Theorem rrxmetlem 25641

Description: Lemma for rrxmet 25642. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrxmval.1	⊢ 𝑋 = {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
rrxmval.d	⊢ 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
rrxmetlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
rrxmetlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑋)
rrxmetlem.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑋)
rrxmetlem.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐼)
rrxmetlem.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
rrxmetlem.6	⊢ (𝜑 → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
rrxmetlem	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   ℎ,𝐹,𝑘   ℎ,𝐺,𝑘   ℎ,𝐼,𝑘   ℎ,𝑉,𝑘   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(ℎ)   𝐷(ℎ, 𝑘)   𝑋(ℎ)

Proof of Theorem rrxmetlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrxmetlem.6	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ⊆ 𝐴)
2		rrxmetlem.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐼)
3	1, 2	sstrd 3944	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ⊆ 𝐼)
4	3	sselda 3934	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → 𝑘 ∈ 𝐼)
5		rrxmval.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
6		rrxmetlem.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑋)
7	5, 6	rrxf 25635	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶ℝ)
8	7	ffvelcdmda 7081	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11265	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
10	4, 9	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
11		rrxmetlem.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑋)
12	5, 11	rrxf 25635	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶ℝ)
13	12	ffvelcdmda 7081	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
14	13	recnd 11265	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
15	4, 14	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
16	10, 15	subcld 11597	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)) ∈ ℂ)
17	16	sqcld 14212	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2) ∈ ℂ)
18	2	ssdifd 4095	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ⊆ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))))
19	18	sselda 3934	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))))
20		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))))
21	20	eldifad 3914	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 𝑘 ∈ 𝐼)
22	21, 9	syldan 603	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
23		ssun1 4127	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
25		rrxmetlem.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
26		0red 11239	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
27	7, 24, 25, 26	suppssr 8197	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐹‘𝑘) = 0)
28		ssun2 4128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
30	12, 29, 25, 26	suppssr 8197	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐺‘𝑘) = 0)
31	27, 30	eqtr4d 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
32	22, 31	subeq0bd 11668	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)) = 0)
33	32	sq0id 14262	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2) = 0)
34	19, 33	syldan 603	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2) = 0)
35		rrxmetlem.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
36	1, 17, 34, 35	fsumss 15815	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3414   ∖ cdif 3899   ∪ cun 3900   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   supp csupp 8162   ↑_m cmap 8830  Fincfn 8956   finSupp cfsupp 9335  ℂcc 11126  ℝcr 11127  0cc0 11128   − cmin 11469  2c2 12323  ↑cexp 14129  Σcsu 15777  distcds 17357  ℝ^crrx 25617

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14399  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-clim 15579  df-sum 15778

This theorem is used by:  rrxmet  25642