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Theorem supxrge 41014
 Description: If an extended real number can be approximated from below by members of a set, then it is less than or equal to the supremum of the set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
supxrge.xph 𝑥𝜑
supxrge.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
supxrge.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
supxrge.y ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥))
Assertion
Ref Expression
supxrge (𝜑𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑦
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem supxrge
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supxrge.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
2 pnfge 12339 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≤ +∞)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝐵 ≤ +∞)
43adantr 473 . . 3 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ +∞)
5 supxrge.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
65adantr 473 . . . . 5 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
7 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → +∞ ∈ 𝐴)
8 supxrpnf 12524 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
96, 7, 8syl2anc 576 . . . 4 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
109eqcomd 2781 . . 3 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → +∞ = sup(𝐴, ℝ*, < ))
114, 10breqtrd 4953 . 2 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
12 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
13 supxrcl 12521 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
145, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
15 mnfle 12343 . . . . . . 7 (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → -∞ ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
1614, 15syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → -∞ ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
1716adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝐵 = -∞) → -∞ ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
1812, 17eqbrtrd 4949 . . . 4 ((𝜑𝐵 = -∞) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
1918adantlr 702 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
20 simpl 475 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → (𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴))
21 neqne 2972 . . . . 5 𝐵 = -∞ → 𝐵 ≠ -∞)
2221adantl 474 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ≠ -∞)
23 nfv 1873 . . . . 5 𝑤((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞)
245adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
2524adantr 473 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
261adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2726adantr 473 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
28 simpl 475 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → 𝜑)
29 rphalfcl 12230 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)
3029adantl 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)
31 ovex 7006 . . . . . . . . . 10 (𝑤 / 2) ∈ V
32 nfcv 2929 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝑤 / 2)
33 supxrge.xph . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝜑
34 nfv 1873 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝑤 / 2) ∈ ℝ+
3533, 34nfan 1862 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)
36 nfv 1873 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))
3735, 36nfim 1859 . . . . . . . . . . 11 𝑥((𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
38 eleq1 2850 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑤 / 2) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+))
3938anbi2d 619 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑤 / 2) → ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ↔ (𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)))
40 oveq2 6982 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑤 / 2) → (𝑦 +𝑒 𝑥) = (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
4140breq2d 4939 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑤 / 2) → (𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥) ↔ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))))
4241rexbidv 3239 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑤 / 2) → (∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥) ↔ ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))))
4339, 42imbi12d 337 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑤 / 2) → (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))))
44 supxrge.y . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥))
4532, 37, 43, 44vtoclgf 3481 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 / 2) ∈ V → ((𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))))
4631, 45ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
4728, 30, 46syl2anc 576 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
4847adantlr 702 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
4948adantlr 702 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
50 nfv 1873 . . . . . . 7 𝑦(((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)
51 neneq 2970 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ≠ -∞ → ¬ 𝐵 = -∞)
5251adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐵 ≠ -∞) → ¬ 𝐵 = -∞)
531adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐵 ≠ -∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
54 ngtmnft 12373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐵))
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐵))
5652, 55mtbid 316 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐵 ≠ -∞) → ¬ ¬ -∞ < 𝐵)
5756notnotrd 131 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐵 ≠ -∞) → -∞ < 𝐵)
5857ad4ant13 738 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → -∞ < 𝐵)
59583ad2ant1 1113 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → -∞ < 𝐵)
6027adantr 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ*)
61603ad2ant1 1113 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6261adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 ∈ ℝ*)
63 mnfxr 10494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -∞ ∈ ℝ*
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → -∞ ∈ ℝ*)
65 simpl3 1173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
66 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → ¬ -∞ < 𝑦)
675sselda 3857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
6867adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
69 ngtmnft 12373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝑦))
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝑦))
7166, 70mpbird 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝑦 = -∞)
7271oveq1d 6989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = (-∞ +𝑒 (𝑤 / 2)))
7372adantllr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = (-∞ +𝑒 (𝑤 / 2)))
7429rpxrd 12246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) ∈ ℝ*)
7529rpred 12245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) ∈ ℝ)
76 renepnf 10484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑤 / 2) ∈ ℝ → (𝑤 / 2) ≠ +∞)
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) ≠ +∞)
78 xaddmnf2 12436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑤 / 2) ∈ ℝ* ∧ (𝑤 / 2) ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
7974, 77, 78syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑤 ∈ ℝ+ → (-∞ +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
8079adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (-∞ +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
8180ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (-∞ +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
