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Theorem xaddcom 12320
Description: The extended real addition operation is commutative. (Contributed by NM, 26-Dec-2011.)
Assertion
Ref Expression
xaddcom ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐴))

Proof of Theorem xaddcom
StepHypRef Expression
1 elxr 12197 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 elxr 12197 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
3 recn 10314 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
4 recn 10314 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
5 addcom 10512 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
63, 4, 5syl2an 590 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
7 rexadd 12312 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
8 rexadd 12312 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐴) = (𝐵 + 𝐴))
98ancoms 451 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐴) = (𝐵 + 𝐴))
106, 7, 93eqtr4d 2843 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐴))
11 oveq2 6886 . . . . . . 7 (𝐵 = +∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 +∞))
12 rexr 10374 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
13 renemnf 10377 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
14 xaddpnf1 12306 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
1512, 13, 14syl2anc 580 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
1611, 15sylan9eqr 2855 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)
17 oveq1 6885 . . . . . . 7 (𝐵 = +∞ → (𝐵 +𝑒 𝐴) = (+∞ +𝑒 𝐴))
18 xaddpnf2 12307 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐴) = +∞)
1912, 13, 18syl2anc 580 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (+∞ +𝑒 𝐴) = +∞)
2017, 19sylan9eqr 2855 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐴) = +∞)
2116, 20eqtr4d 2836 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐴))
22 oveq2 6886 . . . . . . 7 (𝐵 = -∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 -∞))
23 renepnf 10376 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)
24 xaddmnf1 12308 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
2512, 23, 24syl2anc 580 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
2622, 25sylan9eqr 2855 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = -∞)
27 oveq1 6885 . . . . . . 7 (𝐵 = -∞ → (𝐵 +𝑒 𝐴) = (-∞ +𝑒 𝐴))
28 xaddmnf2 12309 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐴) = -∞)
2912, 23, 28syl2anc 580 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (-∞ +𝑒 𝐴) = -∞)
3027, 29sylan9eqr 2855 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 +𝑒 𝐴) = -∞)
3126, 30eqtr4d 2836 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐴))
3210, 21, 313jaodan 1556 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐴))
332, 32sylan2b 588 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐴))
34 pnfaddmnf 12310 . . . . . . . 8 (+∞ +𝑒 -∞) = 0
35 mnfaddpnf 12311 . . . . . . . 8 (-∞ +𝑒 +∞) = 0
3634, 35eqtr4i 2824 . . . . . . 7 (+∞ +𝑒 -∞) = (-∞ +𝑒 +∞)
37 simpr 478 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
3837oveq2d 6894 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 -∞))
3937oveq1d 6893 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (𝐵 +𝑒 +∞) = (-∞ +𝑒 +∞))
4036, 38, 393eqtr4a 2859 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 +∞))
41 xaddpnf2 12307 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
42 xaddpnf1 12306 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 +𝑒 +∞) = +∞)
4341, 42eqtr4d 2836 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 +∞))
4440, 43pm2.61dane 3058 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ* → (+∞ +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 +∞))
4544adantl 474 . . . 4 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (+∞ +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 +∞))
46 simpl 475 . . . . 5 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 = +∞)
4746oveq1d 6893 . . . 4 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 𝐵))
4846oveq2d 6894 . . . 4 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 +𝑒 𝐴) = (𝐵 +𝑒 +∞))
4945, 47, 483eqtr4d 2843 . . 3 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐴))
5035, 34eqtr4i 2824 . . . . . . 7 (-∞ +𝑒 +∞) = (+∞ +𝑒 -∞)
51 simpr 478 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → 𝐵 = +∞)
5251oveq2d 6894 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → (-∞ +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 +∞))
5351oveq1d 6893 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → (𝐵 +𝑒 -∞) = (+∞ +𝑒 -∞))
5450, 52, 533eqtr4a 2859 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → (-∞ +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 -∞))
55 xaddmnf2 12309 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞)
56 xaddmnf1 12308 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) → (𝐵 +𝑒 -∞) = -∞)
5755, 56eqtr4d 2836 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 -∞))
5854, 57pm2.61dane 3058 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ* → (-∞ +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 -∞))
5958adantl 474 . . . 4 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-∞ +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 -∞))
60 simpl 475 . . . . 5 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 = -∞)
6160oveq1d 6893 . . . 4 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 𝐵))
6260oveq2d 6894 . . . 4 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 +𝑒 𝐴) = (𝐵 +𝑒 -∞))
6359, 61, 623eqtr4d 2843 . . 3 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐴))
6433, 49, 633jaoian 1555 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐴))
651, 64sylanb 577 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  w3o 1107   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2971  (class class class)co 6878  cc 10222  cr 10223  0cc0 10224   + caddc 10227  +∞cpnf 10360  -∞cmnf 10361  *cxr 10362   +𝑒 cxad 12191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-po 5233  df-so 5234  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-xadd 12194
This theorem is referenced by:  xaddid2  12322  xleadd2a  12333  xltadd2  12336  xposdif  12341  xadd4d  12382  hashunx  13425  xrsnsgrp  20104  xrs1cmn  20108  blcld  22638  xrsxmet  22940  metdstri  22982  vtxdginducedm1  26793  xaddeq0  30036  xlt2addrd  30041  xrge0npcan  30210  esumle  30636  esumlef  30640  measun  30790  difelcarsg  30888  xaddcomd  40284
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