MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rexmul 13313
Description: The extended real multiplication when both arguments are real. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
rexmul ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem rexmul
StepHypRef Expression
1 renepnf 11309 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)
21adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ +∞)
32necon2bi 2971 . . . . . . . . 9 (𝐴 = +∞ → ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
43adantl 481 . . . . . . . 8 ((0 < 𝐵𝐴 = +∞) → ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
5 renemnf 11310 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
65adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ -∞)
76necon2bi 2971 . . . . . . . . 9 (𝐴 = -∞ → ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
87adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = -∞) → ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
94, 8jaoi 858 . . . . . . 7 (((0 < 𝐵𝐴 = +∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) → ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
10 renepnf 11309 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≠ +∞)
1110adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ +∞)
1211necon2bi 2971 . . . . . . . . 9 (𝐵 = +∞ → ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
1312adantl 481 . . . . . . . 8 ((0 < 𝐴𝐵 = +∞) → ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
14 renemnf 11310 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≠ -∞)
1514adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ -∞)
1615necon2bi 2971 . . . . . . . . 9 (𝐵 = -∞ → ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
1716adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
1813, 17jaoi 858 . . . . . . 7 (((0 < 𝐴𝐵 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = -∞)) → ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
199, 18jaoi 858 . . . . . 6 ((((0 < 𝐵𝐴 = +∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴𝐵 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = -∞))) → ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
2019con2i 139 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ¬ (((0 < 𝐵𝐴 = +∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴𝐵 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = -∞))))
2120iffalsed 4536 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if((((0 < 𝐵𝐴 = +∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴𝐵 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = -∞))), +∞, if((((0 < 𝐵𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞))), -∞, (𝐴 · 𝐵))) = if((((0 < 𝐵𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞))), -∞, (𝐴 · 𝐵)))
227adantl 481 . . . . . . . 8 ((0 < 𝐵𝐴 = -∞) → ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
233adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
2422, 23jaoi 858 . . . . . . 7 (((0 < 𝐵𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) → ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
2516adantl 481 . . . . . . . 8 ((0 < 𝐴𝐵 = -∞) → ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
2612adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞) → ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
2725, 26jaoi 858 . . . . . . 7 (((0 < 𝐴𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞)) → ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
2824, 27jaoi 858 . . . . . 6 ((((0 < 𝐵𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞))) → ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
2928con2i 139 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ¬ (((0 < 𝐵𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞))))
3029iffalsed 4536 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if((((0 < 𝐵𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞))), -∞, (𝐴 · 𝐵)) = (𝐴 · 𝐵))
3121, 30eqtrd 2777 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if((((0 < 𝐵𝐴 = +∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴𝐵 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = -∞))), +∞, if((((0 < 𝐵𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞))), -∞, (𝐴 · 𝐵))) = (𝐴 · 𝐵))
3231ifeq2d 4546 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if((𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0), 0, if((((0 < 𝐵𝐴 = +∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴𝐵 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = -∞))), +∞, if((((0 < 𝐵𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞))), -∞, (𝐴 · 𝐵)))) = if((𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0), 0, (𝐴 · 𝐵)))
33 rexr 11307 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
34 rexr 11307 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
35 xmulval 13267 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝐵) = if((𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0), 0, if((((0 < 𝐵𝐴 = +∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴𝐵 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = -∞))), +∞, if((((0 < 𝐵𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞))), -∞, (𝐴 · 𝐵)))))
3633, 34, 35syl2an 596 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐵) = if((𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0), 0, if((((0 < 𝐵𝐴 = +∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴𝐵 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = -∞))), +∞, if((((0 < 𝐵𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞))), -∞, (𝐴 · 𝐵)))))
37 ifid 4566 . . 3 if((𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0), (𝐴 · 𝐵), (𝐴 · 𝐵)) = (𝐴 · 𝐵)
38 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (0 · 𝐵))
39 mul02lem2 11438 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → (0 · 𝐵) = 0)
4039adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 · 𝐵) = 0)
4138, 40sylan9eqr 2799 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 · 𝐵) = 0)
42 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 0))
43 recn 11245 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
4443mul01d 11460 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)
4544adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 0) = 0)
4642, 45sylan9eqr 2799 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 · 𝐵) = 0)
4741, 46jaodan 960 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)) → (𝐴 · 𝐵) = 0)
4847ifeq1da 4557 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if((𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0), (𝐴 · 𝐵), (𝐴 · 𝐵)) = if((𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0), 0, (𝐴 · 𝐵)))
4937, 48eqtr3id 2791 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) = if((𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0), 0, (𝐴 · 𝐵)))
5032, 36, 493eqtr4d 2787 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  ifcif 4525   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155   · cmul 11160  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  *cxr 11294   < clt 11295   ·e cxmu 13153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-xmul 13156
This theorem is referenced by:  xmulrid  13321  xmulgt0  13325  xmulasslem3  13328  xlemul1a  13330  xlemul1  13332  xadddilem  13336  nmoix  24750  nmoi2  24751  metnrmlem3  24883  nmoleub2lem  25147  nn0xmulclb  32775  hashxpe  32811  xrecex  32902  rexdiv  32908  pnfinf  33190  xrge0slmod  33376  fldextrspundgdvdslem  33730  fldextrspundgdvds  33731  fldext2rspun  33732  fldext2chn  33769  esumcst  34064  omssubadd  34302
  Copyright terms: Public domain W3C validator