MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxmet 25427
Description: Euclidean space is a metric space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxmval.1 𝑋 = { ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ finSupp 0}
rrxmval.d 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
Assertion
Ref Expression
rrxmet (𝐼𝑉𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
Distinct variable groups:   ,𝐼   ,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐷()   𝑋()

Proof of Theorem rrxmet
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrxmval.1 . . . . . . . . 9 𝑋 = { ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ finSupp 0}
2 simprl 769 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑥𝑋)
31, 2rrxfsupp 25421 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥 supp 0) ∈ Fin)
4 simprr 771 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑦𝑋)
51, 4rrxfsupp 25421 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑦 supp 0) ∈ Fin)
6 unfi 9210 . . . . . . . 8 (((𝑥 supp 0) ∈ Fin ∧ (𝑦 supp 0) ∈ Fin) → ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∈ Fin)
73, 5, 6syl2anc 582 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∈ Fin)
81, 2rrxsuppss 25422 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥 supp 0) ⊆ 𝐼)
91, 4rrxsuppss 25422 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑦 supp 0) ⊆ 𝐼)
108, 9unssd 4187 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ⊆ 𝐼)
1110sselda 3979 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))) → 𝑘𝐼)
121, 2rrxf 25420 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑥:𝐼⟶ℝ)
1312ffvelcdmda 7098 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑥𝑘) ∈ ℝ)
141, 4rrxf 25420 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑦:𝐼⟶ℝ)
1514ffvelcdmda 7098 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑦𝑘) ∈ ℝ)
1613, 15resubcld 11692 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)) ∈ ℝ)
1716resqcld 14144 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) ∈ ℝ)
1811, 17syldan 589 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))) → (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) ∈ ℝ)
197, 18fsumrecl 15738 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) ∈ ℝ)
2016sqge0d 14156 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → 0 ≤ (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))
2111, 20syldan 589 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))) → 0 ≤ (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))
227, 18, 21fsumge0 15799 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))
2319, 22resqrtcld 15422 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) ∈ ℝ)
2423ralrimivva 3191 . . . 4 (𝐼𝑉 → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) ∈ ℝ)
25 eqid 2726 . . . . 5 (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
2625fmpo 8082 . . . 4 (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) ∈ ℝ ↔ (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2724, 26sylib 217 . . 3 (𝐼𝑉 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
28 rrxmval.d . . . . 5 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
291, 28rrxmfval 25425 . . . 4 (𝐼𝑉𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
3029feq1d 6713 . . 3 (𝐼𝑉 → (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ↔ (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
3127, 30mpbird 256 . 2 (𝐼𝑉𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
32 sqrt00 15268 . . . . . . 7 ((Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = 0 ↔ Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0))
3319, 22, 32syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = 0 ↔ Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0))
347, 18, 21fsum00 15802 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0))
3516recnd 11292 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)) ∈ ℂ)
36 sqeq0 14139 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)) ∈ ℂ → ((((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0 ↔ ((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)) = 0))
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → ((((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0 ↔ ((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)) = 0))
3813recnd 11292 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
3915recnd 11292 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑦𝑘) ∈ ℂ)
4038, 39subeq0ad 11631 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)) = 0 ↔ (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
4137, 40bitrd 278 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → ((((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0 ↔ (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
4211, 41syldan 589 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))) → ((((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0 ↔ (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
4342ralbidva 3166 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (∀𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
4433, 34, 433bitrd 304 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = 0 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
451, 28rrxmval 25424 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) = (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
46453expb 1117 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐷𝑦) = (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
4746eqeq1d 2728 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = 0))
4812ffnd 6729 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑥 Fn 𝐼)
4914ffnd 6729 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑦 Fn 𝐼)
50 eqfnfv 7044 . . . . . . 7 ((𝑥 Fn 𝐼𝑦 Fn 𝐼) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑘𝐼 (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
5148, 49, 50syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑘𝐼 (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
52 ssun1 4173 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 supp 0) ⊆ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))
5352a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥 supp 0) ⊆ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)))
54 simpl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝐼𝑉)
55 0red 11267 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 0 ∈ ℝ)
5612, 53, 54, 55suppssr 8210 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)))) → (𝑥𝑘) = 0)
57 ssun2 4174 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 supp 0) ⊆ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))
