Theorem xmulpnf1 13253

Description: Multiplication by plus infinity on the right. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmulpnf1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)

Proof of Theorem xmulpnf1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11268	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		xmulval 13204	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e +∞) = if((𝐴 = 0 ∨ +∞ = 0), 0, if((((0 < +∞ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = -∞))), +∞, if((((0 < +∞ ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = +∞))), -∞, (𝐴 · +∞)))))
3	1, 2	mpan2 690	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e +∞) = if((𝐴 = 0 ∨ +∞ = 0), 0, if((((0 < +∞ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = -∞))), +∞, if((((0 < +∞ ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = +∞))), -∞, (𝐴 · +∞)))))
4	3	adantr 482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e +∞) = if((𝐴 = 0 ∨ +∞ = 0), 0, if((((0 < +∞ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = -∞))), +∞, if((((0 < +∞ ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = +∞))), -∞, (𝐴 · +∞)))))
5		0xr 11261	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
6		xrltne 13142	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
7	5, 6	mp3an1 1449	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
8		0re 11216	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		renepnf 11262	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ≠ +∞)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ +∞
11	10	necomi 2996	. . . 4 ⊢ +∞ ≠ 0
12		neanior 3036	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∧ +∞ ≠ 0) ↔ ¬ (𝐴 = 0 ∨ +∞ = 0))
13	7, 11, 12	sylanblc 590	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → ¬ (𝐴 = 0 ∨ +∞ = 0))
14	13	iffalsed 4540	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → if((𝐴 = 0 ∨ +∞ = 0), 0, if((((0 < +∞ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = -∞))), +∞, if((((0 < +∞ ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = +∞))), -∞, (𝐴 · +∞)))) = if((((0 < +∞ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = -∞))), +∞, if((((0 < +∞ ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = +∞))), -∞, (𝐴 · +∞))))
15		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
16		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ +∞ = +∞
17	15, 16	jctir 522	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (0 < 𝐴 ∧ +∞ = +∞))
18	17	orcd 872	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = -∞)))
19	18	olcd 873	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (((0 < +∞ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = -∞))))
20	19	iftrued 4537	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → if((((0 < +∞ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = -∞))), +∞, if((((0 < +∞ ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = +∞))), -∞, (𝐴 · +∞))) = +∞)
21	4, 14, 20	3eqtrd 2777	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ifcif 4529   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  ℝcr 11109  0cc0 11110   · cmul 11115  +∞cpnf 11245  -∞cmnf 11246  ℝ^*cxr 11247   < clt 11248   ·_e cxmu 13091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-i2m1 11178  ax-rnegex 11181  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-xmul 13094

This theorem is referenced by:  xmulpnf2  13254  xmulmnf1  13255  xmulpnf1n  13257  xmulgt0  13262  xmulasslem3  13265  xlemul1a  13267  xadddilem  13273  nn0xmulclb  31984  hashxpe  32019  xdivpnfrp  32099  xrge0adddir  32193  esumcst  33061  esumpinfval  33071