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Theorem supxrge 45349
Description: If an extended real number can be approximated from below by members of a set, then it is less than or equal to the supremum of the set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
supxrge.xph 𝑥𝜑
supxrge.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
supxrge.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
supxrge.y ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥))
Assertion
Ref Expression
supxrge (𝜑𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑦
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem supxrge
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supxrge.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
2 pnfge 13172 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≤ +∞)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝐵 ≤ +∞)
43adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ +∞)
5 supxrge.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
65adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
7 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → +∞ ∈ 𝐴)
8 supxrpnf 13360 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
96, 7, 8syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
109eqcomd 2743 . . 3 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → +∞ = sup(𝐴, ℝ*, < ))
114, 10breqtrd 5169 . 2 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
12 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
13 supxrcl 13357 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
145, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
15 mnfle 13177 . . . . . . 7 (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → -∞ ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
1614, 15syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → -∞ ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
1716adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐵 = -∞) → -∞ ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
1812, 17eqbrtrd 5165 . . . 4 ((𝜑𝐵 = -∞) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
1918adantlr 715 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
20 simpl 482 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → (𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴))
21 neqne 2948 . . . . 5 𝐵 = -∞ → 𝐵 ≠ -∞)
2221adantl 481 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ≠ -∞)
23 nfv 1914 . . . . 5 𝑤((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞)
245adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
2524adantr 480 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
261adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2726adantr 480 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
28 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → 𝜑)
29 rphalfcl 13062 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)
3029adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)
31 ovex 7464 . . . . . . . . . 10 (𝑤 / 2) ∈ V
32 nfcv 2905 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝑤 / 2)
33 supxrge.xph . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝜑
34 nfv 1914 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝑤 / 2) ∈ ℝ+
3533, 34nfan 1899 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)
36 nfv 1914 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))
3735, 36nfim 1896 . . . . . . . . . . 11 𝑥((𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
38 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑤 / 2) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+))
3938anbi2d 630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑤 / 2) → ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ↔ (𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)))
40 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑤 / 2) → (𝑦 +𝑒 𝑥) = (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
4140breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑤 / 2) → (𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥) ↔ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))))
4241rexbidv 3179 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑤 / 2) → (∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥) ↔ ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))))
4339, 42imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑤 / 2) → (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))))
44 supxrge.y . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥))
4532, 37, 43, 44vtoclgf 3569 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 / 2) ∈ V → ((𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))))
4631, 45ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
4728, 30, 46syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
4847adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
4948adantlr 715 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
50 nfv 1914 . . . . . . 7 𝑦(((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)
51 neneq 2946 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ≠ -∞ → ¬ 𝐵 = -∞)
5251adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐵 ≠ -∞) → ¬ 𝐵 = -∞)
531adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐵 ≠ -∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
54 ngtmnft 13208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐵))
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐵))
5652, 55mtbid 324 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐵 ≠ -∞) → ¬ ¬ -∞ < 𝐵)
5756notnotrd 133 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐵 ≠ -∞) → -∞ < 𝐵)
5857ad4ant13 751 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → -∞ < 𝐵)
59583ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → -∞ < 𝐵)
6027adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ*)
61603ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6261adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 ∈ ℝ*)
63 mnfxr 11318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -∞ ∈ ℝ*
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → -∞ ∈ ℝ*)
65 simpl3 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
66 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → ¬ -∞ < 𝑦)
675sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
6867adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
69 ngtmnft 13208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝑦))
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝑦))
7166, 70mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝑦 = -∞)
7271oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = (-∞ +𝑒 (𝑤 / 2)))
7372adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = (-∞ +𝑒 (𝑤 / 2)))
7429rpxrd 13078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) ∈ ℝ*)
7529rpred 13077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) ∈ ℝ)
76 renepnf 11309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑤 / 2) ∈ ℝ → (𝑤 / 2) ≠ +∞)