5857a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑦 supp 0) ⊆ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)))
5914, 58, 54, 55suppssr 8210 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)))) → (𝑦𝑘) = 0)
6056, 59eqtr4d 2769 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)))) → (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘))
6160ralrimiva 3136 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ∀𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)))(𝑥𝑘) = (𝑦𝑘))
6210, 61raldifeq 4498 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (∀𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(𝑥𝑘) = (𝑦𝑘) ↔ ∀𝑘𝐼 (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
6351, 62bitr4d 281 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
6444, 47, 633bitr4d 310 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
6573adant2 1128 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∈ Fin)
66 simp2 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑧𝑋)
671, 66rrxfsupp 25421 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑧 supp 0) ∈ Fin)
68 unfi 9210 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∈ Fin ∧ (𝑧 supp 0) ∈ Fin) → (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0)) ∈ Fin)
6965, 67, 68syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0)) ∈ Fin)
70693expa 1115 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0)) ∈ Fin)
7170an32s 650 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0)) ∈ Fin)
7210adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ⊆ 𝐼)
73 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑧𝑋)
741, 73rrxsuppss 25422 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑧 supp 0) ⊆ 𝐼)
7572, 74unssd 4187 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0)) ⊆ 𝐼)
7675sselda 3979 . . . . . . . . 9 ((((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))) → 𝑘𝐼)
7713adantlr 713 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑥𝑘) ∈ ℝ)
781, 73rrxf 25420 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑧:𝐼⟶ℝ)
7978ffvelcdmda 7098 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑧𝑘) ∈ ℝ)
8077, 79resubcld 11692 . . . . . . . . 9 ((((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘)) ∈ ℝ)
8176, 80syldan 589 . . . . . . . 8 ((((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))) → ((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘)) ∈ ℝ)
8215adantlr 713 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑦𝑘) ∈ ℝ)
8379, 82resubcld 11692 . . . . . . . . 9 ((((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘)) ∈ ℝ)
8476, 83syldan 589 . . . . . . . 8 ((((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))) → ((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘)) ∈ ℝ)
8571, 81, 84trirn 25419 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))((((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘)) + ((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘)))↑2)) ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
8638adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
8779recnd 11292 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
8839adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑦𝑘) ∈ ℂ)
8986, 87, 88npncand 11645 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘)) + ((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))) = ((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)))
9089oveq1d 7439 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → ((((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘)) + ((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘)))↑2) = (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))
9176, 90syldan 589 . . . . . . . . 9 ((((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))) → ((((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘)) + ((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘)))↑2) = (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))
9291sumeq2dv 15707 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))((((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘)) + ((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘)))↑2) = Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))
9392fveq2d 6905 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))((((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘)) + ((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘)))↑2)) = (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
94 sqsubswap 14136 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝑧𝑘) ∈ ℂ) → (((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘))↑2) = (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2))
9586, 87, 94syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘))↑2) = (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2))
9676, 95syldan 589 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))) → (((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘))↑2) = (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2))
9796sumeq2dv 15707 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘))↑2) = Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2))
9897fveq2d 6905 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)))
9998oveq1d 7439 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → ((√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))) = ((√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
10085, 93, 993brtr3d 5184 . . . . . 6 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
10146adantr 479 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) = (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
102 simp1 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝐼𝑉)
10323adant2 1128 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑥𝑋)
10443adant2 1128 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑦𝑋)
1051, 103rrxsuppss 25422 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥 supp 0) ⊆ 𝐼)
1061, 104rrxsuppss 25422 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑦 supp 0) ⊆ 𝐼)
107105, 106unssd 4187 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ⊆ 𝐼)
1081, 66rrxsuppss 25422 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑧 supp 0) ⊆ 𝐼)
109107, 108unssd 4187 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0)) ⊆ 𝐼)
110 ssun1 4173 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ⊆ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))
111110a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ⊆ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0)))
