Theorem xaddrid 13411

Description: Extended real version of addrid 11529. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xaddrid	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +e 0) = 𝐴)

Proof of Theorem xaddrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 13285	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		0re 11349	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		rexadd 13402	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 +e 0) = (𝐴 + 0))
4	2, 3	mpan2 704	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +e 0) = (𝐴 + 0))
5		recn 11329	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
6	5	addridd 11549	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
7	4, 6	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +e 0) = 𝐴)
8		0xr 11395	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
9		renemnf 11397	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ≠ -∞)
10	2, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ -∞
11		xaddpnf2 13397	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≠ -∞) → (+∞ +e 0) = +∞)
12	8, 10, 11	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (+∞ +e 0) = +∞
13		oveq1 7458	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 +e 0) = (+∞ +e 0))
14		id 23	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → 𝐴 = +∞)
15	12, 13, 14	3eqtr4a 2824	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 +e 0) = 𝐴)
16		renepnf 11396	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ≠ +∞)
17	2, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ +∞
18		xaddmnf2 13399	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≠ +∞) → (-∞ +e 0) = -∞)
19	8, 17, 18	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (-∞ +e 0) = -∞
20		oveq1 7458	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 +e 0) = (-∞ +e 0))
21		id 23	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → 𝐴 = -∞)
22	19, 20, 21	3eqtr4a 2824	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 +e 0) = 𝐴)
23	7, 15, 22	3jaoi 1455	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +e 0) = 𝐴)
24	1, 23	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +e 0) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  0cc0 11239   + caddc 11242  +∞cpnf 11379  -∞cmnf 11380  ℝ^*cxr 11381   +_e cxad 13279

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-xadd 13282

This theorem is used by:  xaddlid  13412  xaddridd  13413  xnn0xadd0  13417  xpncan  13421  xadddi  13465  xrsnsgrp  21766  imasdsf1olem  24747  vtxdlfgrval  30123  vtxdginducedm1  30181  xraddge02  33445  xlt2addrd  33447  xrs0  33666  xrge0addgt0  33677  xrge0npcan  33680  metideq  34636  metider  34637  esumpad  34798  esumpr2  34810  esumpfinvallem  34817  esumpmono  34822  ddemeas  34980  aean  34988  baselcarsg  35049  carsgclctunlem2  35062  xadd0ge  46607  sge0tsms  47663  sge0ss  47695