Theorem rrxf 25728

Description: Euclidean vectors as functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrxmval.1	⊢ 𝑋 = {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
rrxf.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
rrxf	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶ℝ)

Distinct variable groups:   ℎ,𝐹   ℎ,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝑋(ℎ)

Proof of Theorem rrxf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrxmval.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
2	1	ssrab3 4007	. . 3 ⊢ 𝑋 ⊆ (ℝ ↑m 𝐼)
3		rrxf.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑋)
4	2, 3	sselid 3906	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
5		elmapi 8873	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝐹:𝐼⟶ℝ)
6	4, 5	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412   class class class wbr 5102  ⟶wf 6535  (class class class)co 7421   ↑_m cmap 8851   finSupp cfsupp 9357  ℝcr 11203  0cc0 11204

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-fv 6547  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-map 8853

This theorem is used by:  rrxsuppss  25730  rrxmval  25732  rrxmetlem  25734  rrxmet  25735  rrxdstprj1  25736