Theorem supxrge 46443

Description: If an extended real number can be approximated from below by members of a set, then it is less than or equal to the supremum of the set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
supxrge.xph	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
supxrge.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
supxrge.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
supxrge.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +e 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
supxrge	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑦

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem supxrge

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supxrge.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
2		pnfge 13262	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → 𝐵 ≤ +∞)
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ +∞)
4	3	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ +∞)
5		supxrge.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
6	5	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
7		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → +∞ ∈ 𝐴)
8		supxrpnf 13451	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
9	6, 7, 8	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
10	9	eqcomd 2766	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → +∞ = sup(𝐴, ℝ*, < ))
11	4, 10	breqtrd 5130	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
12		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
13		supxrcl 13448	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
14	5, 13	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
15		mnfle 13267	. . . . . . 7 ⊢ (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → -∞ ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
16	14, 15	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -∞ ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
17	16	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = -∞) → -∞ ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
18	12, 17	eqbrtrd 5126	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
19	18	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
20		simpl 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → (𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴))
21		neqne 2963	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐵 = -∞ → 𝐵 ≠ -∞)
22	21	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ≠ -∞)
23		nfv 1946	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑤((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞)
24	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
25	24	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
26	1	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
27	26	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
28		simpl 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝜑)
29		rphalfcl 13152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)
30	29	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)
31		ovex 7453	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 / 2) ∈ V
32		nfcv 2922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑤 / 2)
33		supxrge.xph	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
34		nfv 1946	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑤 / 2) ∈ ℝ+
35	33, 34	nfan 1931	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)
36		nfv 1946	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2))
37	35, 36	nfim 1928	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2)))
38		eleq1 2848	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑤 / 2) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+))
39	38	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑤 / 2) → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ↔ (𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)))
40		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑤 / 2) → (𝑦 +e 𝑥) = (𝑦 +e (𝑤 / 2)))
41	40	breq2d 5114	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑤 / 2) → (𝐵 ≤ (𝑦 +e 𝑥) ↔ 𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2))))
42	41	rexbidv 3186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑤 / 2) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +e 𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2))))
43	39, 42	imbi12d 347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑤 / 2) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +e 𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2)))))
44		supxrge.y	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +e 𝑥))
45	32, 37, 43, 44	vtoclgf 3529	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 / 2) ∈ V → ((𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2))))
46	31, 45	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2)))
47	28, 30, 46	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2)))
48	47	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2)))
49	48	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2)))
50		nfv 1946	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦(((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)
51		neneq 2961	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ≠ -∞ → ¬ 𝐵 = -∞)
52	51	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ -∞) → ¬ 𝐵 = -∞)
53	1	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ -∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
54		ngtmnft 13299	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐵))
55	53, 54	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐵))
56	52, 55	mtbid 327	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ -∞) → ¬ ¬ -∞ < 𝐵)
57	56	notnotrd 134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ -∞) → -∞ < 𝐵)
58	57	ad4ant13 764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → -∞ < 𝐵)
59	58	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2))) → -∞ < 𝐵)
60	27	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ*)
61	60	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
62	61	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 ∈ ℝ*)
63		mnfxr 11369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → -∞ ∈ ℝ*)
65		simpl3 1212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2)))
66		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → ¬ -∞ < 𝑦)
67	5	sselda 3908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
68	67	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
69		ngtmnft 13299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝑦))
70	68, 69	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝑦))
71	66, 70	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝑦 = -∞)
72	71	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +e (𝑤 / 2)) = (-∞ +e (𝑤 / 2)))
73	72	adantllr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +e (𝑤 / 2)) = (-∞ +e (𝑤 / 2)))
74	29	rpxrd 13168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) ∈ ℝ*)
75	29	rpred 13167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) ∈ ℝ)
76		renepnf 11360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑤 / 2) ∈ ℝ → (𝑤 / 2) ≠ +∞)
77	75, 76	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) ≠ +∞)
