MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxdstprj1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxdstprj1 25456
Description: The distance between two points in Euclidean space is greater than the distance between the projections onto one coordinate. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 7-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxmval.1 𝑋 = { ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ finSupp 0}
rrxmval.d 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
rrxdstprj1.1 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
rrxdstprj1 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) ≤ (𝐹𝐷𝐺))
Distinct variable groups:   ,𝐹   ,𝐺   ,𝐼   ,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐴()   𝐷()   𝑀()   𝑋()

Proof of Theorem rrxdstprj1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 775 . . 3 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → 𝐼𝑉)
2 simpr 484 . . 3 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
3 simplr 769 . . 3 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → (𝐹𝑋𝐺𝑋))
4 rrxmval.1 . . . . . . . . 9 𝑋 = { ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ finSupp 0}
5 simprl 771 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐹𝑋)
64, 5rrxfsupp 25449 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹 supp 0) ∈ Fin)
7 simprr 773 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐺𝑋)
84, 7rrxfsupp 25449 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐺 supp 0) ∈ Fin)
9 unfi 9209 . . . . . . . 8 (((𝐹 supp 0) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 0) ∈ Fin) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∈ Fin)
106, 8, 9syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∈ Fin)
114, 5rrxsuppss 25450 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹 supp 0) ⊆ 𝐼)
124, 7rrxsuppss 25450 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐼)
1311, 12unssd 4201 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ⊆ 𝐼)
1413sselda 3994 . . . . . . . 8 ((((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → 𝑘𝐼)
154, 5rrxf 25448 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐹:𝐼⟶ℝ)
1615ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
174, 7rrxf 25448 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐺:𝐼⟶ℝ)
1817ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
1916, 18resubcld 11688 . . . . . . . . 9 ((((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘)) ∈ ℝ)
2019resqcld 14161 . . . . . . . 8 ((((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) ∈ ℝ)
2114, 20syldan 591 . . . . . . 7 ((((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) ∈ ℝ)
2219sqge0d 14173 . . . . . . . 8 ((((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → 0 ≤ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
2314, 22syldan 591 . . . . . . 7 ((((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → 0 ≤ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
24 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐴 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝐴))
25 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐴 → (𝐺𝑘) = (𝐺𝐴))
2624, 25oveq12d 7448 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐴 → ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘)) = ((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)))
2726oveq1d 7445 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐴 → (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) = (((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))↑2))
28 simplr 769 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
2910, 21, 23, 27, 28fsumge1 15829 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))↑2) ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
3013, 28sseldd 3995 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐴𝐼)
3115, 30ffvelcdmd 7104 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
3217, 30ffvelcdmd 7104 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐺𝐴) ∈ ℝ)
3331, 32resubcld 11688 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)) ∈ ℝ)
34 absresq 15337 . . . . . . 7 (((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)) ∈ ℝ → ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)))↑2) = (((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))↑2))
3533, 34syl 17 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)))↑2) = (((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))↑2))
3610, 21fsumrecl 15766 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) ∈ ℝ)
3710, 21, 23fsumge0 15827 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
38 resqrtth 15290 . . . . . . 7 ((Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))↑2) = Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
3936, 37, 38syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))↑2) = Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
4029, 35, 393brtr4d 5179 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)))↑2) ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))↑2))
4133recnd 11286 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)) ∈ ℂ)
4241abscld 15471 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))) ∈ ℝ)
4336, 37resqrtcld 15452 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) ∈ ℝ)
4441absge0d 15479 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 0 ≤ (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))))
4536, 37sqrtge0d 15455 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 0 ≤ (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
4642, 43, 44, 45le2sqd 14292 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))) ≤ (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) ↔ ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)))↑2) ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))↑2)))
4740, 46mpbird 257 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))) ≤ (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
48 rrxdstprj1.1 . . . . . 6 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
4948remetdval 24824 . . . . 5 (((𝐹𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) = (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))))
5031, 32, 49syl2anc 584 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) = (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))))
51 rrxmval.d . . . . . . 7 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
524, 51rrxmval 25452 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐹𝐷𝐺) = (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
53523expb 1119 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹𝐷𝐺) = (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
