Theorem xaddrid 13376

Description: Extended real version of addrid 11495. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xaddrid	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +e 0) = 𝐴)

Proof of Theorem xaddrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 13250	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		0re 11315	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		rexadd 13367	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 +e 0) = (𝐴 + 0))
4	2, 3	mpan2 704	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +e 0) = (𝐴 + 0))
5		recn 11295	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
6	5	addridd 11515	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
7	4, 6	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +e 0) = 𝐴)
8		0xr 11361	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
9		renemnf 11363	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ≠ -∞)
10	2, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ -∞
11		xaddpnf2 13362	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≠ -∞) → (+∞ +e 0) = +∞)
12	8, 10, 11	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (+∞ +e 0) = +∞
13		oveq1 7429	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 +e 0) = (+∞ +e 0))
14		id 23	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → 𝐴 = +∞)
15	12, 13, 14	3eqtr4a 2821	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 +e 0) = 𝐴)
16		renepnf 11362	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ≠ +∞)
17	2, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ +∞
18		xaddmnf2 13364	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≠ +∞) → (-∞ +e 0) = -∞)
19	8, 17, 18	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (-∞ +e 0) = -∞
20		oveq1 7429	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 +e 0) = (-∞ +e 0))
21		id 23	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → 𝐴 = -∞)
22	19, 20, 21	3eqtr4a 2821	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 +e 0) = 𝐴)
23	7, 15, 22	3jaoi 1454	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +e 0) = 𝐴)
24	1, 23	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +e 0) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ w3o 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  (class class class)co 7422  ℝcr 11204  0cc0 11205   + caddc 11208  +∞cpnf 11345  -∞cmnf 11346  ℝ^*cxr 11347   +_e cxad 13244

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-xadd 13247

This theorem is used by:  xaddlid  13377  xaddridd  13378  xnn0xadd0  13382  xpncan  13386  xadddi  13430  xrsnsgrp  21721  imasdsf1olem  24699  vtxdlfgrval  30073  vtxdginducedm1  30131  xraddge02  33397  xlt2addrd  33399  xrs0  33615  xrge0addgt0  33626  xrge0npcan  33629  metideq  34573  metider  34574  esumpad  34735  esumpr2  34747  esumpfinvallem  34754  esumpmono  34759  ddemeas  34917  aean  34925  baselcarsg  34986  carsgclctunlem2  34999  xadd0ge  46441  sge0tsms  47497  sge0ss  47529