MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  renemnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem renemnf 10678
Description: No real equals minus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
renemnf (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)

Proof of Theorem renemnf
StepHypRef Expression
1 mnfnre 10672 . . . 4 -∞ ∉ ℝ
21neli 3122 . . 3 ¬ -∞ ∈ ℝ
3 eleq1 2897 . . 3 (𝐴 = -∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ -∞ ∈ ℝ))
42, 3mtbiri 328 . 2 (𝐴 = -∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
54necon2ai 3042 1 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  cr 10524  -∞cmnf 10661
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666
This theorem is referenced by:  renemnfd  10681  renfdisj  10689  xrnemnf  12500  rexneg  12592  rexadd  12613  xaddnemnf  12617  xaddcom  12621  xaddid1  12622  xnegdi  12629  xpncan  12632  xleadd1a  12634  rexmul  12652  xadddilem  12675  xrs1mnd  20511  xrs10  20512  isxmet2d  22864  imasdsf1olem  22910  xaddeq0  30403  icorempo  34514  infrpge  41495  infleinflem1  41514  xrre4  41561  climxrre  41907
  Copyright terms: Public domain W3C validator