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Theorem trirn 24005

Description: Triangle inequality in R^n. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
csbrn.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
csbrn.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
csbrn.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)

**Assertion**
Ref	Expression
trirn	⊢ (𝜑 → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2)) ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑘 𝜑,𝑘 Allowed substitution hints: 𝐵(𝑘) 𝐶(𝑘)

**Proof of Theorem trirn**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbrn.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		csbrn.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3	2	resqcld 13614	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
4		2re 11714	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
5		csbrn.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
6	2, 5	remulcld 10673	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
7		remulcl 10624	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
8	4, 6, 7	sylancr 589	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
9	3, 8	readdcld 10672	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) ∈ ℝ)
10	1, 9	fsumrecl 15093	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) ∈ ℝ)
11	1, 3	fsumrecl 15093	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) ∈ ℝ)
12	5	resqcld 13614	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
13	1, 12	fsumrecl 15093	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2) ∈ ℝ)
14	11, 13	remulcld 10673	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
15	2	sqge0d 13615	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐵↑2))
16	1, 3, 15	fsumge0 15152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2))
17	5	sqge0d 13615	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐶↑2))
18	1, 12, 17	fsumge0 15152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))
19	11, 13, 16, 18	mulge0d 11219	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
20	14, 19	resqrtcld 14779	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ)
21		remulcl 10624	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ) → (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))) ∈ ℝ)
22	4, 20, 21	sylancr 589	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))) ∈ ℝ)
23	11, 22	readdcld 10672	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) ∈ ℝ)
24	3	recnd 10671	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
25	8	recnd 10671	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
26	1, 24, 25	fsumadd 15098	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶))))
27	1, 8	fsumrecl 15093	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
28		2cnd 11718	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
29	6	recnd 10671	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
30	1, 28, 29	fsummulc2 15141	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)))
31	1, 6	fsumrecl 15093	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
32	31	recnd 10671	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
33	32	abscld 14798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
34	31	leabsd 14776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)))
35	1, 2, 5	csbren 24004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
36		absresq 14664	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ → ((abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2))
37	31, 36	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2))
38		resqrtth 14617	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) → ((√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
39	14, 19, 38	syl2anc 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
40	35, 37, 39	3brtr4d 5100	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) ≤ ((√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2))
41	32	absge0d 14806	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)))
42	14, 19	sqrtge0d 14782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))
43	33, 20, 41, 42	le2sqd 13623	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ≤ (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ↔ ((abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) ≤ ((√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2)))
44	40, 43	mpbird 259	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ≤ (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))
45	31, 33, 20, 34, 44	letrd 10799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ≤ (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))
46	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
47		2pos 11743	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
48	47	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
49		lemul2 11495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ≤ (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ↔ (2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ≤ (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))))
50	31, 20, 46, 48, 49	syl112anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ≤ (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ↔ (2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ≤ (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))))
51	45, 50	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ≤ (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))))
52	30, 51	eqbrtrrd 5092	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)) ≤ (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))))
53	27, 22, 11, 52	leadd2dd 11257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶))) ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))))
54	26, 53	eqbrtrd 5090	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))))
55	10, 23, 13, 54	leadd1dd 11256	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ≤ ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
56	2, 5	readdcld 10672	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
57	56	resqcld 13614	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐵 + 𝐶)↑2) ∈ ℝ)
58	1, 57	fsumrecl 15093	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2) ∈ ℝ)
59	56	sqge0d 13615	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ ((𝐵 + 𝐶)↑2))
60	1, 57, 59	fsumge0 15152	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))
61		resqrtth 14617	. . . . 5 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))
62	58, 60, 61	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))
63	2	recnd 10671	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
64	5	recnd 10671	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
65		binom2 13582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 + 𝐶)↑2) = (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
66	63, 64, 65	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐵 + 𝐶)↑2) = (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
67	66	sumeq2dv 15062	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
68	9	recnd 10671	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) ∈ ℂ)
69	12	recnd 10671	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
70	1, 68, 69	fsumadd 15098	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
71	67, 70	eqtrd 2858	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
72	62, 71	eqtrd 2858	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))↑2) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
73	11, 16	resqrtcld 14779	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
74	73	recnd 10671	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
75	13, 18	resqrtcld 14779	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
76	75	recnd 10671	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
77		binom2 13582	. . . . 5 ⊢ (((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) ∈ ℂ ∧ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℂ) → (((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2) = ((((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2))↑2) + (2 · ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) · (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) + ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))↑2)))
78	74, 76, 77	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2) = ((((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2))↑2) + (2 · ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) · (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) + ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))↑2)))
79		resqrtth 14617	. . . . . . 7 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2))
80	11, 16, 79	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2))
81	11, 16, 13, 18	sqrtmuld 14786	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) = ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) · (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))
82	81	eqcomd 2829	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) · (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) = (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))
83	82	oveq2d 7174	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) · (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))) = (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))))
84	80, 83	oveq12d 7176	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2))↑2) + (2 · ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) · (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))))
85		resqrtth 14617	. . . . . 6 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))
86	13, 18, 85	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))
87	84, 86	oveq12d 7176	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2))↑2) + (2 · ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) · (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) + ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))↑2)) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
88	78, 87	eqtrd 2858	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
89	55, 72, 88	3brtr4d 5100	. 2 ⊢ (𝜑 → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))↑2) ≤ (((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2))
90	58, 60	resqrtcld 14779	. . 3 ⊢ (𝜑 → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2)) ∈ ℝ)
91	73, 75	readdcld 10672	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ)
92	58, 60	sqrtge0d 14782	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2)))
93	11, 16	sqrtge0d 14782	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)))
94	13, 18	sqrtge0d 14782	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
95	73, 75, 93, 94	addge0d 11218	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))
96	90, 91, 92, 95	le2sqd 13623	. 2 ⊢ (𝜑 → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2)) ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ↔ ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))↑2) ≤ (((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2)))
97	89, 96	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2)) ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 398 = wceq 1537 ∈ wcel 2114 class class class wbr 5068 ‘cfv 6357 (class class class)co 7158 Fincfn 8511 ℂcc 10537 ℝcr 10538 0cc0 10539 + caddc 10542 · cmul 10544 < clt 10677 ≤ cle 10678 2c2 11695 ↑cexp 13432 √csqrt 14594 abscabs 14595 Σcsu 15044

