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Theorem supxrge 40035
Description: If an extended real number can be approximated from below by members of a set, then it is less than or equal to the supremum of the set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
supxrge.xph 𝑥𝜑
supxrge.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
supxrge.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
supxrge.y ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥))
Assertion
Ref Expression
supxrge (𝜑𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑦
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem supxrge
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supxrge.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
2 pnfge 12183 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≤ +∞)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝐵 ≤ +∞)
43adantr 468 . . 3 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ +∞)
5 supxrge.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
65adantr 468 . . . . 5 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
7 simpr 473 . . . . 5 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → +∞ ∈ 𝐴)
8 supxrpnf 12369 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
96, 7, 8syl2anc 575 . . . 4 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
109eqcomd 2819 . . 3 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → +∞ = sup(𝐴, ℝ*, < ))
114, 10breqtrd 4877 . 2 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
12 simpr 473 . . . . 5 ((𝜑𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
13 supxrcl 12366 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
145, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
15 mnfle 12188 . . . . . . 7 (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → -∞ ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
1614, 15syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → -∞ ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
1716adantr 468 . . . . 5 ((𝜑𝐵 = -∞) → -∞ ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
1812, 17eqbrtrd 4873 . . . 4 ((𝜑𝐵 = -∞) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
1918adantlr 697 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
20 simpl 470 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → (𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴))
21 neqne 2993 . . . . 5 𝐵 = -∞ → 𝐵 ≠ -∞)
2221adantl 469 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ≠ -∞)
23 nfv 2005 . . . . 5 𝑤((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞)
245adantr 468 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
2524adantr 468 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
261adantr 468 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2726adantr 468 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
28 simpl 470 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → 𝜑)
29 rphalfcl 12075 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)
3029adantl 469 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)
31 ovex 6909 . . . . . . . . . 10 (𝑤 / 2) ∈ V
32 nfcv 2955 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝑤 / 2)
33 supxrge.xph . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝜑
34 nfv 2005 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝑤 / 2) ∈ ℝ+
3533, 34nfan 1990 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)
36 nfv 2005 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))
3735, 36nfim 1987 . . . . . . . . . . 11 𝑥((𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
38 eleq1 2880 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑤 / 2) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+))
3938anbi2d 616 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑤 / 2) → ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ↔ (𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)))
40 oveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑤 / 2) → (𝑦 +𝑒 𝑥) = (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
4140breq2d 4863 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑤 / 2) → (𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥) ↔ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))))
4241rexbidv 3247 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑤 / 2) → (∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥) ↔ ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))))
4339, 42imbi12d 335 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑤 / 2) → (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))))
44 supxrge.y . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥))
4532, 37, 43, 44vtoclgf 3464 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 / 2) ∈ V → ((𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))))
4631, 45ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
4728, 30, 46syl2anc 575 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
4847adantlr 697 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
4948adantlr 697 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
50 nfv 2005 . . . . . . 7 𝑦(((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)
51 neneq 2991 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ≠ -∞ → ¬ 𝐵 = -∞)
5251adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐵 ≠ -∞) → ¬ 𝐵 = -∞)
531adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐵 ≠ -∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
54 ngtmnft 12218 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐵))
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐵))
5652, 55mtbid 315 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐵 ≠ -∞) → ¬ ¬ -∞ < 𝐵)
5756notnotrd 130 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐵 ≠ -∞) → -∞ < 𝐵)
5857ad4ant13 748 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → -∞ < 𝐵)
59583ad2ant1 1156 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → -∞ < 𝐵)
6027adantr 468 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ*)
61603ad2ant1 1156 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6261adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 ∈ ℝ*)
63 mnfxr 10384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -∞ ∈ ℝ*
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → -∞ ∈ ℝ*)
65 simpl3 1239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
66 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → ¬ -∞ < 𝑦)
675sselda 3805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
6867adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
69 ngtmnft 12218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝑦))
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝑦))
7166, 70mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝑦 = -∞)
7271oveq1d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = (-∞ +𝑒 (𝑤 / 2)))
7372adantllr 701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = (-∞ +𝑒 (𝑤 / 2)))
7429rpxrd 12090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) ∈ ℝ*)
7529rpred 12089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) ∈ ℝ)
76 renepnf 10375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑤 / 2) ∈ ℝ → (𝑤 / 2) ≠ +∞)
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) ≠ +∞)
