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Theorem supxrge 41896
Description: If an extended real number can be approximated from below by members of a set, then it is less than or equal to the supremum of the set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
supxrge.xph 𝑥𝜑
supxrge.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
supxrge.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
supxrge.y ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥))
Assertion
Ref Expression
supxrge (𝜑𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑦
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem supxrge
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supxrge.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
2 pnfge 12522 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≤ +∞)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝐵 ≤ +∞)
43adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ +∞)
5 supxrge.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
65adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
7 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → +∞ ∈ 𝐴)
8 supxrpnf 12708 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
96, 7, 8syl2anc 587 . . . 4 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
109eqcomd 2830 . . 3 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → +∞ = sup(𝐴, ℝ*, < ))
114, 10breqtrd 5078 . 2 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
12 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
13 supxrcl 12705 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
145, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
15 mnfle 12526 . . . . . . 7 (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → -∞ ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
1614, 15syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → -∞ ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
1716adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝐵 = -∞) → -∞ ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
1812, 17eqbrtrd 5074 . . . 4 ((𝜑𝐵 = -∞) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
1918adantlr 714 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
20 simpl 486 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → (𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴))
21 neqne 3022 . . . . 5 𝐵 = -∞ → 𝐵 ≠ -∞)
2221adantl 485 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ≠ -∞)
23 nfv 1916 . . . . 5 𝑤((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞)
245adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
2524adantr 484 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
261adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2726adantr 484 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
28 simpl 486 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → 𝜑)
29 rphalfcl 12413 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)
3029adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)
31 ovex 7182 . . . . . . . . . 10 (𝑤 / 2) ∈ V
32 nfcv 2982 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝑤 / 2)
33 supxrge.xph . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝜑
34 nfv 1916 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝑤 / 2) ∈ ℝ+
3533, 34nfan 1901 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)
36 nfv 1916 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))
3735, 36nfim 1898 . . . . . . . . . . 11 𝑥((𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
38 eleq1 2903 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑤 / 2) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+))
3938anbi2d 631 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑤 / 2) → ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ↔ (𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)))
40 oveq2 7157 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑤 / 2) → (𝑦 +𝑒 𝑥) = (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
4140breq2d 5064 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑤 / 2) → (𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥) ↔ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))))
4241rexbidv 3289 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑤 / 2) → (∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥) ↔ ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))))
4339, 42imbi12d 348 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑤 / 2) → (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))))
44 supxrge.y . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥))
4532, 37, 43, 44vtoclgf 3551 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 / 2) ∈ V → ((𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))))
4631, 45ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
4728, 30, 46syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
4847adantlr 714 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
4948adantlr 714 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
50 nfv 1916 . . . . . . 7 𝑦(((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)
51 neneq 3020 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ≠ -∞ → ¬ 𝐵 = -∞)
5251adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐵 ≠ -∞) → ¬ 𝐵 = -∞)
531adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐵 ≠ -∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
54 ngtmnft 12556 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐵))
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐵))
5652, 55mtbid 327 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐵 ≠ -∞) → ¬ ¬ -∞ < 𝐵)
5756notnotrd 135 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐵 ≠ -∞) → -∞ < 𝐵)
5857ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → -∞ < 𝐵)
59583ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → -∞ < 𝐵)
6027adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ*)
61603ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6261adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 ∈ ℝ*)
63 mnfxr 10696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -∞ ∈ ℝ*
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → -∞ ∈ ℝ*)
65 simpl3 1190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
66 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → ¬ -∞ < 𝑦)
675sselda 3953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
6867adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
69 ngtmnft 12556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝑦))
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝑦))
7166, 70mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝑦 = -∞)
7271oveq1d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = (-∞ +𝑒 (𝑤 / 2)))
7372adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = (-∞ +𝑒 (𝑤 / 2)))
7429rpxrd 12429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) ∈ ℝ*)
7529rpred 12428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) ∈ ℝ)
76 renepnf 10687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑤 / 2) ∈ ℝ → (𝑤 / 2) ≠ +∞)
