MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trirn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trirn 25272
Description: Triangle inequality in R^n. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
csbrn.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
csbrn.2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
csbrn.3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
Assertion
Ref Expression
trirn (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2)) โ‰ค ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐œ‘,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘˜)   ๐ถ(๐‘˜)

Proof of Theorem trirn
StepHypRef Expression
1 csbrn.1 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
2 csbrn.2 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
32resqcld 14091 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„)
4 2re 12285 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„
5 csbrn.3 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
62, 5remulcld 11243 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
7 remulcl 11192 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„)
84, 6, 7sylancr 586 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„)
93, 8readdcld 11242 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) + (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))) โˆˆ โ„)
101, 9fsumrecl 15682 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ตโ†‘2) + (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))) โˆˆ โ„)
111, 3fsumrecl 15682 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„)
125resqcld 14091 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„)
131, 12fsumrecl 15682 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„)
1411, 13remulcld 11243 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„)
152sqge0d 14103 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (๐ตโ†‘2))
161, 3, 15fsumge0 15743 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2))
175sqge0d 14103 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (๐ถโ†‘2))
181, 12, 17fsumge0 15743 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))
1911, 13, 16, 18mulge0d 11790 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))
2014, 19resqrtcld 15366 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))) โˆˆ โ„)
21 remulcl 11192 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„ โˆง (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))) โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))) โˆˆ โ„)
224, 20, 21sylancr 586 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))) โˆˆ โ„)
2311, 22readdcld 11242 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) + (2 ยท (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))) โˆˆ โ„)
243recnd 11241 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
258recnd 11241 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
261, 24, 25fsumadd 15688 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ตโ†‘2) + (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))))
271, 8fsumrecl 15682 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„)
28 2cnd 12289 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
296recnd 11241 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
301, 28, 29fsummulc2 15732 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)))
311, 6fsumrecl 15682 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
3231recnd 11241 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
3332abscld 15385 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„)
3431leabsd 15363 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ) โ‰ค (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)))
351, 2, 5csbren 25271 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)โ†‘2) โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))
36 absresq 15251 . . . . . . . . . . . 12 (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ โ†’ ((absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)โ†‘2))
3731, 36syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)โ†‘2))
38 resqrtth 15204 . . . . . . . . . . . 12 (((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))) โ†’ ((โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))โ†‘2) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))
3914, 19, 38syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))โ†‘2) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))
4035, 37, 393brtr4d 5171 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โ‰ค ((โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))โ†‘2))
4132absge0d 15393 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)))
4214, 19sqrtge0d 15369 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))
4333, 20, 41, 42le2sqd 14221 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)) โ‰ค (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))) โ†” ((absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) โ‰ค ((โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))โ†‘2)))
4440, 43mpbird 257 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)) โ‰ค (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))
4531, 33, 20, 34, 44letrd 11370 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ) โ‰ค (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))
464a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
47 2pos 12314 . . . . . . . . . 10 0 < 2
4847a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 0 < 2)
49 lemul2 12066 . . . . . . . . 9 ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))) โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ) โ‰ค (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))) โ†” (2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)) โ‰ค (2 ยท (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))))
5031, 20, 46, 48, 49syl112anc 1371 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ) โ‰ค (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))) โ†” (2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)) โ‰ค (2 ยท (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))))
5145, 50mpbid 231 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ)) โ‰ค (2 ยท (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))))
5230, 51eqbrtrrd 5163 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โ‰ค (2 ยท (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))))
5327, 22, 11, 52leadd2dd 11828 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))) โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) + (2 ยท (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))))
5426, 53eqbrtrd 5161 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ตโ†‘2) + (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))) โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) + (2 ยท (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))))
5510, 23, 13, 54leadd1dd 11827 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ตโ†‘2) + (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)) โ‰ค ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) + (2 ยท (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))
562, 5readdcld 11242 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ต + ๐ถ) โˆˆ โ„)
