MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxdstprj1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxdstprj1 25443
Description: The distance between two points in Euclidean space is greater than the distance between the projections onto one coordinate. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 7-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxmval.1 𝑋 = { ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ finSupp 0}
rrxmval.d 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
rrxdstprj1.1 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
rrxdstprj1 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) ≤ (𝐹𝐷𝐺))
Distinct variable groups:   ,𝐹   ,𝐺   ,𝐼   ,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐴()   𝐷()   𝑀()   𝑋()

Proof of Theorem rrxdstprj1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 775 . . 3 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → 𝐼𝑉)
2 simpr 484 . . 3 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
3 simplr 769 . . 3 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → (𝐹𝑋𝐺𝑋))
4 rrxmval.1 . . . . . . . . 9 𝑋 = { ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ finSupp 0}
5 simprl 771 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐹𝑋)
64, 5rrxfsupp 25436 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹 supp 0) ∈ Fin)
7 simprr 773 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐺𝑋)
84, 7rrxfsupp 25436 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐺 supp 0) ∈ Fin)
9 unfi 9211 . . . . . . . 8 (((𝐹 supp 0) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 0) ∈ Fin) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∈ Fin)
106, 8, 9syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∈ Fin)
114, 5rrxsuppss 25437 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹 supp 0) ⊆ 𝐼)
124, 7rrxsuppss 25437 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐼)
1311, 12unssd 4192 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ⊆ 𝐼)
1413sselda 3983 . . . . . . . 8 ((((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → 𝑘𝐼)
154, 5rrxf 25435 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐹:𝐼⟶ℝ)
1615ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
174, 7rrxf 25435 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐺:𝐼⟶ℝ)
1817ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
1916, 18resubcld 11691 . . . . . . . . 9 ((((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘)) ∈ ℝ)
2019resqcld 14165 . . . . . . . 8 ((((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) ∈ ℝ)
2114, 20syldan 591 . . . . . . 7 ((((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) ∈ ℝ)
2219sqge0d 14177 . . . . . . . 8 ((((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → 0 ≤ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
2314, 22syldan 591 . . . . . . 7 ((((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → 0 ≤ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
24 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐴 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝐴))
25 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐴 → (𝐺𝑘) = (𝐺𝐴))
2624, 25oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐴 → ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘)) = ((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)))
2726oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐴 → (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) = (((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))↑2))
28 simplr 769 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
2910, 21, 23, 27, 28fsumge1 15833 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))↑2) ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
3013, 28sseldd 3984 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐴𝐼)
3115, 30ffvelcdmd 7105 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
3217, 30ffvelcdmd 7105 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐺𝐴) ∈ ℝ)
3331, 32resubcld 11691 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)) ∈ ℝ)
34 absresq 15341 . . . . . . 7 (((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)) ∈ ℝ → ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)))↑2) = (((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))↑2))
3533, 34syl 17 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)))↑2) = (((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))↑2))
3610, 21fsumrecl 15770 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) ∈ ℝ)
3710, 21, 23fsumge0 15831 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
38 resqrtth 15294 . . . . . . 7 ((Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))↑2) = Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
3936, 37, 38syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))↑2) = Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
4029, 35, 393brtr4d 5175 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)))↑2) ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))↑2))
4133recnd 11289 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)) ∈ ℂ)
4241abscld 15475 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))) ∈ ℝ)
4336, 37resqrtcld 15456 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) ∈ ℝ)
4441absge0d 15483 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 0 ≤ (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))))
4536, 37sqrtge0d 15459 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 0 ≤ (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
4642, 43, 44, 45le2sqd 14296 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))) ≤ (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) ↔ ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)))↑2) ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))↑2)))
4740, 46mpbird 257 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))) ≤ (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
48 rrxdstprj1.1 . . . . . 6 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
4948remetdval 24810 . . . . 5 (((𝐹𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) = (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))))
5031, 32, 49syl2anc 584 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) = (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))))
51 rrxmval.d . . . . . . 7 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
524, 51rrxmval 25439 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐹𝐷𝐺) = (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
