MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  renemnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem renemnf 11209
Description: No real equals minus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
renemnf (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)

Proof of Theorem renemnf
StepHypRef Expression
1 mnfnre 11203 . . . 4 -∞ ∉ ℝ
21neli 3048 . . 3 ¬ -∞ ∈ ℝ
3 eleq1 2822 . . 3 (𝐴 = -∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ -∞ ∈ ℝ))
42, 3mtbiri 327 . 2 (𝐴 = -∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
54necon2ai 2970 1 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  cr 11055  -∞cmnf 11192
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11113
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197
This theorem is referenced by:  renemnfd  11212  renfdisj  11220  xrnemnf  13043  rexneg  13136  rexadd  13157  xaddnemnf  13161  xaddcom  13165  xaddid1  13166  xnegdi  13173  xpncan  13176  xleadd1a  13178  rexmul  13196  xadddilem  13219  xrs1mnd  20851  xrs10  20852  isxmet2d  23696  imasdsf1olem  23742  xaddeq0  31705  icorempo  35868  infrpge  43672  infleinflem1  43691  xrre4  43732  climxrre  44077
  Copyright terms: Public domain W3C validator