MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  renemnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem renemnf 10684
Description: No real equals minus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
renemnf (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)

Proof of Theorem renemnf
StepHypRef Expression
1 mnfnre 10678 . . . 4 -∞ ∉ ℝ
21neli 3125 . . 3 ¬ -∞ ∈ ℝ
3 eleq1 2900 . . 3 (𝐴 = -∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ -∞ ∈ ℝ))
42, 3mtbiri 329 . 2 (𝐴 = -∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
54necon2ai 3045 1 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2110  wne 3016  cr 10530  -∞cmnf 10667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-resscn 10588
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672
This theorem is referenced by:  renemnfd  10687  renfdisj  10695  xrnemnf  12506  rexneg  12598  rexadd  12619  xaddnemnf  12623  xaddcom  12627  xaddid1  12628  xnegdi  12635  xpncan  12638  xleadd1a  12640  rexmul  12658  xadddilem  12681  xrs1mnd  20577  xrs10  20578  isxmet2d  22931  imasdsf1olem  22977  xaddeq0  30471  icorempo  34626  infrpge  41611  infleinflem1  41630  xrre4  41677  climxrre  42023
  Copyright terms: Public domain W3C validator