MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxdstprj1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxdstprj1 25157
Description: The distance between two points in Euclidean space is greater than the distance between the projections onto one coordinate. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 7-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxmval.1 𝑋 = {β„Ž ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0}
rrxmval.d 𝐷 = (distβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))
rrxdstprj1.1 𝑀 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
Assertion
Ref Expression
rrxdstprj1 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π΄)𝑀(πΊβ€˜π΄)) ≀ (𝐹𝐷𝐺))
Distinct variable groups:   β„Ž,𝐹   β„Ž,𝐺   β„Ž,𝐼   β„Ž,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐴(β„Ž)   𝐷(β„Ž)   𝑀(β„Ž)   𝑋(β„Ž)

Proof of Theorem rrxdstprj1
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 771 . . 3 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
2 simpr 483 . . 3 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) β†’ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))
3 simplr 765 . . 3 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) β†’ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋))
4 rrxmval.1 . . . . . . . . 9 𝑋 = {β„Ž ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0}
5 simprl 767 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑋)
64, 5rrxfsupp 25150 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹 supp 0) ∈ Fin)
7 simprr 769 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑋)
84, 7rrxfsupp 25150 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐺 supp 0) ∈ Fin)
9 unfi 9174 . . . . . . . 8 (((𝐹 supp 0) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 0) ∈ Fin) β†’ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)) ∈ Fin)
106, 8, 9syl2anc 582 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)) ∈ Fin)
114, 5rrxsuppss 25151 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹 supp 0) βŠ† 𝐼)
124, 7rrxsuppss 25151 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐺 supp 0) βŠ† 𝐼)
1311, 12unssd 4185 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)) βŠ† 𝐼)
1413sselda 3981 . . . . . . . 8 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) β†’ π‘˜ ∈ 𝐼)
154, 5rrxf 25149 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„)
1615ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
174, 7rrxf 25149 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐺:πΌβŸΆβ„)
1817ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
1916, 18resubcld 11646 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
2019resqcld 14094 . . . . . . . 8 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2) ∈ ℝ)
2114, 20syldan 589 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2) ∈ ℝ)
2219sqge0d 14106 . . . . . . . 8 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 0 ≀ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))
2314, 22syldan 589 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) β†’ 0 ≀ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))
24 fveq2 6890 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝐴 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π΄))
25 fveq2 6890 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝐴 β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (πΊβ€˜π΄))
2624, 25oveq12d 7429 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝐴 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜)) = ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)))
2726oveq1d 7426 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝐴 β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2) = (((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))↑2))
28 simplr 765 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))
2910, 21, 23, 27, 28fsumge1 15747 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))↑2) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))
3013, 28sseldd 3982 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐼)
3115, 30ffvelcdmd 7086 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)
3217, 30ffvelcdmd 7086 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (πΊβ€˜π΄) ∈ ℝ)
3331, 32resubcld 11646 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
34 absresq 15253 . . . . . . 7 (((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) ∈ ℝ β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)))↑2) = (((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))↑2))
3533, 34syl 17 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)))↑2) = (((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))↑2))
3610, 21fsumrecl 15684 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2) ∈ ℝ)
3710, 21, 23fsumge0 15745 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))
38 resqrtth 15206 . . . . . . 7 ((Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)) β†’ ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))↑2) = Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))
3936, 37, 38syl2anc 582 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))↑2) = Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))
4029, 35, 393brtr4d 5179 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)))↑2) ≀ ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))↑2))
4133recnd 11246 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
4241abscld 15387 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))) ∈ ℝ)
4336, 37resqrtcld 15368 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)) ∈ ℝ)
4441absge0d 15395 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))))
4536, 37sqrtge0d 15371 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)))
4642, 43, 44, 45le2sqd 14224 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))) ≀ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)) ↔ ((absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)))↑2) ≀ ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))↑2)))
4740, 46mpbird 256 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))) ≀ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)))
48 rrxdstprj1.1 . . . . . 6 𝑀 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
4948remetdval 24525 . . . . 5 (((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π΄)𝑀(πΊβ€˜π΄)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))))
5031, 32, 49syl2anc 582 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π΄)𝑀(πΊβ€˜π΄)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))))
51 rrxmval.d . . . . . . 7 𝐷 = (distβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))
524, 51rrxmval 25153 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹𝐷𝐺) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)))
