Theorem xleadd1a 13393

Description: Extended real version of leadd1 11794; note that the converse implication is not true, unlike the real version (for example 0 < 1 but (1 +_e +∞) ≤ (0 +_e +∞)). (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xleadd1a	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 +e 𝐶) ≤ (𝐵 +e 𝐶))

Proof of Theorem xleadd1a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplrr 790	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
3		simplrl 789	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
4		simpllr 788	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	1, 2, 3, 4	leadd1dd 11940	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))
6	1, 3	rexaddd 13374	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +e 𝐶) = (𝐴 + 𝐶))
7	2, 3	rexaddd 13374	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 +e 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
8	5, 6, 7	3brtr4d 5139	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +e 𝐶) ≤ (𝐵 +e 𝐶))
9		simpl1 1210	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
10		simpl3 1212	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
11		xaddcl 13379	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 +e 𝐶) ∈ ℝ*)
12	9, 10, 11	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 +e 𝐶) ∈ ℝ*)
13	12	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +e 𝐶) ∈ ℝ*)
14		pnfge 13269	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 +e 𝐶) ∈ ℝ* → (𝐴 +e 𝐶) ≤ +∞)
15	13, 14	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +e 𝐶) ≤ +∞)
16		oveq1 7434	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐵 +e 𝐶) = (+∞ +e 𝐶))
17		rexr 11365	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ*)
18		renemnf 11368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ≠ -∞)
19		xaddpnf2 13367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) → (+∞ +e 𝐶) = +∞)
20	17, 18, 19	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (+∞ +e 𝐶) = +∞)
21	20	ad2antrl 741	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) → (+∞ +e 𝐶) = +∞)
22	16, 21	sylan9eqr 2820	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 +e 𝐶) = +∞)
23	15, 22	breqtrrd 5135	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +e 𝐶) ≤ (𝐵 +e 𝐶))
24	12	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +e 𝐶) ∈ ℝ*)
25	24	xrleidd 13291	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +e 𝐶) ≤ (𝐴 +e 𝐶))
26		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 ≤ 𝐵)
27		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
28	9	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
29		mnfle 13274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
30	28, 29	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → -∞ ≤ 𝐴)
31	27, 30	eqbrtrd 5129	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ≤ 𝐴)
32		simpl2 1211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
33		xrletri3 13293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
34	9, 32, 33	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
35	34	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
36	26, 31, 35	mpbir2and 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 = 𝐵)
37	36	oveq1d 7442	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +e 𝐶) = (𝐵 +e 𝐶))
38	25, 37	breqtrd 5133	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +e 𝐶) ≤ (𝐵 +e 𝐶))
39	38	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +e 𝐶) ≤ (𝐵 +e 𝐶))
40		elxr 13255	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
41	32, 40	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
42	41	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
43	8, 23, 39, 42	mpjao3dan 1459	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) → (𝐴 +e 𝐶) ≤ (𝐵 +e 𝐶))
44	43	anassrs 473	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 +e 𝐶) ≤ (𝐵 +e 𝐶))
45	12	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +e 𝐶) ∈ ℝ*)
46	45	xrleidd 13291	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +e 𝐶) ≤ (𝐴 +e 𝐶))
47		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≤ 𝐵)
48		pnfge 13269	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → 𝐵 ≤ +∞)
49	32, 48	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ≤ +∞)
50	49	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ≤ +∞)
51		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
52	50, 51	breqtrrd 5135	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ≤ 𝐴)
53	34	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
54	47, 52, 53	mpbir2and 726	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = 𝐵)
55	54	oveq1d 7442	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +e 𝐶) = (𝐵 +e 𝐶))
56	46, 55	breqtrd 5133	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +e 𝐶) ≤ (𝐵 +e 𝐶))
57	56	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +e 𝐶) ≤ (𝐵 +e 𝐶))
58		oveq1 7434	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 +e 𝐶) = (-∞ +e 𝐶))
59		renepnf 11367	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ≠ +∞)
60		xaddmnf2 13369	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (-∞ +e 𝐶) = -∞)
61	17, 59, 60	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (-∞ +e 𝐶) = -∞)
62	61	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (-∞ +e 𝐶) = -∞)
63	58, 62	sylan9eqr 2820	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +e 𝐶) = -∞)
64		xaddcl 13379	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 +e 𝐶) ∈ ℝ*)
65	32, 10, 64	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 +e 𝐶) ∈ ℝ*)
66	65	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐵 +e 𝐶) ∈ ℝ*)
67		mnfle 13274	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 +e 𝐶) ∈ ℝ* → -∞ ≤ (𝐵 +e 𝐶))
68	66, 67	syl 18	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → -∞ ≤ (𝐵 +e 𝐶))
69	63, 68	eqbrtrd 5129	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +e 𝐶) ≤ (𝐵 +e 𝐶))
70		elxr 13255	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
71	9, 70	sylib 221	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
72	71	adantr 486	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
73	44, 57, 69, 72	mpjao3dan 1459	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 +e 𝐶) ≤ (𝐵 +e 𝐶))
74	38	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +e 𝐶) ≤ (𝐵 +e 𝐶))
75	12	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (𝐴 +e 𝐶) ∈ ℝ*)
76	75, 14	syl 18	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (𝐴 +e 𝐶) ≤ +∞)
77		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → 𝐶 = +∞)
78	77	oveq2d 7443	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 +e 𝐶) = (𝐵 +e +∞))
79	32	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
80		xaddpnf1 13366	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 +e +∞) = +∞)
81	79, 80	sylan 592	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 +e +∞) = +∞)
82	78, 81	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 +e 𝐶) = +∞)
83	76, 82	breqtrrd 5135	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = +∞) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (𝐴 +e 𝐶) ≤ (𝐵 +e 𝐶))
84	74, 83	pm2.61dane 3045	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 +e 𝐶) ≤ (𝐵 +e 𝐶))
85	56	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +e 𝐶) ≤ (𝐵 +e 𝐶))
86		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = -∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐶 = -∞)
87	86	oveq2d 7443	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = -∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (𝐴 +e 𝐶) = (𝐴 +e -∞))
88	9	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
89		xaddmnf1 13368	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (𝐴 +e -∞) = -∞)
90	88, 89	sylan 592	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = -∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (𝐴 +e -∞) = -∞)
91	87, 90	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = -∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (𝐴 +e 𝐶) = -∞)
92	65	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = -∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (𝐵 +e 𝐶) ∈ ℝ*)
93	92, 67	syl 18	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = -∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → -∞ ≤ (𝐵 +e 𝐶))
94	91, 93	eqbrtrd 5129	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = -∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (𝐴 +e 𝐶) ≤ (𝐵 +e 𝐶))
95	85, 94	pm2.61dane 3045	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐴 +e 𝐶) ≤ (𝐵 +e 𝐶))
96		elxr 13255	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ* ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
97	10, 96	sylib 221	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
98	73, 84, 95, 97	mpjao3dan 1459	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 +e 𝐶) ≤ (𝐵 +e 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958   class class class wbr 5105  (class class class)co 7427  ℝcr 11209   + caddc 11213  +∞cpnf 11350  -∞cmnf 11351  ℝ^*cxr 11352   ≤ cle 11354   +_e cxad 13249

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-po 5562  df-so 5563  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-xadd 13252

This theorem is used by:  xleadd2a  13394  xleadd1  13395  xaddge0  13398  xle2add  13399  xrge0omnd  21763  imasdsf1olem  24704  xblss2ps  24732  xblss2  24733  stdbdxmet  24846  measunl  34902  carsgclctunlem2  35004  xleadd1d  46480