Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxmet 24015
 Description: Euclidean space is a metric space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxmval.1 𝑋 = { ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ finSupp 0}
rrxmval.d 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
Assertion
Ref Expression
rrxmet (𝐼𝑉𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
Distinct variable groups:   ,𝐼   ,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐷()   𝑋()

Proof of Theorem rrxmet
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrxmval.1 . . . . . . . . 9 𝑋 = { ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ finSupp 0}
2 simprl 770 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑥𝑋)
31, 2rrxfsupp 24009 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥 supp 0) ∈ Fin)
4 simprr 772 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑦𝑋)
51, 4rrxfsupp 24009 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑦 supp 0) ∈ Fin)
6 unfi 8782 . . . . . . . 8 (((𝑥 supp 0) ∈ Fin ∧ (𝑦 supp 0) ∈ Fin) → ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∈ Fin)
73, 5, 6syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∈ Fin)
81, 2rrxsuppss 24010 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥 supp 0) ⊆ 𝐼)
91, 4rrxsuppss 24010 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑦 supp 0) ⊆ 𝐼)
108, 9unssd 4148 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ⊆ 𝐼)
1110sselda 3953 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))) → 𝑘𝐼)
121, 2rrxf 24008 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑥:𝐼⟶ℝ)
1312ffvelrnda 6842 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑥𝑘) ∈ ℝ)
141, 4rrxf 24008 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑦:𝐼⟶ℝ)
1514ffvelrnda 6842 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑦𝑘) ∈ ℝ)
1613, 15resubcld 11066 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)) ∈ ℝ)
1716resqcld 13616 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) ∈ ℝ)
1811, 17syldan 594 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))) → (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) ∈ ℝ)
197, 18fsumrecl 15091 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) ∈ ℝ)
2016sqge0d 13617 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → 0 ≤ (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))
2111, 20syldan 594 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))) → 0 ≤ (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))
227, 18, 21fsumge0 15150 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))
2319, 22resqrtcld 14777 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) ∈ ℝ)
2423ralrimivva 3186 . . . 4 (𝐼𝑉 → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) ∈ ℝ)
25 eqid 2824 . . . . 5 (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
2625fmpo 7761 . . . 4 (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) ∈ ℝ ↔ (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2724, 26sylib 221 . . 3 (𝐼𝑉 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
28 rrxmval.d . . . . 5 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
291, 28rrxmfval 24013 . . . 4 (𝐼𝑉𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
3029feq1d 6488 . . 3 (𝐼𝑉 → (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ↔ (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
3127, 30mpbird 260 . 2 (𝐼𝑉𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
32 sqrt00 14623 . . . . . . 7 ((Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = 0 ↔ Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0))
3319, 22, 32syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = 0 ↔ Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0))
347, 18, 21fsum00 15153 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0))
3516recnd 10667 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)) ∈ ℂ)
36 sqeq0 13491 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)) ∈ ℂ → ((((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0 ↔ ((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)) = 0))
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → ((((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0 ↔ ((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)) = 0))
3813recnd 10667 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
3915recnd 10667 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑦𝑘) ∈ ℂ)
4038, 39subeq0ad 11005 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)) = 0 ↔ (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
4137, 40bitrd 282 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → ((((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0 ↔ (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
4211, 41syldan 594 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))) → ((((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0 ↔ (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
4342ralbidva 3191 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (∀𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
4433, 34, 433bitrd 308 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = 0 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
451, 28rrxmval 24012 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) = (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
46453expb 1117 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐷𝑦) = (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
4746eqeq1d 2826 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = 0))
4812ffnd 6504 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑥 Fn 𝐼)
4914ffnd 6504 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑦 Fn 𝐼)
50 eqfnfv 6793 . . . . . . 7 ((𝑥 Fn 𝐼𝑦 Fn 𝐼) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑘𝐼 (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
5148, 49, 50syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑘𝐼 (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
52 ssun1 4134 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 supp 0) ⊆ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))
5352a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥 supp 0) ⊆ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)))
54 simpl 486 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝐼𝑉)
55 0red 10642 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 0 ∈ ℝ)
5612, 53, 54, 55suppssr 7857 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)))) → (𝑥𝑘) = 0)
