞cmnf 11182  ℝ^*cxr 11183   +_𝑒 cxad 13046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-i2m1 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-xadd 13049

This theorem is referenced by:  xlt2add  13196