1121, 28, 102, 103, 104, 109, 69, 111rrxmetlem 25426 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))
113112fveq2d 6905 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
1141133expa 1115 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
115114an32s 650 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
116101, 115eqtrd 2766 . . . . . 6 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) = (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
1171, 28rrxmval 25424 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑧𝑋𝑥𝑋) → (𝑧𝐷𝑥) = (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑧 supp 0) ∪ (𝑥 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)))
1181173adant3r 1178 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑧𝐷𝑥) = (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑧 supp 0) ∪ (𝑥 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)))
1191, 28rrxmval 25424 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑧𝑋𝑦𝑋) → (𝑧𝐷𝑦) = (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑧 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
1201193adant3l 1177 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑧𝐷𝑦) = (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑧 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
121118, 120oveq12d 7442 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)) = ((√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑧 supp 0) ∪ (𝑥 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑧 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
122 ssun2 4174 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 supp 0) ⊆ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))
123122a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑧 supp 0) ⊆ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0)))
12452, 110sstri 3989 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 supp 0) ⊆ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))
125124a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥 supp 0) ⊆ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0)))
126123, 125unssd 4187 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑧 supp 0) ∪ (𝑥 supp 0)) ⊆ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0)))
1271, 28, 102, 66, 103, 109, 69, 126rrxmetlem 25426 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → Σ𝑘 ∈ ((𝑧 supp 0) ∪ (𝑥 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2) = Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2))
128127fveq2d 6905 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑧 supp 0) ∪ (𝑥 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)))
12957, 110sstri 3989 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 supp 0) ⊆ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))
130129a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑦 supp 0) ⊆ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0)))
131123, 130unssd 4187 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑧 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ⊆ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0)))
1321, 28, 102, 66, 104, 109, 69, 131rrxmetlem 25426 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → Σ𝑘 ∈ ((𝑧 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))
133132fveq2d 6905 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑧 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
134128, 133oveq12d 7442 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑧 supp 0) ∪ (𝑥 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑧 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))) = ((√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
135121, 134eqtrd 2766 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)) = ((√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
1361353expa 1115 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)) = ((√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
137136an32s 650 . . . . . 6 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)) = ((√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
138100, 116, 1373brtr4d 5185 . . . . 5 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
139138ralrimiva 3136 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
14064, 139jca 510 . . 3 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦))))
141140ralrimivva 3191 . 2 (𝐼𝑉 → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦))))
142 ovex 7457 . . . 4 (ℝ ↑m 𝐼) ∈ V
1431, 142rabex2 5341 . . 3 𝑋 ∈ V
144 ismet 24320 . . 3 (𝑋 ∈ V → (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦))))))
145143, 144ax-mp 5 . 2 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))))
14631, 141, 145sylanbrc 581 1 (𝐼𝑉𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  {crab 3419  Vcvv 3462  cdif 3944  cun 3945  wss 3947   class class class wbr 5153   × cxp 5680   Fn wfn 6549  wf 6550  cfv 6554  (class class class)co 7424  cmpo 7426   supp csupp 8174  m cmap 8855  Fincfn 8974   finSupp cfsupp 9405  cc 11156  cr 11157  0cc0 11158   + caddc 11161  cle 11299  cmin 11494  2c2 12319  cexp 14081  csqrt 15238  Σcsu 15690  distcds 17275  Metcmet 21329  ℝ^crrx 25402
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236  ax-addf 11237  ax-mulf 11238
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-tpos 8241  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-map 8857  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-sup 9485  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-rp 13029  df-ico 13384  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-seq 14022  df-exp 14082  df-hash 14348  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-clim 15490  df-sum 15691  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-hom 17290  df-cco 17291  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-prds 17462  df-pws 17464  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-mhm 18773  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-sbg 18933  df-subg 19117  df-ghm 19207  df-cntz 19311  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218  df-cring 20219  df-oppr 20316  df-dvdsr 20339  df-unit 20340  df-invr 20370  df-dvr 20383  df-rhm 20454  df-subrng 20528  df-subrg 20553  df-drng 20709  df-field 20710  df-staf 20818  df-srng 20819  df-lmod 20838  df-lss 20909  df-sra 21151  df-rgmod 21152  df-met 21337  df-cnfld 21344  df-refld 21601  df-dsmm 21730  df-frlm 21745  df-nm 24582  df-tng 24584  df-tcph 25188  df-rrx 25404
This theorem is referenced by:  rrxdstprj1  25428  rrxmetfi  25431
  Copyright terms: Public domain W3C validator