53523expb 1121 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹𝐷𝐺) = (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
5453adantlr 715 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹𝐷𝐺) = (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
5547, 50, 543brtr4d 5175 . . 3 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) ≤ (𝐹𝐷𝐺))
561, 2, 3, 55syl21anc 838 . 2 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) ≤ (𝐹𝐷𝐺))
57 simplll 775 . . . . . . 7 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 𝐼𝑉)
58 simplrl 777 . . . . . . 7 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 𝐹𝑋)
59 ssun1 4178 . . . . . . . . . 10 (𝐹 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))
6059a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
6160sscond 4146 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ⊆ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 0)))
6261sselda 3983 . . . . . . 7 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 0)))
63 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝐹𝑋) → 𝐹𝑋)
644, 63rrxf 25435 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐹𝑋) → 𝐹:𝐼⟶ℝ)
65 ssidd 4007 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐹𝑋) → (𝐹 supp 0) ⊆ (𝐹 supp 0))
66 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐹𝑋) → 𝐼𝑉)
67 0red 11264 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐹𝑋) → 0 ∈ ℝ)
6864, 65, 66, 67suppssr 8220 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 0))) → (𝐹𝐴) = 0)
6957, 58, 62, 68syl21anc 838 . . . . . 6 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐹𝐴) = 0)
70 0red 11264 . . . . . 6 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 0 ∈ ℝ)
7169, 70eqeltrd 2841 . . . . 5 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
72 simplrr 778 . . . . . . 7 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 𝐺𝑋)
73 ssun2 4179 . . . . . . . . . 10 (𝐺 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))
7473a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐺 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
7574sscond 4146 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ⊆ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 0)))
7675sselda 3983 . . . . . . 7 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 0)))
77 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝐺𝑋) → 𝐺𝑋)
784, 77rrxf 25435 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐺𝑋) → 𝐺:𝐼⟶ℝ)
79 ssidd 4007 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐺𝑋) → (𝐺 supp 0) ⊆ (𝐺 supp 0))
80 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐺𝑋) → 𝐼𝑉)
81 0red 11264 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐺𝑋) → 0 ∈ ℝ)
8278, 79, 80, 81suppssr 8220 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐺𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 0))) → (𝐺𝐴) = 0)
8357, 72, 76, 82syl21anc 838 . . . . . 6 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐺𝐴) = 0)
8483, 70eqeltrd 2841 . . . . 5 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐺𝐴) ∈ ℝ)
8571, 84, 49syl2anc 584 . . . 4 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) = (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))))
8669, 83oveq12d 7449 . . . . . 6 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → ((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)) = (0 − 0))
87 0m0e0 12386 . . . . . 6 (0 − 0) = 0
8886, 87eqtrdi 2793 . . . . 5 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → ((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)) = 0)
8988abs00bd 15330 . . . 4 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))) = 0)
9085, 89eqtrd 2777 . . 3 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) = 0)
914, 51rrxmet 25442 . . . . 5 (𝐼𝑉𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
9291ad3antrrr 730 . . . 4 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
93 metge0 24355 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → 0 ≤ (𝐹𝐷𝐺))
9492, 58, 72, 93syl3anc 1373 . . 3 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 0 ≤ (𝐹𝐷𝐺))
9590, 94eqbrtrd 5165 . 2 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) ≤ (𝐹𝐷𝐺))
96 simplr 769 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐴𝐼)
97 simprl 771 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐹𝑋)
984, 97rrxsuppss 25437 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹 supp 0) ⊆ 𝐼)
99 simprr 773 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐺𝑋)
1004, 99rrxsuppss 25437 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐼)
10198, 100unssd 4192 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ⊆ 𝐼)
102 undif 4482 . . . . 5 (((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ⊆ 𝐼 ↔ (((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∪ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) = 𝐼)
103101, 102sylib 218 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∪ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) = 𝐼)
10496, 103eleqtrrd 2844 . . 3 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐴 ∈ (((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∪ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))))
105 elun 4153 . . 3 (𝐴 ∈ (((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∪ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) ↔ (𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∨ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))))
106104, 105sylib 218 . 2 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∨ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))))
10756, 95, 106mpjaodan 961 1 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) ≤ (𝐹𝐷𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  {crab 3436  cdif 3948  cun 3949  wss 3951   class class class wbr 5143   × cxp 5683  cres 5687  ccom 5689  cfv 6561  (class class class)co 7431   supp csupp 8185  m cmap 8866  Fincfn 8985   finSupp cfsupp 9401  cr 11154  0cc0 11155  cle 11296  cmin 11492  2c2 12321  cexp 14102  csqrt 15272  abscabs 15273  Σcsu 15722  distcds 17306  Metcmet 21350  ℝ^crrx 25417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-field 20732  df-staf 20840  df-srng 20841  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-xmet 21357  df-met 21358  df-cnfld 21365  df-refld 21623  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-nm 24595  df-tng 24597  df-tcph 25203  df-rrx 25419
This theorem is referenced by:  rrnprjdstle  46316
  Copyright terms: Public domain W3C validator