MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxmet 25455
Description: Euclidean space is a metric space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxmval.1 𝑋 = { ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ finSupp 0}
rrxmval.d 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
Assertion
Ref Expression
rrxmet (𝐼𝑉𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
Distinct variable groups:   ,𝐼   ,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐷()   𝑋()

Proof of Theorem rrxmet
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrxmval.1 . . . . . . . . 9 𝑋 = { ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ finSupp 0}
2 simprl 771 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑥𝑋)
31, 2rrxfsupp 25449 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥 supp 0) ∈ Fin)
4 simprr 773 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑦𝑋)
51, 4rrxfsupp 25449 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑦 supp 0) ∈ Fin)
6 unfi 9209 . . . . . . . 8 (((𝑥 supp 0) ∈ Fin ∧ (𝑦 supp 0) ∈ Fin) → ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∈ Fin)
73, 5, 6syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∈ Fin)
81, 2rrxsuppss 25450 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥 supp 0) ⊆ 𝐼)
91, 4rrxsuppss 25450 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑦 supp 0) ⊆ 𝐼)
108, 9unssd 4201 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ⊆ 𝐼)
1110sselda 3994 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))) → 𝑘𝐼)
121, 2rrxf 25448 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑥:𝐼⟶ℝ)
1312ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑥𝑘) ∈ ℝ)
141, 4rrxf 25448 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑦:𝐼⟶ℝ)
1514ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑦𝑘) ∈ ℝ)
1613, 15resubcld 11688 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)) ∈ ℝ)
1716resqcld 14161 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) ∈ ℝ)
1811, 17syldan 591 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))) → (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) ∈ ℝ)
197, 18fsumrecl 15766 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) ∈ ℝ)
2016sqge0d 14173 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → 0 ≤ (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))
2111, 20syldan 591 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))) → 0 ≤ (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))
227, 18, 21fsumge0 15827 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))
2319, 22resqrtcld 15452 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) ∈ ℝ)
2423ralrimivva 3199 . . . 4 (𝐼𝑉 → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) ∈ ℝ)
25 eqid 2734 . . . . 5 (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
2625fmpo 8091 . . . 4 (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) ∈ ℝ ↔ (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2724, 26sylib 218 . . 3 (𝐼𝑉 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
28 rrxmval.d . . . . 5 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
291, 28rrxmfval 25453 . . . 4 (𝐼𝑉𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
3029feq1d 6720 . . 3 (𝐼𝑉 → (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ↔ (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
3127, 30mpbird 257 . 2 (𝐼𝑉𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
32 sqrt00 15298 . . . . . . 7 ((Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = 0 ↔ Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0))
3319, 22, 32syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = 0 ↔ Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0))
347, 18, 21fsum00 15830 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0))
3516recnd 11286 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)) ∈ ℂ)
36 sqeq0 14156 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)) ∈ ℂ → ((((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0 ↔ ((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)) = 0))
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → ((((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0 ↔ ((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)) = 0))
3813recnd 11286 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
3915recnd 11286 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑦𝑘) ∈ ℂ)
4038, 39subeq0ad 11627 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)) = 0 ↔ (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
4137, 40bitrd 279 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → ((((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0 ↔ (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
4211, 41syldan 591 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))) → ((((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0 ↔ (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
4342ralbidva 3173 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (∀𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
4433, 34, 433bitrd 305 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = 0 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
451, 28rrxmval 25452 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) = (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
46453expb 1119 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐷𝑦) = (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
4746eqeq1d 2736 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = 0))
4812ffnd 6737 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑥 Fn 𝐼)
4914ffnd 6737 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑦 Fn 𝐼)
50 eqfnfv 7050 . . . . . . 7 ((𝑥 Fn 𝐼𝑦 Fn 𝐼) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑘𝐼 (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
5148, 49, 50syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑘𝐼 (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
52 ssun1 4187 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 supp 0) ⊆ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))
5352a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥 supp 0) ⊆ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)))
54 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝐼𝑉)
55 0red 11261 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 0 ∈ ℝ)
