MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxdstprj1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxdstprj1 24776
Description: The distance between two points in Euclidean space is greater than the distance between the projections onto one coordinate. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 7-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxmval.1 𝑋 = {β„Ž ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0}
rrxmval.d 𝐷 = (distβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))
rrxdstprj1.1 𝑀 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
Assertion
Ref Expression
rrxdstprj1 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π΄)𝑀(πΊβ€˜π΄)) ≀ (𝐹𝐷𝐺))
Distinct variable groups:   β„Ž,𝐹   β„Ž,𝐺   β„Ž,𝐼   β„Ž,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐴(β„Ž)   𝐷(β„Ž)   𝑀(β„Ž)   𝑋(β„Ž)

Proof of Theorem rrxdstprj1
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 774 . . 3 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
2 simpr 486 . . 3 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) β†’ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))
3 simplr 768 . . 3 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) β†’ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋))
4 rrxmval.1 . . . . . . . . 9 𝑋 = {β„Ž ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0}
5 simprl 770 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑋)
64, 5rrxfsupp 24769 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹 supp 0) ∈ Fin)
7 simprr 772 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑋)
84, 7rrxfsupp 24769 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐺 supp 0) ∈ Fin)
9 unfi 9117 . . . . . . . 8 (((𝐹 supp 0) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 0) ∈ Fin) β†’ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)) ∈ Fin)
106, 8, 9syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)) ∈ Fin)
114, 5rrxsuppss 24770 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹 supp 0) βŠ† 𝐼)
124, 7rrxsuppss 24770 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐺 supp 0) βŠ† 𝐼)
1311, 12unssd 4147 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)) βŠ† 𝐼)
1413sselda 3945 . . . . . . . 8 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) β†’ π‘˜ ∈ 𝐼)
154, 5rrxf 24768 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„)
1615ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
174, 7rrxf 24768 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐺:πΌβŸΆβ„)
1817ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
1916, 18resubcld 11584 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
2019resqcld 14031 . . . . . . . 8 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2) ∈ ℝ)
2114, 20syldan 592 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2) ∈ ℝ)
2219sqge0d 14043 . . . . . . . 8 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 0 ≀ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))
2314, 22syldan 592 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) β†’ 0 ≀ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))
24 fveq2 6843 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝐴 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π΄))
25 fveq2 6843 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝐴 β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (πΊβ€˜π΄))
2624, 25oveq12d 7376 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝐴 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜)) = ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)))
2726oveq1d 7373 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝐴 β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2) = (((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))↑2))
28 simplr 768 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))
2910, 21, 23, 27, 28fsumge1 15683 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))↑2) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))
3013, 28sseldd 3946 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐼)
3115, 30ffvelcdmd 7037 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)
3217, 30ffvelcdmd 7037 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (πΊβ€˜π΄) ∈ ℝ)
3331, 32resubcld 11584 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
34 absresq 15188 . . . . . . 7 (((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) ∈ ℝ β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)))↑2) = (((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))↑2))
3533, 34syl 17 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)))↑2) = (((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))↑2))
3610, 21fsumrecl 15620 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2) ∈ ℝ)
3710, 21, 23fsumge0 15681 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))
38 resqrtth 15141 . . . . . . 7 ((Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)) β†’ ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))↑2) = Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))
3936, 37, 38syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))↑2) = Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))
4029, 35, 393brtr4d 5138 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)))↑2) ≀ ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))↑2))
4133recnd 11184 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
4241abscld 15322 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))) ∈ ℝ)
4336, 37resqrtcld 15303 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)) ∈ ℝ)
4441absge0d 15330 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))))
4536, 37sqrtge0d 15306 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)))
4642, 43, 44, 45le2sqd 14161 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))) ≀ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)) ↔ ((absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)))↑2) ≀ ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))↑2)))
4740, 46mpbird 257 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))) ≀ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)))
48 rrxdstprj1.1 . . . . . 6 𝑀 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
4948remetdval 24155 . . . . 5 (((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π΄)𝑀(πΊβ€˜π΄)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))))
5031, 32, 49syl2anc 585 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π΄)𝑀(πΊβ€˜π΄)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))))
51 rrxmval.d . . . . . . 7 𝐷 = (distβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))
524, 51rrxmval 24772 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹𝐷𝐺) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)))
53523expb 1121 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹𝐷𝐺) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)))
5453adantlr 714 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹𝐷𝐺) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)))
5547, 50, 543brtr4d 5138 . . 3 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π΄)𝑀(πΊβ€˜π΄)) ≀ (𝐹𝐷𝐺))
