Theorem xleadd1a 13278

Description: Extended real version of leadd1 11721; note that the converse implication is not true, unlike the real version (for example 0 < 1 but (1 +_𝑒 +∞) ≤ (0 +_𝑒 +∞)). (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xleadd1a	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))

Proof of Theorem xleadd1a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplrr 776	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		simpr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
3		simplrl 775	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
4		simpllr 774	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	1, 2, 3, 4	leadd1dd 11867	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))
6	1, 3	rexaddd 13259	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐶) = (𝐴 + 𝐶))
7	2, 3	rexaddd 13259	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
8	5, 6, 7	3brtr4d 5176	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
9		simpl1 1188	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
10		simpl3 1190	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
11		xaddcl 13264	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
12	9, 10, 11	syl2anc 582	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
13	12	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
14		pnfge 13156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ +∞)
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ +∞)
16		oveq1 7421	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (+∞ +𝑒 𝐶))
17		rexr 11299	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ*)
18		renemnf 11302	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ≠ -∞)
19		xaddpnf2 13252	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐶) = +∞)
20	17, 18, 19	syl2anc 582	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (+∞ +𝑒 𝐶) = +∞)
21	20	ad2antrl 726	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) → (+∞ +𝑒 𝐶) = +∞)
22	16, 21	sylan9eqr 2788	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = +∞)
23	15, 22	breqtrrd 5172	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
24	12	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
25	24	xrleidd 13177	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐴 +𝑒 𝐶))
26		simplr 767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 ≤ 𝐵)
27		simpr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
28	9	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
29		mnfle 13160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → -∞ ≤ 𝐴)
31	27, 30	eqbrtrd 5166	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ≤ 𝐴)
32		simpl2 1189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
33		xrletri3 13179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
34	9, 32, 33	syl2anc 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
35	34	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
36	26, 31, 35	mpbir2and 711	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 = 𝐵)
37	36	oveq1d 7429	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) = (𝐵 +𝑒 𝐶))
38	25, 37	breqtrd 5170	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
39	38	adantlr 713	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
40		elxr 13142	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
41	32, 40	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
42	41	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
43	8, 23, 39, 42	mpjao3dan 1429	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
44	43	anassrs 466	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
45	12	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
46	45	xrleidd 13177	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐴 +𝑒 𝐶))
47		simplr 767	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≤ 𝐵)
48		pnfge 13156	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → 𝐵 ≤ +∞)
49	32, 48	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ≤ +∞)
50	49	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ≤ +∞)
51		simpr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
52	50, 51	breqtrrd 5172	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ≤ 𝐴)
53	34	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
54	47, 52, 53	mpbir2and 711	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = 𝐵)
55	54	oveq1d 7429	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) = (𝐵 +𝑒 𝐶))
56	46, 55	breqtrd 5170	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
57	56	adantlr 713	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
58		oveq1 7421	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 𝐶) = (-∞ +𝑒 𝐶))
59		renepnf 11301	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ≠ +∞)
60		xaddmnf2 13254	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐶) = -∞)
61	17, 59, 60	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (-∞ +𝑒 𝐶) = -∞)
62	61	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (-∞ +𝑒 𝐶) = -∞)
63	58, 62	sylan9eqr 2788	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) = -∞)
64		xaddcl 13264	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
65	32, 10, 64	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
66	65	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
67		mnfle 13160	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* → -∞ ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
68	66, 67	syl 17	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → -∞ ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
69	63, 68	eqbrtrd 5166	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
70		elxr 13142	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
71	9, 70	sylib 217	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
72	71	adantr 479	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
73	44, 57, 69, 72	mpjao3dan 1429	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
74	38	adantlr 713	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
75	12	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
76	75, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ +∞)
77		simplr 767	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → 𝐶 = +∞)
78	77	oveq2d 7430	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐵 +𝑒 +∞))
79	32	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
80		xaddpnf1 13251	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 +𝑒 +∞) = +∞)
81	79, 80	sylan 578	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 +𝑒 +∞) = +∞)
82	78, 81	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = +∞)
83	76, 82	breqtrrd 5172	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
84	74, 83	pm2.61dane 3019	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
85	56	adantlr 713	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
86		simplr 767	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = -∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐶 = -∞)
87	86	oveq2d 7430	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = -∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 -∞))
88	9	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
89		xaddmnf1 13253	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
90	88, 89	sylan 578	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = -∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
91	87, 90	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = -∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) = -∞)
92	65	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = -∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
93	92, 67	syl 17	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = -∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → -∞ ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
94	91, 93	eqbrtrd 5166	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = -∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
95	85, 94	pm2.61dane 3019	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
96		elxr 13142	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ* ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
97	10, 96	sylib 217	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
98	73, 84, 95, 97	mpjao3dan 1429	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ w3o 1083   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930   class class class wbr 5144  (class class class)co 7414  ℝcr 11146   + caddc 11150  +∞cpnf 11284  -∞cmnf 11285  ℝ^*cxr 11286   ≤ cle 11288   +_𝑒 cxad 13136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5571  df-po 5585  df-so 5586  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-xadd 13139

This theorem is referenced by:  xleadd2a  13279  xleadd1  13280  xaddge0  13283  xle2add  13284  imasdsf1olem  24365  xblss2ps  24393  xblss2  24394  stdbdxmet  24510  xrge0omnd  32948  measunl  34060  carsgclctunlem2  34164  xleadd1d  44978