MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxmetlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rrxmetlem 24924
Description: Lemma for rrxmet 24925. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxmval.1 𝑋 = {β„Ž ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0}
rrxmval.d 𝐷 = (distβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))
rrxmetlem.1 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
rrxmetlem.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑋)
rrxmetlem.3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑋)
rrxmetlem.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐼)
rrxmetlem.5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
rrxmetlem.6 (πœ‘ β†’ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)) βŠ† 𝐴)
Assertion
Ref Expression
rrxmetlem (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   β„Ž,𝐹,π‘˜   β„Ž,𝐺,π‘˜   β„Ž,𝐼,π‘˜   β„Ž,𝑉,π‘˜   π‘˜,𝑋   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(β„Ž)   𝐴(β„Ž)   𝐷(β„Ž,π‘˜)   𝑋(β„Ž)
Proof of Theorem rrxmetlem
StepHypRef Expression
1 rrxmetlem.6 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)) βŠ† 𝐴)
2 rrxmetlem.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐼)
31, 2sstrd 3993 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)) βŠ† 𝐼)
43sselda 3983 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) β†’ π‘˜ ∈ 𝐼)
5 rrxmval.1 . . . . . . . 8 𝑋 = {β„Ž ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0}
6 rrxmetlem.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑋)
75, 6rrxf 24918 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„)
87ffvelcdmda 7087 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
98recnd 11242 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
104, 9syldan 592 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
11 rrxmetlem.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑋)
125, 11rrxf 24918 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺:πΌβŸΆβ„)
1312ffvelcdmda 7087 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
1413recnd 11242 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
154, 14syldan 592 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
1610, 15subcld 11571 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
1716sqcld 14109 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2) ∈ β„‚)
182ssdifd 4141 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) βŠ† (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))))
1918sselda 3983 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))))
20 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))))
2120eldifad 3961 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ π‘˜ ∈ 𝐼)
2221, 9syldan 592 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
23 ssun1 4173 . . . . . . . 8 (𝐹 supp 0) βŠ† ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))
2423a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp 0) βŠ† ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))
25 rrxmetlem.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
26 0red 11217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
277, 24, 25, 26suppssr 8181 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 0)
28 ssun2 4174 . . . . . . . 8 (𝐺 supp 0) βŠ† ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))
2928a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐺 supp 0) βŠ† ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))
3012, 29, 25, 26suppssr 8181 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = 0)
3127, 30eqtr4d 2776 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΊβ€˜π‘˜))
3222, 31subeq0bd 11640 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜)) = 0)
3332sq0id 14158 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2) = 0)
3419, 33syldan 592 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2) = 0)
35 rrxmetlem.5 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
361, 17, 34, 35fsumss 15671 1 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   supp csupp 8146   ↑m cmap 8820  Fincfn 8939   finSupp cfsupp 9361  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110   βˆ’ cmin 11444  2c2 12267  β†‘cexp 14027  Ξ£csu 15632  distcds 17206  β„^crrx 24900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633
This theorem is referenced by:  rrxmet  24925
  Copyright terms: Public domain W3C validator