MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trirn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trirn 25448
Description: Triangle inequality in R^n. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
csbrn.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
csbrn.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
csbrn.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
trirn (𝜑 → (√‘Σ𝑘𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2)) ≤ ((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem trirn
StepHypRef Expression
1 csbrn.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 csbrn.2 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
32resqcld 14162 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
4 2re 12338 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
5 csbrn.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
62, 5remulcld 11289 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
7 remulcl 11238 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
84, 6, 7sylancr 587 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
93, 8readdcld 11288 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) ∈ ℝ)
101, 9fsumrecl 15767 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) ∈ ℝ)
111, 3fsumrecl 15767 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) ∈ ℝ)
125resqcld 14162 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
131, 12fsumrecl 15767 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2) ∈ ℝ)
1411, 13remulcld 11289 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
152sqge0d 14174 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ (𝐵↑2))
161, 3, 15fsumge0 15828 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2))
175sqge0d 14174 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ (𝐶↑2))
181, 12, 17fsumge0 15828 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))
1911, 13, 16, 18mulge0d 11838 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
2014, 19resqrtcld 15453 . . . . . 6 (𝜑 → (√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ)
21 remulcl 11238 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ (√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ) → (2 · (√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))) ∈ ℝ)
224, 20, 21sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → (2 · (√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))) ∈ ℝ)
2311, 22readdcld 11288 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) + (2 · (√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))) ∈ ℝ)
243recnd 11287 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
258recnd 11287 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
261, 24, 25fsumadd 15773 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) + Σ𝑘𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶))))
271, 8fsumrecl 15767 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
28 2cnd 12342 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
296recnd 11287 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
301, 28, 29fsummulc2 15817 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) = Σ𝑘𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)))
311, 6fsumrecl 15767 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
3231recnd 11287 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
3332abscld 15472 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
3431leabsd 15450 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶) ≤ (abs‘Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)))
351, 2, 5csbren 25447 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ≤ (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
36 absresq 15338 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ → ((abs‘Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2))
3731, 36syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2))
38 resqrtth 15291 . . . . . . . . . . . 12 (((Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))) → ((√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))↑2) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
3914, 19, 38syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))↑2) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
4035, 37, 393brtr4d 5180 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) ≤ ((√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))↑2))
4132absge0d 15480 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)))
4214, 19sqrtge0d 15456 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ (√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))
4333, 20, 41, 42le2sqd 14293 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ≤ (√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))) ↔ ((abs‘Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) ≤ ((√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))↑2)))
4440, 43mpbird 257 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ≤ (√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))
4531, 33, 20, 34, 44letrd 11416 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶) ≤ (√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))
464a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
47 2pos 12367 . . . . . . . . . 10 0 < 2
4847a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < 2)
49 lemul2 12118 . . . . . . . . 9 ((Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ (√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶) ≤ (√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))) ↔ (2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ≤ (2 · (√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))))
5031, 20, 46, 48, 49syl112anc 1373 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶) ≤ (√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))) ↔ (2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ≤ (2 · (√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))))
5145, 50mpbid 232 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ≤ (2 · (√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))))
5230, 51eqbrtrrd 5172 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)) ≤ (2 · (√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))))
5327, 22, 11, 52leadd2dd 11876 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) + Σ𝑘𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶))) ≤ (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) + (2 · (√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))))
5426, 53eqbrtrd 5170 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) ≤ (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) + (2 · (√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))))
5510, 23, 13, 54leadd1dd 11875 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)) ≤ ((Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) + (2 · (√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))) + Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
562, 5readdcld 11288 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
