MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxmet 25356
Description: Euclidean space is a metric space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxmval.1 𝑋 = {β„Ž ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0}
rrxmval.d 𝐷 = (distβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))
Assertion
Ref Expression
rrxmet (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
Distinct variable groups:   β„Ž,𝐼   β„Ž,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐷(β„Ž)   𝑋(β„Ž)

Proof of Theorem rrxmet
Dummy variables π‘˜ π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrxmval.1 . . . . . . . . 9 𝑋 = {β„Ž ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0}
2 simprl 769 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
31, 2rrxfsupp 25350 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯ supp 0) ∈ Fin)
4 simprr 771 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
51, 4rrxfsupp 25350 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 supp 0) ∈ Fin)
6 unfi 9203 . . . . . . . 8 (((π‘₯ supp 0) ∈ Fin ∧ (𝑦 supp 0) ∈ Fin) β†’ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) ∈ Fin)
73, 5, 6syl2anc 582 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) ∈ Fin)
81, 2rrxsuppss 25351 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯ supp 0) βŠ† 𝐼)
91, 4rrxsuppss 25351 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 supp 0) βŠ† 𝐼)
108, 9unssd 4188 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βŠ† 𝐼)
1110sselda 3982 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))) β†’ π‘˜ ∈ 𝐼)
121, 2rrxf 25349 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ π‘₯:πΌβŸΆβ„)
1312ffvelcdmda 7099 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
141, 4rrxf 25349 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„)
1514ffvelcdmda 7099 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
1613, 15resubcld 11680 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
1716resqcld 14129 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2) ∈ ℝ)
1811, 17syldan 589 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))) β†’ (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2) ∈ ℝ)
197, 18fsumrecl 15720 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2) ∈ ℝ)
2016sqge0d 14141 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 0 ≀ (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))
2111, 20syldan 589 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))) β†’ 0 ≀ (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))
227, 18, 21fsumge0 15781 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))
2319, 22resqrtcld 15404 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)) ∈ ℝ)
2423ralrimivva 3198 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)) ∈ ℝ)
25 eqid 2728 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)))
2625fmpo 8078 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)) ∈ ℝ ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
2724, 26sylib 217 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
28 rrxmval.d . . . . 5 𝐷 = (distβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))
291, 28rrxmfval 25354 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐷 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))))
3029feq1d 6712 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„ ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„))
3127, 30mpbird 256 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
32 sqrt00 15250 . . . . . . 7 ((Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)) β†’ ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)) = 0 ↔ Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2) = 0))
3319, 22, 32syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)) = 0 ↔ Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2) = 0))
347, 18, 21fsum00 15784 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2) = 0 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2) = 0))
3516recnd 11280 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
36 sqeq0 14124 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜)) ∈ β„‚ β†’ ((((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2) = 0 ↔ ((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜)) = 0))
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2) = 0 ↔ ((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜)) = 0))
3813recnd 11280 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3915recnd 11280 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
4038, 39subeq0ad 11619 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜)) = 0 ↔ (π‘₯β€˜π‘˜) = (π‘¦β€˜π‘˜)))
4137, 40bitrd 278 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2) = 0 ↔ (π‘₯β€˜π‘˜) = (π‘¦β€˜π‘˜)))
4211, 41syldan 589 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))) β†’ ((((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2) = 0 ↔ (π‘₯β€˜π‘˜) = (π‘¦β€˜π‘˜)))
4342ralbidva 3173 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2) = 0 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(π‘₯β€˜π‘˜) = (π‘¦β€˜π‘˜)))
4433, 34, 433bitrd 304 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)) = 0 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(π‘₯β€˜π‘˜) = (π‘¦β€˜π‘˜)))
451, 28rrxmval 25353 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)))
46453expb 1117 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)))
4746eqeq1d 2730 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)) = 0))
4812ffnd 6728 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ π‘₯ Fn 𝐼)
4914ffnd 6728 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑦 Fn 𝐼)
50 eqfnfv 7045 . . . . . . 7 ((π‘₯ Fn 𝐼 ∧ 𝑦 Fn 𝐼) β†’ (π‘₯ = 𝑦 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘₯β€˜π‘˜) = (π‘¦β€˜π‘˜)))
5148, 49, 50syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯ = 𝑦 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘₯β€˜π‘˜) = (π‘¦β€˜π‘˜)))
52 ssun1 4174 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ supp 0) βŠ† ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))
5352a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯ supp 0) βŠ† ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)))
54 simpl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
55 0red 11255 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ∈ ℝ)
5612, 53, 54, 55suppssr 8207 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)))) β†’ (π‘₯β€˜π‘˜) = 0)
57 ssun2 4175 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 supp 0) βŠ† ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))
5857a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 supp 0) βŠ† ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)))
5914, 58, 54, 55suppssr 8207 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)))) β†’ (π‘¦β€˜π‘˜) = 0)
