Theorem rrxf 25369

Description: Euclidean vectors as functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrxmval.1	⊢ 𝑋 = {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
rrxf.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
rrxf	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶ℝ)

Distinct variable groups:   ℎ,𝐹   ℎ,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝑋(ℎ)

Proof of Theorem rrxf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrxmval.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
2	1	ssrab3 4036	. . 3 ⊢ 𝑋 ⊆ (ℝ ↑m 𝐼)
3		rrxf.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑋)
4	2, 3	sselid 3933	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
5		elmapi 8798	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝐹:𝐼⟶ℝ)
6	4, 5	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3401   class class class wbr 5100  ⟶wf 6496  (class class class)co 7368   ↑_m cmap 8775   finSupp cfsupp 9276  ℝcr 11037  0cc0 11038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-map 8777

This theorem is referenced by:  rrxsuppss  25371  rrxmval  25373  rrxmetlem  25375  rrxmet  25376  rrxdstprj1  25377