MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxdstprj1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxdstprj1 24926
Description: The distance between two points in Euclidean space is greater than the distance between the projections onto one coordinate. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 7-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxmval.1 𝑋 = {β„Ž ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0}
rrxmval.d 𝐷 = (distβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))
rrxdstprj1.1 𝑀 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
Assertion
Ref Expression
rrxdstprj1 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π΄)𝑀(πΊβ€˜π΄)) ≀ (𝐹𝐷𝐺))
Distinct variable groups:   β„Ž,𝐹   β„Ž,𝐺   β„Ž,𝐼   β„Ž,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐴(β„Ž)   𝐷(β„Ž)   𝑀(β„Ž)   𝑋(β„Ž)

Proof of Theorem rrxdstprj1
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 774 . . 3 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
2 simpr 486 . . 3 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) β†’ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))
3 simplr 768 . . 3 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) β†’ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋))
4 rrxmval.1 . . . . . . . . 9 𝑋 = {β„Ž ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0}
5 simprl 770 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑋)
64, 5rrxfsupp 24919 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹 supp 0) ∈ Fin)
7 simprr 772 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑋)
84, 7rrxfsupp 24919 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐺 supp 0) ∈ Fin)
9 unfi 9172 . . . . . . . 8 (((𝐹 supp 0) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 0) ∈ Fin) β†’ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)) ∈ Fin)
106, 8, 9syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)) ∈ Fin)
114, 5rrxsuppss 24920 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹 supp 0) βŠ† 𝐼)
124, 7rrxsuppss 24920 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐺 supp 0) βŠ† 𝐼)
1311, 12unssd 4187 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)) βŠ† 𝐼)
1413sselda 3983 . . . . . . . 8 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) β†’ π‘˜ ∈ 𝐼)
154, 5rrxf 24918 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„)
1615ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
174, 7rrxf 24918 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐺:πΌβŸΆβ„)
1817ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
1916, 18resubcld 11642 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
2019resqcld 14090 . . . . . . . 8 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2) ∈ ℝ)
2114, 20syldan 592 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2) ∈ ℝ)
2219sqge0d 14102 . . . . . . . 8 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 0 ≀ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))
2314, 22syldan 592 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) β†’ 0 ≀ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))
24 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝐴 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π΄))
25 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝐴 β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (πΊβ€˜π΄))
2624, 25oveq12d 7427 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝐴 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜)) = ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)))
2726oveq1d 7424 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝐴 β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2) = (((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))↑2))
28 simplr 768 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))
2910, 21, 23, 27, 28fsumge1 15743 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))↑2) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))
3013, 28sseldd 3984 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐼)
3115, 30ffvelcdmd 7088 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)
3217, 30ffvelcdmd 7088 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (πΊβ€˜π΄) ∈ ℝ)
3331, 32resubcld 11642 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
34 absresq 15249 . . . . . . 7 (((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) ∈ ℝ β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)))↑2) = (((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))↑2))
3533, 34syl 17 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)))↑2) = (((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))↑2))
3610, 21fsumrecl 15680 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2) ∈ ℝ)
3710, 21, 23fsumge0 15741 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))
38 resqrtth 15202 . . . . . . 7 ((Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)) β†’ ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))↑2) = Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))
3936, 37, 38syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))↑2) = Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))
4029, 35, 393brtr4d 5181 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)))↑2) ≀ ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))↑2))
4133recnd 11242 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
4241abscld 15383 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))) ∈ ℝ)
4336, 37resqrtcld 15364 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)) ∈ ℝ)
4441absge0d 15391 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))))
4536, 37sqrtge0d 15367 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)))
4642, 43, 44, 45le2sqd 14220 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))) ≀ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)) ↔ ((absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)))↑2) ≀ ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))↑2)))
4740, 46mpbird 257 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))) ≀ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)))
48 rrxdstprj1.1 . . . . . 6 𝑀 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
4948remetdval 24305 . . . . 5 (((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π΄)𝑀(πΊβ€˜π΄)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))))
5031, 32, 49syl2anc 585 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π΄)𝑀(πΊβ€˜π΄)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))))
51 rrxmval.d . . . . . . 7 𝐷 = (distβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))
