MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxdstprj1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxdstprj1 24671
Description: The distance between two points in Euclidean space is greater than the distance between the projections onto one coordinate. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 7-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxmval.1 𝑋 = { ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ finSupp 0}
rrxmval.d 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
rrxdstprj1.1 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
rrxdstprj1 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) ≤ (𝐹𝐷𝐺))
Distinct variable groups:   ,𝐹   ,𝐺   ,𝐼   ,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐴()   𝐷()   𝑀()   𝑋()

Proof of Theorem rrxdstprj1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 772 . . 3 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → 𝐼𝑉)
2 simpr 485 . . 3 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
3 simplr 766 . . 3 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → (𝐹𝑋𝐺𝑋))
4 rrxmval.1 . . . . . . . . 9 𝑋 = { ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ finSupp 0}
5 simprl 768 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐹𝑋)
64, 5rrxfsupp 24664 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹 supp 0) ∈ Fin)
7 simprr 770 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐺𝑋)
84, 7rrxfsupp 24664 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐺 supp 0) ∈ Fin)
9 unfi 9029 . . . . . . . 8 (((𝐹 supp 0) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 0) ∈ Fin) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∈ Fin)
106, 8, 9syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∈ Fin)
114, 5rrxsuppss 24665 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹 supp 0) ⊆ 𝐼)
124, 7rrxsuppss 24665 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐼)
1311, 12unssd 4132 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ⊆ 𝐼)
1413sselda 3931 . . . . . . . 8 ((((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → 𝑘𝐼)
154, 5rrxf 24663 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐹:𝐼⟶ℝ)
1615ffvelcdmda 7011 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
174, 7rrxf 24663 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐺:𝐼⟶ℝ)
1817ffvelcdmda 7011 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
1916, 18resubcld 11496 . . . . . . . . 9 ((((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘)) ∈ ℝ)
2019resqcld 14058 . . . . . . . 8 ((((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) ∈ ℝ)
2114, 20syldan 591 . . . . . . 7 ((((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) ∈ ℝ)
2219sqge0d 14059 . . . . . . . 8 ((((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → 0 ≤ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
2314, 22syldan 591 . . . . . . 7 ((((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → 0 ≤ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
24 fveq2 6819 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐴 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝐴))
25 fveq2 6819 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐴 → (𝐺𝑘) = (𝐺𝐴))
2624, 25oveq12d 7347 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐴 → ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘)) = ((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)))
2726oveq1d 7344 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐴 → (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) = (((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))↑2))
28 simplr 766 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
2910, 21, 23, 27, 28fsumge1 15600 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))↑2) ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
3013, 28sseldd 3932 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐴𝐼)
3115, 30ffvelcdmd 7012 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
3217, 30ffvelcdmd 7012 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐺𝐴) ∈ ℝ)
3331, 32resubcld 11496 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)) ∈ ℝ)
34 absresq 15105 . . . . . . 7 (((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)) ∈ ℝ → ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)))↑2) = (((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))↑2))
3533, 34syl 17 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)))↑2) = (((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))↑2))
3610, 21fsumrecl 15537 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) ∈ ℝ)
3710, 21, 23fsumge0 15598 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
38 resqrtth 15058 . . . . . . 7 ((Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))↑2) = Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
3936, 37, 38syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))↑2) = Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
4029, 35, 393brtr4d 5121 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)))↑2) ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))↑2))
4133recnd 11096 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)) ∈ ℂ)
4241abscld 15239 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))) ∈ ℝ)
4336, 37resqrtcld 15220 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) ∈ ℝ)
4441absge0d 15247 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 0 ≤ (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))))
4536, 37sqrtge0d 15223 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 0 ≤ (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
4642, 43, 44, 45le2sqd 14067 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))) ≤ (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) ↔ ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)))↑2) ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))↑2)))
4740, 46mpbird 256 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))) ≤ (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
48 rrxdstprj1.1 . . . . . 6 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
4948remetdval 24050 . . . . 5 (((𝐹𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) = (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))))
5031, 32, 49syl2anc 584 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) = (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))))
51 rrxmval.d . . . . . . 7 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
524, 51rrxmval 24667 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐹𝐷𝐺) = (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
53523expb 1119 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹𝐷𝐺) = (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
5453adantlr 712 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹𝐷𝐺) = (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
5547, 50, 543brtr4d 5121 . . 3 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) ≤ (𝐹𝐷𝐺))
561, 2, 3, 55syl21anc 835 . 2 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) ≤ (𝐹𝐷𝐺))
57 simplll 772 . . . . . . 7 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 𝐼𝑉)
58 simplrl 774 . . . . . . 7 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 𝐹𝑋)
59 ssun1 4118 . . . . . . . . . 10 (𝐹 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))
6059a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