561, 2, 3, 55syl21anc 837 . 2 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) β†’ ((πΉβ€˜π΄)𝑀(πΊβ€˜π΄)) ≀ (𝐹𝐷𝐺))
57 simplll 774 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
58 simplrl 776 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑋)
59 ssun1 4133 . . . . . . . . . 10 (𝐹 supp 0) βŠ† ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))
6059a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹 supp 0) βŠ† ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))
6160sscond 4102 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) βŠ† (𝐼 βˆ– (𝐹 supp 0)))
6261sselda 3945 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– (𝐹 supp 0)))
63 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋) β†’ 𝐹 ∈ 𝑋)
644, 63rrxf 24768 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„)
65 ssidd 3968 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 supp 0) βŠ† (𝐹 supp 0))
66 simpl 484 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
67 0red 11159 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋) β†’ 0 ∈ ℝ)
6864, 65, 66, 67suppssr 8128 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– (𝐹 supp 0))) β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
6957, 58, 62, 68syl21anc 837 . . . . . 6 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
70 0red 11159 . . . . . 6 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ 0 ∈ ℝ)
7169, 70eqeltrd 2838 . . . . 5 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)
72 simplrr 777 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑋)
73 ssun2 4134 . . . . . . . . . 10 (𝐺 supp 0) βŠ† ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))
7473a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐺 supp 0) βŠ† ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))
7574sscond 4102 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) βŠ† (𝐼 βˆ– (𝐺 supp 0)))
7675sselda 3945 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– (𝐺 supp 0)))
77 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ 𝐺 ∈ 𝑋)
784, 77rrxf 24768 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ 𝐺:πΌβŸΆβ„)
79 ssidd 3968 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ (𝐺 supp 0) βŠ† (𝐺 supp 0))
80 simpl 484 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
81 0red 11159 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ 0 ∈ ℝ)
8278, 79, 80, 81suppssr 8128 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– (𝐺 supp 0))) β†’ (πΊβ€˜π΄) = 0)
8357, 72, 76, 82syl21anc 837 . . . . . 6 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ (πΊβ€˜π΄) = 0)
8483, 70eqeltrd 2838 . . . . 5 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ (πΊβ€˜π΄) ∈ ℝ)
8571, 84, 49syl2anc 585 . . . 4 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ ((πΉβ€˜π΄)𝑀(πΊβ€˜π΄)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))))
8669, 83oveq12d 7376 . . . . . 6 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) = (0 βˆ’ 0))
87 0m0e0 12274 . . . . . 6 (0 βˆ’ 0) = 0
8886, 87eqtrdi 2793 . . . . 5 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) = 0)
8988abs00bd 15177 . . . 4 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))) = 0)
9085, 89eqtrd 2777 . . 3 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ ((πΉβ€˜π΄)𝑀(πΊβ€˜π΄)) = 0)
914, 51rrxmet 24775 . . . . 5 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
9291ad3antrrr 729 . . . 4 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
93 metge0 23701 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝐹𝐷𝐺))
9492, 58, 72, 93syl3anc 1372 . . 3 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ 0 ≀ (𝐹𝐷𝐺))
9590, 94eqbrtrd 5128 . 2 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ ((πΉβ€˜π΄)𝑀(πΊβ€˜π΄)) ≀ (𝐹𝐷𝐺))
96 simplr 768 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐼)
97 simprl 770 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑋)
984, 97rrxsuppss 24770 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹 supp 0) βŠ† 𝐼)
99 simprr 772 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑋)
1004, 99rrxsuppss 24770 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐺 supp 0) βŠ† 𝐼)
10198, 100unssd 4147 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)) βŠ† 𝐼)
102 undif 4442 . . . . 5 (((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)) βŠ† 𝐼 ↔ (((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)) βˆͺ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) = 𝐼)
103101, 102sylib 217 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)) βˆͺ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) = 𝐼)
10496, 103eleqtrrd 2841 . . 3 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ (((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)) βˆͺ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))))
105 elun 4109 . . 3 (𝐴 ∈ (((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)) βˆͺ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) ↔ (𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)) ∨ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))))
106104, 105sylib 217 . 2 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)) ∨ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))))
10756, 95, 106mpjaodan 958 1 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π΄)𝑀(πΊβ€˜π΄)) ≀ (𝐹𝐷𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3408   βˆ– cdif 3908   βˆͺ cun 3909   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106   Γ— cxp 5632   β†Ύ cres 5636   ∘ ccom 5638  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   supp csupp 8093   ↑m cmap 8766  Fincfn 8884   finSupp cfsupp 9306  β„cr 11051  0cc0 11052   ≀ cle 11191   βˆ’ cmin 11386  2c2 12209  β†‘cexp 13968  βˆšcsqrt 15119  abscabs 15120  Ξ£csu 15571  distcds 17143  Metcmet 20785  β„^crrx 24750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130  ax-addf 11131  ax-mulf 11132
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9307  df-sup 9379  df-oi 9447  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12765  df-rp 12917  df-xneg 13034  df-xadd 13035  df-xmul 13036  df-ico 13271  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371  df-sum 15572  df-struct 17020  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-starv 17149  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-ip 17152  df-tset 17153  df-ple 17154  df-ds 17156  df-unif 17157  df-hom 17158  df-cco 17159  df-0g 17324  df-gsum 17325  df-prds 17330  df-pws 17332  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-mhm 18602  df-grp 18752  df-minusg 18753  df-sbg 18754  df-subg 18926  df-ghm 19007  df-cntz 19098  df-cmn 19565  df-abl 19566  df-mgp 19898  df-ur 19915  df-ring 19967  df-cring 19968  df-oppr 20050  df-dvdsr 20071  df-unit 20072  df-invr 20102  df-dvr 20113  df-rnghom 20147  df-drng 20188  df-field 20189  df-subrg 20223  df-staf 20307  df-srng 20308  df-lmod 20327  df-lss 20396  df-sra 20636  df-rgmod 20637  df-xmet 20792  df-met 20793  df-cnfld 20800  df-refld 21012  df-dsmm 21141  df-frlm 21156  df-nm 23941  df-tng 23943  df-tcph 24536  df-rrx 24752
This theorem is referenced by:  rrnprjdstle  44549
  Copyright terms: Public domain W3C validator