MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trirn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trirn 24767
Description: Triangle inequality in R^n. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
csbrn.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
csbrn.2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
csbrn.3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
Assertion
Ref Expression
trirn (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2)) โ‰ค ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐œ‘,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘˜)   ๐ถ(๐‘˜)

Proof of Theorem trirn
StepHypRef Expression
1 csbrn.1 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
2 csbrn.2 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
32resqcld 14031 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„)
4 2re 12228 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„
5 csbrn.3 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
62, 5remulcld 11186 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
7 remulcl 11137 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„)
84, 6, 7sylancr 588 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„)
93, 8readdcld 11185 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) + (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))) โˆˆ โ„)
101, 9fsumrecl 15620 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ตโ†‘2) + (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))) โˆˆ โ„)
111, 3fsumrecl 15620 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„)
125resqcld 14031 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„)
131, 12fsumrecl 15620 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„)
1411, 13remulcld 11186 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„)
152sqge0d 14043 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (๐ตโ†‘2))
161, 3, 15fsumge0 15681 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2))
175sqge0d 14043 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (๐ถโ†‘2))
181, 12, 17fsumge0 15681 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))
1911, 13, 16, 18mulge0d 11733 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))
2014, 19resqrtcld 15303 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))) โˆˆ โ„)
21 remulcl 11137 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„ โˆง (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))) โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))) โˆˆ โ„)
224, 20, 21sylancr 588 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))) โˆˆ โ„)
2311, 22readdcld 11185 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) + (2 ยท (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))) โˆˆ โ„)
243recnd 11184 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
258recnd 11184 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
261, 24, 25fsumadd 15626 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ตโ†‘2) + (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))))
271, 8fsumrecl 15620 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„)
28 2cnd 12232 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
296recnd 11184 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
301, 28, 29fsummulc2 15670 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)))
311, 6fsumrecl 15620 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
3231recnd 11184 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
3332abscld 15322 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„)
3431leabsd 15300 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ) โ‰ค (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)))
351, 2, 5csbren 24766 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)โ†‘2) โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))
36 absresq 15188 . . . . . . . . . . . 12 (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ โ†’ ((absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)โ†‘2))
3731, 36syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)โ†‘2))
38 resqrtth 15141 . . . . . . . . . . . 12 (((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))) โ†’ ((โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))โ†‘2) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))
3914, 19, 38syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))โ†‘2) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))
4035, 37, 393brtr4d 5138 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โ‰ค ((โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))โ†‘2))
4132absge0d 15330 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)))
4214, 19sqrtge0d 15306 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))
4333, 20, 41, 42le2sqd 14161 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)) โ‰ค (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))) โ†” ((absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โ‰ค ((โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))โ†‘2)))
4440, 43mpbird 257 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)) โ‰ค (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))
4531, 33, 20, 34, 44letrd 11313 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ) โ‰ค (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))
464a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
47 2pos 12257 . . . . . . . . . 10 0 < 2
4847a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 0 < 2)
49 lemul2 12009 . . . . . . . . 9 ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))) โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ) โ‰ค (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))) โ†” (2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)) โ‰ค (2 ยท (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))))
5031, 20, 46, 48, 49syl112anc 1375 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ) โ‰ค (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))) โ†” (2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)) โ‰ค (2 ยท (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))))
5145, 50mpbid 231 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)) โ‰ค (2 ยท (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))))
5230, 51eqbrtrrd 5130 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โ‰ค (2 ยท (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))))
5327, 22, 11, 52leadd2dd 11771 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))) โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) + (2 ยท (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))))
5426, 53eqbrtrd 5128 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ตโ†‘2) + (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))) โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) + (2 ยท (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))))
5510, 23, 13, 54leadd1dd 11770 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ตโ†‘2) + (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)) โ‰ค ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) + (2 ยท (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))