5612, 53, 54, 55suppssr 8218 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)))) → (𝑥𝑘) = 0)
57 ssun2 4188 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 supp 0) ⊆ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))
5857a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑦 supp 0) ⊆ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)))
5914, 58, 54, 55suppssr 8218 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)))) → (𝑦𝑘) = 0)
6056, 59eqtr4d 2777 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)))) → (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘))
6160ralrimiva 3143 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ∀𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)))(𝑥𝑘) = (𝑦𝑘))
6210, 61raldifeq 4499 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (∀𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(𝑥𝑘) = (𝑦𝑘) ↔ ∀𝑘𝐼 (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
6351, 62bitr4d 282 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
6444, 47, 633bitr4d 311 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
6573adant2 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∈ Fin)
66 simp2 1136 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑧𝑋)
671, 66rrxfsupp 25449 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑧 supp 0) ∈ Fin)
68 unfi 9209 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∈ Fin ∧ (𝑧 supp 0) ∈ Fin) → (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0)) ∈ Fin)
6965, 67, 68syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0)) ∈ Fin)
70693expa 1117 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0)) ∈ Fin)
7170an32s 652 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0)) ∈ Fin)
7210adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ⊆ 𝐼)
73 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑧𝑋)
741, 73rrxsuppss 25450 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑧 supp 0) ⊆ 𝐼)
7572, 74unssd 4201 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0)) ⊆ 𝐼)
7675sselda 3994 . . . . . . . . 9 ((((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))) → 𝑘𝐼)
7713adantlr 715 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑥𝑘) ∈ ℝ)
781, 73rrxf 25448 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑧:𝐼⟶ℝ)
7978ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑧𝑘) ∈ ℝ)
8077, 79resubcld 11688 . . . . . . . . 9 ((((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘)) ∈ ℝ)
8176, 80syldan 591 . . . . . . . 8 ((((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))) → ((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘)) ∈ ℝ)
8215adantlr 715 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑦𝑘) ∈ ℝ)
8379, 82resubcld 11688 . . . . . . . . 9 ((((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘)) ∈ ℝ)
8476, 83syldan 591 . . . . . . . 8 ((((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))) → ((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘)) ∈ ℝ)
8571, 81, 84trirn 25447 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))((((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘)) + ((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘)))↑2)) ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
8638adantlr 715 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
8779recnd 11286 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
8839adantlr 715 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑦𝑘) ∈ ℂ)
8986, 87, 88npncand 11641 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘)) + ((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))) = ((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)))
9089oveq1d 7445 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → ((((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘)) + ((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘)))↑2) = (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))
9176, 90syldan 591 . . . . . . . . 9 ((((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))) → ((((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘)) + ((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘)))↑2) = (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))
9291sumeq2dv 15734 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))((((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘)) + ((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘)))↑2) = Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))
9392fveq2d 6910 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))((((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘)) + ((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘)))↑2)) = (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
94 sqsubswap 14153 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝑧𝑘) ∈ ℂ) → (((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘))↑2) = (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2))
9586, 87, 94syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘))↑2) = (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2))
9676, 95syldan 591 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))) → (((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘))↑2) = (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2))
9796sumeq2dv 15734 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘))↑2) = Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2))
9897fveq2d 6910 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)))
9998oveq1d 7445 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → ((√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))) = ((√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
10085, 93, 993brtr3d 5178 . . . . . 6 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
10146adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) = (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
102 simp1 1135 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝐼𝑉)
10323adant2 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑥𝑋)
10443adant2 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑦𝑋)
1051, 103rrxsuppss 25450 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥 supp 0) ⊆ 𝐼)
1061, 104rrxsuppss 25450 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑦 supp 0) ⊆ 𝐼)
107105, 106unssd 4201 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ⊆ 𝐼)
1081, 66rrxsuppss 25450 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑧 supp 0) ⊆ 𝐼)
