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Theorem trirn 23568

Description: Triangle inequality in R^n. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
csbrn.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
csbrn.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
csbrn.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)

**Assertion**
Ref	Expression
trirn	⊢ (𝜑 → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2)) ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑘 𝜑,𝑘 Allowed substitution hints: 𝐵(𝑘) 𝐶(𝑘)

**Proof of Theorem trirn**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbrn.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		csbrn.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3	2	resqcld 13331	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
4		2re 11425	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
5		csbrn.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
6	2, 5	remulcld 10387	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
7		remulcl 10337	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
8	4, 6, 7	sylancr 581	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
9	3, 8	readdcld 10386	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) ∈ ℝ)
10	1, 9	fsumrecl 14842	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) ∈ ℝ)
11	1, 3	fsumrecl 14842	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) ∈ ℝ)
12	5	resqcld 13331	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
13	1, 12	fsumrecl 14842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2) ∈ ℝ)
14	11, 13	remulcld 10387	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
15	2	sqge0d 13332	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐵↑2))
16	1, 3, 15	fsumge0 14901	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2))
17	5	sqge0d 13332	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐶↑2))
18	1, 12, 17	fsumge0 14901	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))
19	11, 13, 16, 18	mulge0d 10929	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
20	14, 19	resqrtcld 14533	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ)
21		remulcl 10337	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ) → (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))) ∈ ℝ)
22	4, 20, 21	sylancr 581	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))) ∈ ℝ)
23	11, 22	readdcld 10386	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) ∈ ℝ)
24	3	recnd 10385	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
25	8	recnd 10385	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
26	1, 24, 25	fsumadd 14847	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶))))
27	1, 8	fsumrecl 14842	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
28		2cnd 11429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
29	6	recnd 10385	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
30	1, 28, 29	fsummulc2 14890	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)))
31	1, 6	fsumrecl 14842	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
32	31	recnd 10385	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
33	32	abscld 14552	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
34	31	leabsd 14530	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)))
35	1, 2, 5	csbren 23567	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
36		absresq 14419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ → ((abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2))
37	31, 36	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2))
38		resqrtth 14373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) → ((√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
39	14, 19, 38	syl2anc 579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
40	35, 37, 39	3brtr4d 4905	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) ≤ ((√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2))
41	32	absge0d 14560	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)))
42	14, 19	sqrtge0d 14536	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))
43	33, 20, 41, 42	le2sqd 13340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ≤ (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ↔ ((abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) ≤ ((√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2)))
44	40, 43	mpbird 249	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ≤ (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))
45	31, 33, 20, 34, 44	letrd 10513	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ≤ (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))
46	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
47		2pos 11461	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
48	47	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
49		lemul2 11206	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ≤ (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ↔ (2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ≤ (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))))
50	31, 20, 46, 48, 49	syl112anc 1497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ≤ (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ↔ (2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ≤ (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))))
51	45, 50	mpbid 224	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ≤ (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))))
52	30, 51	eqbrtrrd 4897	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)) ≤ (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))))
53	27, 22, 11, 52	leadd2dd 10967	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶))) ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))))
54	26, 53	eqbrtrd 4895	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))))
55	10, 23, 13, 54	leadd1dd 10966	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ≤ ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
56	2, 5	readdcld 10386	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
57	56	resqcld 13331	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐵 + 𝐶)↑2) ∈ ℝ)
58	1, 57	fsumrecl 14842	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2) ∈ ℝ)
59	56	sqge0d 13332	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ ((𝐵 + 𝐶)↑2))
60	1, 57, 59	fsumge0 14901	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))
61		resqrtth 14373	. . . . 5 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))
62	58, 60, 61	syl2anc 579	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))
63	2	recnd 10385	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
64	5	recnd 10385	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
65		binom2 13273	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 + 𝐶)↑2) = (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
66	63, 64, 65	syl2anc 579	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐵 + 𝐶)↑2) = (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
67	66	sumeq2dv 14810	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
68	9	recnd 10385	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) ∈ ℂ)
69	12	recnd 10385	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
70	1, 68, 69	fsumadd 14847	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
71	67, 70	eqtrd 2861	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
72	62, 71	eqtrd 2861	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))↑2) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
73	11, 16	resqrtcld 14533	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
74	73	recnd 10385	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
75	13, 18	resqrtcld 14533	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
76	75	recnd 10385	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
77		binom2 13273	. . . . 5 ⊢ (((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) ∈ ℂ ∧ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℂ) → (((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2) = ((((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2))↑2) + (2 · ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) · (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) + ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))↑2)))
78	74, 76, 77	syl2anc 579	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2) = ((((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2))↑2) + (2 · ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) · (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) + ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))↑2)))
79		resqrtth 14373	. . . . . . 7 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2))
80	11, 16, 79	syl2anc 579	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2))
81	11, 16, 13, 18	sqrtmuld 14540	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) = ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) · (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))
82	81	eqcomd 2831	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) · (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) = (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))
83	82	oveq2d 6921	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) · (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))) = (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))))
84	80, 83	oveq12d 6923	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2))↑2) + (2 · ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) · (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))))
85		resqrtth 14373	. . . . . 6 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))
86	13, 18, 85	syl2anc 579	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))
87	84, 86	oveq12d 6923	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2))↑2) + (2 · ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) · (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) + ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))↑2)) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
88	78, 87	eqtrd 2861	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
89	55, 72, 88	3brtr4d 4905	. 2 ⊢ (𝜑 → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))↑2) ≤ (((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2))
90	58, 60	resqrtcld 14533	. . 3 ⊢ (𝜑 → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2)) ∈ ℝ)
91	73, 75	readdcld 10386	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ)
92	58, 60	sqrtge0d 14536	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2)))
93	11, 16	sqrtge0d 14536	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)))
94	13, 18	sqrtge0d 14536	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
95	73, 75, 93, 94	addge0d 10928	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))
96	90, 91, 92, 95	le2sqd 13340	. 2 ⊢ (𝜑 → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2)) ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ↔ ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))↑2) ≤ (((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2)))
97	89, 96	mpbird 249	1 ⊢ (𝜑 → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2)) ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 198 ∧ wa 386 = wceq 1656 ∈ wcel 2164 class class class wbr 4873 ‘cfv 6123 (class class class)co 6905 Fincfn 8222 ℂcc 10250 ℝcr 10251 0cc0 10252 + caddc 10255 · cmul 10257 < clt 10391 ≤ cle 10392 2c2 11406 ↑cexp 13154 √csqrt 14350 abscabs 14351 Σcsu 14793

