MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxmet 24775
Description: Euclidean space is a metric space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxmval.1 𝑋 = {β„Ž ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0}
rrxmval.d 𝐷 = (distβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))
Assertion
Ref Expression
rrxmet (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
Distinct variable groups:   β„Ž,𝐼   β„Ž,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐷(β„Ž)   𝑋(β„Ž)

Proof of Theorem rrxmet
Dummy variables π‘˜ π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrxmval.1 . . . . . . . . 9 𝑋 = {β„Ž ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0}
2 simprl 770 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
31, 2rrxfsupp 24769 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯ supp 0) ∈ Fin)
4 simprr 772 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
51, 4rrxfsupp 24769 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 supp 0) ∈ Fin)
6 unfi 9117 . . . . . . . 8 (((π‘₯ supp 0) ∈ Fin ∧ (𝑦 supp 0) ∈ Fin) β†’ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) ∈ Fin)
73, 5, 6syl2anc 585 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) ∈ Fin)
81, 2rrxsuppss 24770 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯ supp 0) βŠ† 𝐼)
91, 4rrxsuppss 24770 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 supp 0) βŠ† 𝐼)
108, 9unssd 4147 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βŠ† 𝐼)
1110sselda 3945 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))) β†’ π‘˜ ∈ 𝐼)
121, 2rrxf 24768 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ π‘₯:πΌβŸΆβ„)
1312ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
141, 4rrxf 24768 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„)
1514ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
1613, 15resubcld 11584 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
1716resqcld 14031 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2) ∈ ℝ)
1811, 17syldan 592 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))) β†’ (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2) ∈ ℝ)
197, 18fsumrecl 15620 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2) ∈ ℝ)
2016sqge0d 14043 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 0 ≀ (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))
2111, 20syldan 592 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))) β†’ 0 ≀ (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))
227, 18, 21fsumge0 15681 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))
2319, 22resqrtcld 15303 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)) ∈ ℝ)
2423ralrimivva 3198 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)) ∈ ℝ)
25 eqid 2737 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)))
2625fmpo 8001 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)) ∈ ℝ ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
2724, 26sylib 217 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
28 rrxmval.d . . . . 5 𝐷 = (distβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))
291, 28rrxmfval 24773 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐷 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))))
3029feq1d 6654 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„ ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„))
3127, 30mpbird 257 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
32 sqrt00 15149 . . . . . . 7 ((Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)) β†’ ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)) = 0 ↔ Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2) = 0))
3319, 22, 32syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)) = 0 ↔ Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2) = 0))
347, 18, 21fsum00 15684 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2) = 0 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2) = 0))
3516recnd 11184 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
36 sqeq0 14026 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜)) ∈ β„‚ β†’ ((((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2) = 0 ↔ ((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜)) = 0))
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2) = 0 ↔ ((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜)) = 0))
3813recnd 11184 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3915recnd 11184 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
4038, 39subeq0ad 11523 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜)) = 0 ↔ (π‘₯β€˜π‘˜) = (π‘¦β€˜π‘˜)))
4137, 40bitrd 279 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2) = 0 ↔ (π‘₯β€˜π‘˜) = (π‘¦β€˜π‘˜)))
4211, 41syldan 592 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))) β†’ ((((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2) = 0 ↔ (π‘₯β€˜π‘˜) = (π‘¦β€˜π‘˜)))
4342ralbidva 3173 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2) = 0 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(π‘₯β€˜π‘˜) = (π‘¦β€˜π‘˜)))
4433, 34, 433bitrd 305 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)) = 0 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(π‘₯β€˜π‘˜) = (π‘¦β€˜π‘˜)))
451, 28rrxmval 24772 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)))
46453expb 1121 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)))
4746eqeq1d 2739 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)) = 0))
4812ffnd 6670 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ π‘₯ Fn 𝐼)
4914ffnd 6670 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑦 Fn 𝐼)
50 eqfnfv 6983 . . . . . . 7 ((π‘₯ Fn 𝐼 ∧ 𝑦 Fn 𝐼) β†’ (π‘₯ = 𝑦 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘₯β€˜π‘˜) = (π‘¦β€˜π‘˜)))
5148, 49, 50syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯ = 𝑦 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘₯β€˜π‘˜) = (π‘¦β€˜π‘˜)))
52 ssun1 4133 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ supp 0) βŠ† ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))
5352a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯ supp 0) βŠ† ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)))
54 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
55 0red 11159 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ∈ ℝ)
5612, 53, 54, 55suppssr 8128 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)))) β†’ (π‘₯β€˜π‘˜) = 0)
57 ssun2 4134 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 supp 0) βŠ† ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))
5857a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 supp 0) βŠ† ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)))
5914, 58, 54, 55suppssr 8128 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)))) β†’ (π‘¦β€˜π‘˜) = 0)
6056, 59eqtr4d 2780 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)))) β†’ (π‘₯β€˜π‘˜) = (π‘¦β€˜π‘˜))