78 xaddmnf2 12281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑤 / 2) ∈ ℝ* ∧ (𝑤 / 2) ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
7974, 77, 78syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑤 ∈ ℝ+ → (-∞ +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
8079adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (-∞ +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
8180ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (-∞ +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
8273, 81eqtrd 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
8382adantl3r 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
8483adantl3r 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
85843adantl3 1202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
8665, 85breqtrd 4877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 ≤ -∞)
87 mnfle 12188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐵 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐵)
881, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → -∞ ≤ 𝐵)
8988adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) → -∞ ≤ 𝐵)
9089ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → -∞ ≤ 𝐵)
91903ad2antl1 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → -∞ ≤ 𝐵)
9262, 64, 86, 91xrletrid 12207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 = -∞)
93 simpllr 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 ≠ -∞)
94933ad2antl1 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 ≠ -∞)
9594neneqd 2990 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → ¬ 𝐵 = -∞)
9692, 95condan 843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → -∞ < 𝑦)
97 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → ¬ 𝑦 < +∞)
9867adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → 𝑦 ∈ ℝ*)
99 nltpnft 12216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 = +∞ ↔ ¬ 𝑦 < +∞))
10098, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → (𝑦 = +∞ ↔ ¬ 𝑦 < +∞))
10197, 100mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → 𝑦 = +∞)
102101eqcomd 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → +∞ = 𝑦)
103 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
104103adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → 𝑦𝐴)
105102, 104eqeltrd 2892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → +∞ ∈ 𝐴)
1061053adantl2 1201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → +∞ ∈ 𝐴)
107 simpl2 1237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → ¬ +∞ ∈ 𝐴)
108106, 107condan 843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴𝑦𝐴) → 𝑦 < +∞)
109108ad5ant125 1473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 < +∞)
1101093adant3 1155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝑦 < +∞)
11196, 110jca 503 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (-∞ < 𝑦𝑦 < +∞))
11267ad5ant15 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
1131123adant3 1155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝑦 ∈ ℝ*)
114 xrrebnd 12220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝑦𝑦 < +∞)))
115113, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝑦𝑦 < +∞)))
116111, 115mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝑦 ∈ ℝ)
11775adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ)
1181173ad2ant1 1156 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ)
119 rexadd 12284 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = (𝑦 + (𝑤 / 2)))
120116, 118, 119syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = (𝑦 + (𝑤 / 2)))
121116, 118readdcld 10357 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 + (𝑤 / 2)) ∈ ℝ)
122120, 121eqeltrd 2892 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) ∈ ℝ)
123122rexrd 10377 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) ∈ ℝ*)
124 pnfxr 10380 . . . . . . . . . . . . 13 +∞ ∈ ℝ*
125124a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → +∞ ∈ ℝ*)
126 simp3 1161 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
127122ltpnfd 12174 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) < +∞)
12861, 123, 125, 126, 127xrlelttrd 12212 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝐵 < +∞)
12959, 128jca 503 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (-∞ < 𝐵𝐵 < +∞))
130 xrrebnd 12220 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐵𝐵 < +∞)))
13161, 130syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐵𝐵 < +∞)))
132129, 131mpbird 248 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝐵 ∈ ℝ)
133 rpre 12056 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ)
134133adantl 469 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ)
1351343ad2ant1 1156 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝑤 ∈ ℝ)
136 rexadd 12284 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑦 +𝑒 𝑤) = (𝑦 + 𝑤))
137116, 135, 136syl2anc 575 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 𝑤) = (𝑦 + 𝑤))
138116, 135readdcld 10357 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 + 𝑤) ∈ ℝ)
139137, 138eqeltrd 2892 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 𝑤) ∈ ℝ)
140 rphalflt 12077 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) < 𝑤)
141140adantl 469 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 / 2) < 𝑤)
1421413ad2ant1 1156 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑤 / 2) < 𝑤)
143118, 135, 116, 142ltadd2dd 10484 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 + (𝑤 / 2)) < (𝑦 + 𝑤))
144120, 137breq12d 4864 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → ((𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) < (𝑦 +𝑒 𝑤) ↔ (𝑦 + (𝑤 / 2)) < (𝑦 + 𝑤)))
145143, 144mpbird 248 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) < (𝑦 +𝑒 𝑤))
146132, 122, 139, 126, 145lelttrd 10483 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑤))
1471463exp 1141 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑦𝐴 → (𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) → 𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑤))))
14850, 147reximdai 3206 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑤)))
14949, 148mpd 15 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑤))
15023, 25, 27, 149supxrgelem 40034 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
15120, 22, 150syl2anc 575 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
15219, 151pm2.61dan 838 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
15311, 152pm2.61dan 838 1 (𝜑𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wnf 1863  wcel 2157  wne 2985  wrex 3104  Vcvv 3398  wss 3776   class class class wbr 4851  (class class class)co 6877  supcsup 8588  cr 10223   + caddc 10227  +∞cpnf 10359  -∞cmnf 10360  *cxr 10361   < clt 10362  cle 10363   / cdiv 10972  2c2 11359  +crp 12049   +𝑒 cxad 12163
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-op 4384  df-uni 4638  df-iun 4721  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-id 5226  df-po 5239  df-so 5240  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-sup 8590  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10973  df-2 11367  df-rp 12050  df-xadd 12166
This theorem is referenced by:  sge0gerp  41092
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