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Theorem trirn 25453

Description: Triangle inequality in R^n. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
csbrn.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
csbrn.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
csbrn.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)

**Assertion**
Ref	Expression
trirn	⊢ (𝜑 → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2)) ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑘 𝜑,𝑘 Allowed substitution hints: 𝐵(𝑘) 𝐶(𝑘)

**Proof of Theorem trirn**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbrn.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		csbrn.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3	2	resqcld 14175	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
4		2re 12367	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
5		csbrn.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
6	2, 5	remulcld 11320	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
7		remulcl 11269	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
8	4, 6, 7	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
9	3, 8	readdcld 11319	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) ∈ ℝ)
10	1, 9	fsumrecl 15782	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) ∈ ℝ)
11	1, 3	fsumrecl 15782	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) ∈ ℝ)
12	5	resqcld 14175	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
13	1, 12	fsumrecl 15782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2) ∈ ℝ)
14	11, 13	remulcld 11320	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
15	2	sqge0d 14187	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐵↑2))
16	1, 3, 15	fsumge0 15843	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2))
17	5	sqge0d 14187	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐶↑2))
18	1, 12, 17	fsumge0 15843	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))
19	11, 13, 16, 18	mulge0d 11867	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
20	14, 19	resqrtcld 15466	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ)
21		remulcl 11269	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ) → (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))) ∈ ℝ)
22	4, 20, 21	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))) ∈ ℝ)
23	11, 22	readdcld 11319	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) ∈ ℝ)
24	3	recnd 11318	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
25	8	recnd 11318	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
26	1, 24, 25	fsumadd 15788	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶))))
27	1, 8	fsumrecl 15782	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
28		2cnd 12371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
29	6	recnd 11318	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
30	1, 28, 29	fsummulc2 15832	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)))
31	1, 6	fsumrecl 15782	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
32	31	recnd 11318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
33	32	abscld 15485	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
34	31	leabsd 15463	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)))
35	1, 2, 5	csbren 25452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
36		absresq 15351	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ → ((abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2))
37	31, 36	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2))
38		resqrtth 15304	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) → ((√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
39	14, 19, 38	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
40	35, 37, 39	3brtr4d 5198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) ≤ ((√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2))
41	32	absge0d 15493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)))
42	14, 19	sqrtge0d 15469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))
43	33, 20, 41, 42	le2sqd 14306	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ≤ (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ↔ ((abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) ≤ ((√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2)))
44	40, 43	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ≤ (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))
45	31, 33, 20, 34, 44	letrd 11447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ≤ (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))
46	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
47		2pos 12396	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
48	47	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
49		lemul2 12147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ≤ (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ↔ (2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ≤ (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))))
50	31, 20, 46, 48, 49	syl112anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ≤ (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ↔ (2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ≤ (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))))
51	45, 50	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ≤ (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))))
52	30, 51	eqbrtrrd 5190	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)) ≤ (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))))
53	27, 22, 11, 52	leadd2dd 11905	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶))) ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))))
54	26, 53	eqbrtrd 5188	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))))
55	10, 23, 13, 54	leadd1dd 11904	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ≤ ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
56	2, 5	readdcld 11319	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
57	56	resqcld 14175	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐵 + 𝐶)↑2) ∈ ℝ)
58	1, 57	fsumrecl 15782	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2) ∈ ℝ)
59	56	sqge0d 14187	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ ((𝐵 + 𝐶)↑2))
60	1, 57, 59	fsumge0 15843	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))
61		resqrtth 15304	. . . . 5 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))
62	58, 60, 61	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))
63	2	recnd 11318	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
64	5	recnd 11318	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
65		binom2 14266	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 + 𝐶)↑2) = (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
66	63, 64, 65	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐵 + 𝐶)↑2) = (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
67	66	sumeq2dv 15750	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
68	9	recnd 11318	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) ∈ ℂ)
69	12	recnd 11318	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
70	1, 68, 69	fsumadd 15788	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
71	67, 70	eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
72	62, 71	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))↑2) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
73	11, 16	resqrtcld 15466	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
74	73	recnd 11318	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
75	13, 18	resqrtcld 15466	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
76	75	recnd 11318	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
77		binom2 14266	. . . . 5 ⊢ (((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) ∈ ℂ ∧ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℂ) → (((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2) = ((((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2))↑2) + (2 · ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) · (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) + ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))↑2)))
78	74, 76, 77	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2) = ((((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2))↑2) + (2 · ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) · (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) + ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))↑2)))
79		resqrtth 15304	. . . . . . 7 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2))
80	11, 16, 79	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2))
81	11, 16, 13, 18	sqrtmuld 15473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) = ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) · (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))
82	81	eqcomd 2746	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) · (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) = (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))
83	82	oveq2d 7464	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) · (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))) = (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))))
84	80, 83	oveq12d 7466	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2))↑2) + (2 · ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) · (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))))
85		resqrtth 15304	. . . . . 6 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))
86	13, 18, 85	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))
87	84, 86	oveq12d 7466	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2))↑2) + (2 · ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) · (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) + ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))↑2)) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
88	78, 87	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
89	55, 72, 88	3brtr4d 5198	. 2 ⊢ (𝜑 → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))↑2) ≤ (((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2))
90	58, 60	resqrtcld 15466	. . 3 ⊢ (𝜑 → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2)) ∈ ℝ)
91	73, 75	readdcld 11319	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ)
92	58, 60	sqrtge0d 15469	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2)))
93	11, 16	sqrtge0d 15469	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)))
94	13, 18	sqrtge0d 15469	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
95	73, 75, 93, 94	addge0d 11866	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))
96	90, 91, 92, 95	le2sqd 14306	. 2 ⊢ (𝜑 → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2)) ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ↔ ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))↑2) ≤ (((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2)))
97	89, 96	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2)) ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 = wceq 1537 ∈ wcel 2108 class class class wbr 5166 ‘cfv 6573 (class class class)co 7448 Fincfn 9003 ℂcc 11182 ℝcr 11183 0cc0 11184 + caddc 11187 · cmul 11189 < clt 11324 ≤ cle 11325 2c2 12348 ↑cexp 14112 √csqrt 15282 abscabs 15283 Σcsu 15734

