MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxdstprj1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxdstprj1 23404
Description: The distance between two points in Euclidean space is greater than the distance between the projections onto one coordinate. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 7-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxmval.1 𝑋 = { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∣ finSupp 0}
rrxmval.d 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
rrxdstprj1.1 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
rrxdstprj1 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) ≤ (𝐹𝐷𝐺))
Distinct variable groups:   ,𝐹   ,𝐺   ,𝐼   ,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐴()   𝐷()   𝑀()   𝑋()

Proof of Theorem rrxdstprj1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 782 . . 3 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → 𝐼𝑉)
2 simpr 473 . . 3 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
3 simplr 776 . . 3 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → (𝐹𝑋𝐺𝑋))
4 rrxmval.1 . . . . . . . . 9 𝑋 = { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∣ finSupp 0}
5 simprl 778 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐹𝑋)
64, 5rrxfsupp 23397 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹 supp 0) ∈ Fin)
7 simprr 780 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐺𝑋)
84, 7rrxfsupp 23397 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐺 supp 0) ∈ Fin)
9 unfi 8466 . . . . . . . 8 (((𝐹 supp 0) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 0) ∈ Fin) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∈ Fin)
106, 8, 9syl2anc 575 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∈ Fin)
114, 5rrxsuppss 23398 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹 supp 0) ⊆ 𝐼)
124, 7rrxsuppss 23398 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐼)
1311, 12unssd 3988 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ⊆ 𝐼)
1413sselda 3798 . . . . . . . 8 ((((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → 𝑘𝐼)
154, 5rrxf 23396 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐹:𝐼⟶ℝ)
1615ffvelrnda 6581 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
174, 7rrxf 23396 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐺:𝐼⟶ℝ)
1817ffvelrnda 6581 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
1916, 18resubcld 10743 . . . . . . . . 9 ((((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘)) ∈ ℝ)
2019resqcld 13258 . . . . . . . 8 ((((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) ∈ ℝ)
2114, 20syldan 581 . . . . . . 7 ((((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) ∈ ℝ)
2219sqge0d 13259 . . . . . . . 8 ((((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → 0 ≤ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
2314, 22syldan 581 . . . . . . 7 ((((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → 0 ≤ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
24 fveq2 6408 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐴 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝐴))
25 fveq2 6408 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐴 → (𝐺𝑘) = (𝐺𝐴))
2624, 25oveq12d 6892 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐴 → ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘)) = ((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)))
2726oveq1d 6889 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐴 → (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) = (((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))↑2))
28 simplr 776 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
2910, 21, 23, 27, 28fsumge1 14751 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))↑2) ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
3013, 28sseldd 3799 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐴𝐼)
3115, 30ffvelrnd 6582 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
3217, 30ffvelrnd 6582 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐺𝐴) ∈ ℝ)
3331, 32resubcld 10743 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)) ∈ ℝ)
34 absresq 14265 . . . . . . 7 (((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)) ∈ ℝ → ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)))↑2) = (((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))↑2))
3533, 34syl 17 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)))↑2) = (((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))↑2))
3610, 21fsumrecl 14688 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) ∈ ℝ)
3710, 21, 23fsumge0 14749 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
38 resqrtth 14219 . . . . . . 7 ((Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))↑2) = Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
3936, 37, 38syl2anc 575 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))↑2) = Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
4029, 35, 393brtr4d 4876 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)))↑2) ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))↑2))
4133recnd 10353 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)) ∈ ℂ)
4241abscld 14398 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))) ∈ ℝ)
4336, 37resqrtcld 14379 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) ∈ ℝ)
4441absge0d 14406 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 0 ≤ (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))))
4536, 37sqrtge0d 14382 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 0 ≤ (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
4642, 43, 44, 45le2sqd 13267 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))) ≤ (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) ↔ ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)))↑2) ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))↑2)))
4740, 46mpbird 248 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))) ≤ (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
48 rrxdstprj1.1 . . . . . 6 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
4948remetdval 22805 . . . . 5 (((𝐹𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) = (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))))
5031, 32, 49syl2anc 575 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) = (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))))
51 rrxmval.d . . . . . . 7 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
524, 51rrxmval 23400 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐹𝐷𝐺) = (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
53523expb 1142 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹𝐷𝐺) = (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
5453adantlr 697 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹𝐷𝐺) = (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
5547, 50, 543brtr4d 4876 . . 3 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) ≤ (𝐹𝐷𝐺))
561, 2, 3, 55syl21anc 857 . 2 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) ≤ (𝐹𝐷𝐺))
57 simplll 782 . . . . . . 7 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 𝐼𝑉)
58 simplrl 786 . . . . . . 7 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 𝐹𝑋)
59 ssun1 3975 . . . . . . . . . 10 (𝐹 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))
6059a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
