MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmulpnf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmulpnf1 13255
Description: Multiplication by plus infinity on the right. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmulpnf1 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) = +โˆž)

Proof of Theorem xmulpnf1
StepHypRef Expression
1 pnfxr 11270 . . . 4 +โˆž โˆˆ โ„*
2 xmulval 13206 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง +โˆž โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) = if((๐ด = 0 โˆจ +โˆž = 0), 0, if((((0 < +โˆž โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (+โˆž < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง +โˆž = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง +โˆž = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < +โˆž โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (+โˆž < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง +โˆž = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง +โˆž = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท +โˆž)))))
31, 2mpan2 689 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) = if((๐ด = 0 โˆจ +โˆž = 0), 0, if((((0 < +โˆž โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (+โˆž < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง +โˆž = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง +โˆž = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < +โˆž โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (+โˆž < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง +โˆž = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง +โˆž = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท +โˆž)))))
43adantr 481 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) = if((๐ด = 0 โˆจ +โˆž = 0), 0, if((((0 < +โˆž โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (+โˆž < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง +โˆž = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง +โˆž = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < +โˆž โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (+โˆž < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง +โˆž = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง +โˆž = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท +โˆž)))))
5 0xr 11263 . . . . 5 0 โˆˆ โ„*
6 xrltne 13144 . . . . 5 ((0 โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด โ‰  0)
75, 6mp3an1 1448 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด โ‰  0)
8 0re 11218 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„
9 renepnf 11264 . . . . . 6 (0 โˆˆ โ„ โ†’ 0 โ‰  +โˆž)
108, 9ax-mp 5 . . . . 5 0 โ‰  +โˆž
1110necomi 2995 . . . 4 +โˆž โ‰  0
12 neanior 3035 . . . 4 ((๐ด โ‰  0 โˆง +โˆž โ‰  0) โ†” ยฌ (๐ด = 0 โˆจ +โˆž = 0))
137, 11, 12sylanblc 589 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ยฌ (๐ด = 0 โˆจ +โˆž = 0))
1413iffalsed 4539 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โ†’ if((๐ด = 0 โˆจ +โˆž = 0), 0, if((((0 < +โˆž โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (+โˆž < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง +โˆž = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง +โˆž = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < +โˆž โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (+โˆž < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง +โˆž = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง +โˆž = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท +โˆž)))) = if((((0 < +โˆž โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (+โˆž < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง +โˆž = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง +โˆž = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < +โˆž โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (+โˆž < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง +โˆž = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง +โˆž = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท +โˆž))))
15 simpr 485 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 < ๐ด)
16 eqid 2732 . . . . . 6 +โˆž = +โˆž
1715, 16jctir 521 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (0 < ๐ด โˆง +โˆž = +โˆž))
1817orcd 871 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((0 < ๐ด โˆง +โˆž = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง +โˆž = -โˆž)))
1918olcd 872 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (((0 < +โˆž โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (+โˆž < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง +โˆž = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง +โˆž = -โˆž))))
2019iftrued 4536 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โ†’ if((((0 < +โˆž โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (+โˆž < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง +โˆž = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง +โˆž = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < +โˆž โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (+โˆž < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง +โˆž = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง +โˆž = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท +โˆž))) = +โˆž)
214, 14, 203eqtrd 2776 1 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) = +โˆž)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  ifcif 4528   class class class wbr 5148  (class class class)co 7411  โ„cr 11111  0cc0 11112   ยท cmul 11117  +โˆžcpnf 11247  -โˆžcmnf 11248  โ„*cxr 11249   < clt 11250   ยทe cxmu 13093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-i2m1 11180  ax-rnegex 11183  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-xmul 13096
This theorem is referenced by:  xmulpnf2  13256  xmulmnf1  13257  xmulpnf1n  13259  xmulgt0  13264  xmulasslem3  13267  xlemul1a  13269  xadddilem  13275  nn0xmulclb  32022  hashxpe  32057  xdivpnfrp  32137  xrge0adddir  32231  esumcst  33130  esumpinfval  33140
  Copyright terms: Public domain W3C validator