6056, 59eqtr4d 2771 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)))) β†’ (π‘₯β€˜π‘˜) = (π‘¦β€˜π‘˜))
6160ralrimiva 3143 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)))(π‘₯β€˜π‘˜) = (π‘¦β€˜π‘˜))
6210, 61raldifeq 4497 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(π‘₯β€˜π‘˜) = (π‘¦β€˜π‘˜) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘₯β€˜π‘˜) = (π‘¦β€˜π‘˜)))
6351, 62bitr4d 281 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯ = 𝑦 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(π‘₯β€˜π‘˜) = (π‘¦β€˜π‘˜)))
6444, 47, 633bitr4d 310 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦))
6573adant2 1128 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) ∈ Fin)
66 simp2 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
671, 66rrxfsupp 25350 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧 supp 0) ∈ Fin)
68 unfi 9203 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) ∈ Fin ∧ (𝑧 supp 0) ∈ Fin) β†’ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0)) ∈ Fin)
6965, 67, 68syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0)) ∈ Fin)
70693expa 1115 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0)) ∈ Fin)
7170an32s 650 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0)) ∈ Fin)
7210adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βŠ† 𝐼)
73 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
741, 73rrxsuppss 25351 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑧 supp 0) βŠ† 𝐼)
7572, 74unssd 4188 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0)) βŠ† 𝐼)
7675sselda 3982 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))) β†’ π‘˜ ∈ 𝐼)
7713adantlr 713 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
781, 73rrxf 25349 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝑧:πΌβŸΆβ„)
7978ffvelcdmda 7099 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
8077, 79resubcld 11680 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘§β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
8176, 80syldan 589 . . . . . . . 8 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))) β†’ ((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘§β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
8215adantlr 713 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
8379, 82resubcld 11680 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
8476, 83syldan 589 . . . . . . . 8 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))) β†’ ((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
8571, 81, 84trirn 25348 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))((((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘§β€˜π‘˜)) + ((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜)))↑2)) ≀ ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘§β€˜π‘˜))↑2)) + (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))))
8638adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
8779recnd 11280 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
8839adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
8986, 87, 88npncand 11633 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘§β€˜π‘˜)) + ((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))) = ((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜)))
9089oveq1d 7441 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘§β€˜π‘˜)) + ((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜)))↑2) = (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))
9176, 90syldan 589 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))) β†’ ((((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘§β€˜π‘˜)) + ((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜)))↑2) = (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))
9291sumeq2dv 15689 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))((((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘§β€˜π‘˜)) + ((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜)))↑2) = Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))
9392fveq2d 6906 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))((((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘§β€˜π‘˜)) + ((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜)))↑2)) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)))
94 sqsubswap 14121 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯β€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (π‘§β€˜π‘˜) ∈ β„‚) β†’ (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘§β€˜π‘˜))↑2) = (((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘˜))↑2))
9586, 87, 94syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘§β€˜π‘˜))↑2) = (((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘˜))↑2))
9676, 95syldan 589 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))) β†’ (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘§β€˜π‘˜))↑2) = (((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘˜))↑2))
9796sumeq2dv 15689 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘§β€˜π‘˜))↑2) = Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘˜))↑2))
9897fveq2d 6906 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘§β€˜π‘˜))↑2)) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘˜))↑2)))
9998oveq1d 7441 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘§β€˜π‘˜))↑2)) + (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))) = ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘˜))↑2)) + (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))))
10085, 93, 993brtr3d 5183 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)) ≀ ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘˜))↑2)) + (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))))
10146adantr 479 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)))
102 simp1 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
10323adant2 1128 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
10443adant2 1128 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
1051, 103rrxsuppss 25351 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯ supp 0) βŠ† 𝐼)
1061, 104rrxsuppss 25351 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 supp 0) βŠ† 𝐼)
107105, 106unssd 4188 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βŠ† 𝐼)
1081, 66rrxsuppss 25351 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧 supp 0) βŠ† 𝐼)
109107, 108unssd 4188 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0)) βŠ† 𝐼)
110 ssun1 4174 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βŠ† (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))
111110a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βŠ† (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0)))
