Theorem rrxf 25334

Description: Euclidean vectors as functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrxmval.1	⊢ 𝑋 = {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
rrxf.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
rrxf	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶ℝ)

Distinct variable groups:   ℎ,𝐹   ℎ,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝑋(ℎ)

Proof of Theorem rrxf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrxmval.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
2	1	ssrab3 4041	. . 3 ⊢ 𝑋 ⊆ (ℝ ↑m 𝐼)
3		rrxf.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑋)
4	2, 3	sselid 3941	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
5		elmapi 8799	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝐹:𝐼⟶ℝ)
6	4, 5	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3402   class class class wbr 5102  ⟶wf 6495  (class class class)co 7369   ↑_m cmap 8776   finSupp cfsupp 9288  ℝcr 11043  0cc0 11044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-map 8778

This theorem is referenced by:  rrxsuppss  25336  rrxmval  25338  rrxmetlem  25340  rrxmet  25341  rrxdstprj1  25342