MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trirn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trirn 24297
Description: Triangle inequality in R^n. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
csbrn.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
csbrn.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
csbrn.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
trirn (𝜑 → (√‘Σ𝑘𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2)) ≤ ((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem trirn
StepHypRef Expression
1 csbrn.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 csbrn.2 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
32resqcld 13817 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
4 2re 11904 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
5 csbrn.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
62, 5remulcld 10863 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
7 remulcl 10814 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
84, 6, 7sylancr 590 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
93, 8readdcld 10862 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) ∈ ℝ)
101, 9fsumrecl 15298 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) ∈ ℝ)
111, 3fsumrecl 15298 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) ∈ ℝ)
125resqcld 13817 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
131, 12fsumrecl 15298 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2) ∈ ℝ)
1411, 13remulcld 10863 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
152sqge0d 13818 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ (𝐵↑2))
161, 3, 15fsumge0 15359 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2))
175sqge0d 13818 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ (𝐶↑2))
181, 12, 17fsumge0 15359 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))
1911, 13, 16, 18mulge0d 11409 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
2014, 19resqrtcld 14981 . . . . . 6 (𝜑 → (√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ)
21 remulcl 10814 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ (√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ) → (2 · (√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))) ∈ ℝ)
224, 20, 21sylancr 590 . . . . 5 (𝜑 → (2 · (√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))) ∈ ℝ)
2311, 22readdcld 10862 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) + (2 · (√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))) ∈ ℝ)
243recnd 10861 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
258recnd 10861 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
261, 24, 25fsumadd 15304 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) + Σ𝑘𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶))))
271, 8fsumrecl 15298 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
28 2cnd 11908 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
296recnd 10861 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
301, 28, 29fsummulc2 15348 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) = Σ𝑘𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)))
311, 6fsumrecl 15298 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
3231recnd 10861 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
3332abscld 15000 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
3431leabsd 14978 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶) ≤ (abs‘Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)))
351, 2, 5csbren 24296 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ≤ (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
36 absresq 14866 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ → ((abs‘Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2))
3731, 36syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2))
38 resqrtth 14819 . . . . . . . . . . . 12 (((Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))) → ((√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))↑2) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
3914, 19, 38syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))↑2) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
4035, 37, 393brtr4d 5085 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) ≤ ((√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))↑2))
4132absge0d 15008 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)))
4214, 19sqrtge0d 14984 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ (√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))
4333, 20, 41, 42le2sqd 13826 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ≤ (√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))) ↔ ((abs‘Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) ≤ ((√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))↑2)))
4440, 43mpbird 260 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ≤ (√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))
4531, 33, 20, 34, 44letrd 10989 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶) ≤ (√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))
464a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
47 2pos 11933 . . . . . . . . . 10 0 < 2
4847a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < 2)
49 lemul2 11685 . . . . . . . . 9 ((Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ (√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶) ≤ (√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))) ↔ (2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ≤ (2 · (√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))))
5031, 20, 46, 48, 49syl112anc 1376 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶) ≤ (√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))) ↔ (2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ≤ (2 · (√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))))
5145, 50mpbid 235 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ≤ (2 · (√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))))
5230, 51eqbrtrrd 5077 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)) ≤ (2 · (√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))))
5327, 22, 11, 52leadd2dd 11447 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) + Σ𝑘𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶))) ≤ (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) + (2 · (√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))))
5426, 53eqbrtrd 5075 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) ≤ (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) + (2 · (√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))))
5510, 23, 13, 54leadd1dd 11446 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)) ≤ ((Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) + (2 · (√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))) + Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
562, 5readdcld 10862 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
5756resqcld 13817 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝐵 + 𝐶)↑2) ∈ ℝ)
581, 57fsumrecl 15298 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2) ∈ ℝ)
