MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trirn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trirn 25341
Description: Triangle inequality in R^n. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
csbrn.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
csbrn.2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
csbrn.3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
Assertion
Ref Expression
trirn (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2)) โ‰ค ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐œ‘,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘˜)   ๐ถ(๐‘˜)

Proof of Theorem trirn
StepHypRef Expression
1 csbrn.1 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
2 csbrn.2 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
32resqcld 14122 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„)
4 2re 12317 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„
5 csbrn.3 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
62, 5remulcld 11275 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
7 remulcl 11224 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„)
84, 6, 7sylancr 586 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„)
93, 8readdcld 11274 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) + (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))) โˆˆ โ„)
101, 9fsumrecl 15713 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ตโ†‘2) + (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))) โˆˆ โ„)
111, 3fsumrecl 15713 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„)
125resqcld 14122 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„)
131, 12fsumrecl 15713 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„)
1411, 13remulcld 11275 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„)
152sqge0d 14134 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (๐ตโ†‘2))
161, 3, 15fsumge0 15774 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2))
175sqge0d 14134 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (๐ถโ†‘2))
181, 12, 17fsumge0 15774 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))
1911, 13, 16, 18mulge0d 11822 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))
2014, 19resqrtcld 15397 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))) โˆˆ โ„)
21 remulcl 11224 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„ โˆง (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))) โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))) โˆˆ โ„)
224, 20, 21sylancr 586 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))) โˆˆ โ„)
2311, 22readdcld 11274 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) + (2 ยท (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))) โˆˆ โ„)
243recnd 11273 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
258recnd 11273 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
261, 24, 25fsumadd 15719 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ตโ†‘2) + (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))))
271, 8fsumrecl 15713 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„)
28 2cnd 12321 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
296recnd 11273 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
301, 28, 29fsummulc2 15763 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)))
311, 6fsumrecl 15713 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
3231recnd 11273 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
3332abscld 15416 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„)
3431leabsd 15394 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ) โ‰ค (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)))
351, 2, 5csbren 25340 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)โ†‘2) โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))
36 absresq 15282 . . . . . . . . . . . 12 (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ โ†’ ((absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)โ†‘2))
3731, 36syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)โ†‘2))
38 resqrtth 15235 . . . . . . . . . . . 12 (((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))) โ†’ ((โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))โ†‘2) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))
3914, 19, 38syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))โ†‘2) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))
4035, 37, 393brtr4d 5180 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โ‰ค ((โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))โ†‘2))
4132absge0d 15424 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)))
4214, 19sqrtge0d 15400 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))
4333, 20, 41, 42le2sqd 14252 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)) โ‰ค (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))) โ†” ((absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โ‰ค ((โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))โ†‘2)))
4440, 43mpbird 257 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)) โ‰ค (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))
4531, 33, 20, 34, 44letrd 11402 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ) โ‰ค (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))
464a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
47 2pos 12346 . . . . . . . . . 10 0 < 2
4847a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 0 < 2)
49 lemul2 12098 . . . . . . . . 9 ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))) โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ) โ‰ค (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))) โ†” (2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)) โ‰ค (2 ยท (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))))
5031, 20, 46, 48, 49syl112anc 1372 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ) โ‰ค (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))) โ†” (2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)) โ‰ค (2 ยท (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))))
5145, 50mpbid 231 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)) โ‰ค (2 ยท (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))))
5230, 51eqbrtrrd 5172 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โ‰ค (2 ยท (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))))
5327, 22, 11, 52leadd2dd 11860 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))) โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) + (2 ยท (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))))
5426, 53eqbrtrd 5170 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ตโ†‘2) + (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))) โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) + (2 ยท (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))))
5510, 23, 13, 54leadd1dd 11859 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ตโ†‘2) + (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)) โ‰ค ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) + (2 ยท (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))
