Theorem supxrge 41970

Description: If an extended real number can be approximated from below by members of a set, then it is less than or equal to the supremum of the set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
supxrge.xph	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
supxrge.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
supxrge.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
supxrge.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
supxrge	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑦

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem supxrge

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supxrge.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
2		pnfge 12513	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → 𝐵 ≤ +∞)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ +∞)
4	3	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ +∞)
5		supxrge.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
6	5	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
7		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → +∞ ∈ 𝐴)
8		supxrpnf 12699	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
9	6, 7, 8	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
10	9	eqcomd 2804	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → +∞ = sup(𝐴, ℝ*, < ))
11	4, 10	breqtrd 5056	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
12		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
13		supxrcl 12696	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
14	5, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
15		mnfle 12517	. . . . . . 7 ⊢ (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → -∞ ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
16	14, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -∞ ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
17	16	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = -∞) → -∞ ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
18	12, 17	eqbrtrd 5052	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
19	18	adantlr 714	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
20		simpl 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → (𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴))
21		neqne 2995	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐵 = -∞ → 𝐵 ≠ -∞)
22	21	adantl 485	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ≠ -∞)
23		nfv 1915	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑤((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞)
24	5	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
25	24	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
26	1	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
27	26	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
28		simpl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝜑)
29		rphalfcl 12404	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)
30	29	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)
31		ovex 7168	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 / 2) ∈ V
32		nfcv 2955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑤 / 2)
33		supxrge.xph	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
34		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑤 / 2) ∈ ℝ+
35	33, 34	nfan 1900	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)
36		nfv 1915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))
37	35, 36	nfim 1897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
38		eleq1 2877	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑤 / 2) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+))
39	38	anbi2d 631	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑤 / 2) → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ↔ (𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)))
40		oveq2 7143	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑤 / 2) → (𝑦 +𝑒 𝑥) = (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
41	40	breq2d 5042	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑤 / 2) → (𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥) ↔ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))))
42	41	rexbidv 3256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑤 / 2) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))))
43	39, 42	imbi12d 348	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑤 / 2) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))))
44		supxrge.y	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥))
45	32, 37, 43, 44	vtoclgf 3513	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 / 2) ∈ V → ((𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))))
46	31, 45	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
47	28, 30, 46	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
48	47	adantlr 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
49	48	adantlr 714	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
50		nfv 1915	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦(((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)
51		neneq 2993	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ≠ -∞ → ¬ 𝐵 = -∞)
52	51	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ -∞) → ¬ 𝐵 = -∞)
53	1	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ -∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
54		ngtmnft 12547	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐵))
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐵))
56	52, 55	mtbid 327	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ -∞) → ¬ ¬ -∞ < 𝐵)
57	56	notnotrd 135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ -∞) → -∞ < 𝐵)
58	57	ad4ant13 750	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → -∞ < 𝐵)
59	58	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → -∞ < 𝐵)
60	27	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ*)
61	60	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
62	61	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 ∈ ℝ*)
63		mnfxr 10687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → -∞ ∈ ℝ*)
65		simpl3 1190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
66		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → ¬ -∞ < 𝑦)
67	5	sselda 3915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
68	67	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
69		ngtmnft 12547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝑦))
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝑦))
71	66, 70	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝑦 = -∞)
72	71	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = (-∞ +𝑒 (𝑤 / 2)))
73	72	adantllr 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = (-∞ +𝑒 (𝑤 / 2)))
74	29	rpxrd 12420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) ∈ ℝ*)
75	29	rpred 12419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) ∈ ℝ)