53523expb 1118 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹𝐷𝐺) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)))
5453adantlr 711 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹𝐷𝐺) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)))
5547, 50, 543brtr4d 5179 . . 3 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π΄)𝑀(πΊβ€˜π΄)) ≀ (𝐹𝐷𝐺))
561, 2, 3, 55syl21anc 834 . 2 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) β†’ ((πΉβ€˜π΄)𝑀(πΊβ€˜π΄)) ≀ (𝐹𝐷𝐺))
57 simplll 771 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
58 simplrl 773 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑋)
59 ssun1 4171 . . . . . . . . . 10 (𝐹 supp 0) βŠ† ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))
6059a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹 supp 0) βŠ† ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))
6160sscond 4140 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) βŠ† (𝐼 βˆ– (𝐹 supp 0)))
6261sselda 3981 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– (𝐹 supp 0)))
63 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋) β†’ 𝐹 ∈ 𝑋)
644, 63rrxf 25149 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„)
65 ssidd 4004 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 supp 0) βŠ† (𝐹 supp 0))
66 simpl 481 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
67 0red 11221 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋) β†’ 0 ∈ ℝ)
6864, 65, 66, 67suppssr 8183 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– (𝐹 supp 0))) β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
6957, 58, 62, 68syl21anc 834 . . . . . 6 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
70 0red 11221 . . . . . 6 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ 0 ∈ ℝ)
7169, 70eqeltrd 2831 . . . . 5 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)
72 simplrr 774 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑋)
73 ssun2 4172 . . . . . . . . . 10 (𝐺 supp 0) βŠ† ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))
7473a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐺 supp 0) βŠ† ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))
7574sscond 4140 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) βŠ† (𝐼 βˆ– (𝐺 supp 0)))
7675sselda 3981 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– (𝐺 supp 0)))
77 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ 𝐺 ∈ 𝑋)
784, 77rrxf 25149 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ 𝐺:πΌβŸΆβ„)
79 ssidd 4004 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ (𝐺 supp 0) βŠ† (𝐺 supp 0))
80 simpl 481 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
81 0red 11221 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ 0 ∈ ℝ)
8278, 79, 80, 81suppssr 8183 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– (𝐺 supp 0))) β†’ (πΊβ€˜π΄) = 0)
8357, 72, 76, 82syl21anc 834 . . . . . 6 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ (πΊβ€˜π΄) = 0)
8483, 70eqeltrd 2831 . . . . 5 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ (πΊβ€˜π΄) ∈ ℝ)
8571, 84, 49syl2anc 582 . . . 4 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ ((πΉβ€˜π΄)𝑀(πΊβ€˜π΄)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))))
8669, 83oveq12d 7429 . . . . . 6 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) = (0 βˆ’ 0))
87 0m0e0 12336 . . . . . 6 (0 βˆ’ 0) = 0
8886, 87eqtrdi 2786 . . . . 5 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) = 0)
8988abs00bd 15242 . . . 4 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))) = 0)
9085, 89eqtrd 2770 . . 3 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ ((πΉβ€˜π΄)𝑀(πΊβ€˜π΄)) = 0)
914, 51rrxmet 25156 . . . . 5 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
9291ad3antrrr 726 . . . 4 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
93 metge0 24071 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝐹𝐷𝐺))
9492, 58, 72, 93syl3anc 1369 . . 3 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ 0 ≀ (𝐹𝐷𝐺))
9590, 94eqbrtrd 5169 . 2 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ ((πΉβ€˜π΄)𝑀(πΊβ€˜π΄)) ≀ (𝐹𝐷𝐺))
96 simplr 765 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐼)
97 simprl 767 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑋)
984, 97rrxsuppss 25151 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹 supp 0) βŠ† 𝐼)
99 simprr 769 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑋)
1004, 99rrxsuppss 25151 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐺 supp 0) βŠ† 𝐼)
10198, 100unssd 4185 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)) βŠ† 𝐼)
102 undif 4480 . . . . 5 (((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)) βŠ† 𝐼 ↔ (((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)) βˆͺ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) = 𝐼)
103101, 102sylib 217 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)) βˆͺ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) = 𝐼)
10496, 103eleqtrrd 2834 . . 3 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ (((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)) βˆͺ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))))
105 elun 4147 . . 3 (𝐴 ∈ (((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)) βˆͺ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) ↔ (𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)) ∨ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))))
106104, 105sylib 217 . 2 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)) ∨ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))))
10756, 95, 106mpjaodan 955 1 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π΄)𝑀(πΊβ€˜π΄)) ≀ (𝐹𝐷𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {crab 3430   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147   Γ— cxp 5673   β†Ύ cres 5677   ∘ ccom 5679  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   supp csupp 8148   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9363  β„cr 11111  0cc0 11112   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  2c2 12271  β†‘cexp 14031  βˆšcsqrt 15184  abscabs 15185  Ξ£csu 15636  distcds 17210  Metcmet 21130  β„^crrx 25131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ico 13334  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-rhm 20363  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-drng 20502  df-field 20503  df-staf 20596  df-srng 20597  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-xmet 21137  df-met 21138  df-cnfld 21145  df-refld 21377  df-dsmm 21506  df-frlm 21521  df-nm 24311  df-tng 24313  df-tcph 24917  df-rrx 25133
This theorem is referenced by:  rrnprjdstle  45315
  Copyright terms: Public domain W3C validator