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) ≠ +∞)
78 xaddmnf2 12619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑤 / 2) ∈ ℝ* ∧ (𝑤 / 2) ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
7974, 77, 78syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑤 ∈ ℝ+ → (-∞ +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
8079adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (-∞ +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
8180ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (-∞ +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
8273, 81eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
8382adantl3r 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
8483adantl3r 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
85843adantl3 1165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
8665, 85breqtrd 5078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 ≤ -∞)
87 mnfle 12526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐵 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐵)
881, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → -∞ ≤ 𝐵)
8988adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) → -∞ ≤ 𝐵)
9089ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → -∞ ≤ 𝐵)
91903ad2antl1 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → -∞ ≤ 𝐵)
9262, 64, 86, 91xrletrid 12545 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 = -∞)
93 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 ≠ -∞)
94933ad2antl1 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 ≠ -∞)
9594neneqd 3019 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → ¬ 𝐵 = -∞)
9692, 95condan 817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → -∞ < 𝑦)
97 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → ¬ 𝑦 < +∞)
9867adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → 𝑦 ∈ ℝ*)
99 nltpnft 12554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 = +∞ ↔ ¬ 𝑦 < +∞))
10098, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → (𝑦 = +∞ ↔ ¬ 𝑦 < +∞))
10197, 100mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → 𝑦 = +∞)
102101eqcomd 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → +∞ = 𝑦)
103 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
104103adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → 𝑦𝐴)
105102, 104eqeltrd 2916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → +∞ ∈ 𝐴)
1061053adantl2 1164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → +∞ ∈ 𝐴)
107 simpl2 1189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → ¬ +∞ ∈ 𝐴)
108106, 107condan 817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴𝑦𝐴) → 𝑦 < +∞)
109108ad5ant125 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 < +∞)
1101093adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝑦 < +∞)
11196, 110jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (-∞ < 𝑦𝑦 < +∞))
11267ad5ant15 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
1131123adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝑦 ∈ ℝ*)
114 xrrebnd 12558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝑦𝑦 < +∞)))
115113, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝑦𝑦 < +∞)))
116111, 115mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝑦 ∈ ℝ)
11775adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ)
1181173ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ)
119 rexadd 12622 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = (𝑦 + (𝑤 / 2)))
120116, 118, 119syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = (𝑦 + (𝑤 / 2)))
121116, 118readdcld 10668 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 + (𝑤 / 2)) ∈ ℝ)
122120, 121eqeltrd 2916 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) ∈ ℝ)
123122rexrd 10689 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) ∈ ℝ*)
124 pnfxr 10693 . . . . . . . . . . . . 13 +∞ ∈ ℝ*
125124a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → +∞ ∈ ℝ*)
126 simp3 1135 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
127122ltpnfd 12513 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) < +∞)
12861, 123, 125, 126, 127xrlelttrd 12550 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝐵 < +∞)
12959, 128jca 515 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (-∞ < 𝐵𝐵 < +∞))
130 xrrebnd 12558 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐵𝐵 < +∞)))
13161, 130syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐵𝐵 < +∞)))
132129, 131mpbird 260 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝐵 ∈ ℝ)
133 rpre 12394 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ)
134133adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ)
1351343ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝑤 ∈ ℝ)
136 rexadd 12622 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑦 +𝑒 𝑤) = (𝑦 + 𝑤))
137116, 135, 136syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 𝑤) = (𝑦 + 𝑤))
138116, 135readdcld 10668 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 + 𝑤) ∈ ℝ)
139137, 138eqeltrd 2916 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 𝑤) ∈ ℝ)
140 rphalflt 12415 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) < 𝑤)
141140adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 / 2) < 𝑤)
1421413ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑤 / 2) < 𝑤)
143118, 135, 116, 142ltadd2dd 10797 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 + (𝑤 / 2)) < (𝑦 + 𝑤))
144120, 137breq12d 5065 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → ((𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) < (𝑦 +𝑒 𝑤) ↔ (𝑦 + (𝑤 / 2)) < (𝑦 + 𝑤)))
145143, 144mpbird 260 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) < (𝑦 +𝑒 𝑤))
146132, 122, 139, 126, 145lelttrd 10796 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑤))
1471463exp 1116 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑦𝐴 → (𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) → 𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑤))))
14850, 147reximdai 3303 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑤)))
14949, 148mpd 15 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑤))
15023, 25, 27, 149supxrgelem 41895 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
15120, 22, 150syl2anc 587 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
15219, 151pm2.61dan 812 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
15311, 152pm2.61dan 812 1 (𝜑𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wnf 1785  wcel 2115  wne 3014  wrex 3134  Vcvv 3480  wss 3919   class class class wbr 5052  (class class class)co 7149  supcsup 8901  cr 10534   + caddc 10538  +∞cpnf 10670  -∞cmnf 10671  *cxr 10672   < clt 10673  cle 10674   / cdiv 11295  2c2 11689  +crp 12386   +𝑒 cxad 12502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-po 5461  df-so 5462  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-sup 8903  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-2 11697  df-rp 12387  df-xadd 12505
This theorem is referenced by:  sge0gerp  42960
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