Theorem xmulpnf1 13234

Description: Multiplication by plus infinity on the right. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmulpnf1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)

Proof of Theorem xmulpnf1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11228	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		xmulval 13185	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e +∞) = if((𝐴 = 0 ∨ +∞ = 0), 0, if((((0 < +∞ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = -∞))), +∞, if((((0 < +∞ ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = +∞))), -∞, (𝐴 · +∞)))))
3	1, 2	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e +∞) = if((𝐴 = 0 ∨ +∞ = 0), 0, if((((0 < +∞ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = -∞))), +∞, if((((0 < +∞ ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = +∞))), -∞, (𝐴 · +∞)))))
4	3	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e +∞) = if((𝐴 = 0 ∨ +∞ = 0), 0, if((((0 < +∞ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = -∞))), +∞, if((((0 < +∞ ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = +∞))), -∞, (𝐴 · +∞)))))
5		0xr 11221	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
6		xrltne 13123	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
7	5, 6	mp3an1 1450	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
8		0re 11176	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		renepnf 11222	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ≠ +∞)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ +∞
11	10	necomi 2979	. . . 4 ⊢ +∞ ≠ 0
12		neanior 3018	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∧ +∞ ≠ 0) ↔ ¬ (𝐴 = 0 ∨ +∞ = 0))
13	7, 11, 12	sylanblc 589	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → ¬ (𝐴 = 0 ∨ +∞ = 0))
14	13	iffalsed 4499	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → if((𝐴 = 0 ∨ +∞ = 0), 0, if((((0 < +∞ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = -∞))), +∞, if((((0 < +∞ ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = +∞))), -∞, (𝐴 · +∞)))) = if((((0 < +∞ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = -∞))), +∞, if((((0 < +∞ ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = +∞))), -∞, (𝐴 · +∞))))
15		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
16		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ +∞ = +∞
17	15, 16	jctir 520	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (0 < 𝐴 ∧ +∞ = +∞))
18	17	orcd 873	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = -∞)))
19	18	olcd 874	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (((0 < +∞ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = -∞))))
20	19	iftrued 4496	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → if((((0 < +∞ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = -∞))), +∞, if((((0 < +∞ ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = +∞))), -∞, (𝐴 · +∞))) = +∞)
21	4, 14, 20	3eqtrd 2768	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ifcif 4488   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  0cc0 11068   · cmul 11073  +∞cpnf 11205  -∞cmnf 11206  ℝ^*cxr 11207   < clt 11208   ·_e cxmu 13071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-i2m1 11136  ax-rnegex 11139  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-xmul 13074

This theorem is referenced by:  xmulpnf2  13235  xmulmnf1  13236  xmulpnf1n  13238  xmulgt0  13243  xmulasslem3  13246  xlemul1a  13248  xadddilem  13254  nn0xmulclb  32694  hashxpe  32732  xdivpnfrp  32853  xrge0adddir  32959  esumcst  34053  esumpinfval  34063