562, 5readdcld 11185 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ต + ๐ถ) โˆˆ โ„)
5756resqcld 14031 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2) โˆˆ โ„)
581, 57fsumrecl 15620 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2) โˆˆ โ„)
5956sqge0d 14043 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2))
601, 57, 59fsumge0 15681 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2))
61 resqrtth 15141 . . . . 5 ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2)) โ†’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2))โ†‘2) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2))
6258, 60, 61syl2anc 585 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2))โ†‘2) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2))
632recnd 11184 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
645recnd 11184 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
65 binom2 14122 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2) = (((๐ตโ†‘2) + (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))) + (๐ถโ†‘2)))
6663, 64, 65syl2anc 585 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2) = (((๐ตโ†‘2) + (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))) + (๐ถโ†‘2)))
6766sumeq2dv 15589 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (((๐ตโ†‘2) + (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))) + (๐ถโ†‘2)))
689recnd 11184 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) + (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))) โˆˆ โ„‚)
6912recnd 11184 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
701, 68, 69fsumadd 15626 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (((๐ตโ†‘2) + (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))) + (๐ถโ†‘2)) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ตโ†‘2) + (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))
7167, 70eqtrd 2777 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ตโ†‘2) + (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))
7262, 71eqtrd 2777 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2))โ†‘2) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ตโ†‘2) + (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))
7311, 16resqrtcld 15303 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„)
7473recnd 11184 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
7513, 18resqrtcld 15303 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„)
7675recnd 11184 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
77 binom2 14122 . . . . 5 (((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„‚ โˆง (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))โ†‘2) = ((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2))โ†‘2) + (2 ยท ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) ยท (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))) + ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))โ†‘2)))
7874, 76, 77syl2anc 585 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))โ†‘2) = ((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2))โ†‘2) + (2 ยท ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) ยท (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))) + ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))โ†‘2)))
79 resqrtth 15141 . . . . . . 7 ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) โ†’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2))โ†‘2) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2))
8011, 16, 79syl2anc 585 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2))โ†‘2) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2))
8111, 16, 13, 18sqrtmuld 15310 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))) = ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) ยท (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))
8281eqcomd 2743 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) ยท (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))) = (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))
8382oveq2d 7374 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) ยท (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))) = (2 ยท (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))))
8480, 83oveq12d 7376 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2))โ†‘2) + (2 ยท ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) ยท (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) + (2 ยท (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))))
85 resqrtth 15141 . . . . . 6 ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)) โ†’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))โ†‘2) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))
8613, 18, 85syl2anc 585 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))โ†‘2) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))
8784, 86oveq12d 7376 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2))โ†‘2) + (2 ยท ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) ยท (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))) + ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))โ†‘2)) = ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) + (2 ยท (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))
8878, 87eqtrd 2777 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))โ†‘2) = ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) + (2 ยท (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))
8955, 72, 883brtr4d 5138 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2))โ†‘2) โ‰ค (((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))โ†‘2))
9058, 60resqrtcld 15303 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2)) โˆˆ โ„)
9173, 75readdcld 11185 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))) โˆˆ โ„)
9258, 60sqrtge0d 15306 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2)))
9311, 16sqrtge0d 15306 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)))
9413, 18sqrtge0d 15306 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))
9573, 75, 93, 94addge0d 11732 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))
9690, 91, 92, 95le2sqd 14161 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2)) โ‰ค ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))) โ†” ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2))โ†‘2) โ‰ค (((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))โ†‘2)))
9789, 96mpbird 257 1 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2)) โ‰ค ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8884  โ„‚cc 11050  โ„cr 11051  0cc0 11052   + caddc 11055   ยท cmul 11057   < clt 11190   โ‰ค cle 11191  2c2 12209  โ†‘cexp 13968  โˆšcsqrt 15119  abscabs 15120  ฮฃcsu 15571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-oi 9447  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-ico 13271  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371  df-sum 15572
This theorem is referenced by:  rrxmet  24775  rrnmet  36291
  Copyright terms: Public domain W3C validator