Theorem xaddcom 13410

Description: The extended real addition operation is commutative. (Contributed by NM, 26-Dec-2011.)

Assertion

Ref	Expression
xaddcom	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +e 𝐵) = (𝐵 +e 𝐴))

Proof of Theorem xaddcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 13285	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		elxr 13285	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
3		recn 11329	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
4		recn 11329	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
5		addcom 11535	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
6	3, 4, 5	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
7		rexadd 13402	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +e 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
8		rexadd 13402	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 +e 𝐴) = (𝐵 + 𝐴))
9	8	ancoms 464	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 +e 𝐴) = (𝐵 + 𝐴))
10	6, 7, 9	3eqtr4d 2808	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +e 𝐵) = (𝐵 +e 𝐴))
11		oveq2 7459	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐴 +e 𝐵) = (𝐴 +e +∞))
12		rexr 11394	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
13		renemnf 11397	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
14		xaddpnf1 13396	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +e +∞) = +∞)
15	12, 13, 14	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +e +∞) = +∞)
16	11, 15	sylan9eqr 2820	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +e 𝐵) = +∞)
17		oveq1 7458	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐵 +e 𝐴) = (+∞ +e 𝐴))
18		xaddpnf2 13397	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (+∞ +e 𝐴) = +∞)
19	12, 13, 18	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (+∞ +e 𝐴) = +∞)
20	17, 19	sylan9eqr 2820	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 +e 𝐴) = +∞)
21	16, 20	eqtr4d 2801	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +e 𝐵) = (𝐵 +e 𝐴))
22		oveq2 7459	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = -∞ → (𝐴 +e 𝐵) = (𝐴 +e -∞))
23		renepnf 11396	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)
24		xaddmnf1 13398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (𝐴 +e -∞) = -∞)
25	12, 23, 24	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +e -∞) = -∞)
26	22, 25	sylan9eqr 2820	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +e 𝐵) = -∞)
27		oveq1 7458	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = -∞ → (𝐵 +e 𝐴) = (-∞ +e 𝐴))
28		xaddmnf2 13399	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (-∞ +e 𝐴) = -∞)
29	12, 23, 28	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-∞ +e 𝐴) = -∞)
30	27, 29	sylan9eqr 2820	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 +e 𝐴) = -∞)
31	26, 30	eqtr4d 2801	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +e 𝐵) = (𝐵 +e 𝐴))
32	10, 21, 31	3jaodan 1459	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) → (𝐴 +e 𝐵) = (𝐵 +e 𝐴))
33	2, 32	sylan2b 606	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +e 𝐵) = (𝐵 +e 𝐴))
34		pnfaddmnf 13400	. . . . . . . 8 ⊢ (+∞ +e -∞) = 0
35		mnfaddpnf 13401	. . . . . . . 8 ⊢ (-∞ +e +∞) = 0
36	34, 35	eqtr4i 2789	. . . . . . 7 ⊢ (+∞ +e -∞) = (-∞ +e +∞)
37		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
38	37	oveq2d 7467	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = -∞) → (+∞ +e 𝐵) = (+∞ +e -∞))
39	37	oveq1d 7466	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 +e +∞) = (-∞ +e +∞))
40	36, 38, 39	3eqtr4a 2824	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = -∞) → (+∞ +e 𝐵) = (𝐵 +e +∞))
41		xaddpnf2 13397	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +e 𝐵) = +∞)
42		xaddpnf1 13396	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 +e +∞) = +∞)
43	41, 42	eqtr4d 2801	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +e 𝐵) = (𝐵 +e +∞))
44	40, 43	pm2.61dane 3046	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (+∞ +e 𝐵) = (𝐵 +e +∞))
45	44	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (+∞ +e 𝐵) = (𝐵 +e +∞))
46		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 = +∞)
47	46	oveq1d 7466	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +e 𝐵) = (+∞ +e 𝐵))
48	46	oveq2d 7467	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 +e 𝐴) = (𝐵 +e +∞))
49	45, 47, 48	3eqtr4d 2808	. . 3 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +e 𝐵) = (𝐵 +e 𝐴))
50	35, 34	eqtr4i 2789	. . . . . . 7 ⊢ (-∞ +e +∞) = (+∞ +e -∞)
51		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐵 = +∞)
52	51	oveq2d 7467	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = +∞) → (-∞ +e 𝐵) = (-∞ +e +∞))
53	51	oveq1d 7466	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 +e -∞) = (+∞ +e -∞))
54	50, 52, 53	3eqtr4a 2824	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = +∞) → (-∞ +e 𝐵) = (𝐵 +e -∞))
55		xaddmnf2 13399	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +e 𝐵) = -∞)
56		xaddmnf1 13398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) → (𝐵 +e -∞) = -∞)
57	55, 56	eqtr4d 2801	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +e 𝐵) = (𝐵 +e -∞))
58	54, 57	pm2.61dane 3046	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (-∞ +e 𝐵) = (𝐵 +e -∞))
59	58	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-∞ +e 𝐵) = (𝐵 +e -∞))
60		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 = -∞)
61	60	oveq1d 7466	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +e 𝐵) = (-∞ +e 𝐵))
62	60	oveq2d 7467	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 +e 𝐴) = (𝐵 +e -∞))
63	59, 61, 62	3eqtr4d 2808	. . 3 ⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +e 𝐵) = (𝐵 +e 𝐴))
64	33, 49, 63	3jaoian 1458	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +e 𝐵) = (𝐵 +e 𝐴))
65	1, 64	sylanb 593	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +e 𝐵) = (𝐵 +e 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  ℝcr 11238  0cc0 11239   + caddc 11242  +∞cpnf 11379  -∞cmnf 11380  ℝ^*cxr 11381   +_e cxad 13279

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-xadd 13282

This theorem is used by:  xaddlid  13412  xleadd2a  13424  xltadd2  13427  xposdif  13432  xadd4d  13473  hashunx  14571  xrsnsgrp  21766  xrs1cmn  21802  blcld  24879  xrsxmet  25184  metdstri  25226  vtxdginducedm1  30181  xaddeq0  33441  xlt2addrd  33447  xrge0npcan  33680  esumle  34801  esumlef  34805  measun  34955  difelcarsg  35053  xaddcomd  46609