Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxdstprj1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxdstprj1 24016
 Description: The distance between two points in Euclidean space is greater than the distance between the projections onto one coordinate. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 7-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxmval.1 𝑋 = { ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ finSupp 0}
rrxmval.d 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
rrxdstprj1.1 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
rrxdstprj1 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) ≤ (𝐹𝐷𝐺))
Distinct variable groups:   ,𝐹   ,𝐺   ,𝐼   ,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐴()   𝐷()   𝑀()   𝑋()

Proof of Theorem rrxdstprj1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 774 . . 3 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → 𝐼𝑉)
2 simpr 488 . . 3 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
3 simplr 768 . . 3 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → (𝐹𝑋𝐺𝑋))
4 rrxmval.1 . . . . . . . . 9 𝑋 = { ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ finSupp 0}
5 simprl 770 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐹𝑋)
64, 5rrxfsupp 24009 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹 supp 0) ∈ Fin)
7 simprr 772 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐺𝑋)
84, 7rrxfsupp 24009 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐺 supp 0) ∈ Fin)
9 unfi 8773 . . . . . . . 8 (((𝐹 supp 0) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 0) ∈ Fin) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∈ Fin)
106, 8, 9syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∈ Fin)
114, 5rrxsuppss 24010 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹 supp 0) ⊆ 𝐼)
124, 7rrxsuppss 24010 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐼)
1311, 12unssd 4116 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ⊆ 𝐼)
1413sselda 3918 . . . . . . . 8 ((((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → 𝑘𝐼)
154, 5rrxf 24008 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐹:𝐼⟶ℝ)
1615ffvelrnda 6832 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
174, 7rrxf 24008 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐺:𝐼⟶ℝ)
1817ffvelrnda 6832 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
1916, 18resubcld 11061 . . . . . . . . 9 ((((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘)) ∈ ℝ)
2019resqcld 13611 . . . . . . . 8 ((((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) ∈ ℝ)
2114, 20syldan 594 . . . . . . 7 ((((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) ∈ ℝ)
2219sqge0d 13612 . . . . . . . 8 ((((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → 0 ≤ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
2314, 22syldan 594 . . . . . . 7 ((((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → 0 ≤ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
24 fveq2 6649 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐴 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝐴))
25 fveq2 6649 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐴 → (𝐺𝑘) = (𝐺𝐴))
2624, 25oveq12d 7157 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐴 → ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘)) = ((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)))
2726oveq1d 7154 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐴 → (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) = (((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))↑2))
28 simplr 768 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
2910, 21, 23, 27, 28fsumge1 15147 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))↑2) ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
3013, 28sseldd 3919 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐴𝐼)
3115, 30ffvelrnd 6833 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
3217, 30ffvelrnd 6833 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐺𝐴) ∈ ℝ)
3331, 32resubcld 11061 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)) ∈ ℝ)
34 absresq 14657 . . . . . . 7 (((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)) ∈ ℝ → ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)))↑2) = (((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))↑2))
3533, 34syl 17 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)))↑2) = (((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))↑2))
3610, 21fsumrecl 15086 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) ∈ ℝ)
3710, 21, 23fsumge0 15145 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
38 resqrtth 14610 . . . . . . 7 ((Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))↑2) = Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
3936, 37, 38syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))↑2) = Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
4029, 35, 393brtr4d 5065 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)))↑2) ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))↑2))
4133recnd 10662 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)) ∈ ℂ)
4241abscld 14791 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))) ∈ ℝ)
4336, 37resqrtcld 14772 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) ∈ ℝ)
4441absge0d 14799 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 0 ≤ (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))))
4536, 37sqrtge0d 14775 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 0 ≤ (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
4642, 43, 44, 45le2sqd 13620 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))) ≤ (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) ↔ ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)))↑2) ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))↑2)))
4740, 46mpbird 260 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))) ≤ (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
48 rrxdstprj1.1 . . . . . 6 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
4948remetdval 23397 . . . . 5 (((𝐹𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) = (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))))
5031, 32, 49syl2anc 587 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) = (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))))
51 rrxmval.d . . . . . . 7 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
524, 51rrxmval 24012 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐹𝐷𝐺) = (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
53523expb 1117 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹𝐷𝐺) = (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
5453adantlr 714 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹𝐷𝐺) = (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