6160sscond 4087 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ⊆ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 0)))
6261sselda 3931 . . . . . . 7 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 0)))
63 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝐹𝑋) → 𝐹𝑋)
644, 63rrxf 24663 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐹𝑋) → 𝐹:𝐼⟶ℝ)
65 ssidd 3954 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐹𝑋) → (𝐹 supp 0) ⊆ (𝐹 supp 0))
66 simpl 483 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐹𝑋) → 𝐼𝑉)
67 0red 11071 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐹𝑋) → 0 ∈ ℝ)
6864, 65, 66, 67suppssr 8074 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 0))) → (𝐹𝐴) = 0)
6957, 58, 62, 68syl21anc 835 . . . . . 6 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐹𝐴) = 0)
70 0red 11071 . . . . . 6 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 0 ∈ ℝ)
7169, 70eqeltrd 2837 . . . . 5 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
72 simplrr 775 . . . . . . 7 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 𝐺𝑋)
73 ssun2 4119 . . . . . . . . . 10 (𝐺 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))
7473a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐺 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
7574sscond 4087 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ⊆ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 0)))
7675sselda 3931 . . . . . . 7 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 0)))
77 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝐺𝑋) → 𝐺𝑋)
784, 77rrxf 24663 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐺𝑋) → 𝐺:𝐼⟶ℝ)
79 ssidd 3954 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐺𝑋) → (𝐺 supp 0) ⊆ (𝐺 supp 0))
80 simpl 483 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐺𝑋) → 𝐼𝑉)
81 0red 11071 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐺𝑋) → 0 ∈ ℝ)
8278, 79, 80, 81suppssr 8074 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐺𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 0))) → (𝐺𝐴) = 0)
8357, 72, 76, 82syl21anc 835 . . . . . 6 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐺𝐴) = 0)
8483, 70eqeltrd 2837 . . . . 5 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐺𝐴) ∈ ℝ)
8571, 84, 49syl2anc 584 . . . 4 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) = (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))))
8669, 83oveq12d 7347 . . . . . 6 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → ((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)) = (0 − 0))
87 0m0e0 12186 . . . . . 6 (0 − 0) = 0
8886, 87eqtrdi 2792 . . . . 5 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → ((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)) = 0)
8988abs00bd 15094 . . . 4 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))) = 0)
9085, 89eqtrd 2776 . . 3 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) = 0)
914, 51rrxmet 24670 . . . . 5 (𝐼𝑉𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
9291ad3antrrr 727 . . . 4 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
93 metge0 23596 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → 0 ≤ (𝐹𝐷𝐺))
9492, 58, 72, 93syl3anc 1370 . . 3 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 0 ≤ (𝐹𝐷𝐺))
9590, 94eqbrtrd 5111 . 2 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) ≤ (𝐹𝐷𝐺))
96 simplr 766 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐴𝐼)
97 simprl 768 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐹𝑋)
984, 97rrxsuppss 24665 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹 supp 0) ⊆ 𝐼)
99 simprr 770 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐺𝑋)
1004, 99rrxsuppss 24665 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐼)
10198, 100unssd 4132 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ⊆ 𝐼)
102 undif 4427 . . . . 5 (((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ⊆ 𝐼 ↔ (((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∪ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) = 𝐼)
103101, 102sylib 217 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∪ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) = 𝐼)
10496, 103eleqtrrd 2840 . . 3 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐴 ∈ (((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∪ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))))
105 elun 4094 . . 3 (𝐴 ∈ (((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∪ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) ↔ (𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∨ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))))
106104, 105sylib 217 . 2 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∨ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))))
10756, 95, 106mpjaodan 956 1 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) ≤ (𝐹𝐷𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 844   = wceq 1540  wcel 2105  {crab 3403  cdif 3894  cun 3895  wss 3897   class class class wbr 5089   × cxp 5612  cres 5616  ccom 5618  cfv 6473  (class class class)co 7329   supp csupp 8039  m cmap 8678  Fincfn 8796   finSupp cfsupp 9218  cr 10963  0cc0 10964  cle 11103  cmin 11298  2c2 12121  cexp 13875  csqrt 15035  abscabs 15036  Σcsu 15488  distcds 17060  Metcmet 20681  ℝ^crrx 24645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-inf2 9490  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041  ax-pre-sup 11042  ax-addf 11043  ax-mulf 11044
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4852  df-int 4894  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-isom 6482  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-of 7587  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-supp 8040  df-tpos 8104  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-er 8561  df-map 8680  df-ixp 8749  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-fsupp 9219  df-sup 9291  df-oi 9359  df-card 9788  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-div 11726  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-4 12131  df-5 12132  df-6 12133  df-7 12134  df-8 12135  df-9 12136  df-n0 12327  df-z 12413  df-dec 12531  df-uz 12676  df-rp 12824  df-xneg 12941  df-xadd 12942  df-xmul 12943  df-ico 13178  df-fz 13333  df-fzo 13476  df-seq 13815  df-exp 13876  df-hash 14138  df-cj 14901  df-re 14902  df-im 14903  df-sqrt 15037  df-abs 15038  df-clim 15288  df-sum 15489  df-struct 16937  df-sets 16954  df-slot 16972  df-ndx 16984  df-base 17002  df-ress 17031  df-plusg 17064  df-mulr 17065  df-starv 17066  df-sca 17067  df-vsca 17068  df-ip 17069  df-tset 17070  df-ple 17071  df-ds 17073  df-unif 17074  df-hom 17075  df-cco 17076  df-0g 17241  df-gsum 17242  df-prds 17247  df-pws 17249  df-mgm 18415  df-sgrp 18464  df-mnd 18475  df-mhm 18519  df-grp 18668  df-minusg 18669  df-sbg 18670  df-subg 18840  df-ghm 18920  df-cntz 19011  df-cmn 19475  df-abl 19476  df-mgp 19808  df-ur 19825  df-ring 19872  df-cring 19873  df-oppr 19949  df-dvdsr 19970  df-unit 19971  df-invr 20001  df-dvr 20012  df-rnghom 20046  df-drng 20087  df-field 20088  df-subrg 20119  df-staf 20203  df-srng 20204  df-lmod 20223  df-lss 20292  df-sra 20532  df-rgmod 20533  df-xmet 20688  df-met 20689  df-cnfld 20696  df-refld 20908  df-dsmm 21037  df-frlm 21052  df-nm 23836  df-tng 23838  df-tcph 24431  df-rrx 24647
This theorem is referenced by:  rrnprjdstle  44167
  Copyright terms: Public domain W3C validator