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) ≠ +∞)
78 xaddmnf2 13271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑤 / 2) ∈ ℝ* ∧ (𝑤 / 2) ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
7974, 77, 78syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑤 ∈ ℝ+ → (-∞ +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
8079adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (-∞ +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
8180ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (-∞ +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
8273, 81eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
8382adantl3r 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
8483adantl3r 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
85843adantl3 1169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
8665, 85breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 ≤ -∞)
87 mnfle 13177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐵 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐵)
881, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → -∞ ≤ 𝐵)
8988adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) → -∞ ≤ 𝐵)
9089ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → -∞ ≤ 𝐵)
91903ad2antl1 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → -∞ ≤ 𝐵)
9262, 64, 86, 91xrletrid 13197 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 = -∞)
93 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 ≠ -∞)
94933ad2antl1 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 ≠ -∞)
9594neneqd 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → ¬ 𝐵 = -∞)
9692, 95condan 818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → -∞ < 𝑦)
97 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → ¬ 𝑦 < +∞)
9867adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → 𝑦 ∈ ℝ*)
99 nltpnft 13206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 = +∞ ↔ ¬ 𝑦 < +∞))
10098, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → (𝑦 = +∞ ↔ ¬ 𝑦 < +∞))
10197, 100mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → 𝑦 = +∞)
102101eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → +∞ = 𝑦)
103 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
104103adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → 𝑦𝐴)
105102, 104eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → +∞ ∈ 𝐴)
1061053adantl2 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → +∞ ∈ 𝐴)
107 simpl2 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → ¬ +∞ ∈ 𝐴)
108106, 107condan 818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴𝑦𝐴) → 𝑦 < +∞)
109108ad5ant125 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 < +∞)
1101093adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝑦 < +∞)
11196, 110jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (-∞ < 𝑦𝑦 < +∞))
11267ad5ant15 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
1131123adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝑦 ∈ ℝ*)
114 xrrebnd 13210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝑦𝑦 < +∞)))
115113, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝑦𝑦 < +∞)))
116111, 115mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝑦 ∈ ℝ)
11775adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ)
1181173ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ)
119 rexadd 13274 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = (𝑦 + (𝑤 / 2)))
120116, 118, 119syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = (𝑦 + (𝑤 / 2)))
121116, 118readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 + (𝑤 / 2)) ∈ ℝ)
122120, 121eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) ∈ ℝ)
123122rexrd 11311 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) ∈ ℝ*)
124 pnfxr 11315 . . . . . . . . . . . . 13 +∞ ∈ ℝ*
125124a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → +∞ ∈ ℝ*)
126 simp3 1139 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
127122ltpnfd 13163 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) < +∞)
12861, 123, 125, 126, 127xrlelttrd 13202 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝐵 < +∞)
12959, 128jca 511 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (-∞ < 𝐵𝐵 < +∞))
130 xrrebnd 13210 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐵𝐵 < +∞)))
13161, 130syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐵𝐵 < +∞)))
132129, 131mpbird 257 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝐵 ∈ ℝ)
133 rpre 13043 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ)
134133adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ)
1351343ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝑤 ∈ ℝ)
136 rexadd 13274 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑦 +𝑒 𝑤) = (𝑦 + 𝑤))
137116, 135, 136syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 𝑤) = (𝑦 + 𝑤))
138116, 135readdcld 11290 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 + 𝑤) ∈ ℝ)
139137, 138eqeltrd 2841 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 𝑤) ∈ ℝ)
140 rphalflt 13064 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) < 𝑤)
141140adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 / 2) < 𝑤)
1421413ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑤 / 2) < 𝑤)
143118, 135, 116, 142ltadd2dd 11420 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 + (𝑤 / 2)) < (𝑦 + 𝑤))
144120, 137breq12d 5156 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → ((𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) < (𝑦 +𝑒 𝑤) ↔ (𝑦 + (𝑤 / 2)) < (𝑦 + 𝑤)))
145143, 144mpbird 257 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) < (𝑦 +𝑒 𝑤))
146132, 122, 139, 126, 145lelttrd 11419 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑤))
1471463exp 1120 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑦𝐴 → (𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) → 𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑤))))
14850, 147reximdai 3261 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑤)))
14949, 148mpd 15 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑤))
15023, 25, 27, 149supxrgelem 45348 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
15120, 22, 150syl2anc 584 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
15219, 151pm2.61dan 813 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
15311, 152pm2.61dan 813 1 (𝜑𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wnf 1783  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  Vcvv 3480  wss 3951   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  supcsup 9480  cr 11154   + caddc 11158  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296   / cdiv 11920  2c2 12321  +crp 13034   +𝑒 cxad 13152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-2 12329  df-rp 13035  df-xadd 13155
This theorem is referenced by:  sge0gerp  46410
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