Theorem supxrge 45318

Description: If an extended real number can be approximated from below by members of a set, then it is less than or equal to the supremum of the set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
supxrge.xph	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
supxrge.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
supxrge.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
supxrge.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
supxrge	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑦

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem supxrge

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supxrge.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
2		pnfge 13050	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → 𝐵 ≤ +∞)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ +∞)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ +∞)
5		supxrge.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
6	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
7		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → +∞ ∈ 𝐴)
8		supxrpnf 13238	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
9	6, 7, 8	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
10	9	eqcomd 2735	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → +∞ = sup(𝐴, ℝ*, < ))
11	4, 10	breqtrd 5121	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
12		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
13		supxrcl 13235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
14	5, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
15		mnfle 13055	. . . . . . 7 ⊢ (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → -∞ ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
16	14, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -∞ ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
17	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = -∞) → -∞ ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
18	12, 17	eqbrtrd 5117	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
19	18	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
20		simpl 482	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → (𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴))
21		neqne 2933	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐵 = -∞ → 𝐵 ≠ -∞)
22	21	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ≠ -∞)
23		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑤((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞)
24	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
25	24	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
26	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
27	26	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
28		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝜑)
29		rphalfcl 12940	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)
30	29	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)
31		ovex 7386	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 / 2) ∈ V
32		nfcv 2891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑤 / 2)
33		supxrge.xph	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
34		nfv 1914	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑤 / 2) ∈ ℝ+
35	33, 34	nfan 1899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)
36		nfv 1914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))
37	35, 36	nfim 1896	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
38		eleq1 2816	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑤 / 2) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+))
39	38	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑤 / 2) → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ↔ (𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)))
40		oveq2 7361	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑤 / 2) → (𝑦 +𝑒 𝑥) = (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
41	40	breq2d 5107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑤 / 2) → (𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥) ↔ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))))
42	41	rexbidv 3153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑤 / 2) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))))
43	39, 42	imbi12d 344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑤 / 2) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))))
44		supxrge.y	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥))
45	32, 37, 43, 44	vtoclgf 3526	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 / 2) ∈ V → ((𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))))
46	31, 45	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
47	28, 30, 46	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
48	47	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
49	48	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
50		nfv 1914	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦(((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)
51		neneq 2931	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ≠ -∞ → ¬ 𝐵 = -∞)
52	51	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ -∞) → ¬ 𝐵 = -∞)
53	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ -∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
54		ngtmnft 13086	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐵))
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐵))
56	52, 55	mtbid 324	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ -∞) → ¬ ¬ -∞ < 𝐵)
57	56	notnotrd 133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ -∞) → -∞ < 𝐵)
58	57	ad4ant13 751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → -∞ < 𝐵)
59	58	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → -∞ < 𝐵)
60	27	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ*)
61	60	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
62	61	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 ∈ ℝ*)
63		mnfxr 11191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → -∞ ∈ ℝ*)
65		simpl3 1194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
66		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → ¬ -∞ < 𝑦)
67	5	sselda 3937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
68	67	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
69		ngtmnft 13086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝑦))
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝑦))
71	66, 70	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝑦 = -∞)
72	71	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = (-∞ +𝑒 (𝑤 / 2)))
73	72	adantllr 719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = (-∞ +𝑒 (𝑤 / 2)))
74	29	rpxrd 12956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) ∈ ℝ*)
75	29	rpred 12955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) ∈ ℝ)
76		renepnf 11182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑤 / 2) ∈ ℝ → (𝑤 / 2) ≠ +∞)