109107, 108unssd 4201 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0)) ⊆ 𝐼)
110 ssun1 4187 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ⊆ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))
111110a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ⊆ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0)))
1121, 28, 102, 103, 104, 109, 69, 111rrxmetlem 25454 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))
113112fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
1141133expa 1117 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
115114an32s 652 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
116101, 115eqtrd 2774 . . . . . 6 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) = (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
1171, 28rrxmval 25452 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑧𝑋𝑥𝑋) → (𝑧𝐷𝑥) = (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑧 supp 0) ∪ (𝑥 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)))
1181173adant3r 1180 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑧𝐷𝑥) = (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑧 supp 0) ∪ (𝑥 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)))
1191, 28rrxmval 25452 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑧𝑋𝑦𝑋) → (𝑧𝐷𝑦) = (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑧 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
1201193adant3l 1179 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑧𝐷𝑦) = (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑧 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
121118, 120oveq12d 7448 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)) = ((√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑧 supp 0) ∪ (𝑥 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑧 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
122 ssun2 4188 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 supp 0) ⊆ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))
123122a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑧 supp 0) ⊆ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0)))
12452, 110sstri 4004 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 supp 0) ⊆ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))
125124a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥 supp 0) ⊆ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0)))
126123, 125unssd 4201 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑧 supp 0) ∪ (𝑥 supp 0)) ⊆ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0)))
1271, 28, 102, 66, 103, 109, 69, 126rrxmetlem 25454 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → Σ𝑘 ∈ ((𝑧 supp 0) ∪ (𝑥 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2) = Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2))
128127fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑧 supp 0) ∪ (𝑥 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)))
12957, 110sstri 4004 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 supp 0) ⊆ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))
130129a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑦 supp 0) ⊆ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0)))
131123, 130unssd 4201 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑧 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ⊆ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0)))
1321, 28, 102, 66, 104, 109, 69, 131rrxmetlem 25454 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → Σ𝑘 ∈ ((𝑧 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))
133132fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑧 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
134128, 133oveq12d 7448 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑧 supp 0) ∪ (𝑥 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑧 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))) = ((√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
135121, 134eqtrd 2774 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)) = ((√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
1361353expa 1117 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)) = ((√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
137136an32s 652 . . . . . 6 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)) = ((√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ (((𝑥 supp 0) ∪ (𝑦 supp 0)) ∪ (𝑧 supp 0))(((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
138100, 116, 1373brtr4d 5179 . . . . 5 (((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
139138ralrimiva 3143 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
14064, 139jca 511 . . 3 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦))))
141140ralrimivva 3199 . 2 (𝐼𝑉 → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦))))
142 ovex 7463 . . . 4 (ℝ ↑m 𝐼) ∈ V
1431, 142rabex2 5346 . . 3 𝑋 ∈ V
144 ismet 24348 . . 3 (𝑋 ∈ V → (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦))))))
145143, 144ax-mp 5 . 2 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))))
14631, 141, 145sylanbrc 583 1 (𝐼𝑉𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  {crab 3432  Vcvv 3477  cdif 3959  cun 3960  wss 3962   class class class wbr 5147   × cxp 5686   Fn wfn 6557  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  cmpo 7432   supp csupp 8183  m cmap 8864  Fincfn 8983   finSupp cfsupp 9398  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152   + caddc 11155  cle 11293  cmin 11489  2c2 12318  cexp 14098  csqrt 15268  Σcsu 15718  distcds 17306  Metcmet 21367  ℝ^crrx 25430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231  ax-mulf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-rp 13032  df-ico 13389  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-subg 19153  df-ghm 19243  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-invr 20404  df-dvr 20417  df-rhm 20488  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-drng 20747  df-field 20748  df-staf 20856  df-srng 20857  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-sra 21189  df-rgmod 21190  df-met 21375  df-cnfld 21382  df-refld 21640  df-dsmm 21769  df-frlm 21784  df-nm 24610  df-tng 24612  df-tcph 25216  df-rrx 25432
This theorem is referenced by:  rrxdstprj1  25456  rrxmetfi  25459
  Copyright terms: Public domain W3C validator