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Theorem trirn 25300

Description: Triangle inequality in R^n. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
csbrn.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
csbrn.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
csbrn.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)

**Assertion**
Ref	Expression
trirn	⊢ (𝜑 → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2)) ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑘 𝜑,𝑘 Allowed substitution hints: 𝐵(𝑘) 𝐶(𝑘)

**Proof of Theorem trirn**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbrn.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		csbrn.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3	2	resqcld 14090	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
4		2re 12260	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
5		csbrn.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
6	2, 5	remulcld 11204	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
7		remulcl 11153	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
8	4, 6, 7	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
9	3, 8	readdcld 11203	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) ∈ ℝ)
10	1, 9	fsumrecl 15700	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) ∈ ℝ)
11	1, 3	fsumrecl 15700	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) ∈ ℝ)
12	5	resqcld 14090	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
13	1, 12	fsumrecl 15700	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2) ∈ ℝ)
14	11, 13	remulcld 11204	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
15	2	sqge0d 14102	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐵↑2))
16	1, 3, 15	fsumge0 15761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2))
17	5	sqge0d 14102	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐶↑2))
18	1, 12, 17	fsumge0 15761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))
19	11, 13, 16, 18	mulge0d 11755	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
20	14, 19	resqrtcld 15384	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ)
21		remulcl 11153	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ) → (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))) ∈ ℝ)
22	4, 20, 21	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))) ∈ ℝ)
23	11, 22	readdcld 11203	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) ∈ ℝ)
24	3	recnd 11202	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
25	8	recnd 11202	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
26	1, 24, 25	fsumadd 15706	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶))))
27	1, 8	fsumrecl 15700	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
28		2cnd 12264	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
29	6	recnd 11202	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
30	1, 28, 29	fsummulc2 15750	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)))
31	1, 6	fsumrecl 15700	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
32	31	recnd 11202	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
33	32	abscld 15405	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
34	31	leabsd 15381	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)))
35	1, 2, 5	csbren 25299	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
36		absresq 15268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ → ((abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2))
37	31, 36	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2))
38		resqrtth 15221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) → ((√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
39	14, 19, 38	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
40	35, 37, 39	3brtr4d 5139	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) ≤ ((√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2))
41	32	absge0d 15413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)))
42	14, 19	sqrtge0d 15387	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))
43	33, 20, 41, 42	le2sqd 14222	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ≤ (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ↔ ((abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) ≤ ((√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2)))
44	40, 43	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ≤ (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))
45	31, 33, 20, 34, 44	letrd 11331	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ≤ (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))
46	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
47		2pos 12289	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
48	47	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
49		lemul2 12035	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ≤ (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ↔ (2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ≤ (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))))
50	31, 20, 46, 48, 49	syl112anc 1376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ≤ (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ↔ (2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ≤ (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))))
51	45, 50	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ≤ (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))))
52	30, 51	eqbrtrrd 5131	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)) ≤ (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))))
53	27, 22, 11, 52	leadd2dd 11793	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶))) ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))))
54	26, 53	eqbrtrd 5129	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))))
55	10, 23, 13, 54	leadd1dd 11792	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ≤ ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
56	2, 5	readdcld 11203	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
57	56	resqcld 14090	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐵 + 𝐶)↑2) ∈ ℝ)
58	1, 57	fsumrecl 15700	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2) ∈ ℝ)
59	56	sqge0d 14102	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ ((𝐵 + 𝐶)↑2))
60	1, 57, 59	fsumge0 15761	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))
61		resqrtth 15221	. . . . 5 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))
62	58, 60, 61	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))
63	2	recnd 11202	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
64	5	recnd 11202	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
65		binom2 14182	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 + 𝐶)↑2) = (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
66	63, 64, 65	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐵 + 𝐶)↑2) = (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
67	66	sumeq2dv 15668	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
68	9	recnd 11202	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) ∈ ℂ)
69	12	recnd 11202	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
70	1, 68, 69	fsumadd 15706	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
71	67, 70	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
72	62, 71	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))↑2) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
73	11, 16	resqrtcld 15384	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
74	73	recnd 11202	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
75	13, 18	resqrtcld 15384	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
76	75	recnd 11202	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
77		binom2 14182	. . . . 5 ⊢ (((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) ∈ ℂ ∧ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℂ) → (((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2) = ((((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2))↑2) + (2 · ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) · (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) + ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))↑2)))
78	74, 76, 77	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2) = ((((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2))↑2) + (2 · ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) · (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) + ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))↑2)))
79		resqrtth 15221	. . . . . . 7 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2))
80	11, 16, 79	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2))
81	11, 16, 13, 18	sqrtmuld 15391	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) = ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) · (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))
82	81	eqcomd 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) · (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) = (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))
83	82	oveq2d 7403	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) · (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))) = (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))))
84	80, 83	oveq12d 7405	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2))↑2) + (2 · ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) · (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))))
85		resqrtth 15221	. . . . . 6 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))
86	13, 18, 85	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))
87	84, 86	oveq12d 7405	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2))↑2) + (2 · ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) · (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) + ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))↑2)) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
88	78, 87	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
89	55, 72, 88	3brtr4d 5139	. 2 ⊢ (𝜑 → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))↑2) ≤ (((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2))
90	58, 60	resqrtcld 15384	. . 3 ⊢ (𝜑 → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2)) ∈ ℝ)
91	73, 75	readdcld 11203	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ)
92	58, 60	sqrtge0d 15387	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2)))
93	11, 16	sqrtge0d 15387	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)))
94	13, 18	sqrtge0d 15387	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
95	73, 75, 93, 94	addge0d 11754	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))
96	90, 91, 92, 95	le2sqd 14222	. 2 ⊢ (𝜑 → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2)) ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ↔ ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))↑2) ≤ (((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2)))
97	89, 96	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2)) ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 class class class wbr 5107 ‘cfv 6511 (class class class)co 7387 Fincfn 8918 ℂcc 11066 ℝcr 11067 0cc0 11068 + caddc 11071 · cmul 11073 < clt 11208 ≤ cle 11209 2c2 12241 ↑cexp 14026 √csqrt 15199 abscabs 15200 Σcsu 15652

