Theorem xrsnsgrp 21729

Description: The "additive group" of the extended reals is not a semigroup. (Contributed by AV, 30-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
xrsnsgrp	⊢ ℝ*𝑠 ∉ Smgrp

Proof of Theorem xrsnsgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1xr 11381	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ*
2		mnfxr 11379	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
3		pnfxr 11376	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1358	. 2 ⊢ (1 ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*)
5		xaddcom 13383	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (1 +e -∞) = (-∞ +e 1))
6	1, 2, 5	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (1 +e -∞) = (-∞ +e 1)
7		1re 11321	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		renepnf 11370	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 ≠ +∞)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ +∞
10		xaddmnf2 13372	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ 1 ≠ +∞) → (-∞ +e 1) = -∞)
11	1, 9, 10	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (-∞ +e 1) = -∞
12	6, 11	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ (1 +e -∞) = -∞
13	12	oveq1i 7440	. . . . 5 ⊢ ((1 +e -∞) +e +∞) = (-∞ +e +∞)
14		mnfaddpnf 13374	. . . . 5 ⊢ (-∞ +e +∞) = 0
15	13, 14	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((1 +e -∞) +e +∞) = 0
16		0ne1 12427	. . . 4 ⊢ 0 ≠ 1
17	15, 16	eqnetri 3029	. . 3 ⊢ ((1 +e -∞) +e +∞) ≠ 1
18	14	oveq2i 7441	. . . 4 ⊢ (1 +e (-∞ +e +∞)) = (1 +e 0)
19		xaddrid 13384	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ* → (1 +e 0) = 1)
20	1, 19	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (1 +e 0) = 1
21	18, 20	eqtri 2786	. . 3 ⊢ (1 +e (-∞ +e +∞)) = 1
22	17, 21	neeqtrri 3032	. 2 ⊢ ((1 +e -∞) +e +∞) ≠ (1 +e (-∞ +e +∞))
23		xrsbas 17793	. . 3 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
24		xrsadd 21711	. . 3 ⊢ +e = (+g‘ℝ*𝑠)
25	23, 24	isnsgrp 18927	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (((1 +e -∞) +e +∞) ≠ (1 +e (-∞ +e +∞)) → ℝ*𝑠 ∉ Smgrp))
26	4, 22, 25	mp2 9	1 ⊢ ℝ*𝑠 ∉ Smgrp

This proof depends on syntax axioms:   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959   ∉ wnel 3065  (class class class)co 7430  ℝcr 11212  0cc0 11213  1c1 11214  +∞cpnf 11353  -∞cmnf 11354  ℝ^*cxr 11355   +_e cxad 13252  ℝ^*_𝑠cxrs 17687  Smgrpcsgrp 18922

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-9 12425  df-n0 12620  df-z 12707  df-dec 12828  df-uz 12979  df-xadd 13255  df-fz 13653  df-struct 17340  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-tset 17462  df-ple 17463  df-ds 17465  df-xrs 17689  df-sgrp 18923

This theorem is used by:  xrsmgmdifsgrp  21730