MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmulpnf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmulpnf1 13200
Description: Multiplication by plus infinity on the right. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmulpnf1 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) = +โˆž)

Proof of Theorem xmulpnf1
StepHypRef Expression
1 pnfxr 11216 . . . 4 +โˆž โˆˆ โ„*
2 xmulval 13151 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง +โˆž โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) = if((๐ด = 0 โˆจ +โˆž = 0), 0, if((((0 < +โˆž โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (+โˆž < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง +โˆž = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง +โˆž = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < +โˆž โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (+โˆž < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง +โˆž = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง +โˆž = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท +โˆž)))))
31, 2mpan2 690 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) = if((๐ด = 0 โˆจ +โˆž = 0), 0, if((((0 < +โˆž โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (+โˆž < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง +โˆž = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง +โˆž = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < +โˆž โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (+โˆž < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง +โˆž = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง +โˆž = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท +โˆž)))))
43adantr 482 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) = if((๐ด = 0 โˆจ +โˆž = 0), 0, if((((0 < +โˆž โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (+โˆž < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง +โˆž = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง +โˆž = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < +โˆž โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (+โˆž < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง +โˆž = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง +โˆž = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท +โˆž)))))
5 0xr 11209 . . . . 5 0 โˆˆ โ„*
6 xrltne 13089 . . . . 5 ((0 โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด โ‰  0)
75, 6mp3an1 1449 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด โ‰  0)
8 0re 11164 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„
9 renepnf 11210 . . . . . 6 (0 โˆˆ โ„ โ†’ 0 โ‰  +โˆž)
108, 9ax-mp 5 . . . . 5 0 โ‰  +โˆž
1110necomi 2999 . . . 4 +โˆž โ‰  0
12 neanior 3038 . . . 4 ((๐ด โ‰  0 โˆง +โˆž โ‰  0) โ†” ยฌ (๐ด = 0 โˆจ +โˆž = 0))
137, 11, 12sylanblc 590 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ยฌ (๐ด = 0 โˆจ +โˆž = 0))
1413iffalsed 4502 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โ†’ if((๐ด = 0 โˆจ +โˆž = 0), 0, if((((0 < +โˆž โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (+โˆž < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง +โˆž = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง +โˆž = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < +โˆž โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (+โˆž < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง +โˆž = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง +โˆž = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท +โˆž)))) = if((((0 < +โˆž โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (+โˆž < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง +โˆž = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง +โˆž = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < +โˆž โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (+โˆž < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง +โˆž = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง +โˆž = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท +โˆž))))
15 simpr 486 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 < ๐ด)
16 eqid 2737 . . . . . 6 +โˆž = +โˆž
1715, 16jctir 522 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (0 < ๐ด โˆง +โˆž = +โˆž))
1817orcd 872 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((0 < ๐ด โˆง +โˆž = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง +โˆž = -โˆž)))
1918olcd 873 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (((0 < +โˆž โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (+โˆž < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง +โˆž = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง +โˆž = -โˆž))))
2019iftrued 4499 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โ†’ if((((0 < +โˆž โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (+โˆž < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง +โˆž = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง +โˆž = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < +โˆž โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (+โˆž < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง +โˆž = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง +โˆž = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท +โˆž))) = +โˆž)
214, 14, 203eqtrd 2781 1 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) = +โˆž)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  ifcif 4491   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  โ„cr 11057  0cc0 11058   ยท cmul 11063  +โˆžcpnf 11193  -โˆžcmnf 11194  โ„*cxr 11195   < clt 11196   ยทe cxmu 13039
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-i2m1 11126  ax-rnegex 11129  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-xmul 13042
This theorem is referenced by:  xmulpnf2  13201  xmulmnf1  13202  xmulpnf1n  13204  xmulgt0  13209  xmulasslem3  13212  xlemul1a  13214  xadddilem  13220  nn0xmulclb  31718  hashxpe  31751  xdivpnfrp  31831  xrge0adddir  31925  esumcst  32702  esumpinfval  32712
  Copyright terms: Public domain W3C validator