6160sscond 3946 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ⊆ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 0)))
6261sselda 3798 . . . . . . 7 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 0)))
63 simpr 473 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝐹𝑋) → 𝐹𝑋)
644, 63rrxf 23396 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐹𝑋) → 𝐹:𝐼⟶ℝ)
65 ssidd 3821 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐹𝑋) → (𝐹 supp 0) ⊆ (𝐹 supp 0))
66 simpl 470 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐹𝑋) → 𝐼𝑉)
67 0red 10328 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐹𝑋) → 0 ∈ ℝ)
6864, 65, 66, 67suppssr 7561 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 0))) → (𝐹𝐴) = 0)
6957, 58, 62, 68syl21anc 857 . . . . . 6 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐹𝐴) = 0)
70 0red 10328 . . . . . 6 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 0 ∈ ℝ)
7169, 70eqeltrd 2885 . . . . 5 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
72 simplrr 787 . . . . . . 7 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 𝐺𝑋)
73 ssun2 3976 . . . . . . . . . 10 (𝐺 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))
7473a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐺 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
7574sscond 3946 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ⊆ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 0)))
7675sselda 3798 . . . . . . 7 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 0)))
77 simpr 473 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝐺𝑋) → 𝐺𝑋)
784, 77rrxf 23396 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐺𝑋) → 𝐺:𝐼⟶ℝ)
79 ssidd 3821 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐺𝑋) → (𝐺 supp 0) ⊆ (𝐺 supp 0))
80 simpl 470 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐺𝑋) → 𝐼𝑉)
81 0red 10328 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐺𝑋) → 0 ∈ ℝ)
8278, 79, 80, 81suppssr 7561 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐺𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 0))) → (𝐺𝐴) = 0)
8357, 72, 76, 82syl21anc 857 . . . . . 6 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐺𝐴) = 0)
8483, 70eqeltrd 2885 . . . . 5 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐺𝐴) ∈ ℝ)
8571, 84, 49syl2anc 575 . . . 4 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) = (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))))
8669, 83oveq12d 6892 . . . . . 6 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → ((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)) = (0 − 0))
87 0m0e0 11412 . . . . . 6 (0 − 0) = 0
8886, 87syl6eq 2856 . . . . 5 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → ((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)) = 0)
8988abs00bd 14254 . . . 4 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))) = 0)
9085, 89eqtrd 2840 . . 3 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) = 0)
914, 51rrxmet 23403 . . . . 5 (𝐼𝑉𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
9291ad3antrrr 712 . . . 4 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
93 metge0 22363 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → 0 ≤ (𝐹𝐷𝐺))
9492, 58, 72, 93syl3anc 1483 . . 3 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 0 ≤ (𝐹𝐷𝐺))
9590, 94eqbrtrd 4866 . 2 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) ≤ (𝐹𝐷𝐺))
96 simplr 776 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐴𝐼)
97 simprl 778 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐹𝑋)
984, 97rrxsuppss 23398 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹 supp 0) ⊆ 𝐼)
99 simprr 780 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐺𝑋)
1004, 99rrxsuppss 23398 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐼)
10198, 100unssd 3988 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ⊆ 𝐼)
102 undif 4245 . . . . 5 (((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ⊆ 𝐼 ↔ (((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∪ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) = 𝐼)
103101, 102sylib 209 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∪ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) = 𝐼)
10496, 103eleqtrrd 2888 . . 3 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐴 ∈ (((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∪ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))))
105 elun 3952 . . 3 (𝐴 ∈ (((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∪ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) ↔ (𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∨ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))))
106104, 105sylib 209 . 2 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∨ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))))
10756, 95, 106mpjaodan 972 1 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) ≤ (𝐹𝐷𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wo 865   = wceq 1637  wcel 2156  {crab 3100  cdif 3766  cun 3767  wss 3769   class class class wbr 4844   × cxp 5309  cres 5313  ccom 5315  cfv 6101  (class class class)co 6874   supp csupp 7529  𝑚 cmap 8092  Fincfn 8192   finSupp cfsupp 8514  cr 10220  0cc0 10221  cle 10360  cmin 10551  2c2 11356  cexp 13083  csqrt 14196  abscabs 14197  Σcsu 14639  distcds 16162  Metcme 19940  ℝ^crrx 23383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-inf2 8785  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298  ax-pre-sup 10299  ax-addf 10300  ax-mulf 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-of 7127  df-om 7296  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-supp 7530  df-tpos 7587  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-1o 7796  df-oadd 7800  df-er 7979  df-map 8094  df-ixp 8146  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-fin 8196  df-fsupp 8515  df-sup 8587  df-oi 8654  df-card 9048  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-div 10970  df-nn 11306  df-2 11364  df-3 11365  df-4 11366  df-5 11367  df-6 11368  df-7 11369  df-8 11370  df-9 11371  df-n0 11560  df-z 11644  df-dec 11760  df-uz 11905  df-rp 12047  df-xneg 12162  df-xadd 12163  df-xmul 12164  df-ico 12399  df-fz 12550  df-fzo 12690  df-seq 13025  df-exp 13084  df-hash 13338  df-cj 14062  df-re 14063  df-im 14064  df-sqrt 14198  df-abs 14199  df-clim 14442  df-sum 14640  df-struct 16070  df-ndx 16071  df-slot 16072  df-base 16074  df-sets 16075  df-ress 16076  df-plusg 16166  df-mulr 16167  df-starv 16168  df-sca 16169  df-vsca 16170  df-ip 16171  df-tset 16172  df-ple 16173  df-ds 16175  df-unif 16176  df-hom 16177  df-cco 16178  df-0g 16307  df-gsum 16308  df-prds 16313  df-pws 16315  df-mgm 17447  df-sgrp 17489  df-mnd 17500  df-mhm 17540  df-grp 17630  df-minusg 17631  df-sbg 17632  df-subg 17793  df-ghm 17860  df-cntz 17951  df-cmn 18396  df-abl 18397  df-mgp 18692  df-ur 18704  df-ring 18751  df-cring 18752  df-oppr 18825  df-dvdsr 18843  df-unit 18844  df-invr 18874  df-dvr 18885  df-rnghom 18919  df-drng 18953  df-field 18954  df-subrg 18982  df-staf 19049  df-srng 19050  df-lmod 19069  df-lss 19137  df-sra 19381  df-rgmod 19382  df-xmet 19947  df-met 19948  df-cnfld 19955  df-refld 20160  df-dsmm 20286  df-frlm 20301  df-nm 22600  df-tng 22602  df-tch 23181  df-rrx 23385
This theorem is referenced by:  rrnprjdstle  41000
  Copyright terms: Public domain W3C validator