Theorem xrsnsgrp 20632

Description: The "additive group" of the extended reals is not a semigroup. (Contributed by AV, 30-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
xrsnsgrp	⊢ ℝ*𝑠 ∉ Smgrp

Proof of Theorem xrsnsgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1xr 11032	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ*
2		mnfxr 11030	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
3		pnfxr 11027	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1338	. 2 ⊢ (1 ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*)
5		xaddcom 12972	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (1 +𝑒 -∞) = (-∞ +𝑒 1))
6	1, 2, 5	mp2an 689	. . . . . . 7 ⊢ (1 +𝑒 -∞) = (-∞ +𝑒 1)
7		1re 10973	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		renepnf 11021	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 ≠ +∞)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ +∞
10		xaddmnf2 12961	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ 1 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 1) = -∞)
11	1, 9, 10	mp2an 689	. . . . . . 7 ⊢ (-∞ +𝑒 1) = -∞
12	6, 11	eqtri 2766	. . . . . 6 ⊢ (1 +𝑒 -∞) = -∞
13	12	oveq1i 7287	. . . . 5 ⊢ ((1 +𝑒 -∞) +𝑒 +∞) = (-∞ +𝑒 +∞)
14		mnfaddpnf 12963	. . . . 5 ⊢ (-∞ +𝑒 +∞) = 0
15	13, 14	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ ((1 +𝑒 -∞) +𝑒 +∞) = 0
16		0ne1 12042	. . . 4 ⊢ 0 ≠ 1
17	15, 16	eqnetri 3014	. . 3 ⊢ ((1 +𝑒 -∞) +𝑒 +∞) ≠ 1
18	14	oveq2i 7288	. . . 4 ⊢ (1 +𝑒 (-∞ +𝑒 +∞)) = (1 +𝑒 0)
19		xaddid1 12973	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ* → (1 +𝑒 0) = 1)
20	1, 19	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (1 +𝑒 0) = 1
21	18, 20	eqtri 2766	. . 3 ⊢ (1 +𝑒 (-∞ +𝑒 +∞)) = 1
22	17, 21	neeqtrri 3017	. 2 ⊢ ((1 +𝑒 -∞) +𝑒 +∞) ≠ (1 +𝑒 (-∞ +𝑒 +∞))
23		xrsbas 20612	. . 3 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
24		xrsadd 20613	. . 3 ⊢ +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
25	23, 24	isnsgrp 18377	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (((1 +𝑒 -∞) +𝑒 +∞) ≠ (1 +𝑒 (-∞ +𝑒 +∞)) → ℝ*𝑠 ∉ Smgrp))
26	4, 22, 25	mp2 9	1 ⊢ ℝ*𝑠 ∉ Smgrp

Syntax hints:   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ∉ wnel 3049  (class class class)co 7277  ℝcr 10868  0cc0 10869  1c1 10870  +∞cpnf 11004  -∞cmnf 11005  ℝ^*cxr 11006   +_𝑒 cxad 12844  ℝ^*_𝑠cxrs 17209  Smgrpcsgrp 18372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5225  ax-nul 5232  ax-pow 5290  ax-pr 5354  ax-un 7588  ax-cnex 10925  ax-resscn 10926  ax-1cn 10927  ax-icn 10928  ax-addcl 10929  ax-addrcl 10930  ax-mulcl 10931  ax-mulrcl 10932  ax-mulcom 10933  ax-addass 10934  ax-mulass 10935  ax-distr 10936  ax-i2m1 10937  ax-1ne0 10938  ax-1rid 10939  ax-rnegex 10940  ax-rrecex 10941  ax-cnre 10942  ax-pre-lttri 10943  ax-pre-lttrn 10944  ax-pre-ltadd 10945  ax-pre-mulgt0 10946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4842  df-iun 4928  df-br 5077  df-opab 5139  df-mpt 5160  df-tr 5194  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6204  df-ord 6271  df-on 6272  df-lim 6273  df-suc 6274  df-iota 6393  df-fun 6437  df-fn 6438  df-f 6439  df-f1 6440  df-fo 6441  df-f1o 6442  df-fv 6443  df-riota 7234  df-ov 7280  df-oprab 7281  df-mpo 7282  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8095  df-wrecs 8126  df-recs 8200  df-rdg 8239  df-1o 8295  df-er 8496  df-en 8732  df-dom 8733  df-sdom 8734  df-fin 8735  df-pnf 11009  df-mnf 11010  df-xr 11011  df-ltxr 11012  df-le 11013  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-4 12036  df-5 12037  df-6 12038  df-7 12039  df-8 12040  df-9 12041  df-n0 12232  df-z 12318  df-dec 12436  df-uz 12581  df-xadd 12847  df-fz 13238  df-struct 16846  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ds 16982  df-xrs 17211  df-sgrp 18373

This theorem is referenced by:  xrsmgmdifsgrp  20633