MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xaddcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xaddcom 13283
Description: The extended real addition operation is commutative. (Contributed by NM, 26-Dec-2011.)
Assertion
Ref Expression
xaddcom ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐴))

Proof of Theorem xaddcom
StepHypRef Expression
1 elxr 13159 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 elxr 13159 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
3 recn 11246 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
4 recn 11246 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
5 addcom 11448 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
63, 4, 5syl2an 596 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
7 rexadd 13275 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
8 rexadd 13275 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐴) = (𝐵 + 𝐴))
98ancoms 458 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐴) = (𝐵 + 𝐴))
106, 7, 93eqtr4d 2786 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐴))
11 oveq2 7440 . . . . . . 7 (𝐵 = +∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 +∞))
12 rexr 11308 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
13 renemnf 11311 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
14 xaddpnf1 13269 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
1512, 13, 14syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
1611, 15sylan9eqr 2798 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)
17 oveq1 7439 . . . . . . 7 (𝐵 = +∞ → (𝐵 +𝑒 𝐴) = (+∞ +𝑒 𝐴))
18 xaddpnf2 13270 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐴) = +∞)
1912, 13, 18syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (+∞ +𝑒 𝐴) = +∞)
2017, 19sylan9eqr 2798 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐴) = +∞)
2116, 20eqtr4d 2779 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐴))
22 oveq2 7440 . . . . . . 7 (𝐵 = -∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 -∞))
23 renepnf 11310 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)
24 xaddmnf1 13271 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
2512, 23, 24syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
2622, 25sylan9eqr 2798 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = -∞)
27 oveq1 7439 . . . . . . 7 (𝐵 = -∞ → (𝐵 +𝑒 𝐴) = (-∞ +𝑒 𝐴))
28 xaddmnf2 13272 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐴) = -∞)
2912, 23, 28syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (-∞ +𝑒 𝐴) = -∞)
3027, 29sylan9eqr 2798 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 +𝑒 𝐴) = -∞)
3126, 30eqtr4d 2779 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐴))
3210, 21, 313jaodan 1432 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐴))
332, 32sylan2b 594 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐴))
34 pnfaddmnf 13273 . . . . . . . 8 (+∞ +𝑒 -∞) = 0
35 mnfaddpnf 13274 . . . . . . . 8 (-∞ +𝑒 +∞) = 0
3634, 35eqtr4i 2767 . . . . . . 7 (+∞ +𝑒 -∞) = (-∞ +𝑒 +∞)
37 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
3837oveq2d 7448 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 -∞))
3937oveq1d 7447 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (𝐵 +𝑒 +∞) = (-∞ +𝑒 +∞))
4036, 38, 393eqtr4a 2802 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 +∞))
41 xaddpnf2 13270 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
42 xaddpnf1 13269 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 +𝑒 +∞) = +∞)
4341, 42eqtr4d 2779 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 +∞))
4440, 43pm2.61dane 3028 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ* → (+∞ +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 +∞))
4544adantl 481 . . . 4 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (+∞ +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 +∞))
46 simpl 482 . . . . 5 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 = +∞)
4746oveq1d 7447 . . . 4 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 𝐵))
4846oveq2d 7448 . . . 4 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 +𝑒 𝐴) = (𝐵 +𝑒 +∞))
4945, 47, 483eqtr4d 2786 . . 3 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐴))
5035, 34eqtr4i 2767 . . . . . . 7 (-∞ +𝑒 +∞) = (+∞ +𝑒 -∞)
51 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → 𝐵 = +∞)
5251oveq2d 7448 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → (-∞ +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 +∞))
5351oveq1d 7447 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → (𝐵 +𝑒 -∞) = (+∞ +𝑒 -∞))
5450, 52, 533eqtr4a 2802 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → (-∞ +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 -∞))
55 xaddmnf2 13272 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞)
56 xaddmnf1 13271 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) → (𝐵 +𝑒 -∞) = -∞)
5755, 56eqtr4d 2779 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 -∞))
5854, 57pm2.61dane 3028 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ* → (-∞ +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 -∞))
5958adantl 481 . . . 4 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-∞ +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 -∞))
60 simpl 482 . . . . 5 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 = -∞)
6160oveq1d 7447 . . . 4 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 𝐵))
6260oveq2d 7448 . . . 4 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 +𝑒 𝐴) = (𝐵 +𝑒 -∞))
6359, 61, 623eqtr4d 2786 . . 3 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐴))
6433, 49, 633jaoian 1431 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐴))
651, 64sylanb 581 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3o 1085   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  (class class class)co 7432  cc 11154  cr 11155  0cc0 11156   + caddc 11159  +∞cpnf 11293  -∞cmnf 11294  *cxr 11295   +𝑒 cxad 13153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-xadd 13156
This theorem is referenced by:  xaddlid  13285  xleadd2a  13297  xltadd2  13300  xposdif  13305  xadd4d  13346  hashunx  14426  xrsnsgrp  21421  xrs1cmn  21425  blcld  24519  xrsxmet  24832  metdstri  24874  vtxdginducedm1  29562  xaddeq0  32758  xlt2addrd  32763  xrge0npcan  33026  esumle  34060  esumlef  34064  measun  34213  difelcarsg  34313  xaddcomd  45340
  Copyright terms: Public domain W3C validator