Theorem rexadd 13259

Description: The extended real addition operation when both arguments are real. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rexadd	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem rexadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11256	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 11256	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xaddval 13250	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = if(𝐴 = +∞, if(𝐵 = -∞, 0, +∞), if(𝐴 = -∞, if(𝐵 = +∞, 0, -∞), if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵))))))
4	1, 2, 3	syl2an 607	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = if(𝐴 = +∞, if(𝐵 = -∞, 0, +∞), if(𝐴 = -∞, if(𝐵 = +∞, 0, -∞), if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵))))))
5		renepnf 11258	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)
6		ifnefalse 4500	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ +∞ → if(𝐴 = +∞, if(𝐵 = -∞, 0, +∞), if(𝐴 = -∞, if(𝐵 = +∞, 0, -∞), if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵))))) = if(𝐴 = -∞, if(𝐵 = +∞, 0, -∞), if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵)))))
7	5, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → if(𝐴 = +∞, if(𝐵 = -∞, 0, +∞), if(𝐴 = -∞, if(𝐵 = +∞, 0, -∞), if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵))))) = if(𝐴 = -∞, if(𝐵 = +∞, 0, -∞), if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵)))))
8		renemnf 11259	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
9		ifnefalse 4500	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ -∞ → if(𝐴 = -∞, if(𝐵 = +∞, 0, -∞), if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵)))) = if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵))))
10	8, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → if(𝐴 = -∞, if(𝐵 = +∞, 0, -∞), if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵)))) = if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵))))
11	7, 10	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → if(𝐴 = +∞, if(𝐵 = -∞, 0, +∞), if(𝐴 = -∞, if(𝐵 = +∞, 0, -∞), if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵))))) = if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵))))
12		renepnf 11258	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≠ +∞)
13		ifnefalse 4500	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ +∞ → if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵))) = if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵)))
14	12, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵))) = if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵)))
15		renemnf 11259	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≠ -∞)
16		ifnefalse 4500	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ -∞ → if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵)) = (𝐴 + 𝐵))
17	15, 16	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵)) = (𝐴 + 𝐵))
18	14, 17	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵))) = (𝐴 + 𝐵))
19	11, 18	sylan9eq 2818	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if(𝐴 = +∞, if(𝐵 = -∞, 0, +∞), if(𝐴 = -∞, if(𝐵 = +∞, 0, -∞), if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, -∞, (𝐴 + 𝐵))))) = (𝐴 + 𝐵))
20	4, 19	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ifcif 4488  (class class class)co 7412  ℝcr 11100  0cc0 11101   + caddc 11104  +∞cpnf 11241  -∞cmnf 11242  ℝ^*cxr 11243   +_𝑒 cxad 13136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-mulcl 11163  ax-i2m1 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-xadd 13139

This theorem is referenced by:  rexsub  13260  rexaddd  13261  xnn0xaddcl  13262  xaddnemnf  13263  xaddnepnf  13264  xnegid  13265  xaddcom  13267  xaddrid  13268  xnn0xadd0  13274  xnegdi  13275  xaddass  13276  xadddilem  13321  x2times  13326  hashunx  14424  hashunsnggt  14432  isxmet2d  24465  xmeter  24571  vtxdgfival  29797  1loopgrvd2  29831  vdegp1bi  29865  xlt2addrd  33082  xrsmulgzz  33307  xrge0slmod  33646  xrge0iifhom  34305  esumfsupre  34439  esumpfinvallem  34442  omssubadd  34668  probun  34787  heicant  38284  cntotbnd  38425  heiborlem6  38445  supxrgelem  46033  supxrge  46034  infrpge  46047  xrlexaddrp  46048  ovolsplit  46682  sge0tsms  47074  sge0pr  47088  sge0resplit  47100  sge0split  47103  sge0iunmptlemfi  47107  sge0iunmptlemre  47109  sge0xaddlem1  47127  sge0xaddlem2  47128  carageniuncllem1  47215  carageniuncllem2  47216  hoidmv1lelem2  47286  hoidmvlelem2  47290  hspmbllem3  47322