Theorem renemnf 11368

Description: No real equals minus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renemnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)

Proof of Theorem renemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfnre 11362	. . . 4 ⊢ -∞ ∉ ℝ
2	1	neli 3066	. . 3 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℝ
3		eleq1 2851	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ -∞ ∈ ℝ))
4	2, 3	mtbiri 330	. 2 ⊢ (𝐴 = -∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	necon2ai 2987	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958  ℝcr 11209  -∞cmnf 11351

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-resscn 11267

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356

This theorem is used by:  renemnfd  11371  renfdisj  11379  xrnemnf  13256  rexneg  13351  rexadd  13372  xaddnemnf  13376  xaddcom  13380  xaddrid  13381  xnegdi  13388  xpncan  13391  xleadd1a  13393  rexmul  13411  xadddilem  13434  xrs1mnd  21758  xrs10  21759  isxmet2d  24658  imasdsf1olem  24704  xaddeq0  33398  icorempo  38414  infrpge  46502  infleinflem1  46520  xrre4  46560  climxrre  46899