MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsnsgrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrsnsgrp 20553
Description: The "additive group" of the extended reals is not a semigroup. (Contributed by AV, 30-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
xrsnsgrp *𝑠 ∉ Smgrp

Proof of Theorem xrsnsgrp
StepHypRef Expression
1 1xr 10674 . . 3 1 ∈ ℝ*
2 mnfxr 10672 . . 3 -∞ ∈ ℝ*
3 pnfxr 10669 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
41, 2, 33pm3.2i 1335 . 2 (1 ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*)
5 xaddcom 12608 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (1 +𝑒 -∞) = (-∞ +𝑒 1))
61, 2, 5mp2an 690 . . . . . . 7 (1 +𝑒 -∞) = (-∞ +𝑒 1)
7 1re 10615 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
8 renepnf 10663 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℝ → 1 ≠ +∞)
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8 1 ≠ +∞
10 xaddmnf2 12597 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ* ∧ 1 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 1) = -∞)
111, 9, 10mp2an 690 . . . . . . 7 (-∞ +𝑒 1) = -∞
126, 11eqtri 2843 . . . . . 6 (1 +𝑒 -∞) = -∞
1312oveq1i 7139 . . . . 5 ((1 +𝑒 -∞) +𝑒 +∞) = (-∞ +𝑒 +∞)
14 mnfaddpnf 12599 . . . . 5 (-∞ +𝑒 +∞) = 0
1513, 14eqtri 2843 . . . 4 ((1 +𝑒 -∞) +𝑒 +∞) = 0
16 0ne1 11683 . . . 4 0 ≠ 1
1715, 16eqnetri 3076 . . 3 ((1 +𝑒 -∞) +𝑒 +∞) ≠ 1
1814oveq2i 7140 . . . 4 (1 +𝑒 (-∞ +𝑒 +∞)) = (1 +𝑒 0)
19 xaddid1 12609 . . . . 5 (1 ∈ ℝ* → (1 +𝑒 0) = 1)
201, 19ax-mp 5 . . . 4 (1 +𝑒 0) = 1
2118, 20eqtri 2843 . . 3 (1 +𝑒 (-∞ +𝑒 +∞)) = 1
2217, 21neeqtrri 3079 . 2 ((1 +𝑒 -∞) +𝑒 +∞) ≠ (1 +𝑒 (-∞ +𝑒 +∞))
23 xrsbas 20533 . . 3 * = (Base‘ℝ*𝑠)
24 xrsadd 20534 . . 3 +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
2523, 24isnsgrp 17880 . 2 ((1 ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (((1 +𝑒 -∞) +𝑒 +∞) ≠ (1 +𝑒 (-∞ +𝑒 +∞)) → ℝ*𝑠 ∉ Smgrp))
264, 22, 25mp2 9 1 *𝑠 ∉ Smgrp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  w3a 1083   = wceq 1537  wcel 2114  wne 3006  wnel 3110  (class class class)co 7129  cr 10510  0cc0 10511  1c1 10512  +∞cpnf 10646  -∞cmnf 10647  *cxr 10648   +𝑒 cxad 12480  *𝑠cxrs 16748  Smgrpcsgrp 17875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5175  ax-nul 5182  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7435  ax-cnex 10567  ax-resscn 10568  ax-1cn 10569  ax-icn 10570  ax-addcl 10571  ax-addrcl 10572  ax-mulcl 10573  ax-mulrcl 10574  ax-mulcom 10575  ax-addass 10576  ax-mulass 10577  ax-distr 10578  ax-i2m1 10579  ax-1ne0 10580  ax-1rid 10581  ax-rnegex 10582  ax-rrecex 10583  ax-cnre 10584  ax-pre-lttri 10585  ax-pre-lttrn 10586  ax-pre-ltadd 10587  ax-pre-mulgt0 10588
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3472  df-sbc 3749  df-csb 3857  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4811  df-int 4849  df-iun 4893  df-br 5039  df-opab 5101  df-mpt 5119  df-tr 5145  df-id 5432  df-eprel 5437  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-riota 7087  df-ov 7132  df-oprab 7133  df-mpo 7134  df-om 7555  df-1st 7663  df-2nd 7664  df-wrecs 7921  df-recs 7982  df-rdg 8020  df-1o 8076  df-oadd 8080  df-er 8263  df-en 8484  df-dom 8485  df-sdom 8486  df-fin 8487  df-pnf 10651  df-mnf 10652  df-xr 10653  df-ltxr 10654  df-le 10655  df-sub 10846  df-neg 10847  df-nn 11613  df-2 11675  df-3 11676  df-4 11677  df-5 11678  df-6 11679  df-7 11680  df-8 11681  df-9 11682  df-n0 11873  df-z 11957  df-dec 12074  df-uz 12219  df-xadd 12483  df-fz 12873  df-struct 16460  df-ndx 16461  df-slot 16462  df-base 16464  df-plusg 16553  df-mulr 16554  df-tset 16559  df-ple 16560  df-ds 16562  df-xrs 16750  df-sgrp 17876
This theorem is referenced by:  xrsmgmdifsgrp  20554
  Copyright terms: Public domain W3C validator