MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsnsgrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrsnsgrp 20871
Description: The "additive group" of the extended reals is not a semigroup. (Contributed by AV, 30-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
xrsnsgrp *𝑠 ∉ Smgrp

Proof of Theorem xrsnsgrp
StepHypRef Expression
1 1xr 11224 . . 3 1 ∈ ℝ*
2 mnfxr 11222 . . 3 -∞ ∈ ℝ*
3 pnfxr 11219 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
41, 2, 33pm3.2i 1340 . 2 (1 ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*)
5 xaddcom 13170 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (1 +𝑒 -∞) = (-∞ +𝑒 1))
61, 2, 5mp2an 691 . . . . . . 7 (1 +𝑒 -∞) = (-∞ +𝑒 1)
7 1re 11165 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
8 renepnf 11213 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℝ → 1 ≠ +∞)
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8 1 ≠ +∞
10 xaddmnf2 13159 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ* ∧ 1 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 1) = -∞)
111, 9, 10mp2an 691 . . . . . . 7 (-∞ +𝑒 1) = -∞
126, 11eqtri 2760 . . . . . 6 (1 +𝑒 -∞) = -∞
1312oveq1i 7373 . . . . 5 ((1 +𝑒 -∞) +𝑒 +∞) = (-∞ +𝑒 +∞)
14 mnfaddpnf 13161 . . . . 5 (-∞ +𝑒 +∞) = 0
1513, 14eqtri 2760 . . . 4 ((1 +𝑒 -∞) +𝑒 +∞) = 0
16 0ne1 12234 . . . 4 0 ≠ 1
1715, 16eqnetri 3011 . . 3 ((1 +𝑒 -∞) +𝑒 +∞) ≠ 1
1814oveq2i 7374 . . . 4 (1 +𝑒 (-∞ +𝑒 +∞)) = (1 +𝑒 0)
19 xaddrid 13171 . . . . 5 (1 ∈ ℝ* → (1 +𝑒 0) = 1)
201, 19ax-mp 5 . . . 4 (1 +𝑒 0) = 1
2118, 20eqtri 2760 . . 3 (1 +𝑒 (-∞ +𝑒 +∞)) = 1
2217, 21neeqtrri 3014 . 2 ((1 +𝑒 -∞) +𝑒 +∞) ≠ (1 +𝑒 (-∞ +𝑒 +∞))
23 xrsbas 20851 . . 3 * = (Base‘ℝ*𝑠)
24 xrsadd 20852 . . 3 +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
2523, 24isnsgrp 18565 . 2 ((1 ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (((1 +𝑒 -∞) +𝑒 +∞) ≠ (1 +𝑒 (-∞ +𝑒 +∞)) → ℝ*𝑠 ∉ Smgrp))
264, 22, 25mp2 9 1 *𝑠 ∉ Smgrp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  wnel 3046  (class class class)co 7363  cr 11060  0cc0 11061  1c1 11062  +∞cpnf 11196  -∞cmnf 11197  *cxr 11198   +𝑒 cxad 13041  *𝑠cxrs 17397  Smgrpcsgrp 18560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2703  ax-sep 5262  ax-nul 5269  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7678  ax-cnex 11117  ax-resscn 11118  ax-1cn 11119  ax-icn 11120  ax-addcl 11121  ax-addrcl 11122  ax-mulcl 11123  ax-mulrcl 11124  ax-mulcom 11125  ax-addass 11126  ax-mulass 11127  ax-distr 11128  ax-i2m1 11129  ax-1ne0 11130  ax-1rid 11131  ax-rnegex 11132  ax-rrecex 11133  ax-cnre 11134  ax-pre-lttri 11135  ax-pre-lttrn 11136  ax-pre-ltadd 11137  ax-pre-mulgt0 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4289  df-if 4493  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4872  df-iun 4962  df-br 5112  df-opab 5174  df-mpt 5195  df-tr 5229  df-id 5537  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5645  df-rel 5646  df-cnv 5647  df-co 5648  df-dm 5649  df-rn 5650  df-res 5651  df-ima 5652  df-pred 6259  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7319  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7809  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8218  df-wrecs 8249  df-recs 8323  df-rdg 8362  df-1o 8418  df-er 8656  df-en 8892  df-dom 8893  df-sdom 8894  df-fin 8895  df-pnf 11201  df-mnf 11202  df-xr 11203  df-ltxr 11204  df-le 11205  df-sub 11397  df-neg 11398  df-nn 12164  df-2 12226  df-3 12227  df-4 12228  df-5 12229  df-6 12230  df-7 12231  df-8 12232  df-9 12233  df-n0 12424  df-z 12510  df-dec 12629  df-uz 12774  df-xadd 13044  df-fz 13436  df-struct 17031  df-slot 17066  df-ndx 17078  df-base 17096  df-plusg 17161  df-mulr 17162  df-tset 17167  df-ple 17168  df-ds 17170  df-xrs 17399  df-sgrp 18561
This theorem is referenced by:  xrsmgmdifsgrp  20872
  Copyright terms: Public domain W3C validator