Theorem rrxmetlem 25734

Description: Lemma for rrxmet 25735. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrxmval.1	⊢ 𝑋 = {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
rrxmval.d	⊢ 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
rrxmetlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
rrxmetlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑋)
rrxmetlem.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑋)
rrxmetlem.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐼)
rrxmetlem.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
rrxmetlem.6	⊢ (𝜑 → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
rrxmetlem	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   ℎ,𝐹,𝑘   ℎ,𝐺,𝑘   ℎ,𝐼,𝑘   ℎ,𝑉,𝑘   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(ℎ)   𝐷(ℎ, 𝑘)   𝑋(ℎ)

Proof of Theorem rrxmetlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrxmetlem.6	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ⊆ 𝐴)
2		rrxmetlem.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐼)
3	1, 2	sstrd 3918	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ⊆ 𝐼)
4	3	sselda 3908	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → 𝑘 ∈ 𝐼)
5		rrxmval.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
6		rrxmetlem.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑋)
7	5, 6	rrxf 25728	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶ℝ)
8	7	ffvelcdmda 7085	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11341	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
10	4, 9	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
11		rrxmetlem.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑋)
12	5, 11	rrxf 25728	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶ℝ)
13	12	ffvelcdmda 7085	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
14	13	recnd 11341	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
15	4, 14	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
16	10, 15	subcld 11673	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)) ∈ ℂ)
17	16	sqcld 14291	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2) ∈ ℂ)
18	2	ssdifd 4081	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) ⊆ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))))
19	18	sselda 3908	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))))
20		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))))
21	20	eldifad 4051	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → 𝑘 ∈ 𝐼)
22	21, 9	syldan 603	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
23		ssun1 4176	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
25		rrxmetlem.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
26		0red 11315	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
27	7, 24, 25, 26	suppssr 8216	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐹‘𝑘) = 0)
28		ssun2 4177	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
30	12, 29, 25, 26	suppssr 8216	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐺‘𝑘) = 0)
31	27, 30	eqtr4d 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
32	22, 31	subeq0bd 11746	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)) = 0)
33	32	sq0id 14341	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2) = 0)
34	19, 33	syldan 603	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2) = 0)
35		rrxmetlem.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
36	1, 17, 34, 35	fsumss 15897	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045   ∪ cun 4149   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   supp csupp 8180   ↑_m cmap 8851  Fincfn 8977   finSupp cfsupp 9357  ℂcc 11202  ℝcr 11203  0cc0 11204   − cmin 11545  2c2 12401  ↑cexp 14208  Σcsu 15859  distcds 17443  ℝ^crrx 25710

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8181  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-map 8853  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-sup 9438  df-oi 9508  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-rp 13125  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-seq 14149  df-exp 14209  df-hash 14479  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-clim 15661  df-sum 15860

This theorem is used by:  rrxmet  25735