5547, 50, 543brtr4d 5065 . . 3 (((𝐼𝑉𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) ≤ (𝐹𝐷𝐺))
561, 2, 3, 55syl21anc 836 . 2 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) ≤ (𝐹𝐷𝐺))
57 simplll 774 . . . . . . 7 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 𝐼𝑉)
58 simplrl 776 . . . . . . 7 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 𝐹𝑋)
59 ssun1 4102 . . . . . . . . . 10 (𝐹 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))
6059a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
6160sscond 4072 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ⊆ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 0)))
6261sselda 3918 . . . . . . 7 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 0)))
63 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝐹𝑋) → 𝐹𝑋)
644, 63rrxf 24008 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐹𝑋) → 𝐹:𝐼⟶ℝ)
65 ssidd 3941 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐹𝑋) → (𝐹 supp 0) ⊆ (𝐹 supp 0))
66 simpl 486 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐹𝑋) → 𝐼𝑉)
67 0red 10637 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐹𝑋) → 0 ∈ ℝ)
6864, 65, 66, 67suppssr 7848 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 0))) → (𝐹𝐴) = 0)
6957, 58, 62, 68syl21anc 836 . . . . . 6 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐹𝐴) = 0)
70 0red 10637 . . . . . 6 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 0 ∈ ℝ)
7169, 70eqeltrd 2893 . . . . 5 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
72 simplrr 777 . . . . . . 7 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 𝐺𝑋)
73 ssun2 4103 . . . . . . . . . 10 (𝐺 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))
7473a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐺 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
7574sscond 4072 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ⊆ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 0)))
7675sselda 3918 . . . . . . 7 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 0)))
77 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝐺𝑋) → 𝐺𝑋)
784, 77rrxf 24008 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐺𝑋) → 𝐺:𝐼⟶ℝ)
79 ssidd 3941 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐺𝑋) → (𝐺 supp 0) ⊆ (𝐺 supp 0))
80 simpl 486 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐺𝑋) → 𝐼𝑉)
81 0red 10637 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐺𝑋) → 0 ∈ ℝ)
8278, 79, 80, 81suppssr 7848 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐺𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 0))) → (𝐺𝐴) = 0)
8357, 72, 76, 82syl21anc 836 . . . . . 6 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐺𝐴) = 0)
8483, 70eqeltrd 2893 . . . . 5 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐺𝐴) ∈ ℝ)
8571, 84, 49syl2anc 587 . . . 4 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) = (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))))
8669, 83oveq12d 7157 . . . . . 6 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → ((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)) = (0 − 0))
87 0m0e0 11749 . . . . . 6 (0 − 0) = 0
8886, 87eqtrdi 2852 . . . . 5 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → ((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)) = 0)
8988abs00bd 14646 . . . 4 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))) = 0)
9085, 89eqtrd 2836 . . 3 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) = 0)
914, 51rrxmet 24015 . . . . 5 (𝐼𝑉𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
9291ad3antrrr 729 . . . 4 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
93 metge0 22955 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → 0 ≤ (𝐹𝐷𝐺))
9492, 58, 72, 93syl3anc 1368 . . 3 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 0 ≤ (𝐹𝐷𝐺))
9590, 94eqbrtrd 5055 . 2 ((((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) ≤ (𝐹𝐷𝐺))
96 simplr 768 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐴𝐼)
97 simprl 770 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐹𝑋)
984, 97rrxsuppss 24010 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹 supp 0) ⊆ 𝐼)
99 simprr 772 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐺𝑋)
1004, 99rrxsuppss 24010 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐼)
10198, 100unssd 4116 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ⊆ 𝐼)
102 undif 4391 . . . . 5 (((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ⊆ 𝐼 ↔ (((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∪ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) = 𝐼)
103101, 102sylib 221 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∪ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) = 𝐼)
10496, 103eleqtrrd 2896 . . 3 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐴 ∈ (((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∪ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))))
105 elun 4079 . . 3 (𝐴 ∈ (((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∪ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) ↔ (𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∨ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))))
106104, 105sylib 221 . 2 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐴 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∨ 𝐴 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))))
10756, 95, 106mpjaodan 956 1 (((𝐼𝑉𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) ≤ (𝐹𝐷𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  {crab 3113   ∖ cdif 3881   ∪ cun 3882   ⊆ wss 3884   class class class wbr 5033   × cxp 5521   ↾ cres 5525   ∘ ccom 5527  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   supp csupp 7817   ↑m cmap 8393  Fincfn 8496   finSupp cfsupp 8821  ℝcr 10529  0cc0 10530   ≤ cle 10669   − cmin 10863  2c2 11684  ↑cexp 13429  √csqrt 14587  abscabs 14588  Σcsu 15037  distcds 16569  Metcmet 20080  ℝ^crrx 23990 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ico 12736  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-sum 15038  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-prds 16716  df-pws 16718  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-subg 18271  df-ghm 18351  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-cring 19296  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-invr 19421  df-dvr 19432  df-rnghom 19466  df-drng 19500  df-field 19501  df-subrg 19529  df-staf 19612  df-srng 19613  df-lmod 19632  df-lss 19700  df-sra 19940  df-rgmod 19941  df-xmet 20087  df-met 20088  df-cnfld 20095  df-refld 20297  df-dsmm 20424  df-frlm 20439  df-nm 23192  df-tng 23194  df-tcph 23777  df-rrx 23992 This theorem is referenced by:  rrnprjdstle  42930
 Copyright terms: Public domain W3C validator