1121, 28, 102, 103, 104, 109, 69, 111rrxmetlem 25355 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2) = Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))
113112fveq2d 6906 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)))
1141133expa 1115 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)))
115114an32s 650 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)))
116101, 115eqtrd 2768 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)))
1171, 28rrxmval 25353 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑧𝐷π‘₯) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑧 supp 0) βˆͺ (π‘₯ supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘˜))↑2)))
1181173adant3r 1178 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧𝐷π‘₯) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑧 supp 0) βˆͺ (π‘₯ supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘˜))↑2)))
1191, 28rrxmval 25353 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝑧𝐷𝑦) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑧 supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)))
1201193adant3l 1177 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧𝐷𝑦) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑧 supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)))
121118, 120oveq12d 7444 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦)) = ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑧 supp 0) βˆͺ (π‘₯ supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘˜))↑2)) + (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑧 supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))))
122 ssun2 4175 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 supp 0) βŠ† (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))
123122a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧 supp 0) βŠ† (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0)))
12452, 110sstri 3991 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ supp 0) βŠ† (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))
125124a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯ supp 0) βŠ† (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0)))
126123, 125unssd 4188 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑧 supp 0) βˆͺ (π‘₯ supp 0)) βŠ† (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0)))
1271, 28, 102, 66, 103, 109, 69, 126rrxmetlem 25355 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑧 supp 0) βˆͺ (π‘₯ supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘˜))↑2) = Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘˜))↑2))
128127fveq2d 6906 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑧 supp 0) βˆͺ (π‘₯ supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘˜))↑2)) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘˜))↑2)))
12957, 110sstri 3991 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 supp 0) βŠ† (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))
130129a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 supp 0) βŠ† (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0)))
131123, 130unssd 4188 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑧 supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βŠ† (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0)))
1321, 28, 102, 66, 104, 109, 69, 131rrxmetlem 25355 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑧 supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2) = Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))
133132fveq2d 6906 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑧 supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)))
134128, 133oveq12d 7444 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑧 supp 0) βˆͺ (π‘₯ supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘˜))↑2)) + (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑧 supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))) = ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘˜))↑2)) + (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))))
135121, 134eqtrd 2768 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦)) = ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘˜))↑2)) + (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))))
1361353expa 1115 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦)) = ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘˜))↑2)) + (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))))
137136an32s 650 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦)) = ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘˜))↑2)) + (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (((π‘₯ supp 0) βˆͺ (𝑦 supp 0)) βˆͺ (𝑧 supp 0))(((π‘§β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))))
138100, 116, 1373brtr4d 5184 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦)))
139138ralrimiva 3143 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦)))
14064, 139jca 510 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦))))
141140ralrimivva 3198 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦))))
142 ovex 7459 . . . 4 (ℝ ↑m 𝐼) ∈ V
1431, 142rabex2 5340 . . 3 𝑋 ∈ V
144 ismet 24249 . . 3 (𝑋 ∈ V β†’ (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ↔ (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦))))))
145143, 144ax-mp 5 . 2 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ↔ (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) + (𝑧𝐷𝑦)))))
14631, 141, 145sylanbrc 581 1 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  {crab 3430  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5152   Γ— cxp 5680   Fn wfn 6548  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∈ cmpo 7428   supp csupp 8171   ↑m cmap 8851  Fincfn 8970   finSupp cfsupp 9393  β„‚cc 11144  β„cr 11145  0cc0 11146   + caddc 11149   ≀ cle 11287   βˆ’ cmin 11482  2c2 12305  β†‘cexp 14066  βˆšcsqrt 15220  Ξ£csu 15672  distcds 17249  Metcmet 21272  β„^crrx 25331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225  ax-mulf 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-rp 13015  df-ico 13370  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-sum 15673  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-prds 17436  df-pws 17438  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-subg 19085  df-ghm 19175  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-dvr 20347  df-rhm 20418  df-subrng 20490  df-subrg 20515  df-drng 20633  df-field 20634  df-staf 20732  df-srng 20733  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-sra 21065  df-rgmod 21066  df-met 21280  df-cnfld 21287  df-refld 21544  df-dsmm 21673  df-frlm 21688  df-nm 24511  df-tng 24513  df-tcph 25117  df-rrx 25333
This theorem is referenced by:  rrxdstprj1  25357  rrxmetfi  25360
  Copyright terms: Public domain W3C validator