MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxmetlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxmetlem 25455
Description: Lemma for rrxmet 25456. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxmval.1 𝑋 = { ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ finSupp 0}
rrxmval.d 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
rrxmetlem.1 (𝜑𝐼𝑉)
rrxmetlem.2 (𝜑𝐹𝑋)
rrxmetlem.3 (𝜑𝐺𝑋)
rrxmetlem.4 (𝜑𝐴𝐼)
rrxmetlem.5 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
rrxmetlem.6 (𝜑 → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ⊆ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
rrxmetlem (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) = Σ𝑘𝐴 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   ,𝐹,𝑘   ,𝐺,𝑘   ,𝐼,𝑘   ,𝑉,𝑘   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑()   𝐴()   𝐷(,𝑘)   𝑋()

Proof of Theorem rrxmetlem
StepHypRef Expression
1 rrxmetlem.6 . 2 (𝜑 → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ⊆ 𝐴)
2 rrxmetlem.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐼)
31, 2sstrd 4006 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ⊆ 𝐼)
43sselda 3995 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → 𝑘𝐼)
5 rrxmval.1 . . . . . . . 8 𝑋 = { ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ finSupp 0}
6 rrxmetlem.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹𝑋)
75, 6rrxf 25449 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐼⟶ℝ)
87ffvelcdmda 7104 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
98recnd 11287 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
104, 9syldan 591 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
11 rrxmetlem.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺𝑋)
125, 11rrxf 25449 . . . . . . 7 (𝜑𝐺:𝐼⟶ℝ)
1312ffvelcdmda 7104 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
1413recnd 11287 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
154, 14syldan 591 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
1610, 15subcld 11618 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘)) ∈ ℂ)
1716sqcld 14181 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) ∈ ℂ)
182ssdifd 4155 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ⊆ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))))
1918sselda 3995 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))))
20 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))))
2120eldifad 3975 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 𝑘𝐼)
2221, 9syldan 591 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
23 ssun1 4188 . . . . . . . 8 (𝐹 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))
2423a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
25 rrxmetlem.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐼𝑉)
26 0red 11262 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
277, 24, 25, 26suppssr 8219 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐹𝑘) = 0)
28 ssun2 4189 . . . . . . . 8 (𝐺 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))
2928a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
3012, 29, 25, 26suppssr 8219 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐺𝑘) = 0)
3127, 30eqtr4d 2778 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
3222, 31subeq0bd 11687 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘)) = 0)
3332sq0id 14230 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) = 0)
3419, 33syldan 591 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) = 0)
35 rrxmetlem.5 . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
361, 17, 34, 35fsumss 15758 1 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) = Σ𝑘𝐴 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433  cdif 3960  cun 3961  wss 3963   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431   supp csupp 8184  m cmap 8865  Fincfn 8984   finSupp cfsupp 9399  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  cmin 11490  2c2 12319  cexp 14099  Σcsu 15719  distcds 17307  ℝ^crrx 25431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720
This theorem is referenced by:  rrxmet  25456
  Copyright terms: Public domain W3C validator