Theorem rrxf 25435

Description: Euclidean vectors as functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrxmval.1	⊢ 𝑋 = {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
rrxf.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
rrxf	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶ℝ)

Distinct variable groups:   ℎ,𝐹   ℎ,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝑋(ℎ)

Proof of Theorem rrxf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrxmval.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
2	1	ssrab3 4082	. . 3 ⊢ 𝑋 ⊆ (ℝ ↑m 𝐼)
3		rrxf.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑋)
4	2, 3	sselid 3981	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
5		elmapi 8889	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝐹:𝐼⟶ℝ)
6	4, 5	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3436   class class class wbr 5143  ⟶wf 6557  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8866   finSupp cfsupp 9401  ℝcr 11154  0cc0 11155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-map 8868

This theorem is referenced by:  rrxsuppss  25437  rrxmval  25439  rrxmetlem  25441  rrxmet  25442  rrxdstprj1  25443