562, 5readdcld 11274 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ต + ๐ถ) โˆˆ โ„)
5756resqcld 14122 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2) โˆˆ โ„)
581, 57fsumrecl 15713 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2) โˆˆ โ„)
5956sqge0d 14134 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2))
601, 57, 59fsumge0 15774 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2))
61 resqrtth 15235 . . . . 5 ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2)) โ†’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2))โ†‘2) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2))
6258, 60, 61syl2anc 583 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2))โ†‘2) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2))
632recnd 11273 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
645recnd 11273 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
65 binom2 14213 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2) = (((๐ตโ†‘2) + (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))) + (๐ถโ†‘2)))
6663, 64, 65syl2anc 583 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2) = (((๐ตโ†‘2) + (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))) + (๐ถโ†‘2)))
6766sumeq2dv 15682 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (((๐ตโ†‘2) + (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))) + (๐ถโ†‘2)))
689recnd 11273 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) + (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))) โˆˆ โ„‚)
6912recnd 11273 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
701, 68, 69fsumadd 15719 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (((๐ตโ†‘2) + (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))) + (๐ถโ†‘2)) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ตโ†‘2) + (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))
7167, 70eqtrd 2768 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ตโ†‘2) + (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))
7262, 71eqtrd 2768 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2))โ†‘2) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ตโ†‘2) + (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))
7311, 16resqrtcld 15397 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„)
7473recnd 11273 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
7513, 18resqrtcld 15397 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„)
7675recnd 11273 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
77 binom2 14213 . . . . 5 (((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„‚ โˆง (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))โ†‘2) = ((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2))โ†‘2) + (2 ยท ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) ยท (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))) + ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))โ†‘2)))
7874, 76, 77syl2anc 583 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))โ†‘2) = ((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2))โ†‘2) + (2 ยท ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) ยท (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))) + ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))โ†‘2)))
79 resqrtth 15235 . . . . . . 7 ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) โ†’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2))โ†‘2) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2))
8011, 16, 79syl2anc 583 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2))โ†‘2) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2))
8111, 16, 13, 18sqrtmuld 15404 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))) = ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) ยท (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))
8281eqcomd 2734 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) ยท (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))) = (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))
8382oveq2d 7436 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) ยท (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))) = (2 ยท (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))))
8480, 83oveq12d 7438 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2))โ†‘2) + (2 ยท ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) ยท (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) + (2 ยท (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))))
85 resqrtth 15235 . . . . . 6 ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)) โ†’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))โ†‘2) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))
8613, 18, 85syl2anc 583 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))โ†‘2) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))
8784, 86oveq12d 7438 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2))โ†‘2) + (2 ยท ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) ยท (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))) + ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))โ†‘2)) = ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) + (2 ยท (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))
8878, 87eqtrd 2768 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))โ†‘2) = ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) + (2 ยท (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))
8955, 72, 883brtr4d 5180 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2))โ†‘2) โ‰ค (((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))โ†‘2))
9058, 60resqrtcld 15397 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2)) โˆˆ โ„)
9173, 75readdcld 11274 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))) โˆˆ โ„)
9258, 60sqrtge0d 15400 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2)))
9311, 16sqrtge0d 15400 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)))
9413, 18sqrtge0d 15400 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))
9573, 75, 93, 94addge0d 11821 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))
9690, 91, 92, 95le2sqd 14252 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2)) โ‰ค ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))) โ†” ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2))โ†‘2) โ‰ค (((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))โ†‘2)))
9789, 96mpbird 257 1 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2)) โ‰ค ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Fincfn 8964  โ„‚cc 11137  โ„cr 11138  0cc0 11139   + caddc 11142   ยท cmul 11144   < clt 11279   โ‰ค cle 11280  2c2 12298  โ†‘cexp 14059  โˆšcsqrt 15213  abscabs 15214  ฮฃcsu 15665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-ico 13363  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-clim 15465  df-sum 15666
This theorem is referenced by:  rrxmet  25349  rrnmet  37302
  Copyright terms: Public domain W3C validator