76		renepnf 10678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑤 / 2) ∈ ℝ → (𝑤 / 2) ≠ +∞)
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) ≠ +∞)
78		xaddmnf2 12610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑤 / 2) ∈ ℝ* ∧ (𝑤 / 2) ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
79	74, 77, 78	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ → (-∞ +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
80	79	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (-∞ +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
81	80	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (-∞ +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
82	73, 81	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
83	82	adantl3r 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
84	83	adantl3r 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
85	84	3adantl3 1165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
86	65, 85	breqtrd 5056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 ≤ -∞)
87		mnfle 12517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐵)
88	1, 87	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → -∞ ≤ 𝐵)
89	88	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) → -∞ ≤ 𝐵)
90	89	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → -∞ ≤ 𝐵)
91	90	3ad2antl1 1182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → -∞ ≤ 𝐵)
92	62, 64, 86, 91	xrletrid 12536	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 = -∞)
93		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 ≠ -∞)
94	93	3ad2antl1 1182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 ≠ -∞)
95	94	neneqd 2992	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → ¬ 𝐵 = -∞)
96	92, 95	condan 817	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → -∞ < 𝑦)
97		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → ¬ 𝑦 < +∞)
98	67	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → 𝑦 ∈ ℝ*)
99		nltpnft 12545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 = +∞ ↔ ¬ 𝑦 < +∞))
100	98, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → (𝑦 = +∞ ↔ ¬ 𝑦 < +∞))
101	97, 100	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → 𝑦 = +∞)
102	101	eqcomd 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → +∞ = 𝑦)
103		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
104	103	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → 𝑦 ∈ 𝐴)
105	102, 104	eqeltrd 2890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → +∞ ∈ 𝐴)
106	105	3adantl2 1164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → +∞ ∈ 𝐴)
107		simpl2 1189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → ¬ +∞ ∈ 𝐴)
108	106, 107	condan 817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 < +∞)
109	108	ad5ant125 1363	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 < +∞)
110	109	3adant3 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝑦 < +∞)
111	96, 110	jca 515	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞))
112	67	ad5ant15 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
113	112	3adant3 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝑦 ∈ ℝ*)
114		xrrebnd 12549	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
115	113, 114	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
116	111, 115	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝑦 ∈ ℝ)
117	75	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ)
118	117	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ)
119		rexadd 12613	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = (𝑦 + (𝑤 / 2)))
120	116, 118, 119	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = (𝑦 + (𝑤 / 2)))
121	116, 118	readdcld 10659	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 + (𝑤 / 2)) ∈ ℝ)
122	120, 121	eqeltrd 2890	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) ∈ ℝ)
123	122	rexrd 10680	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) ∈ ℝ*)
124		pnfxr 10684	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
125	124	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → +∞ ∈ ℝ*)
126		simp3 1135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
127	122	ltpnfd 12504	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) < +∞)
128	61, 123, 125, 126, 127	xrlelttrd 12541	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝐵 < +∞)
129	59, 128	jca 515	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (-∞ < 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞))
130		xrrebnd 12549	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞)))
131	61, 130	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞)))
132	129, 131	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝐵 ∈ ℝ)
133		rpre 12385	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ → 𝑤 ∈ ℝ)
134	133	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ)
135	134	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝑤 ∈ ℝ)
136		rexadd 12613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑦 +𝑒 𝑤) = (𝑦 + 𝑤))
137	116, 135, 136	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 𝑤) = (𝑦 + 𝑤))
138	116, 135	readdcld 10659	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 + 𝑤) ∈ ℝ)
139	137, 138	eqeltrd 2890	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 𝑤) ∈ ℝ)
140		rphalflt 12406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) < 𝑤)
141	140	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 / 2) < 𝑤)
142	141	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑤 / 2) < 𝑤)
143	118, 135, 116, 142	ltadd2dd 10788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 + (𝑤 / 2)) < (𝑦 + 𝑤))
144	120, 137	breq12d 5043	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → ((𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) < (𝑦 +𝑒 𝑤) ↔ (𝑦 + (𝑤 / 2)) < (𝑦 + 𝑤)))
145	143, 144	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) < (𝑦 +𝑒 𝑤))
146	132, 122, 139, 126, 145	lelttrd 10787	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑤))
147	146	3exp 1116	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) → 𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑤))))
148	50, 147	reximdai 3270	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑤)))
149	49, 148	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑤))
150	23, 25, 27, 149	supxrgelem 41969	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
151	20, 22, 150	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
152	19, 151	pm2.61dan 812	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
153	11, 152	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∃wrex 3107  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  supcsup 8888  ℝcr 10525   + caddc 10529  +∞cpnf 10661  -∞cmnf 10662  ℝ^*cxr 10663   < clt 10664   ≤ cle 10665   / cdiv 11286  2c2 11680  ℝ⁺crp 12377   +_𝑒 cxad 12493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-2 11688  df-rp 12378  df-xadd 12496

This theorem is referenced by:  sge0gerp  43034