Theorem rexadd 12895

Description: The extended real addition operation when both arguments are real. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rexadd	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem rexadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 10952	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 10952	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xaddval 12886	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = if(𝐴 = +∞, if(𝐵 = -∞, 0, +∞), if(𝐴 = -∞, if(𝐵 = +∞, 0, -∞), if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵))))))
4	1, 2, 3	syl2an 595	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = if(𝐴 = +∞, if(𝐵 = -∞, 0, +∞), if(𝐴 = -∞, if(𝐵 = +∞, 0, -∞), if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵))))))
5		renepnf 10954	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)
6		ifnefalse 4468	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ +∞ → if(𝐴 = +∞, if(𝐵 = -∞, 0, +∞), if(𝐴 = -∞, if(𝐵 = +∞, 0, -∞), if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵))))) = if(𝐴 = -∞, if(𝐵 = +∞, 0, -∞), if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵)))))
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → if(𝐴 = +∞, if(𝐵 = -∞, 0, +∞), if(𝐴 = -∞, if(𝐵 = +∞, 0, -∞), if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵))))) = if(𝐴 = -∞, if(𝐵 = +∞, 0, -∞), if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵)))))
8		renemnf 10955	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
9		ifnefalse 4468	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ -∞ → if(𝐴 = -∞, if(𝐵 = +∞, 0, -∞), if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵)))) = if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵))))
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → if(𝐴 = -∞, if(𝐵 = +∞, 0, -∞), if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵)))) = if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵))))
11	7, 10	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → if(𝐴 = +∞, if(𝐵 = -∞, 0, +∞), if(𝐴 = -∞, if(𝐵 = +∞, 0, -∞), if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵))))) = if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵))))
12		renepnf 10954	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≠ +∞)
13		ifnefalse 4468	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ +∞ → if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵))) = if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵)))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵))) = if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵)))
15		renemnf 10955	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≠ -∞)
16		ifnefalse 4468	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ -∞ → if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵)) = (𝐴 + 𝐵))
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵)) = (𝐴 + 𝐵))
18	14, 17	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵))) = (𝐴 + 𝐵))
19	11, 18	sylan9eq 2799	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if(𝐴 = +∞, if(𝐵 = -∞, 0, +∞), if(𝐴 = -∞, if(𝐵 = +∞, 0, -∞), if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵))))) = (𝐴 + 𝐵))
20	4, 19	eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ifcif 4456  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802   + caddc 10805  +∞cpnf 10937  -∞cmnf 10938  ℝ^*cxr 10939   +_𝑒 cxad 12775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-mulcl 10864  ax-i2m1 10870

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-xadd 12778

This theorem is referenced by:  rexsub  12896  rexaddd  12897  xnn0xaddcl  12898  xaddnemnf  12899  xaddnepnf  12900  xnegid  12901  xaddcom  12903  xaddid1  12904  xnn0xadd0  12910  xnegdi  12911  xaddass  12912  xadddilem  12957  x2times  12962  hashunx  14029  hashunsnggt  14037  isxmet2d  23388  xmeter  23494  vtxdgfival  27739  1loopgrvd2  27773  vdegp1bi  27807  xlt2addrd  30983  xrsmulgzz  31189  xrge0slmod  31450  xrge0iifhom  31789  esumfsupre  31939  esumpfinvallem  31942  omssubadd  32167  probun  32286  heicant  35739  cntotbnd  35881  heiborlem6  35901  supxrgelem  42766  supxrge  42767  infrpge  42780  xrlexaddrp  42781  ovolsplit  43419  sge0tsms  43808  sge0pr  43822  sge0resplit  43834  sge0split  43837  sge0iunmptlemfi  43841  sge0iunmptlemre  43843  sge0xaddlem1  43861  sge0xaddlem2  43862  carageniuncllem1  43949  carageniuncllem2  43950  hoidmv1lelem2  44020  hoidmvlelem2  44024  hspmbllem3  44056