Theorem rrxsuppss 25571

Description: Support of Euclidean vectors. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrxmval.1	⊢ 𝑋 = {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
rrxf.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
rrxsuppss	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0) ⊆ 𝐼)

Distinct variable groups:   ℎ,𝐹   ℎ,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝑋(ℎ)

Proof of Theorem rrxsuppss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppssdm 8169	. 2 ⊢ (𝐹 supp 0) ⊆ dom 𝐹
2		rrxmval.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
3		rrxf.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑋)
4	2, 3	rrxf 25569	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶ℝ)
5	1, 4	fssdm 6725	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0) ⊆ 𝐼)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {crab 3416   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410   supp csupp 8152   ↑_m cmap 8820   finSupp cfsupp 9317  ℝcr 11103  0cc0 11104

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-map 8822

This theorem is used by:  rrxmval  25573  rrxmet  25576  rrxdstprj1  25577