Theorem rrxmetlem 24013

Description: Lemma for rrxmet 24014. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrxmval.1	⊢ 𝑋 = {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
rrxmval.d	⊢ 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
rrxmetlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
rrxmetlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑋)
rrxmetlem.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑋)
rrxmetlem.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐼)
rrxmetlem.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
rrxmetlem.6	⊢ (𝜑 → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
rrxmetlem	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   ℎ,𝐹,𝑘   ℎ,𝐺,𝑘   ℎ,𝐼,𝑘   ℎ,𝑉,𝑘   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(ℎ)   𝐷(ℎ,𝑘)   𝑋(ℎ)

Proof of Theorem rrxmetlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrxmetlem.6	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ⊆ 𝐴)
2		rrxmetlem.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐼)
3	1, 2	sstrd 3980	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ⊆ 𝐼)
4	3	sselda 3970	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → 𝑘 ∈ 𝐼)
5		rrxmval.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
6		rrxmetlem.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑋)
7	5, 6	rrxf 24007	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶ℝ)
8	7	ffvelrnda 6854	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
9	8	recnd 10672	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
10	4, 9	syldan 593	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
11		rrxmetlem.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑋)
12	5, 11	rrxf 24007	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶ℝ)
13	12	ffvelrnda 6854	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
14	13	recnd 10672	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
15	4, 14	syldan 593	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
16	10, 15	subcld 11000	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)) ∈ ℂ)
17	16	sqcld 13511	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2) ∈ ℂ)
18	2	ssdifd 4120	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ⊆ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))))
19	18	sselda 3970	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))))
20		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))))
21	20	eldifad 3951	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 𝑘 ∈ 𝐼)
22	21, 9	syldan 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
23		ssun1 4151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
25		rrxmetlem.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
26		0red 10647	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
27	7, 24, 25, 26	suppssr 7864	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐹‘𝑘) = 0)
28		ssun2 4152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
30	12, 29, 25, 26	suppssr 7864	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐺‘𝑘) = 0)
31	27, 30	eqtr4d 2862	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
32	22, 31	subeq0bd 11069	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)) = 0)
33	32	sq0id 13560	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2) = 0)
34	19, 33	syldan 593	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2) = 0)
35		rrxmetlem.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
36	1, 17, 34, 35	fsumss 15085	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  {crab 3145   ∖ cdif 3936   ∪ cun 3937   ⊆ wss 3939   class class class wbr 5069  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159   supp csupp 7833   ↑_m cmap 8409  Fincfn 8512   finSupp cfsupp 8836  ℂcc 10538  ℝcr 10539  0cc0 10540   − cmin 10873  2c2 11695  ↑cexp 13432  Σcsu 15045  distcds 16577  ℝ^crrx 23989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-inf2 9107  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-supp 7834  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-sup 8909  df-oi 8977  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-clim 14848  df-sum 15046

This theorem is referenced by:  rrxmet  24014