MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rexmul 13199
Description: The extended real multiplication when both arguments are real. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
rexmul ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) = (๐ด ยท ๐ต))

Proof of Theorem rexmul
StepHypRef Expression
1 renepnf 11211 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โ‰  +โˆž)
21adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โ‰  +โˆž)
32necon2bi 2971 . . . . . . . . 9 (๐ด = +โˆž โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„))
43adantl 483 . . . . . . . 8 ((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„))
5 renemnf 11212 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โ‰  -โˆž)
65adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โ‰  -โˆž)
76necon2bi 2971 . . . . . . . . 9 (๐ด = -โˆž โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„))
87adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž) โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„))
94, 8jaoi 856 . . . . . . 7 (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„))
10 renepnf 11211 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โ‰  +โˆž)
1110adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โ‰  +โˆž)
1211necon2bi 2971 . . . . . . . . 9 (๐ต = +โˆž โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„))
1312adantl 483 . . . . . . . 8 ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„))
14 renemnf 11212 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โ‰  -โˆž)
1514adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โ‰  -โˆž)
1615necon2bi 2971 . . . . . . . . 9 (๐ต = -โˆž โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„))
1716adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž) โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„))
1813, 17jaoi 856 . . . . . . 7 (((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž)) โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„))
199, 18jaoi 856 . . . . . 6 ((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))) โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„))
2019con2i 139 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))))
2120iffalsed 4501 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))
227adantl 483 . . . . . . . 8 ((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„))
233adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž) โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„))
2422, 23jaoi 856 . . . . . . 7 (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„))
2516adantl 483 . . . . . . . 8 ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„))
2612adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž) โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„))
2725, 26jaoi 856 . . . . . . 7 (((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž)) โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„))
2824, 27jaoi 856 . . . . . 6 ((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))) โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„))
2928con2i 139 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ยฌ (((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))))
3029iffalsed 4501 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)) = (๐ด ยท ๐ต))
3121, 30eqtrd 2773 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต))) = (๐ด ยท ๐ต))
3231ifeq2d 4510 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))) = if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, (๐ด ยท ๐ต)))
33 rexr 11209 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
34 rexr 11209 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
35 xmulval 13153 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) = if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))))
3633, 34, 35syl2an 597 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) = if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = +โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐ต โˆง ๐ด = -โˆž) โˆจ (๐ต < 0 โˆง ๐ด = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐ด โˆง ๐ต = -โˆž) โˆจ (๐ด < 0 โˆง ๐ต = +โˆž))), -โˆž, (๐ด ยท ๐ต)))))
37 ifid 4530 . . 3 if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), (๐ด ยท ๐ต), (๐ด ยท ๐ต)) = (๐ด ยท ๐ต)
38 oveq1 7368 . . . . . 6 (๐ด = 0 โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (0 ยท ๐ต))
39 mul02lem2 11340 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (0 ยท ๐ต) = 0)
4039adantl 483 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 ยท ๐ต) = 0)
4138, 40sylan9eqr 2795 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ด = 0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = 0)
42 oveq2 7369 . . . . . 6 (๐ต = 0 โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ด ยท 0))
43 recn 11149 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4443mul01d 11362 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด ยท 0) = 0)
4544adantr 482 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท 0) = 0)
4642, 45sylan9eqr 2795 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = 0)
4741, 46jaodan 957 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = 0)
4847ifeq1da 4521 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), (๐ด ยท ๐ต), (๐ด ยท ๐ต)) = if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, (๐ด ยท ๐ต)))
4937, 48eqtr3id 2787 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = if((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0), 0, (๐ด ยท ๐ต)))
5032, 36, 493eqtr4d 2783 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) = (๐ด ยท ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  ifcif 4490   class class class wbr 5109  (class class class)co 7361  โ„cr 11058  0cc0 11059   ยท cmul 11064  +โˆžcpnf 11194  -โˆžcmnf 11195  โ„*cxr 11196   < clt 11197   ยทe cxmu 13040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-xmul 13043
This theorem is referenced by:  xmulid1  13207  xmulgt0  13211  xmulasslem3  13214  xlemul1a  13216  xlemul1  13218  xadddilem  13222  nmoix  24116  nmoi2  24117  metnrmlem3  24247  nmoleub2lem  24500  nn0xmulclb  31730  hashxpe  31765  xrecex  31832  rexdiv  31838  pnfinf  32075  xrge0slmod  32194  esumcst  32726  omssubadd  32964
  Copyright terms: Public domain W3C validator