5756resqcld 14091 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2) โˆˆ โ„)
581, 57fsumrecl 15682 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2) โˆˆ โ„)
5956sqge0d 14103 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2))
601, 57, 59fsumge0 15743 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2))
61 resqrtth 15204 . . . . 5 ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2)) โ†’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2))โ†‘2) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2))
6258, 60, 61syl2anc 583 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2))โ†‘2) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2))
632recnd 11241 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
645recnd 11241 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
65 binom2 14182 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2) = (((๐ตโ†‘2) + (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))) + (๐ถโ†‘2)))
6663, 64, 65syl2anc 583 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2) = (((๐ตโ†‘2) + (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))) + (๐ถโ†‘2)))
6766sumeq2dv 15651 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (((๐ตโ†‘2) + (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))) + (๐ถโ†‘2)))
689recnd 11241 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) + (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))) โˆˆ โ„‚)
6912recnd 11241 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
701, 68, 69fsumadd 15688 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (((๐ตโ†‘2) + (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))) + (๐ถโ†‘2)) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ตโ†‘2) + (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))
7167, 70eqtrd 2764 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ตโ†‘2) + (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))
7262, 71eqtrd 2764 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2))โ†‘2) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ตโ†‘2) + (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))
7311, 16resqrtcld 15366 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„)
7473recnd 11241 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
7513, 18resqrtcld 15366 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„)
7675recnd 11241 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
77 binom2 14182 . . . . 5 (((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„‚ โˆง (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))โ†‘2) = ((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2))โ†‘2) + (2 ยท ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) ยท (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))) + ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))โ†‘2)))
7874, 76, 77syl2anc 583 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))โ†‘2) = ((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2))โ†‘2) + (2 ยท ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) ยท (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))) + ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))โ†‘2)))
79 resqrtth 15204 . . . . . . 7 ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) โ†’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2))โ†‘2) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2))
8011, 16, 79syl2anc 583 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2))โ†‘2) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2))
8111, 16, 13, 18sqrtmuld 15373 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))) = ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) ยท (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))
8281eqcomd 2730 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) ยท (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))) = (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))
8382oveq2d 7418 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) ยท (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))) = (2 ยท (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))))
8480, 83oveq12d 7420 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2))โ†‘2) + (2 ยท ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) ยท (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) + (2 ยท (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))))
85 resqrtth 15204 . . . . . 6 ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)) โ†’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))โ†‘2) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))
8613, 18, 85syl2anc 583 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))โ†‘2) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))
8784, 86oveq12d 7420 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2))โ†‘2) + (2 ยท ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) ยท (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))) + ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))โ†‘2)) = ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) + (2 ยท (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))
8878, 87eqtrd 2764 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))โ†‘2) = ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) + (2 ยท (โˆšโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))
8955, 72, 883brtr4d 5171 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2))โ†‘2) โ‰ค (((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))โ†‘2))
9058, 60resqrtcld 15366 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2)) โˆˆ โ„)
9173, 75readdcld 11242 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))) โˆˆ โ„)
9258, 60sqrtge0d 15369 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2)))
9311, 16sqrtge0d 15369 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)))
9413, 18sqrtge0d 15369 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))
9573, 75, 93, 94addge0d 11789 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))
9690, 91, 92, 95le2sqd 14221 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2)) โ‰ค ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))) โ†” ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2))โ†‘2) โ‰ค (((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2)))โ†‘2)))
9789, 96mpbird 257 1 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ((๐ต + ๐ถ)โ†‘2)) โ‰ค ((โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ตโ†‘2)) + (โˆšโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถโ†‘2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5139  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Fincfn 8936  โ„‚cc 11105  โ„cr 11106  0cc0 11107   + caddc 11110   ยท cmul 11112   < clt 11247   โ‰ค cle 11248  2c2 12266  โ†‘cexp 14028  โˆšcsqrt 15182  abscabs 15183  ฮฃcsu 15634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12976  df-ico 13331  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-seq 13968  df-exp 14029  df-hash 14292  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635
This theorem is referenced by:  rrxmet  25280  rrnmet  37201
  Copyright terms: Public domain W3C validator