5453adantlr 715 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹𝐷𝐺) = (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
5547, 50, 543brtr4d 5179 . . 3 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) ≤ (𝐹𝐷𝐺))
561, 2, 3, 55syl21anc 838 . 2 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) ≤ (𝐹𝐷𝐺))
57 simplll 775 . . . . . . 7 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 𝐼𝑉)
58 simplrl 777 . . . . . . 7 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 𝐹𝑋)
59 ssun1 4187 . . . . . . . . . 10 (𝐹 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))
6059a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
6160sscond 4155 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ⊆ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 0)))
6261sselda 3994 . . . . . . 7 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 0)))
63 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝐹𝑋) → 𝐹𝑋)
644, 63rrxf 25448 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐹𝑋) → 𝐹:𝐼⟶ℝ)
65 ssidd 4018 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐹𝑋) → (𝐹 supp 0) ⊆ (𝐹 supp 0))
66 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐹𝑋) → 𝐼𝑉)
67 0red 11261 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐹𝑋) → 0 ∈ ℝ)
6864, 65, 66, 67suppssr 8218 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 0))) → (𝐹𝐴) = 0)
6957, 58, 62, 68syl21anc 838 . . . . . 6 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐹𝐴) = 0)
70 0red 11261 . . . . . 6 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 0 ∈ ℝ)
7169, 70eqeltrd 2838 . . . . 5 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
72 simplrr 778 . . . . . . 7 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 𝐺𝑋)
73 ssun2 4188 . . . . . . . . . 10 (𝐺 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))
7473a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐺 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
7574sscond 4155 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ⊆ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 0)))
7675sselda 3994 . . . . . . 7 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 0)))
77 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝐺𝑋) → 𝐺𝑋)
784, 77rrxf 25448 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐺𝑋) → 𝐺:𝐼⟶ℝ)
79 ssidd 4018 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐺𝑋) → (𝐺 supp 0) ⊆ (𝐺 supp 0))
80 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐺𝑋) → 𝐼𝑉)
81 0red 11261 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐺𝑋) → 0 ∈ ℝ)
8278, 79, 80, 81suppssr 8218 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐺𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 0))) → (𝐺𝐴) = 0)
8357, 72, 76, 82syl21anc 838 . . . . . 6 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐺𝐴) = 0)
8483, 70eqeltrd 2838 . . . . 5 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐺𝐴) ∈ ℝ)
8571, 84, 49syl2anc 584 . . . 4 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) = (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))))
8669, 83oveq12d 7448 . . . . . 6 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → ((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)) = (0 − 0))
87 0m0e0 12383 . . . . . 6 (0 − 0) = 0
8886, 87eqtrdi 2790 . . . . 5 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → ((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)) = 0)
8988abs00bd 15326 . . . 4 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))) = 0)
9085, 89eqtrd 2774 . . 3 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) = 0)
914, 51rrxmet 25455 . . . . 5 (𝐼𝑉𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
9291ad3antrrr 730 . . . 4 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
93 metge0 24370 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → 0 ≤ (𝐹𝐷𝐺))
9492, 58, 72, 93syl3anc 1370 . . 3 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 0 ≤ (𝐹𝐷𝐺))
9590, 94eqbrtrd 5169 . 2 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) ≤ (𝐹𝐷𝐺))
96 simplr 769 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐴𝐼)
97 simprl 771 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐹𝑋)
984, 97rrxsuppss 25450 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹 supp 0) ⊆ 𝐼)
99 simprr 773 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐺𝑋)
1004, 99rrxsuppss 25450 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐼)
10198, 100unssd 4201 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ⊆ 𝐼)
102 undif 4487 . . . . 5 (((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ⊆ 𝐼 ↔ (((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∪ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) = 𝐼)
103101, 102sylib 218 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∪ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) = 𝐼)
10496, 103eleqtrrd 2841 . . 3 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐴 ∈ (((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∪ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))))
105 elun 4162 . . 3 (𝐴 ∈ (((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∪ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) ↔ (𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∨ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))))
106104, 105sylib 218 . 2 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∨ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))))
10756, 95, 106mpjaodan 960 1 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) ≤ (𝐹𝐷𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wcel 2105  {crab 3432  cdif 3959  cun 3960  wss 3962   class class class wbr 5147   × cxp 5686  cres 5690  ccom 5692  cfv 6562  (class class class)co 7430   supp csupp 8183  m cmap 8864  Fincfn 8983   finSupp cfsupp 9398  cr 11151  0cc0 11152  cle 11293  cmin 11489  2c2 12318  cexp 14098  csqrt 15268  abscabs 15269  Σcsu 15718  distcds 17306  Metcmet 21367  ℝ^crrx 25430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231  ax-mulf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ico 13389  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-subg 19153  df-ghm 19243  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-invr 20404  df-dvr 20417  df-rhm 20488  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-drng 20747  df-field 20748  df-staf 20856  df-srng 20857  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-sra 21189  df-rgmod 21190  df-xmet 21374  df-met 21375  df-cnfld 21382  df-refld 21640  df-dsmm 21769  df-frlm 21784  df-nm 24610  df-tng 24612  df-tcph 25216  df-rrx 25432
This theorem is referenced by:  rrnprjdstle  46256
  Copyright terms: Public domain W3C validator