78		xaddmnf2 13362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑤 / 2) ∈ ℝ* ∧ (𝑤 / 2) ≠ +∞) → (-∞ +e (𝑤 / 2)) = -∞)
79	74, 77, 78	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ → (-∞ +e (𝑤 / 2)) = -∞)
80	79	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (-∞ +e (𝑤 / 2)) = -∞)
81	80	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (-∞ +e (𝑤 / 2)) = -∞)
82	73, 81	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +e (𝑤 / 2)) = -∞)
83	82	adantl3r 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +e (𝑤 / 2)) = -∞)
84	83	adantl3r 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +e (𝑤 / 2)) = -∞)
85	84	3adantl3 1187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +e (𝑤 / 2)) = -∞)
86	65, 85	breqtrd 5130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 ≤ -∞)
87		mnfle 13267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐵)
88	1, 87	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → -∞ ≤ 𝐵)
89	88	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) → -∞ ≤ 𝐵)
90	89	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → -∞ ≤ 𝐵)
91	90	3ad2antl1 1204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → -∞ ≤ 𝐵)
92	62, 64, 86, 91	xrletrid 13287	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 = -∞)
93		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 ≠ -∞)
94	93	3ad2antl1 1204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 ≠ -∞)
95	94	neneqd 2960	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → ¬ 𝐵 = -∞)
96	92, 95	condan 830	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2))) → -∞ < 𝑦)
97		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → ¬ 𝑦 < +∞)
98	67	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → 𝑦 ∈ ℝ*)
99		nltpnft 13297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 = +∞ ↔ ¬ 𝑦 < +∞))
100	98, 99	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → (𝑦 = +∞ ↔ ¬ 𝑦 < +∞))
101	97, 100	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → 𝑦 = +∞)
102	101	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → +∞ = 𝑦)
103		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
104	103	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → 𝑦 ∈ 𝐴)
105	102, 104	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → +∞ ∈ 𝐴)
106	105	3adantl2 1186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → +∞ ∈ 𝐴)
107		simpl2 1211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → ¬ +∞ ∈ 𝐴)
108	106, 107	condan 830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 < +∞)
109	108	ad5ant125 1390	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 < +∞)
110	109	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2))) → 𝑦 < +∞)
111	96, 110	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2))) → (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞))
112	67	ad5ant15 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
113	112	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2))) → 𝑦 ∈ ℝ*)
114		xrrebnd 13301	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
115	113, 114	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2))) → (𝑦 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
116	111, 115	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2))) → 𝑦 ∈ ℝ)
117	75	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ)
118	117	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2))) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ)
119		rexadd 13365	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ) → (𝑦 +e (𝑤 / 2)) = (𝑦 + (𝑤 / 2)))
120	116, 118, 119	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2))) → (𝑦 +e (𝑤 / 2)) = (𝑦 + (𝑤 / 2)))
121	116, 118	readdcld 11341	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2))) → (𝑦 + (𝑤 / 2)) ∈ ℝ)
122	120, 121	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2))) → (𝑦 +e (𝑤 / 2)) ∈ ℝ)
123	122	rexrd 11362	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2))) → (𝑦 +e (𝑤 / 2)) ∈ ℝ*)
124		pnfxr 11366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
125	124	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2))) → +∞ ∈ ℝ*)
126		simp3 1156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2))) → 𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2)))
127	122	ltpnfd 13253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2))) → (𝑦 +e (𝑤 / 2)) < +∞)
128	61, 123, 125, 126, 127	xrlelttrd 13292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2))) → 𝐵 < +∞)
129	59, 128	jca 521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2))) → (-∞ < 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞))
130		xrrebnd 13301	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞)))
131	61, 130	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2))) → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞)))
132	129, 131	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2))) → 𝐵 ∈ ℝ)
133		rpre 13132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ → 𝑤 ∈ ℝ)
134	133	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ)
135	134	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2))) → 𝑤 ∈ ℝ)
136		rexadd 13365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑦 +e 𝑤) = (𝑦 + 𝑤))
137	116, 135, 136	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2))) → (𝑦 +e 𝑤) = (𝑦 + 𝑤))
138	116, 135	readdcld 11341	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2))) → (𝑦 + 𝑤) ∈ ℝ)
139	137, 138	eqeltrd 2860	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2))) → (𝑦 +e 𝑤) ∈ ℝ)
140		rphalflt 13154	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) < 𝑤)
141	140	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 / 2) < 𝑤)
142	141	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2))) → (𝑤 / 2) < 𝑤)
143	118, 135, 116, 142	ltadd2dd 11472	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2))) → (𝑦 + (𝑤 / 2)) < (𝑦 + 𝑤))
144	120, 137	breq12d 5115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2))) → ((𝑦 +e (𝑤 / 2)) < (𝑦 +e 𝑤) ↔ (𝑦 + (𝑤 / 2)) < (𝑦 + 𝑤)))
145	143, 144	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2))) → (𝑦 +e (𝑤 / 2)) < (𝑦 +e 𝑤))
146	132, 122, 139, 126, 145	lelttrd 11471	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2))) → 𝐵 < (𝑦 +e 𝑤))
147	146	3exp 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2)) → 𝐵 < (𝑦 +e 𝑤))))
148	50, 147	reximdai 3264	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +e (𝑤 / 2)) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 < (𝑦 +e 𝑤)))
149	49, 148	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 < (𝑦 +e 𝑤))
150	23, 25, 27, 149	supxrgelem 46442	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
151	20, 22, 150	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
152	19, 151	pm2.61dan 825	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
153	11, 152	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569  Ⅎwnf 1815   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  supcsup 9435  ℝcr 11202   + caddc 11206  +∞cpnf 11343  -∞cmnf 11344  ℝ^*cxr 11345   < clt 11346   ≤ cle 11347   / cdiv 11976  2c2 12400  ℝ⁺crp 13123   +_e cxad 13242

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-sup 9437  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-rp 13124  df-xadd 13245

This theorem is used by:  sge0gerp  47498