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1894 ax-4 1908 ax-5 2009 ax-6 2075 ax-7 2112 ax-8 2166 ax-9 2173 ax-10 2192 ax-11 2207 ax-12 2220 ax-13 2389 ax-ext 2803 ax-rep 4994 ax-sep 5005 ax-nul 5013 ax-pow 5065 ax-pr 5127 ax-un 7209 ax-inf2 8815 ax-cnex 10308 ax-resscn 10309 ax-1cn 10310 ax-icn 10311 ax-addcl 10312 ax-addrcl 10313 ax-mulcl 10314 ax-mulrcl 10315 ax-mulcom 10316 ax-addass 10317 ax-mulass 10318 ax-distr 10319 ax-i2m1 10320 ax-1ne0 10321 ax-1rid 10322 ax-rnegex 10323 ax-rrecex 10324 ax-cnre 10325 ax-pre-lttri 10326 ax-pre-lttrn 10327 ax-pre-ltadd 10328 ax-pre-mulgt0 10329 ax-pre-sup 10330

This theorem depends on definitions: df-bi 199 df-an 387 df-or 879 df-3or 1112 df-3an 1113 df-tru 1660 df-fal 1670 df-ex 1879 df-nf 1883 df-sb 2068 df-mo 2605 df-eu 2640 df-clab 2812 df-cleq 2818 df-clel 2821 df-nfc 2958 df-ne 3000 df-nel 3103 df-ral 3122 df-rex 3123 df-reu 3124 df-rmo 3125 df-rab 3126 df-v 3416 df-sbc 3663 df-csb 3758 df-dif 3801 df-un 3803 df-in 3805 df-ss 3812 df-pss 3814 df-nul 4145 df-if 4307 df-pw 4380 df-sn 4398 df-pr 4400 df-tp 4402 df-op 4404 df-uni 4659 df-int 4698 df-iun 4742 df-br 4874 df-opab 4936 df-mpt 4953 df-tr 4976 df-id 5250 df-eprel 5255 df-po 5263 df-so 5264 df-fr 5301 df-se 5302 df-we 5303 df-xp 5348 df-rel 5349 df-cnv 5350 df-co 5351 df-dm 5352 df-rn 5353 df-res 5354 df-ima 5355 df-pred 5920 df-ord 5966 df-on 5967 df-lim 5968 df-suc 5969 df-iota 6086 df-fun 6125 df-fn 6126 df-f 6127 df-f1 6128 df-fo 6129 df-f1o 6130 df-fv 6131 df-isom 6132 df-riota 6866 df-ov 6908 df-oprab 6909 df-mpt2 6910 df-om 7327 df-1st 7428 df-2nd 7429 df-wrecs 7672 df-recs 7734 df-rdg 7772 df-1o 7826 df-oadd 7830 df-er 8009 df-en 8223 df-dom 8224 df-sdom 8225 df-fin 8226 df-sup 8617 df-oi 8684 df-card 9078 df-pnf 10393 df-mnf 10394 df-xr 10395 df-ltxr 10396 df-le 10397 df-sub 10587 df-neg 10588 df-div 11010 df-nn 11351 df-2 11414 df-3 11415 df-4 11416 df-n0 11619 df-z 11705 df-uz 11969 df-rp 12113 df-ico 12469 df-fz 12620 df-fzo 12761 df-seq 13096 df-exp 13155 df-hash 13411 df-cj 14216 df-re 14217 df-im 14218 df-sqrt 14352 df-abs 14353 df-clim 14596 df-sum 14794

This theorem is referenced by: rrxmet 23576 rrnmet 34163

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