8273, 81eqtrd 2811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
8382adantl3r 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
8483adantl3r 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
85843adantl3 1148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
8665, 85breqtrd 4953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 ≤ -∞)
87 mnfle 12343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐵 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐵)
881, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → -∞ ≤ 𝐵)
8988adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) → -∞ ≤ 𝐵)
9089ad3antrrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → -∞ ≤ 𝐵)
91903ad2antl1 1165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → -∞ ≤ 𝐵)
9262, 64, 86, 91xrletrid 12362 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 = -∞)
93 simpllr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 ≠ -∞)
94933ad2antl1 1165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 ≠ -∞)
9594neneqd 2969 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → ¬ 𝐵 = -∞)
9692, 95condan 805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → -∞ < 𝑦)
97 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → ¬ 𝑦 < +∞)
9867adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → 𝑦 ∈ ℝ*)
99 nltpnft 12371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 = +∞ ↔ ¬ 𝑦 < +∞))
10098, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → (𝑦 = +∞ ↔ ¬ 𝑦 < +∞))
10197, 100mpbird 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → 𝑦 = +∞)
102101eqcomd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → +∞ = 𝑦)
103 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
104103adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → 𝑦𝐴)
105102, 104eqeltrd 2863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → +∞ ∈ 𝐴)
1061053adantl2 1147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → +∞ ∈ 𝐴)
107 simpl2 1172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → ¬ +∞ ∈ 𝐴)
108106, 107condan 805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴𝑦𝐴) → 𝑦 < +∞)
109108ad5ant125 1346 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 < +∞)
1101093adant3 1112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝑦 < +∞)
11196, 110jca 504 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (-∞ < 𝑦𝑦 < +∞))
11267ad5ant15 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
1131123adant3 1112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝑦 ∈ ℝ*)
114 xrrebnd 12375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝑦𝑦 < +∞)))
115113, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝑦𝑦 < +∞)))
116111, 115mpbird 249 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝑦 ∈ ℝ)
11775adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ)
1181173ad2ant1 1113 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ)
119 rexadd 12439 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = (𝑦 + (𝑤 / 2)))
120116, 118, 119syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = (𝑦 + (𝑤 / 2)))
121116, 118readdcld 10465 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 + (𝑤 / 2)) ∈ ℝ)
122120, 121eqeltrd 2863 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) ∈ ℝ)
123122rexrd 10486 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) ∈ ℝ*)
124 pnfxr 10490 . . . . . . . . . . . . 13 +∞ ∈ ℝ*
125124a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → +∞ ∈ ℝ*)
126 simp3 1118 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
127122ltpnfd 12330 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) < +∞)
12861, 123, 125, 126, 127xrlelttrd 12367 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝐵 < +∞)
12959, 128jca 504 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (-∞ < 𝐵𝐵 < +∞))
130 xrrebnd 12375 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐵𝐵 < +∞)))
13161, 130syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐵𝐵 < +∞)))
132129, 131mpbird 249 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝐵 ∈ ℝ)
133 rpre 12209 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ)
134133adantl 474 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ)
1351343ad2ant1 1113 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝑤 ∈ ℝ)
136 rexadd 12439 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑦 +𝑒 𝑤) = (𝑦 + 𝑤))
137116, 135, 136syl2anc 576 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 𝑤) = (𝑦 + 𝑤))
138116, 135readdcld 10465 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 + 𝑤) ∈ ℝ)
139137, 138eqeltrd 2863 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 𝑤) ∈ ℝ)
140 rphalflt 12232 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) < 𝑤)
141140adantl 474 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 / 2) < 𝑤)
1421413ad2ant1 1113 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑤 / 2) < 𝑤)
143118, 135, 116, 142ltadd2dd 10595 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 + (𝑤 / 2)) < (𝑦 + 𝑤))
144120, 137breq12d 4940 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → ((𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) < (𝑦 +𝑒 𝑤) ↔ (𝑦 + (𝑤 / 2)) < (𝑦 + 𝑤)))
145143, 144mpbird 249 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) < (𝑦 +𝑒 𝑤))
146132, 122, 139, 126, 145lelttrd 10594 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑤))
1471463exp 1099 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑦𝐴 → (𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) → 𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑤))))
14850, 147reximdai 3251 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑤)))
14949, 148mpd 15 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑤))
15023, 25, 27, 149supxrgelem 41013 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
15120, 22, 150syl2anc 576 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
15219, 151pm2.61dan 800 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
15311, 152pm2.61dan 800 1 (𝜑𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∧ w3a 1068   = wceq 1507  Ⅎwnf 1746   ∈ wcel 2048   ≠ wne 2964  ∃wrex 3086  Vcvv 3412   ⊆ wss 3828   class class class wbr 4927  (class class class)co 6974  supcsup 8695  ℝcr 10330   + caddc 10334  +∞cpnf 10467  -∞cmnf 10468  ℝ*cxr 10469   < clt 10470   ≤ cle 10471   / cdiv 11094  2c2 11492  ℝ+crp 12201   +𝑒 cxad 12319 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2747  ax-sep 5058  ax-nul 5065  ax-pow 5117  ax-pr 5184  ax-un 7277  ax-cnex 10387  ax-resscn 10388  ax-1cn 10389  ax-icn 10390  ax-addcl 10391  ax-addrcl 10392  ax-mulcl 10393  ax-mulrcl 10394  ax-mulcom 10395  ax-addass 10396  ax-mulass 10397  ax-distr 10398  ax-i2m1 10399  ax-1ne0 10400  ax-1rid 10401  ax-rnegex 10402  ax-rrecex 10403  ax-cnre 10404  ax-pre-lttri 10405  ax-pre-lttrn 10406  ax-pre-ltadd 10407  ax-pre-mulgt0 10408  ax-pre-sup 10409 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2756  df-cleq 2768  df-clel 2843  df-nfc 2915  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3090  df-rex 3091  df-reu 3092  df-rmo 3093  df-rab 3094  df-v 3414  df-sbc 3681  df-csb 3786  df-dif 3831  df-un 3833  df-in 3835  df-ss 3842  df-nul 4178  df-if 4349  df-pw 4422  df-sn 4440  df-pr 4442  df-op 4446  df-uni 4711  df-iun 4792  df-br 4928  df-opab 4990  df-mpt 5007  df-id 5309  df-po 5323  df-so 5324  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-1st 7498  df-2nd 7499  df-er 8085  df-en 8303  df-dom 8304  df-sdom 8305  df-sup 8697  df-pnf 10472  df-mnf 10473  df-xr 10474  df-ltxr 10475  df-le 10476  df-sub 10668  df-neg 10669  df-div 11095  df-2 11500  df-rp 12202  df-xadd 12322 This theorem is referenced by:  sge0gerp  42087
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