MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxmetlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxmetlem 24774
Description: Lemma for rrxmet 24775. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxmval.1 𝑋 = {β„Ž ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0}
rrxmval.d 𝐷 = (distβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))
rrxmetlem.1 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
rrxmetlem.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑋)
rrxmetlem.3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑋)
rrxmetlem.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐼)
rrxmetlem.5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
rrxmetlem.6 (πœ‘ β†’ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)) βŠ† 𝐴)
Assertion
Ref Expression
rrxmetlem (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   β„Ž,𝐹,π‘˜   β„Ž,𝐺,π‘˜   β„Ž,𝐼,π‘˜   β„Ž,𝑉,π‘˜   π‘˜,𝑋   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(β„Ž)   𝐴(β„Ž)   𝐷(β„Ž,π‘˜)   𝑋(β„Ž)

Proof of Theorem rrxmetlem
StepHypRef Expression
1 rrxmetlem.6 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)) βŠ† 𝐴)
2 rrxmetlem.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐼)
31, 2sstrd 3955 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)) βŠ† 𝐼)
43sselda 3945 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) β†’ π‘˜ ∈ 𝐼)
5 rrxmval.1 . . . . . . . 8 𝑋 = {β„Ž ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0}
6 rrxmetlem.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑋)
75, 6rrxf 24768 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„)
87ffvelcdmda 7036 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
98recnd 11184 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
104, 9syldan 592 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
11 rrxmetlem.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑋)
125, 11rrxf 24768 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺:πΌβŸΆβ„)
1312ffvelcdmda 7036 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
1413recnd 11184 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
154, 14syldan 592 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
1610, 15subcld 11513 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
1716sqcld 14050 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2) ∈ β„‚)
182ssdifd 4101 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))) βŠ† (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))))
1918sselda 3945 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))))
20 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))))
2120eldifad 3923 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ π‘˜ ∈ 𝐼)
2221, 9syldan 592 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
23 ssun1 4133 . . . . . . . 8 (𝐹 supp 0) βŠ† ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))
2423a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp 0) βŠ† ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))
25 rrxmetlem.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
26 0red 11159 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
277, 24, 25, 26suppssr 8128 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 0)
28 ssun2 4134 . . . . . . . 8 (𝐺 supp 0) βŠ† ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))
2928a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐺 supp 0) βŠ† ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))
3012, 29, 25, 26suppssr 8128 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = 0)
3127, 30eqtr4d 2780 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΊβ€˜π‘˜))
3222, 31subeq0bd 11582 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜)) = 0)
3332sq0id 14099 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2) = 0)
3419, 33syldan 592 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2) = 0)
35 rrxmetlem.5 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
361, 17, 34, 35fsumss 15611 1 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0))(((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3408   βˆ– cdif 3908   βˆͺ cun 3909   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   supp csupp 8093   ↑m cmap 8766  Fincfn 8884   finSupp cfsupp 9306  β„‚cc 11050  β„cr 11051  0cc0 11052   βˆ’ cmin 11386  2c2 12209  β†‘cexp 13968  Ξ£csu 15571  distcds 17143  β„^crrx 24750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-oi 9447  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371  df-sum 15572
This theorem is referenced by:  rrxmet  24775
  Copyright terms: Public domain W3C validator