Theorem xmulpnf1 13295

Description: Multiplication by plus infinity on the right. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmulpnf1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)

Proof of Theorem xmulpnf1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11258	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		xmulval 13246	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e +∞) = if((𝐴 = 0 ∨ +∞ = 0), 0, if((((0 < +∞ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = -∞))), +∞, if((((0 < +∞ ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = +∞))), -∞, (𝐴 · +∞)))))
3	1, 2	mpan2 703	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e +∞) = if((𝐴 = 0 ∨ +∞ = 0), 0, if((((0 < +∞ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = -∞))), +∞, if((((0 < +∞ ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = +∞))), -∞, (𝐴 · +∞)))))
4	3	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e +∞) = if((𝐴 = 0 ∨ +∞ = 0), 0, if((((0 < +∞ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = -∞))), +∞, if((((0 < +∞ ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = +∞))), -∞, (𝐴 · +∞)))))
5		0xr 11251	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
6		xrltne 13183	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
7	5, 6	mp3an1 1477	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
8		0re 11205	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		renepnf 11252	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ≠ +∞)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ +∞
11	10	necomi 3012	. . . 4 ⊢ +∞ ≠ 0
12		neanior 3051	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∧ +∞ ≠ 0) ↔ ¬ (𝐴 = 0 ∨ +∞ = 0))
13	7, 11, 12	sylanblc 600	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → ¬ (𝐴 = 0 ∨ +∞ = 0))
14	13	iffalsed 4498	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → if((𝐴 = 0 ∨ +∞ = 0), 0, if((((0 < +∞ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = -∞))), +∞, if((((0 < +∞ ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = +∞))), -∞, (𝐴 · +∞)))) = if((((0 < +∞ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = -∞))), +∞, if((((0 < +∞ ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = +∞))), -∞, (𝐴 · +∞))))
15		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
16		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ +∞ = +∞
17	15, 16	jctir 529	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (0 < 𝐴 ∧ +∞ = +∞))
18	17	orcd 886	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = -∞)))
19	18	olcd 887	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (((0 < +∞ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = -∞))))
20	19	iftrued 4495	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → if((((0 < +∞ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = -∞))), +∞, if((((0 < +∞ ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = +∞))), -∞, (𝐴 · +∞))) = +∞)
21	4, 14, 20	3eqtrd 2802	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ifcif 4487   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410  ℝcr 11094  0cc0 11095   · cmul 11100  +∞cpnf 11235  -∞cmnf 11236  ℝ^*cxr 11237   < clt 11238   ·_e cxmu 13131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-i2m1 11163  ax-rnegex 11166  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-xmul 13134

This theorem is referenced by:  xmulpnf2  13296  xmulmnf1  13297  xmulpnf1n  13299  xmulgt0  13304  xmulasslem3  13307  xlemul1a  13309  xadddilem  13315  nn0xmulclb  33116  hashxpe  33152  xdivpnfrp  33252  xrge0adddir  33338  esumcst  34453  esumpinfval  34463