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1793 ax-4 1807 ax-5 1909 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2711 ax-rep 5303 ax-sep 5317 ax-nul 5324 ax-pow 5383 ax-pr 5447 ax-un 7770 ax-inf2 9710 ax-cnex 11240 ax-resscn 11241 ax-1cn 11242 ax-icn 11243 ax-addcl 11244 ax-addrcl 11245 ax-mulcl 11246 ax-mulrcl 11247 ax-mulcom 11248 ax-addass 11249 ax-mulass 11250 ax-distr 11251 ax-i2m1 11252 ax-1ne0 11253 ax-1rid 11254 ax-rnegex 11255 ax-rrecex 11256 ax-cnre 11257 ax-pre-lttri 11258 ax-pre-lttrn 11259 ax-pre-ltadd 11260 ax-pre-mulgt0 11261 ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 847 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1540 df-fal 1550 df-ex 1778 df-nf 1782 df-sb 2065 df-mo 2543 df-eu 2572 df-clab 2718 df-cleq 2732 df-clel 2819 df-nfc 2895 df-ne 2947 df-nel 3053 df-ral 3068 df-rex 3077 df-rmo 3388 df-reu 3389 df-rab 3444 df-v 3490 df-sbc 3805 df-csb 3922 df-dif 3979 df-un 3981 df-in 3983 df-ss 3993 df-pss 3996 df-nul 4353 df-if 4549 df-pw 4624 df-sn 4649 df-pr 4651 df-op 4655 df-uni 4932 df-int 4971 df-iun 5017 df-br 5167 df-opab 5229 df-mpt 5250 df-tr 5284 df-id 5593 df-eprel 5599 df-po 5607 df-so 5608 df-fr 5652 df-se 5653 df-we 5654 df-xp 5706 df-rel 5707 df-cnv 5708 df-co 5709 df-dm 5710 df-rn 5711 df-res 5712 df-ima 5713 df-pred 6332 df-ord 6398 df-on 6399 df-lim 6400 df-suc 6401 df-iota 6525 df-fun 6575 df-fn 6576 df-f 6577 df-f1 6578 df-fo 6579 df-f1o 6580 df-fv 6581 df-isom 6582 df-riota 7404 df-ov 7451 df-oprab 7452 df-mpo 7453 df-om 7904 df-1st 8030 df-2nd 8031 df-frecs 8322 df-wrecs 8353 df-recs 8427 df-rdg 8466 df-1o 8522 df-er 8763 df-en 9004 df-dom 9005 df-sdom 9006 df-fin 9007 df-sup 9511 df-oi 9579 df-card 10008 df-pnf 11326 df-mnf 11327 df-xr 11328 df-ltxr 11329 df-le 11330 df-sub 11522 df-neg 11523 df-div 11948 df-nn 12294 df-2 12356 df-3 12357 df-4 12358 df-n0 12554 df-z 12640 df-uz 12904 df-rp 13058 df-ico 13413 df-fz 13568 df-fzo 13712 df-seq 14053 df-exp 14113 df-hash 14380 df-cj 15148 df-re 15149 df-im 15150 df-sqrt 15284 df-abs 15285 df-clim 15534 df-sum 15735

This theorem is referenced by: rrxmet 25461 rrnmet 37789

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