5756resqcld 14162 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝐵 + 𝐶)↑2) ∈ ℝ)
581, 57fsumrecl 15767 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2) ∈ ℝ)
5956sqge0d 14174 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ ((𝐵 + 𝐶)↑2))
601, 57, 59fsumge0 15828 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))
61 resqrtth 15291 . . . . 5 ((Σ𝑘𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2)) → ((√‘Σ𝑘𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))↑2) = Σ𝑘𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))
6258, 60, 61syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((√‘Σ𝑘𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))↑2) = Σ𝑘𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))
632recnd 11287 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
645recnd 11287 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
65 binom2 14253 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 + 𝐶)↑2) = (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
6663, 64, 65syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝐵 + 𝐶)↑2) = (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
6766sumeq2dv 15735 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2) = Σ𝑘𝐴 (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
689recnd 11287 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) ∈ ℂ)
6912recnd 11287 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
701, 68, 69fsumadd 15773 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) = (Σ𝑘𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
7167, 70eqtrd 2775 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2) = (Σ𝑘𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
7262, 71eqtrd 2775 . . 3 (𝜑 → ((√‘Σ𝑘𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))↑2) = (Σ𝑘𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
7311, 16resqrtcld 15453 . . . . . 6 (𝜑 → (√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
7473recnd 11287 . . . . 5 (𝜑 → (√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
7513, 18resqrtcld 15453 . . . . . 6 (𝜑 → (√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
7675recnd 11287 . . . . 5 (𝜑 → (√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
77 binom2 14253 . . . . 5 (((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2)) ∈ ℂ ∧ (√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℂ) → (((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))↑2) = ((((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2))↑2) + (2 · ((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2)) · (√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))) + ((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))↑2)))
7874, 76, 77syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))↑2) = ((((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2))↑2) + (2 · ((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2)) · (√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))) + ((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))↑2)))
79 resqrtth 15291 . . . . . . 7 ((Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2)) → ((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2))↑2) = Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2))
8011, 16, 79syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2))↑2) = Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2))
8111, 16, 13, 18sqrtmuld 15460 . . . . . . . 8 (𝜑 → (√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))) = ((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2)) · (√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))
8281eqcomd 2741 . . . . . . 7 (𝜑 → ((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2)) · (√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))) = (√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))
8382oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · ((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2)) · (√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))) = (2 · (√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))))
8480, 83oveq12d 7449 . . . . 5 (𝜑 → (((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2))↑2) + (2 · ((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2)) · (√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) + (2 · (√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))))
85 resqrtth 15291 . . . . . 6 ((Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)) → ((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))↑2) = Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))
8613, 18, 85syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))↑2) = Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))
8784, 86oveq12d 7449 . . . 4 (𝜑 → ((((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2))↑2) + (2 · ((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2)) · (√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))) + ((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))↑2)) = ((Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) + (2 · (√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))) + Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
8878, 87eqtrd 2775 . . 3 (𝜑 → (((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))↑2) = ((Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) + (2 · (√‘(Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))) + Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
8955, 72, 883brtr4d 5180 . 2 (𝜑 → ((√‘Σ𝑘𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))↑2) ≤ (((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))↑2))
9058, 60resqrtcld 15453 . . 3 (𝜑 → (√‘Σ𝑘𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2)) ∈ ℝ)
9173, 75readdcld 11288 . . 3 (𝜑 → ((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ)
9258, 60sqrtge0d 15456 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (√‘Σ𝑘𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2)))
9311, 16sqrtge0d 15456 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2)))
9413, 18sqrtge0d 15456 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
9573, 75, 93, 94addge0d 11837 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ ((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))
9690, 91, 92, 95le2sqd 14293 . 2 (𝜑 → ((√‘Σ𝑘𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2)) ≤ ((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))) ↔ ((√‘Σ𝑘𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))↑2) ≤ (((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))↑2)))
9789, 96mpbird 257 1 (𝜑 → (√‘Σ𝑘𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2)) ≤ ((√‘Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  2c2 12319  cexp 14099  csqrt 15269  abscabs 15270  Σcsu 15719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ico 13390  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720
This theorem is referenced by:  rrxmet  25456  rrnmet  37816
  Copyright terms: Public domain W3C validator