Theorem xrsnsgrp 21349

Description: The "additive group" of the extended reals is not a semigroup. (Contributed by AV, 30-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
xrsnsgrp	⊢ ℝ*𝑠 ∉ Smgrp

Proof of Theorem xrsnsgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1xr 11209	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ*
2		mnfxr 11207	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
3		pnfxr 11204	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1340	. 2 ⊢ (1 ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*)
5		xaddcom 13176	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (1 +𝑒 -∞) = (-∞ +𝑒 1))
6	1, 2, 5	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (1 +𝑒 -∞) = (-∞ +𝑒 1)
7		1re 11150	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		renepnf 11198	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 ≠ +∞)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ +∞
10		xaddmnf2 13165	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ 1 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 1) = -∞)
11	1, 9, 10	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (-∞ +𝑒 1) = -∞
12	6, 11	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ (1 +𝑒 -∞) = -∞
13	12	oveq1i 7379	. . . . 5 ⊢ ((1 +𝑒 -∞) +𝑒 +∞) = (-∞ +𝑒 +∞)
14		mnfaddpnf 13167	. . . . 5 ⊢ (-∞ +𝑒 +∞) = 0
15	13, 14	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ ((1 +𝑒 -∞) +𝑒 +∞) = 0
16		0ne1 12233	. . . 4 ⊢ 0 ≠ 1
17	15, 16	eqnetri 2995	. . 3 ⊢ ((1 +𝑒 -∞) +𝑒 +∞) ≠ 1
18	14	oveq2i 7380	. . . 4 ⊢ (1 +𝑒 (-∞ +𝑒 +∞)) = (1 +𝑒 0)
19		xaddrid 13177	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ* → (1 +𝑒 0) = 1)
20	1, 19	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (1 +𝑒 0) = 1
21	18, 20	eqtri 2752	. . 3 ⊢ (1 +𝑒 (-∞ +𝑒 +∞)) = 1
22	17, 21	neeqtrri 2998	. 2 ⊢ ((1 +𝑒 -∞) +𝑒 +∞) ≠ (1 +𝑒 (-∞ +𝑒 +∞))
23		xrsbas 17545	. . 3 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
24		xrsadd 21327	. . 3 ⊢ +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
25	23, 24	isnsgrp 18632	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (((1 +𝑒 -∞) +𝑒 +∞) ≠ (1 +𝑒 (-∞ +𝑒 +∞)) → ℝ*𝑠 ∉ Smgrp))
26	4, 22, 25	mp2 9	1 ⊢ ℝ*𝑠 ∉ Smgrp

Syntax hints:   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∉ wnel 3029  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045  +∞cpnf 11181  -∞cmnf 11182  ℝ^*cxr 11183   +_𝑒 cxad 13046  ℝ^*_𝑠cxrs 17439  Smgrpcsgrp 18627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-xadd 13049  df-fz 13445  df-struct 17093  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-xrs 17441  df-sgrp 18628

This theorem is referenced by:  xrsmgmdifsgrp  21350