Theorem xrsnsgrp 21326

Description: The "additive group" of the extended reals is not a semigroup. (Contributed by AV, 30-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
xrsnsgrp	⊢ ℝ*𝑠 ∉ Smgrp

Proof of Theorem xrsnsgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1xr 11240	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ*
2		mnfxr 11238	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
3		pnfxr 11235	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1340	. 2 ⊢ (1 ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*)
5		xaddcom 13207	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (1 +𝑒 -∞) = (-∞ +𝑒 1))
6	1, 2, 5	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (1 +𝑒 -∞) = (-∞ +𝑒 1)
7		1re 11181	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		renepnf 11229	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 ≠ +∞)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ +∞
10		xaddmnf2 13196	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ 1 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 1) = -∞)
11	1, 9, 10	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (-∞ +𝑒 1) = -∞
12	6, 11	eqtri 2753	. . . . . 6 ⊢ (1 +𝑒 -∞) = -∞
13	12	oveq1i 7400	. . . . 5 ⊢ ((1 +𝑒 -∞) +𝑒 +∞) = (-∞ +𝑒 +∞)
14		mnfaddpnf 13198	. . . . 5 ⊢ (-∞ +𝑒 +∞) = 0
15	13, 14	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ ((1 +𝑒 -∞) +𝑒 +∞) = 0
16		0ne1 12264	. . . 4 ⊢ 0 ≠ 1
17	15, 16	eqnetri 2996	. . 3 ⊢ ((1 +𝑒 -∞) +𝑒 +∞) ≠ 1
18	14	oveq2i 7401	. . . 4 ⊢ (1 +𝑒 (-∞ +𝑒 +∞)) = (1 +𝑒 0)
19		xaddrid 13208	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ* → (1 +𝑒 0) = 1)
20	1, 19	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (1 +𝑒 0) = 1
21	18, 20	eqtri 2753	. . 3 ⊢ (1 +𝑒 (-∞ +𝑒 +∞)) = 1
22	17, 21	neeqtrri 2999	. 2 ⊢ ((1 +𝑒 -∞) +𝑒 +∞) ≠ (1 +𝑒 (-∞ +𝑒 +∞))
23		xrsbas 21302	. . 3 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
24		xrsadd 21303	. . 3 ⊢ +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
25	23, 24	isnsgrp 18657	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (((1 +𝑒 -∞) +𝑒 +∞) ≠ (1 +𝑒 (-∞ +𝑒 +∞)) → ℝ*𝑠 ∉ Smgrp))
26	4, 22, 25	mp2 9	1 ⊢ ℝ*𝑠 ∉ Smgrp

Syntax hints:   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ∉ wnel 3030  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076  +∞cpnf 11212  -∞cmnf 11213  ℝ^*cxr 11214   +_𝑒 cxad 13077  ℝ^*_𝑠cxrs 17470  Smgrpcsgrp 18652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-xadd 13080  df-fz 13476  df-struct 17124  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-xrs 17472  df-sgrp 18653

This theorem is referenced by:  xrsmgmdifsgrp  21327