Theorem xaddcom 13377

Description: The extended real addition operation is commutative. (Contributed by NM, 26-Dec-2011.)

Assertion

Ref	Expression
xaddcom	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +e 𝐵) = (𝐵 +e 𝐴))

Proof of Theorem xaddcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 13252	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		elxr 13252	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
3		recn 11297	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
4		recn 11297	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
5		addcom 11503	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
6	3, 4, 5	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
7		rexadd 13369	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +e 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
8		rexadd 13369	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 +e 𝐴) = (𝐵 + 𝐴))
9	8	ancoms 464	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 +e 𝐴) = (𝐵 + 𝐴))
10	6, 7, 9	3eqtr4d 2805	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +e 𝐵) = (𝐵 +e 𝐴))
11		oveq2 7432	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐴 +e 𝐵) = (𝐴 +e +∞))
12		rexr 11362	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
13		renemnf 11365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
14		xaddpnf1 13363	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +e +∞) = +∞)
15	12, 13, 14	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +e +∞) = +∞)
16	11, 15	sylan9eqr 2817	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +e 𝐵) = +∞)
17		oveq1 7431	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐵 +e 𝐴) = (+∞ +e 𝐴))
18		xaddpnf2 13364	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (+∞ +e 𝐴) = +∞)
19	12, 13, 18	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (+∞ +e 𝐴) = +∞)
20	17, 19	sylan9eqr 2817	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 +e 𝐴) = +∞)
21	16, 20	eqtr4d 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +e 𝐵) = (𝐵 +e 𝐴))
22		oveq2 7432	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = -∞ → (𝐴 +e 𝐵) = (𝐴 +e -∞))
23		renepnf 11364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)
24		xaddmnf1 13365	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (𝐴 +e -∞) = -∞)
25	12, 23, 24	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +e -∞) = -∞)
26	22, 25	sylan9eqr 2817	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +e 𝐵) = -∞)
27		oveq1 7431	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = -∞ → (𝐵 +e 𝐴) = (-∞ +e 𝐴))
28		xaddmnf2 13366	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (-∞ +e 𝐴) = -∞)
29	12, 23, 28	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-∞ +e 𝐴) = -∞)
30	27, 29	sylan9eqr 2817	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 +e 𝐴) = -∞)
31	26, 30	eqtr4d 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +e 𝐵) = (𝐵 +e 𝐴))
32	10, 21, 31	3jaodan 1458	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) → (𝐴 +e 𝐵) = (𝐵 +e 𝐴))
33	2, 32	sylan2b 606	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +e 𝐵) = (𝐵 +e 𝐴))
34		pnfaddmnf 13367	. . . . . . . 8 ⊢ (+∞ +e -∞) = 0
35		mnfaddpnf 13368	. . . . . . . 8 ⊢ (-∞ +e +∞) = 0
36	34, 35	eqtr4i 2786	. . . . . . 7 ⊢ (+∞ +e -∞) = (-∞ +e +∞)
37		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
38	37	oveq2d 7440	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = -∞) → (+∞ +e 𝐵) = (+∞ +e -∞))
39	37	oveq1d 7439	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 +e +∞) = (-∞ +e +∞))
40	36, 38, 39	3eqtr4a 2821	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = -∞) → (+∞ +e 𝐵) = (𝐵 +e +∞))
41		xaddpnf2 13364	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +e 𝐵) = +∞)
42		xaddpnf1 13363	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 +e +∞) = +∞)
43	41, 42	eqtr4d 2798	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +e 𝐵) = (𝐵 +e +∞))
44	40, 43	pm2.61dane 3042	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (+∞ +e 𝐵) = (𝐵 +e +∞))
45	44	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (+∞ +e 𝐵) = (𝐵 +e +∞))
46		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 = +∞)
47	46	oveq1d 7439	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +e 𝐵) = (+∞ +e 𝐵))
48	46	oveq2d 7440	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 +e 𝐴) = (𝐵 +e +∞))
49	45, 47, 48	3eqtr4d 2805	. . 3 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +e 𝐵) = (𝐵 +e 𝐴))
50	35, 34	eqtr4i 2786	. . . . . . 7 ⊢ (-∞ +e +∞) = (+∞ +e -∞)
51		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐵 = +∞)
52	51	oveq2d 7440	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = +∞) → (-∞ +e 𝐵) = (-∞ +e +∞))
53	51	oveq1d 7439	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 +e -∞) = (+∞ +e -∞))
54	50, 52, 53	3eqtr4a 2821	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = +∞) → (-∞ +e 𝐵) = (𝐵 +e -∞))
55		xaddmnf2 13366	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +e 𝐵) = -∞)
56		xaddmnf1 13365	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) → (𝐵 +e -∞) = -∞)
57	55, 56	eqtr4d 2798	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +e 𝐵) = (𝐵 +e -∞))
58	54, 57	pm2.61dane 3042	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (-∞ +e 𝐵) = (𝐵 +e -∞))
59	58	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-∞ +e 𝐵) = (𝐵 +e -∞))
60		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 = -∞)
61	60	oveq1d 7439	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +e 𝐵) = (-∞ +e 𝐵))
62	60	oveq2d 7440	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 +e 𝐴) = (𝐵 +e -∞))
63	59, 61, 62	3eqtr4d 2805	. . 3 ⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +e 𝐵) = (𝐵 +e 𝐴))
64	33, 49, 63	3jaoian 1457	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +e 𝐵) = (𝐵 +e 𝐴))
65	1, 64	sylanb 593	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +e 𝐵) = (𝐵 +e 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  (class class class)co 7424  ℂcc 11205  ℝcr 11206  0cc0 11207   + caddc 11210  +∞cpnf 11347  -∞cmnf 11348  ℝ^*cxr 11349   +_e cxad 13246

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-xadd 13249

This theorem is used by:  xaddlid  13379  xleadd2a  13391  xltadd2  13394  xposdif  13399  xadd4d  13440  hashunx  14537  xrsnsgrp  21723  xrs1cmn  21757  blcld  24833  xrsxmet  25138  metdstri  25180  vtxdginducedm1  30133  xaddeq0  33395  xlt2addrd  33401  xrge0npcan  33631  esumle  34740  esumlef  34744  measun  34894  difelcarsg  34992  xaddcomd  46472