6160ralrimiva 3144 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)))(π‘₯β€˜π‘˜) = (π‘¦β€˜π‘˜))
6210, 61raldifeq 4452 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(π‘₯β€˜π‘˜) = (π‘¦β€˜π‘˜) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘₯β€˜π‘˜) = (π‘¦β€˜π‘˜)))
6351, 62bitr4d 282 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯ = 𝑦 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(π‘₯β€˜π‘˜) = (π‘¦β€˜π‘˜)))
6444, 47, 633bitr4d 311 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦))
6573adant2 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) ∈ Fin)
66 simp2 1138 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
671, 66rrxfsupp 24769 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧 supp 0) ∈ Fin)
68 unfi 9117 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) ∈ Fin ∧ (𝑧 supp 0) ∈ Fin) β†’ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0)) ∈ Fin)
6965, 67, 68syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0)) ∈ Fin)
70693expa 1119 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0)) ∈ Fin)
7170an32s 651 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0)) ∈ Fin)
7210adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βŠ† 𝐼)
73 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
741, 73rrxsuppss 24770 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑧 supp 0) βŠ† 𝐼)
7572, 74unssd 4147 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0)) βŠ† 𝐼)
7675sselda 3945 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))) β†’ π‘˜ ∈ 𝐼)
7713adantlr 714 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
781, 73rrxf 24768 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝑧:πΌβŸΆβ„)
7978ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
8077, 79resubcld 11584 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘§β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
8176, 80syldan 592 . . . . . . . 8 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))) β†’ ((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘§β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
8215adantlr 714 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
8379, 82resubcld 11584 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
8476, 83syldan 592 . . . . . . . 8 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))) β†’ ((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
8571, 81, 84trirn 24767 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))((((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘§β€˜π‘˜)) + ((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜)))↑2)) ≀ ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘§β€˜π‘˜))↑2)) + (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))))
8638adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
8779recnd 11184 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
8839adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
8986, 87, 88npncand 11537 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘§β€˜π‘˜)) + ((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))) = ((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜)))
9089oveq1d 7373 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘§β€˜π‘˜)) + ((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜)))↑2) = (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))
9176, 90syldan 592 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))) β†’ ((((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘§β€˜π‘˜)) + ((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜)))↑2) = (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))
9291sumeq2dv 15589 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))((((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘§β€˜π‘˜)) + ((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜)))↑2) = Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))
9392fveq2d 6847 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))((((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘§β€˜π‘˜)) + ((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜)))↑2)) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)))
94 sqsubswap 14023 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯β€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ β„‚) β†’ (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘§β€˜π‘˜))↑2) = (((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘˜))↑2))
9586, 87, 94syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘§β€˜π‘˜))↑2) = (((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘˜))↑2))
9676, 95syldan 592 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))) β†’ (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘§β€˜π‘˜))↑2) = (((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘˜))↑2))
9796sumeq2dv 15589 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘§β€˜π‘˜))↑2) = Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘˜))↑2))
9897fveq2d 6847 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘§β€˜π‘˜))↑2)) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘˜))↑2)))
9998oveq1d 7373 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘§β€˜π‘˜))↑2)) + (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))) = ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘˜))↑2)) + (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))))
10085, 93, 993brtr3d 5137 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)) ≀ ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘˜))↑2)) + (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))))
10146adantr 482 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)))
102 simp1 1137 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
10323adant2 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
10443adant2 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
1051, 103rrxsuppss 24770 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯ supp 0) βŠ† 𝐼)
1061, 104rrxsuppss 24770 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 supp 0) βŠ† 𝐼)
107105, 106unssd 4147 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βŠ† 𝐼)
1081, 66rrxsuppss 24770 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧 supp 0) βŠ† 𝐼)
109107, 108unssd 4147 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0)) βŠ† 𝐼)
110 ssun1 4133 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βŠ† (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))
111110a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βŠ† (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0)))
1121, 28, 102, 103, 104, 109, 69, 111rrxmetlem 24774 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2) = Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))
113112fveq2d 6847 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)))
1141133expa 1119 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)))
