Theorem rrxmetlem 25708

Description: Lemma for rrxmet 25709. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrxmval.1	⊢ 𝑋 = {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
rrxmval.d	⊢ 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
rrxmetlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
rrxmetlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑋)
rrxmetlem.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑋)
rrxmetlem.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐼)
rrxmetlem.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
rrxmetlem.6	⊢ (𝜑 → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
rrxmetlem	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   ℎ,𝐹,𝑘   ℎ,𝐺,𝑘   ℎ,𝐼,𝑘   ℎ,𝑉,𝑘   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(ℎ)   𝐷(ℎ, 𝑘)   𝑋(ℎ)

Proof of Theorem rrxmetlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrxmetlem.6	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ⊆ 𝐴)
2		rrxmetlem.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐼)
3	1, 2	sstrd 3941	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ⊆ 𝐼)
4	3	sselda 3931	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → 𝑘 ∈ 𝐼)
5		rrxmval.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
6		rrxmetlem.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑋)
7	5, 6	rrxf 25702	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶ℝ)
8	7	ffvelcdmda 7076	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11318	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
10	4, 9	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
11		rrxmetlem.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑋)
12	5, 11	rrxf 25702	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶ℝ)
13	12	ffvelcdmda 7076	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
14	13	recnd 11318	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
15	4, 14	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
16	10, 15	subcld 11650	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)) ∈ ℂ)
17	16	sqcld 14267	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2) ∈ ℂ)
18	2	ssdifd 4092	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ⊆ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))))
19	18	sselda 3931	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))))
20		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))))
21	20	eldifad 3911	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 𝑘 ∈ 𝐼)
22	21, 9	syldan 603	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
23		ssun1 4124	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
25		rrxmetlem.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
26		0red 11292	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
27	7, 24, 25, 26	suppssr 8196	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐹‘𝑘) = 0)
28		ssun2 4125	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
30	12, 29, 25, 26	suppssr 8196	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐺‘𝑘) = 0)
31	27, 30	eqtr4d 2799	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
32	22, 31	subeq0bd 11723	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)) = 0)
33	32	sq0id 14317	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2) = 0)
34	19, 33	syldan 603	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2) = 0)
35		rrxmetlem.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
36	1, 17, 34, 35	fsumss 15871	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3413   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   supp csupp 8161   ↑_m cmap 8831  Fincfn 8957   finSupp cfsupp 9337  ℂcc 11179  ℝcr 11180  0cc0 11181   − cmin 11522  2c2 12378  ↑cexp 14184  Σcsu 15833  distcds 17417  ℝ^crrx 25684

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-seq 14125  df-exp 14185  df-hash 14455  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-clim 15635  df-sum 15834

This theorem is used by:  rrxmet  25709