Theorem rexadd 13199

Description: The extended real addition operation when both arguments are real. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rexadd	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem rexadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11227	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 11227	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xaddval 13190	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = if(𝐴 = +∞, if(𝐵 = -∞, 0, +∞), if(𝐴 = -∞, if(𝐵 = +∞, 0, -∞), if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵))))))
4	1, 2, 3	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = if(𝐴 = +∞, if(𝐵 = -∞, 0, +∞), if(𝐴 = -∞, if(𝐵 = +∞, 0, -∞), if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵))))))
5		renepnf 11229	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)
6		ifnefalse 4503	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ +∞ → if(𝐴 = +∞, if(𝐵 = -∞, 0, +∞), if(𝐴 = -∞, if(𝐵 = +∞, 0, -∞), if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵))))) = if(𝐴 = -∞, if(𝐵 = +∞, 0, -∞), if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵)))))
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → if(𝐴 = +∞, if(𝐵 = -∞, 0, +∞), if(𝐴 = -∞, if(𝐵 = +∞, 0, -∞), if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵))))) = if(𝐴 = -∞, if(𝐵 = +∞, 0, -∞), if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵)))))
8		renemnf 11230	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
9		ifnefalse 4503	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ -∞ → if(𝐴 = -∞, if(𝐵 = +∞, 0, -∞), if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵)))) = if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵))))
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → if(𝐴 = -∞, if(𝐵 = +∞, 0, -∞), if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵)))) = if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵))))
11	7, 10	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → if(𝐴 = +∞, if(𝐵 = -∞, 0, +∞), if(𝐴 = -∞, if(𝐵 = +∞, 0, -∞), if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵))))) = if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵))))
12		renepnf 11229	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≠ +∞)
13		ifnefalse 4503	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ +∞ → if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵))) = if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵)))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵))) = if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵)))
15		renemnf 11230	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≠ -∞)
16		ifnefalse 4503	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ -∞ → if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵)) = (𝐴 + 𝐵))
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵)) = (𝐴 + 𝐵))
18	14, 17	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵))) = (𝐴 + 𝐵))
19	11, 18	sylan9eq 2785	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if(𝐴 = +∞, if(𝐵 = -∞, 0, +∞), if(𝐴 = -∞, if(𝐵 = +∞, 0, -∞), if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵))))) = (𝐴 + 𝐵))
20	4, 19	eqtrd 2765	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ifcif 4491  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075   + caddc 11078  +∞cpnf 11212  -∞cmnf 11213  ℝ^*cxr 11214   +_𝑒 cxad 13077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-mulcl 11137  ax-i2m1 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-xadd 13080

This theorem is referenced by:  rexsub  13200  rexaddd  13201  xnn0xaddcl  13202  xaddnemnf  13203  xaddnepnf  13204  xnegid  13205  xaddcom  13207  xaddrid  13208  xnn0xadd0  13214  xnegdi  13215  xaddass  13216  xadddilem  13261  x2times  13266  hashunx  14358  hashunsnggt  14366  isxmet2d  24222  xmeter  24328  vtxdgfival  29404  1loopgrvd2  29438  vdegp1bi  29472  xlt2addrd  32689  xrsmulgzz  32954  xrge0slmod  33326  xrge0iifhom  33934  esumfsupre  34068  esumpfinvallem  34071  omssubadd  34298  probun  34417  heicant  37656  cntotbnd  37797  heiborlem6  37817  supxrgelem  45340  supxrge  45341  infrpge  45354  xrlexaddrp  45355  ovolsplit  45993  sge0tsms  46385  sge0pr  46399  sge0resplit  46411  sge0split  46414  sge0iunmptlemfi  46418  sge0iunmptlemre  46420  sge0xaddlem1  46438  sge0xaddlem2  46439  carageniuncllem1  46526  carageniuncllem2  46527  hoidmv1lelem2  46597  hoidmvlelem2  46601  hspmbllem3  46633