MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsnsgrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrsnsgrp 21335
Description: The "additive group" of the extended reals is not a semigroup. (Contributed by AV, 30-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
xrsnsgrp *𝑠 ∉ Smgrp

Proof of Theorem xrsnsgrp
StepHypRef Expression
1 1xr 11304 . . 3 1 ∈ ℝ*
2 mnfxr 11302 . . 3 -∞ ∈ ℝ*
3 pnfxr 11299 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
41, 2, 33pm3.2i 1337 . 2 (1 ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*)
5 xaddcom 13252 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (1 +𝑒 -∞) = (-∞ +𝑒 1))
61, 2, 5mp2an 691 . . . . . . 7 (1 +𝑒 -∞) = (-∞ +𝑒 1)
7 1re 11245 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
8 renepnf 11293 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℝ → 1 ≠ +∞)
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8 1 ≠ +∞
10 xaddmnf2 13241 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ* ∧ 1 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 1) = -∞)
111, 9, 10mp2an 691 . . . . . . 7 (-∞ +𝑒 1) = -∞
126, 11eqtri 2756 . . . . . 6 (1 +𝑒 -∞) = -∞
1312oveq1i 7430 . . . . 5 ((1 +𝑒 -∞) +𝑒 +∞) = (-∞ +𝑒 +∞)
14 mnfaddpnf 13243 . . . . 5 (-∞ +𝑒 +∞) = 0
1513, 14eqtri 2756 . . . 4 ((1 +𝑒 -∞) +𝑒 +∞) = 0
16 0ne1 12314 . . . 4 0 ≠ 1
1715, 16eqnetri 3008 . . 3 ((1 +𝑒 -∞) +𝑒 +∞) ≠ 1
1814oveq2i 7431 . . . 4 (1 +𝑒 (-∞ +𝑒 +∞)) = (1 +𝑒 0)
19 xaddrid 13253 . . . . 5 (1 ∈ ℝ* → (1 +𝑒 0) = 1)
201, 19ax-mp 5 . . . 4 (1 +𝑒 0) = 1
2118, 20eqtri 2756 . . 3 (1 +𝑒 (-∞ +𝑒 +∞)) = 1
2217, 21neeqtrri 3011 . 2 ((1 +𝑒 -∞) +𝑒 +∞) ≠ (1 +𝑒 (-∞ +𝑒 +∞))
23 xrsbas 21311 . . 3 * = (Base‘ℝ*𝑠)
24 xrsadd 21312 . . 3 +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
2523, 24isnsgrp 18683 . 2 ((1 ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (((1 +𝑒 -∞) +𝑒 +∞) ≠ (1 +𝑒 (-∞ +𝑒 +∞)) → ℝ*𝑠 ∉ Smgrp))
264, 22, 25mp2 9 1 *𝑠 ∉ Smgrp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2937  wnel 3043  (class class class)co 7420  cr 11138  0cc0 11139  1c1 11140  +∞cpnf 11276  -∞cmnf 11277  *cxr 11278   +𝑒 cxad 13123  *𝑠cxrs 17482  Smgrpcsgrp 18678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-xadd 13126  df-fz 13518  df-struct 17116  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-xrs 17484  df-sgrp 18679
This theorem is referenced by:  xrsmgmdifsgrp  21336
  Copyright terms: Public domain W3C validator