57 ssun2 4135 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 supp 0) ⊆ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))
5857a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑦 supp 0) ⊆ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)))
5914, 58, 54, 55suppssr 7857 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)))) → (𝑦𝑘) = 0)
6056, 59eqtr4d 2862 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)))) → (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘))
6160ralrimiva 3177 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ∀𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)))(𝑥𝑘) = (𝑦𝑘))
6210, 61raldifeq 4422 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (∀𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(𝑥𝑘) = (𝑦𝑘) ↔ ∀𝑘𝐼 (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
6351, 62bitr4d 285 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
6444, 47, 633bitr4d 314 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
6573adant2 1128 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∈ Fin)
66 simp2 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑧𝑋)
671, 66rrxfsupp 24009 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑧 supp 0) ∈ Fin)
68 unfi 8782 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∈ Fin ∧ (𝑧 supp 0) ∈ Fin) → (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0)) ∈ Fin)
6965, 67, 68syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0)) ∈ Fin)
70693expa 1115 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0)) ∈ Fin)
7170an32s 651 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0)) ∈ Fin)
7210adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ⊆ 𝐼)
73 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑧𝑋)
741, 73rrxsuppss 24010 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑧 supp 0) ⊆ 𝐼)
7572, 74unssd 4148 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0)) ⊆ 𝐼)
7675sselda 3953 . . . . . . . . 9 ((((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))) → 𝑘𝐼)
7713adantlr 714 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑥𝑘) ∈ ℝ)
781, 73rrxf 24008 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑧:𝐼⟶ℝ)
7978ffvelrnda 6842 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑧𝑘) ∈ ℝ)
8077, 79resubcld 11066 . . . . . . . . 9 ((((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘)) ∈ ℝ)
8176, 80syldan 594 . . . . . . . 8 ((((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))) → ((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘)) ∈ ℝ)
8215adantlr 714 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑦𝑘) ∈ ℝ)
8379, 82resubcld 11066 . . . . . . . . 9 ((((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘)) ∈ ℝ)
8476, 83syldan 594 . . . . . . . 8 ((((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))) → ((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘)) ∈ ℝ)
8571, 81, 84trirn 24007 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))((((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘)) + ((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘)))↑2)) ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
8638adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
8779recnd 10667 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
8839adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑦𝑘) ∈ ℂ)
8986, 87, 88npncand 11019 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘)) + ((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))) = ((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)))
9089oveq1d 7164 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → ((((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘)) + ((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘)))↑2) = (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))
9176, 90syldan 594 . . . . . . . . 9 ((((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))) → ((((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘)) + ((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘)))↑2) = (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))
9291sumeq2dv 15060 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))((((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘)) + ((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘)))↑2) = Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))
9392fveq2d 6665 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))((((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘)) + ((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘)))↑2)) = (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
94 sqsubswap 13488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝑧𝑘) ∈ ℂ) → (((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘))↑2) = (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2))
9586, 87, 94syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘))↑2) = (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2))
9676, 95syldan 594 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))) → (((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘))↑2) = (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2))
9796sumeq2dv 15060 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘))↑2) = Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2))
9897fveq2d 6665 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)))
9998oveq1d 7164 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → ((√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))) = ((√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
10085, 93, 993brtr3d 5083 . . . . . 6 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
10146adantr 484 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) = (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
102 simp1 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝐼𝑉)
10323adant2 1128 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑥𝑋)
10443adant2 1128 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑦𝑋)
1051, 103rrxsuppss 24010 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥 supp 0) ⊆ 𝐼)
1061, 104rrxsuppss 24010 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑦 supp 0) ⊆ 𝐼)
107105, 106unssd 4148 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ⊆ 𝐼)
1081, 66rrxsuppss 24010 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑧 supp 0) ⊆ 𝐼)
109107, 108unssd 4148 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0)) ⊆ 𝐼)
110 ssun1 4134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ⊆ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))