524, 51rrxmval 24922 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹𝐷𝐺) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)))
53523expb 1121 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹𝐷𝐺) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)))
5453adantlr 714 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹𝐷𝐺) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)))
5547, 50, 543brtr4d 5181 . . 3 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π΄)𝑀(πΊβ€˜π΄)) ≀ (𝐹𝐷𝐺))
561, 2, 3, 55syl21anc 837 . 2 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) β†’ ((πΉβ€˜π΄)𝑀(πΊβ€˜π΄)) ≀ (𝐹𝐷𝐺))
57 simplll 774 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
58 simplrl 776 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑋)
59 ssun1 4173 . . . . . . . . . 10 (𝐹 supp 0) βŠ† ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))
6059a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹 supp 0) βŠ† ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))
6160sscond 4142 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) βŠ† (𝐼 βˆ– (𝐹 supp 0)))
6261sselda 3983 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– (𝐹 supp 0)))
63 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋) β†’ 𝐹 ∈ 𝑋)
644, 63rrxf 24918 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„)
65 ssidd 4006 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 supp 0) βŠ† (𝐹 supp 0))
66 simpl 484 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
67 0red 11217 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋) β†’ 0 ∈ ℝ)
6864, 65, 66, 67suppssr 8181 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– (𝐹 supp 0))) β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
6957, 58, 62, 68syl21anc 837 . . . . . 6 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
70 0red 11217 . . . . . 6 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ 0 ∈ ℝ)
7169, 70eqeltrd 2834 . . . . 5 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)
72 simplrr 777 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑋)
73 ssun2 4174 . . . . . . . . . 10 (𝐺 supp 0) βŠ† ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))
7473a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐺 supp 0) βŠ† ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))
7574sscond 4142 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) βŠ† (𝐼 βˆ– (𝐺 supp 0)))
7675sselda 3983 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– (𝐺 supp 0)))
77 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ 𝐺 ∈ 𝑋)
784, 77rrxf 24918 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ 𝐺:πΌβŸΆβ„)
79 ssidd 4006 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ (𝐺 supp 0) βŠ† (𝐺 supp 0))
80 simpl 484 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
81 0red 11217 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ 0 ∈ ℝ)
8278, 79, 80, 81suppssr 8181 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– (𝐺 supp 0))) β†’ (πΊβ€˜π΄) = 0)
8357, 72, 76, 82syl21anc 837 . . . . . 6 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ (πΊβ€˜π΄) = 0)
8483, 70eqeltrd 2834 . . . . 5 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ (πΊβ€˜π΄) ∈ ℝ)
8571, 84, 49syl2anc 585 . . . 4 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ ((πΉβ€˜π΄)𝑀(πΊβ€˜π΄)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))))
8669, 83oveq12d 7427 . . . . . 6 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) = (0 βˆ’ 0))
87 0m0e0 12332 . . . . . 6 (0 βˆ’ 0) = 0
8886, 87eqtrdi 2789 . . . . 5 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) = 0)
8988abs00bd 15238 . . . 4 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))) = 0)
9085, 89eqtrd 2773 . . 3 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ ((πΉβ€˜π΄)𝑀(πΊβ€˜π΄)) = 0)
914, 51rrxmet 24925 . . . . 5 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
9291ad3antrrr 729 . . . 4 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
93 metge0 23851 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝐹𝐷𝐺))
9492, 58, 72, 93syl3anc 1372 . . 3 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ 0 ≀ (𝐹𝐷𝐺))
9590, 94eqbrtrd 5171 . 2 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ ((πΉβ€˜π΄)𝑀(πΊβ€˜π΄)) ≀ (𝐹𝐷𝐺))
96 simplr 768 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐼)
97 simprl 770 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑋)
984, 97rrxsuppss 24920 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹 supp 0) βŠ† 𝐼)
99 simprr 772 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑋)
1004, 99rrxsuppss 24920 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐺 supp 0) βŠ† 𝐼)
10198, 100unssd 4187 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)) βŠ† 𝐼)
102 undif 4482 . . . . 5 (((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)) βŠ† 𝐼 ↔ (((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)) βˆͺ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) = 𝐼)
103101, 102sylib 217 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)) βˆͺ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) = 𝐼)
10496, 103eleqtrrd 2837 . . 3 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ (((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)) βˆͺ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))))
105 elun 4149 . . 3 (𝐴 ∈ (((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)) βˆͺ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) ↔ (𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)) ∨ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))))
106104, 105sylib 217 . 2 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)) ∨ 𝐴 ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))))
10756, 95, 106mpjaodan 958 1 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π΄)𝑀(πΊβ€˜π΄)) ≀ (𝐹𝐷𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   supp csupp 8146   ↑m cmap 8820  Fincfn 8939   finSupp cfsupp 9361  β„cr 11109  0cc0 11110   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  2c2 12267  β†‘cexp 14027  βˆšcsqrt 15180  abscabs 15181  Ξ£csu 15632  distcds 17206  Metcmet 20930  β„^crrx 24900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ico 13330  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-prds 17393  df-pws 17395  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-rnghom 20251  df-subrg 20317  df-drng 20359  df-field 20360  df-staf 20453  df-srng 20454  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-xmet 20937  df-met 20938  df-cnfld 20945  df-refld 21158  df-dsmm 21287  df-frlm 21302  df-nm 24091  df-tng 24093  df-tcph 24686  df-rrx 24902
This theorem is referenced by:  rrnprjdstle  45017
  Copyright terms: Public domain W3C validator