5956sqge0d 13818 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ ((𝐵 + 𝐶)↑2))
601, 57, 59fsumge0 15359 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))
61 resqrtth 14819 . . . . 5 ((Σ𝑘𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2)) → ((√‘Σ𝑘𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))↑2) = Σ𝑘𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))
6258, 60, 61syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ((√‘Σ𝑘𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))↑2) = Σ𝑘𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))
632recnd 10861 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
645recnd 10861 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
65 binom2 13785 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 + 𝐶)↑2) = (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
6663, 64, 65syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝐵 + 𝐶)↑2) = (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
6766sumeq2dv 15267 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2) = Σ𝑘𝐴 (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
689recnd 10861 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) ∈ ℂ)
6912recnd 10861 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
701, 68, 69fsumadd 15304 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) = (Σ𝑘𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
7167, 70eqtrd 2777 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2) = (Σ𝑘𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
7262, 71eqtrd 2777 . . 3 (𝜑 → ((√‘Σ𝑘𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))↑2) = (Σ𝑘𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
7311, 16resqrtcld 14981 . . . . . 6 (𝜑 → (√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
7473recnd 10861 . . . . 5 (𝜑 → (√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
7513, 18resqrtcld 14981 . . . . . 6 (𝜑 → (√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
7675recnd 10861 . . . . 5 (𝜑 → (√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
77 binom2 13785 . . . . 5 (((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2)) ∈ ℂ ∧ (√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℂ) → (((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))↑2) = ((((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2))↑2) + (2 · ((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2)) · (√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))) + ((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))↑2)))
7874, 76, 77syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))↑2) = ((((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2))↑2) + (2 · ((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2)) · (√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))) + ((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))↑2)))
79 resqrtth 14819 . . . . . . 7 ((Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2)) → ((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2))↑2) = Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2))
8011, 16, 79syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → ((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2))↑2) = Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2))
8111, 16, 13, 18sqrtmuld 14988 . . . . . . . 8 (𝜑 → (√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))) = ((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2)) · (√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))
8281eqcomd 2743 . . . . . . 7 (𝜑 → ((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2)) · (√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))) = (√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))
8382oveq2d 7229 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · ((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2)) · (√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))) = (2 · (√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))))
8480, 83oveq12d 7231 . . . . 5 (𝜑 → (((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2))↑2) + (2 · ((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2)) · (√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) + (2 · (√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))))
85 resqrtth 14819 . . . . . 6 ((Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)) → ((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))↑2) = Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))
8613, 18, 85syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → ((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))↑2) = Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))
8784, 86oveq12d 7231 . . . 4 (𝜑 → ((((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2))↑2) + (2 · ((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2)) · (√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))) + ((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))↑2)) = ((Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) + (2 · (√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))) + Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
8878, 87eqtrd 2777 . . 3 (𝜑 → (((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))↑2) = ((Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) + (2 · (√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))) + Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
8955, 72, 883brtr4d 5085 . 2 (𝜑 → ((√‘Σ𝑘𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))↑2) ≤ (((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))↑2))
9058, 60resqrtcld 14981 . . 3 (𝜑 → (√‘Σ𝑘𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2)) ∈ ℝ)
9173, 75readdcld 10862 . . 3 (𝜑 → ((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ)
9258, 60sqrtge0d 14984 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (√‘Σ𝑘𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2)))
9311, 16sqrtge0d 14984 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2)))
9413, 18sqrtge0d 14984 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
9573, 75, 93, 94addge0d 11408 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ ((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))
9690, 91, 92, 95le2sqd 13826 . 2 (𝜑 → ((√‘Σ𝑘𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2)) ≤ ((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))) ↔ ((√‘Σ𝑘𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))↑2) ≤ (((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))↑2)))
9789, 96mpbird 260 1 (𝜑 → (√‘Σ𝑘𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2)) ≤ ((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110   class class class wbr 5053  cfv 6380  (class class class)co 7213  Fincfn 8626  cc 10727  cr 10728  0cc0 10729   + caddc 10732   · cmul 10734   < clt 10867  cle 10868  2c2 11885  cexp 13635  csqrt 14796  abscabs 14797  Σcsu 15249
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-ico 12941  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049  df-sum 15250
This theorem is referenced by:  rrxmet  24305  rrnmet  35724
  Copyright terms: Public domain W3C validator