Theorem xmulpnf1 13326

Description: Multiplication by plus infinity on the right. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmulpnf1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)

Proof of Theorem xmulpnf1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11287	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		xmulval 13277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e +∞) = if((𝐴 = 0 ∨ +∞ = 0), 0, if((((0 < +∞ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = -∞))), +∞, if((((0 < +∞ ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = +∞))), -∞, (𝐴 · +∞)))))
3	1, 2	mpan2 704	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e +∞) = if((𝐴 = 0 ∨ +∞ = 0), 0, if((((0 < +∞ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = -∞))), +∞, if((((0 < +∞ ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = +∞))), -∞, (𝐴 · +∞)))))
4	3	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e +∞) = if((𝐴 = 0 ∨ +∞ = 0), 0, if((((0 < +∞ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = -∞))), +∞, if((((0 < +∞ ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = +∞))), -∞, (𝐴 · +∞)))))
5		0xr 11280	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
6		xrltne 13214	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
7	5, 6	mp3an1 1477	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
8		0re 11234	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		renepnf 11281	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ≠ +∞)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ +∞
11	10	necomi 3009	. . . 4 ⊢ +∞ ≠ 0
12		neanior 3048	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∧ +∞ ≠ 0) ↔ ¬ (𝐴 = 0 ∨ +∞ = 0))
13	7, 11, 12	sylanblc 601	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → ¬ (𝐴 = 0 ∨ +∞ = 0))
14	13	iffalsed 4493	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → if((𝐴 = 0 ∨ +∞ = 0), 0, if((((0 < +∞ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = -∞))), +∞, if((((0 < +∞ ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = +∞))), -∞, (𝐴 · +∞)))) = if((((0 < +∞ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = -∞))), +∞, if((((0 < +∞ ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = +∞))), -∞, (𝐴 · +∞))))
15		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
16		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ +∞ = +∞
17	15, 16	jctir 530	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (0 < 𝐴 ∧ +∞ = +∞))
18	17	orcd 887	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = -∞)))
19	18	olcd 888	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (((0 < +∞ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = -∞))))
20	19	iftrued 4490	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → if((((0 < +∞ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = -∞))), +∞, if((((0 < +∞ ∧ 𝐴 = -∞) ∨ (+∞ < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴 ∧ +∞ = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ +∞ = +∞))), -∞, (𝐴 · +∞))) = +∞)
21	4, 14, 20	3eqtrd 2799	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ifcif 4482   class class class wbr 5103  (class class class)co 7413  ℝcr 11123  0cc0 11124   · cmul 11129  +∞cpnf 11264  -∞cmnf 11265  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267   ·_e cxmu 13162

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-i2m1 11192  ax-rnegex 11195  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-xmul 13165

This theorem is used by:  xmulpnf2  13327  xmulmnf1  13328  xmulpnf1n  13330  xmulgt0  13335  xmulasslem3  13338  xlemul1a  13340  xadddilem  13346  nn0xmulclb  33242  hashxpe  33278  xdivpnfrp  33378  xrge0adddir  33458  esumcst  34573  esumpinfval  34583