115114an32s 651 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)))
116101, 115eqtrd 2777 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)))
1171, 28rrxmval 24772 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑧𝐷π‘₯) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑧 supp 0) βˆͺ (π‘₯ supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘˜))↑2)))
1181173adant3r 1182 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧𝐷π‘₯) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑧 supp 0) βˆͺ (π‘₯ supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘˜))↑2)))
1191, 28rrxmval 24772 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝑧𝐷𝑦) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑧 supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)))
1201193adant3l 1181 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧𝐷𝑦) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑧 supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)))
121118, 120oveq12d 7376 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦)) = ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑧 supp 0) βˆͺ (π‘₯ supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘˜))↑2)) + (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑧 supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))))
122 ssun2 4134 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 supp 0) βŠ† (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))
123122a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧 supp 0) βŠ† (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0)))
12452, 110sstri 3954 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ supp 0) βŠ† (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))
125124a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯ supp 0) βŠ† (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0)))
126123, 125unssd 4147 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑧 supp 0) βˆͺ (π‘₯ supp 0)) βŠ† (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0)))
1271, 28, 102, 66, 103, 109, 69, 126rrxmetlem 24774 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑧 supp 0) βˆͺ (π‘₯ supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘˜))↑2) = Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘˜))↑2))
128127fveq2d 6847 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑧 supp 0) βˆͺ (π‘₯ supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘˜))↑2)) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘˜))↑2)))
12957, 110sstri 3954 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 supp 0) βŠ† (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))
130129a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 supp 0) βŠ† (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0)))
131123, 130unssd 4147 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑧 supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βŠ† (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0)))
1321, 28, 102, 66, 104, 109, 69, 131rrxmetlem 24774 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑧 supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2) = Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))
133132fveq2d 6847 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑧 supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)))
134128, 133oveq12d 7376 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑧 supp 0) βˆͺ (π‘₯ supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘˜))↑2)) + (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑧 supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))) = ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘˜))↑2)) + (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))))
135121, 134eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦)) = ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘˜))↑2)) + (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))))
1361353expa 1119 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦)) = ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘˜))↑2)) + (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))))
137136an32s 651 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦)) = ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘˜))↑2)) + (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))))
138100, 116, 1373brtr4d 5138 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦)))
139138ralrimiva 3144 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦)))
14064, 139jca 513 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦))))
141140ralrimivva 3198 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦))))
142 ovex 7391 . . . 4 (ℝ ↑m 𝐼) ∈ V
1431, 142rabex2 5292 . . 3 𝑋 ∈ V
144 ismet 23679 . . 3 (𝑋 ∈ V β†’ (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ↔ (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦))))))
145143, 144ax-mp 5 . 2 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ↔ (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦)))))
14631, 141, 145sylanbrc 584 1 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  {crab 3408  Vcvv 3446   βˆ– cdif 3908   βˆͺ cun 3909   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106   Γ— cxp 5632   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360   supp csupp 8093   ↑m cmap 8766  Fincfn 8884   finSupp cfsupp 9306  β„‚cc 11050  β„cr 11051  0cc0 11052   + caddc 11055   ≀ cle 11191   βˆ’ cmin 11386  2c2 12209  β†‘cexp 13968  βˆšcsqrt 15119  Ξ£csu 15571  distcds 17143  Metcmet 20785  β„^crrx 24750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130  ax-addf 11131  ax-mulf 11132
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9307  df-sup 9379  df-oi 9447  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12765  df-rp 12917  df-ico 13271  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371  df-sum 15572  df-struct 17020  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-starv 17149  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-ip 17152  df-tset 17153  df-ple 17154  df-ds 17156  df-unif 17157  df-hom 17158  df-cco 17159  df-0g 17324  df-gsum 17325  df-prds 17330  df-pws 17332  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-mhm 18602  df-grp 18752  df-minusg 18753  df-sbg 18754  df-subg 18926  df-ghm 19007  df-cntz 19098  df-cmn 19565  df-abl 19566  df-mgp 19898  df-ur 19915  df-ring 19967  df-cring 19968  df-oppr 20050  df-dvdsr 20071  df-unit 20072  df-invr 20102  df-dvr 20113  df-rnghom 20147  df-drng 20188  df-field 20189  df-subrg 20223  df-staf 20307  df-srng 20308  df-lmod 20327  df-lss 20396  df-sra 20636  df-rgmod 20637  df-met 20793  df-cnfld 20800  df-refld 21012  df-dsmm 21141  df-frlm 21156  df-nm 23941  df-tng 23943  df-tcph 24536  df-rrx 24752
This theorem is referenced by:  rrxdstprj1  24776  rrxmetfi  24779
  Copyright terms: Public domain W3C validator