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) ≠ +∞)
78		xaddmnf2 13149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑤 / 2) ∈ ℝ* ∧ (𝑤 / 2) ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
79	74, 77, 78	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ → (-∞ +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
80	79	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (-∞ +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
81	80	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (-∞ +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
82	73, 81	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
83	82	adantl3r 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
84	83	adantl3r 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
85	84	3adantl3 1169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
86	65, 85	breqtrd 5121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 ≤ -∞)
87		mnfle 13055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐵)
88	1, 87	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → -∞ ≤ 𝐵)
89	88	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) → -∞ ≤ 𝐵)
90	89	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → -∞ ≤ 𝐵)
91	90	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → -∞ ≤ 𝐵)
92	62, 64, 86, 91	xrletrid 13075	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 = -∞)
93		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 ≠ -∞)
94	93	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 ≠ -∞)
95	94	neneqd 2930	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → ¬ 𝐵 = -∞)
96	92, 95	condan 817	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → -∞ < 𝑦)
97		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → ¬ 𝑦 < +∞)
98	67	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → 𝑦 ∈ ℝ*)
99		nltpnft 13084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 = +∞ ↔ ¬ 𝑦 < +∞))
100	98, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → (𝑦 = +∞ ↔ ¬ 𝑦 < +∞))
101	97, 100	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → 𝑦 = +∞)
102	101	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → +∞ = 𝑦)
103		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
104	103	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → 𝑦 ∈ 𝐴)
105	102, 104	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → +∞ ∈ 𝐴)
106	105	3adantl2 1168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → +∞ ∈ 𝐴)
107		simpl2 1193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → ¬ +∞ ∈ 𝐴)
108	106, 107	condan 817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 < +∞)
109	108	ad5ant125 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 < +∞)
110	109	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝑦 < +∞)
111	96, 110	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞))
112	67	ad5ant15 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
113	112	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝑦 ∈ ℝ*)
114		xrrebnd 13088	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
115	113, 114	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
116	111, 115	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝑦 ∈ ℝ)
117	75	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ)
118	117	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ)
119		rexadd 13152	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = (𝑦 + (𝑤 / 2)))
120	116, 118, 119	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = (𝑦 + (𝑤 / 2)))
121	116, 118	readdcld 11163	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 + (𝑤 / 2)) ∈ ℝ)
122	120, 121	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) ∈ ℝ)
123	122	rexrd 11184	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) ∈ ℝ*)
124		pnfxr 11188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
125	124	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → +∞ ∈ ℝ*)
126		simp3 1138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
127	122	ltpnfd 13041	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) < +∞)
128	61, 123, 125, 126, 127	xrlelttrd 13080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝐵 < +∞)
129	59, 128	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (-∞ < 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞))
130		xrrebnd 13088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞)))
131	61, 130	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞)))
132	129, 131	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝐵 ∈ ℝ)
133		rpre 12920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ → 𝑤 ∈ ℝ)
134	133	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ)
135	134	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝑤 ∈ ℝ)
136		rexadd 13152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑦 +𝑒 𝑤) = (𝑦 + 𝑤))
137	116, 135, 136	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 𝑤) = (𝑦 + 𝑤))
138	116, 135	readdcld 11163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 + 𝑤) ∈ ℝ)
139	137, 138	eqeltrd 2828	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 𝑤) ∈ ℝ)
140		rphalflt 12942	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) < 𝑤)
141	140	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 / 2) < 𝑤)
142	141	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑤 / 2) < 𝑤)
143	118, 135, 116, 142	ltadd2dd 11293	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 + (𝑤 / 2)) < (𝑦 + 𝑤))
144	120, 137	breq12d 5108	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → ((𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) < (𝑦 +𝑒 𝑤) ↔ (𝑦 + (𝑤 / 2)) < (𝑦 + 𝑤)))
145	143, 144	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) < (𝑦 +𝑒 𝑤))
146	132, 122, 139, 126, 145	lelttrd 11292	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑤))
147	146	3exp 1119	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) → 𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑤))))
148	50, 147	reximdai 3231	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑤)))
149	49, 148	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑤))
150	23, 25, 27, 149	supxrgelem 45317	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
151	20, 22, 150	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
152	19, 151	pm2.61dan 812	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
153	11, 152	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  Vcvv 3438   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5095  (class class class)co 7353  supcsup 9349  ℝcr 11027   + caddc 11031  +∞cpnf 11165  -∞cmnf 11166  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168   ≤ cle 11169   / cdiv 11795  2c2 12201  ℝ⁺crp 12911   +_𝑒 cxad 13030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9351  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-rp 12912  df-xadd 13033

This theorem is referenced by:  sge0gerp  46377