Theorem rrxmetlem 24476

Description: Lemma for rrxmet 24477. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrxmval.1	⊢ 𝑋 = {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
rrxmval.d	⊢ 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
rrxmetlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
rrxmetlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑋)
rrxmetlem.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑋)
rrxmetlem.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐼)
rrxmetlem.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
rrxmetlem.6	⊢ (𝜑 → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
rrxmetlem	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   ℎ,𝐹,𝑘   ℎ,𝐺,𝑘   ℎ,𝐼,𝑘   ℎ,𝑉,𝑘   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(ℎ)   𝐷(ℎ,𝑘)   𝑋(ℎ)

Proof of Theorem rrxmetlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrxmetlem.6	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ⊆ 𝐴)
2		rrxmetlem.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐼)
3	1, 2	sstrd 3927	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ⊆ 𝐼)
4	3	sselda 3917	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → 𝑘 ∈ 𝐼)
5		rrxmval.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
6		rrxmetlem.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑋)
7	5, 6	rrxf 24470	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶ℝ)
8	7	ffvelrnda 6943	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
9	8	recnd 10934	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
10	4, 9	syldan 590	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
11		rrxmetlem.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑋)
12	5, 11	rrxf 24470	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶ℝ)
13	12	ffvelrnda 6943	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
14	13	recnd 10934	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
15	4, 14	syldan 590	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
16	10, 15	subcld 11262	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)) ∈ ℂ)
17	16	sqcld 13790	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2) ∈ ℂ)
18	2	ssdifd 4071	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ⊆ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))))
19	18	sselda 3917	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))))
20		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))))
21	20	eldifad 3895	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 𝑘 ∈ 𝐼)
22	21, 9	syldan 590	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
23		ssun1 4102	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
25		rrxmetlem.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
26		0red 10909	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
27	7, 24, 25, 26	suppssr 7983	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐹‘𝑘) = 0)
28		ssun2 4103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
30	12, 29, 25, 26	suppssr 7983	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐺‘𝑘) = 0)
31	27, 30	eqtr4d 2781	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
32	22, 31	subeq0bd 11331	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)) = 0)
33	32	sq0id 13839	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2) = 0)
34	19, 33	syldan 590	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2) = 0)
35		rrxmetlem.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
36	1, 17, 34, 35	fsumss 15365	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {crab 3067   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   supp csupp 7948   ↑_m cmap 8573  Fincfn 8691   finSupp cfsupp 9058  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802   − cmin 11135  2c2 11958  ↑cexp 13710  Σcsu 15325  distcds 16897  ℝ^crrx 24452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326

This theorem is referenced by:  rrxmet  24477