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2145 ax-11 2161 ax-12 2177 ax-ext 2795 ax-rep 5192 ax-sep 5205 ax-nul 5212 ax-pow 5268 ax-pr 5332 ax-un 7463 ax-inf2 9106 ax-cnex 10595 ax-resscn 10596 ax-1cn 10597 ax-icn 10598 ax-addcl 10599 ax-addrcl 10600 ax-mulcl 10601 ax-mulrcl 10602 ax-mulcom 10603 ax-addass 10604 ax-mulass 10605 ax-distr 10606 ax-i2m1 10607 ax-1ne0 10608 ax-1rid 10609 ax-rnegex 10610 ax-rrecex 10611 ax-cnre 10612 ax-pre-lttri 10613 ax-pre-lttrn 10614 ax-pre-ltadd 10615 ax-pre-mulgt0 10616 ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 399 df-or 844 df-3or 1084 df-3an 1085 df-tru 1540 df-fal 1550 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2070 df-mo 2622 df-eu 2654 df-clab 2802 df-cleq 2816 df-clel 2895 df-nfc 2965 df-ne 3019 df-nel 3126 df-ral 3145 df-rex 3146 df-reu 3147 df-rmo 3148 df-rab 3149 df-v 3498 df-sbc 3775 df-csb 3886 df-dif 3941 df-un 3943 df-in 3945 df-ss 3954 df-pss 3956 df-nul 4294 df-if 4470 df-pw 4543 df-sn 4570 df-pr 4572 df-tp 4574 df-op 4576 df-uni 4841 df-int 4879 df-iun 4923 df-br 5069 df-opab 5131 df-mpt 5149 df-tr 5175 df-id 5462 df-eprel 5467 df-po 5476 df-so 5477 df-fr 5516 df-se 5517 df-we 5518 df-xp 5563 df-rel 5564 df-cnv 5565 df-co 5566 df-dm 5567 df-rn 5568 df-res 5569 df-ima 5570 df-pred 6150 df-ord 6196 df-on 6197 df-lim 6198 df-suc 6199 df-iota 6316 df-fun 6359 df-fn 6360 df-f 6361 df-f1 6362 df-fo 6363 df-f1o 6364 df-fv 6365 df-isom 6366 df-riota 7116 df-ov 7161 df-oprab 7162 df-mpo 7163 df-om 7583 df-1st 7691 df-2nd 7692 df-wrecs 7949 df-recs 8010 df-rdg 8048 df-1o 8104 df-oadd 8108 df-er 8291 df-en 8512 df-dom 8513 df-sdom 8514 df-fin 8515 df-sup 8908 df-oi 8976 df-card 9370 df-pnf 10679 df-mnf 10680 df-xr 10681 df-ltxr 10682 df-le 10683 df-sub 10874 df-neg 10875 df-div 11300 df-nn 11641 df-2 11703 df-3 11704 df-4 11705 df-n0 11901 df-z 11985 df-uz 12247 df-rp 12393 df-ico 12747 df-fz 12896 df-fzo 13037 df-seq 13373 df-exp 13433 df-hash 13694 df-cj 14460 df-re 14461 df-im 14462 df-sqrt 14596 df-abs 14597 df-clim 14847 df-sum 15045

This theorem is referenced by: rrxmet 24013 rrnmet 35109

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