111110a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ⊆ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0)))
1121, 28, 102, 103, 104, 109, 69, 111rrxmetlem 24014 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))
113112fveq2d 6665 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
1141133expa 1115 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
115114an32s 651 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
116101, 115eqtrd 2859 . . . . . 6 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) = (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
1171, 28rrxmval 24012 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑧𝑋𝑥𝑋) → (𝑧𝐷𝑥) = (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑧 supp 0) ∪ (𝑥 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)))
1181173adant3r 1178 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑧𝐷𝑥) = (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑧 supp 0) ∪ (𝑥 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)))
1191, 28rrxmval 24012 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑧𝑋𝑦𝑋) → (𝑧𝐷𝑦) = (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑧 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
1201193adant3l 1177 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑧𝐷𝑦) = (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑧 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
121118, 120oveq12d 7167 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)) = ((√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑧 supp 0) ∪ (𝑥 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑧 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
122 ssun2 4135 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 supp 0) ⊆ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))
123122a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑧 supp 0) ⊆ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0)))
12452, 110sstri 3962 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 supp 0) ⊆ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))
125124a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥 supp 0) ⊆ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0)))
126123, 125unssd 4148 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑧 supp 0) ∪ (𝑥 supp 0)) ⊆ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0)))
1271, 28, 102, 66, 103, 109, 69, 126rrxmetlem 24014 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → Σ𝑘 ∈ ((𝑧 supp 0) ∪ (𝑥 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2) = Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2))
128127fveq2d 6665 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑧 supp 0) ∪ (𝑥 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)))
12957, 110sstri 3962 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 supp 0) ⊆ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))
130129a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑦 supp 0) ⊆ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0)))
131123, 130unssd 4148 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑧 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ⊆ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0)))
1321, 28, 102, 66, 104, 109, 69, 131rrxmetlem 24014 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → Σ𝑘 ∈ ((𝑧 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))
133132fveq2d 6665 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑧 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
134128, 133oveq12d 7167 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑧 supp 0) ∪ (𝑥 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑧 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))) = ((√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
135121, 134eqtrd 2859 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)) = ((√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
1361353expa 1115 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)) = ((√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
137136an32s 651 . . . . . 6 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)) = ((√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
138100, 116, 1373brtr4d 5084 . . . . 5 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
139138ralrimiva 3177 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
14064, 139jca 515 . . 3 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦))))
141140ralrimivva 3186 . 2 (𝐼𝑉 → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦))))
142 ovex 7182 . . . 4 (ℝ ↑m 𝐼) ∈ V
1431, 142rabex2 5223 . . 3 𝑋 ∈ V
144 ismet 22933 . . 3 (𝑋 ∈ V → (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦))))))
145143, 144ax-mp 5 . 2 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))))
14631, 141, 145sylanbrc 586 1 (𝐼𝑉𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3133  {crab 3137  Vcvv 3480   ∖ cdif 3916   ∪ cun 3917   ⊆ wss 3919   class class class wbr 5052   × cxp 5540   Fn wfn 6338  ⟶wf 6339  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149   ∈ cmpo 7151   supp csupp 7826   ↑m cmap 8402  Fincfn 8505   finSupp cfsupp 8830  ℂcc 10533  ℝcr 10534  0cc0 10535   + caddc 10538   ≤ cle 10674   − cmin 10868  2c2 11689  ↑cexp 13434  √csqrt 14592  Σcsu 15042  distcds 16574  Metcmet 20531  ℝ^crrx 23990 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-addf 10614  ax-mulf 10615 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-tpos 7888  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-sup 8903  df-oi 8971  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-rp 12387  df-ico 12741  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-seq 13374  df-exp 13435  df-hash 13696  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-sum 15043  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-prds 16721  df-pws 16723  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-subg 18276  df-ghm 18356  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-cring 19300  df-oppr 19376  df-dvdsr 19394  df-unit 19395  df-invr 19425  df-dvr 19436  df-rnghom 19470  df-drng 19504  df-field 19505  df-subrg 19533  df-staf 19616  df-srng 19617  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-sra 19944  df-rgmod 19945  df-met 20539  df-cnfld 20546  df-refld 20749  df-dsmm 20876  df-frlm 20891  df-nm 23192  df-tng 23194  df-tcph 23777  df-rrx 23992 This theorem is referenced by:  rrxdstprj1  24016  rrxmetfi  24019
 Copyright terms: Public domain W3C validator