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-rep 5234 ax-sep 5251 ax-nul 5261 ax-pow 5320 ax-pr 5387 ax-un 7711 ax-inf2 9594 ax-cnex 11124 ax-resscn 11125 ax-1cn 11126 ax-icn 11127 ax-addcl 11128 ax-addrcl 11129 ax-mulcl 11130 ax-mulrcl 11131 ax-mulcom 11132 ax-addass 11133 ax-mulass 11134 ax-distr 11135 ax-i2m1 11136 ax-1ne0 11137 ax-1rid 11138 ax-rnegex 11139 ax-rrecex 11140 ax-cnre 11141 ax-pre-lttri 11142 ax-pre-lttrn 11143 ax-pre-ltadd 11144 ax-pre-mulgt0 11145 ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3354 df-reu 3355 df-rab 3406 df-v 3449 df-sbc 3754 df-csb 3863 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-pss 3934 df-nul 4297 df-if 4489 df-pw 4565 df-sn 4590 df-pr 4592 df-op 4596 df-uni 4872 df-int 4911 df-iun 4957 df-br 5108 df-opab 5170 df-mpt 5189 df-tr 5215 df-id 5533 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5591 df-se 5592 df-we 5593 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-pred 6274 df-ord 6335 df-on 6336 df-lim 6337 df-suc 6338 df-iota 6464 df-fun 6513 df-fn 6514 df-f 6515 df-f1 6516 df-fo 6517 df-f1o 6518 df-fv 6519 df-isom 6520 df-riota 7344 df-ov 7390 df-oprab 7391 df-mpo 7392 df-om 7843 df-1st 7968 df-2nd 7969 df-frecs 8260 df-wrecs 8291 df-recs 8340 df-rdg 8378 df-1o 8434 df-er 8671 df-en 8919 df-dom 8920 df-sdom 8921 df-fin 8922 df-sup 9393 df-oi 9463 df-card 9892 df-pnf 11210 df-mnf 11211 df-xr 11212 df-ltxr 11213 df-le 11214 df-sub 11407 df-neg 11408 df-div 11836 df-nn 12187 df-2 12249 df-3 12250 df-4 12251 df-n0 12443 df-z 12530 df-uz 12794 df-rp 12952 df-ico 13312 df-fz 13469 df-fzo 13616 df-seq 13967 df-exp 14027 df-hash 14296 df-cj 15065 df-re 15066 df-im 15067 df-sqrt 15201 df-abs 15202 df-clim 15454 df-sum 15653

This theorem is referenced by: rrxmet 25308 rrnmet 37823

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