MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rexmul 13249
Description: The extended real multiplication when both arguments are real. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
rexmul ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) = (๐ด ยท ๐ต))

Proof of Theorem rexmul
StepHypRef Expression
1 renepnf 11261 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โ‰  +โˆž)
21adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โ‰  +โˆž)
32necon2bi 2971 . . . . . . . . 9 (๐ด = +โˆž โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„))
43adantl 482 . . . . . . . 8 ((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„))
5 renemnf 11262 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โ‰  -โˆž)
65adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โ‰  -โˆž)
76necon2bi 2971 . . . . . . . . 9 (๐ด = -โˆž โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„))
87adantl 482 . . . . . . . 8 ((๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž) โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„))
94, 8jaoi 855 . . . . . . 7 (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„))
10 renepnf 11261 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โ‰  +โˆž)
1110adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โ‰  +โˆž)
1211necon2bi 2971 . . . . . . . . 9 (๐ต = +โˆž โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„))
1312adantl 482 . . . . . . . 8 ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„))
14 renemnf 11262 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โ‰  -โˆž)
1514adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โ‰  -โˆž)
1615necon2bi 2971 . . . . . . . . 9 (๐ต = -โˆž โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„))
1716adantl 482 . . . . . . . 8 ((๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž) โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„))
1813, 17jaoi 855 . . . . . . 7 (((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)) โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„))
199, 18jaoi 855 . . . . . 6 ((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))) โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„))
2019con2i 139 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))))
2120iffalsed 4539 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))
227adantl 482 . . . . . . . 8 ((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„))
233adantl 482 . . . . . . . 8 ((๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž) โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„))
2422, 23jaoi 855 . . . . . . 7 (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„))
2516adantl 482 . . . . . . . 8 ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„))
2612adantl 482 . . . . . . . 8 ((๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž) โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„))
2725, 26jaoi 855 . . . . . . 7 (((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)) โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„))
2824, 27jaoi 855 . . . . . 6 ((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))) โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„))
2928con2i 139 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))))
3029iffalsed 4539 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)) = (๐ด ยท ๐ต))
3121, 30eqtrd 2772 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = (๐ด ยท ๐ต))
3231ifeq2d 4548 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))) = if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, (๐ด ยท ๐ต)))
33 rexr 11259 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
34 rexr 11259 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
35 xmulval 13203 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) = if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))))
3633, 34, 35syl2an 596 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) = if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))))
37 ifid 4568 . . 3 if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), (๐ด ยท ๐ต), (๐ด ยท ๐ต)) = (๐ด ยท ๐ต)
38 oveq1 7415 . . . . . 6 (๐ด = 0 โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (0 ยท ๐ต))
39 mul02lem2 11390 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (0 ยท ๐ต) = 0)
4039adantl 482 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 ยท ๐ต) = 0)
4138, 40sylan9eqr 2794 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ด = 0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = 0)
42 oveq2 7416 . . . . . 6 (๐ต = 0 โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ด ยท 0))
43 recn 11199 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4443mul01d 11412 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด ยท 0) = 0)
4544adantr 481 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท 0) = 0)
4642, 45sylan9eqr 2794 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = 0)
4741, 46jaodan 956 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = 0)
4847ifeq1da 4559 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), (๐ด ยท ๐ต), (๐ด ยท ๐ต)) = if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, (๐ด ยท ๐ต)))
4937, 48eqtr3id 2786 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, (๐ด ยท ๐ต)))
5032, 36, 493eqtr4d 2782 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) = (๐ด ยท ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  ifcif 4528   class class class wbr 5148  (class class class)co 7408  โ„cr 11108  0cc0 11109   ยท cmul 11114  +โˆžcpnf 11244  -โˆžcmnf 11245  โ„*cxr 11246   < clt 11247   ยทe cxmu 13090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-xmul 13093
This theorem is referenced by:  xmulrid  13257  xmulgt0  13261  xmulasslem3  13264  xlemul1a  13266  xlemul1  13268  xadddilem  13272  nmoix  24245  nmoi2  24246  metnrmlem3  24376  nmoleub2lem  24629  nn0xmulclb  31979  hashxpe  32014  xrecex  32081  rexdiv  32087  pnfinf  32324  xrge0slmod  32458  esumcst  33056  omssubadd  33294
  Copyright terms: Public domain W3C validator