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Theorem trirn 25714

Description: Triangle inequality in R^n. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
csbrn.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
csbrn.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
csbrn.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)

**Assertion**
Ref	Expression
trirn	⊢ (𝜑 → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2)) ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑘 𝜑,𝑘 Allowed substitution hints: 𝐵(𝑘) 𝐶(𝑘)

**Proof of Theorem trirn**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbrn.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		csbrn.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3	2	resqcld 14261	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
4		2re 12410	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
5		csbrn.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
6	2, 5	remulcld 11332	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
7		remulcl 11278	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
8	4, 6, 7	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
9	3, 8	readdcld 11331	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) ∈ ℝ)
10	1, 9	fsumrecl 15893	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) ∈ ℝ)
11	1, 3	fsumrecl 15893	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) ∈ ℝ)
12	5	resqcld 14261	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
13	1, 12	fsumrecl 15893	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2) ∈ ℝ)
14	11, 13	remulcld 11332	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
15	2	sqge0d 14273	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐵↑2))
16	1, 3, 15	fsumge0 15955	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2))
17	5	sqge0d 14273	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐶↑2))
18	1, 12, 17	fsumge0 15955	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))
19	11, 13, 16, 18	mulge0d 11886	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
20	14, 19	resqrtcld 15578	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ)
21		remulcl 11278	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ) → (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))) ∈ ℝ)
22	4, 20, 21	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))) ∈ ℝ)
23	11, 22	readdcld 11331	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) ∈ ℝ)
24	3	recnd 11330	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
25	8	recnd 11330	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
26	1, 24, 25	fsumadd 15899	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶))))
27	1, 8	fsumrecl 15893	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
28		2cnd 12414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
29	6	recnd 11330	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
30	1, 28, 29	fsummulc2 15943	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)))
31	1, 6	fsumrecl 15893	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
32	31	recnd 11330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
33	32	abscld 15599	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
34	31	leabsd 15575	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)))
35	1, 2, 5	csbren 25713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
36		absresq 15462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ → ((abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2))
37	31, 36	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2))
38		resqrtth 15415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) → ((√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
39	14, 19, 38	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
40	35, 37, 39	3brtr4d 5137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) ≤ ((√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2))
41	32	absge0d 15607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)))
42	14, 19	sqrtge0d 15581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))
43	33, 20, 41, 42	le2sqd 14394	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ≤ (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ↔ ((abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) ≤ ((√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2)))
44	40, 43	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ≤ (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))
45	31, 33, 20, 34, 44	letrd 11460	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ≤ (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))
46	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
47		2pos 12440	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
48	47	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
49		lemul2 12163	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ≤ (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ↔ (2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ≤ (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))))
50	31, 20, 46, 48, 49	syl112anc 1401	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ≤ (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ↔ (2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ≤ (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))))
51	45, 50	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ≤ (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))))
52	30, 51	eqbrtrrd 5129	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)) ≤ (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))))
53	27, 22, 11, 52	leadd2dd 11924	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶))) ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))))
54	26, 53	eqbrtrd 5127	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))))
55	10, 23, 13, 54	leadd1dd 11923	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ≤ ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
56	2, 5	readdcld 11331	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
57	56	resqcld 14261	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐵 + 𝐶)↑2) ∈ ℝ)
58	1, 57	fsumrecl 15893	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2) ∈ ℝ)
59	56	sqge0d 14273	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ ((𝐵 + 𝐶)↑2))
60	1, 57, 59	fsumge0 15955	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))
61		resqrtth 15415	. . . . 5 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))
62	58, 60, 61	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))
63	2	recnd 11330	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
64	5	recnd 11330	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
65		binom2 14354	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 + 𝐶)↑2) = (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
66	63, 64, 65	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐵 + 𝐶)↑2) = (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
67	66	sumeq2dv 15862	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
68	9	recnd 11330	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) ∈ ℂ)
69	12	recnd 11330	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
70	1, 68, 69	fsumadd 15899	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
71	67, 70	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
72	62, 71	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))↑2) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
73	11, 16	resqrtcld 15578	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
74	73	recnd 11330	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
75	13, 18	resqrtcld 15578	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
76	75	recnd 11330	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
77		binom2 14354	. . . . 5 ⊢ (((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) ∈ ℂ ∧ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℂ) → (((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2) = ((((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2))↑2) + (2 · ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) · (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) + ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))↑2)))
78	74, 76, 77	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2) = ((((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2))↑2) + (2 · ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) · (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) + ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))↑2)))
79		resqrtth 15415	. . . . . . 7 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2))
80	11, 16, 79	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2))
81	11, 16, 13, 18	sqrtmuld 15585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) = ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) · (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))
82	81	eqcomd 2767	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) · (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) = (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))
83	82	oveq2d 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) · (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))) = (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))))
84	80, 83	oveq12d 7436	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2))↑2) + (2 · ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) · (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))))
85		resqrtth 15415	. . . . . 6 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))
86	13, 18, 85	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))
87	84, 86	oveq12d 7436	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2))↑2) + (2 · ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) · (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) + ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))↑2)) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
88	78, 87	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + (2 · (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
89	55, 72, 88	3brtr4d 5137	. 2 ⊢ (𝜑 → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))↑2) ≤ (((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2))
90	58, 60	resqrtcld 15578	. . 3 ⊢ (𝜑 → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2)) ∈ ℝ)
91	73, 75	readdcld 11331	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ)
92	58, 60	sqrtge0d 15581	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2)))
93	11, 16	sqrtge0d 15581	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)))
94	13, 18	sqrtge0d 15581	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))
95	73, 75, 93, 94	addge0d 11885	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))
96	90, 91, 92, 95	le2sqd 14394	. 2 ⊢ (𝜑 → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2)) ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ↔ ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))↑2) ≤ (((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2)))
97	89, 96	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2)) ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 = wceq 1570 ∈ wcel 2145 class class class wbr 5103 ‘cfv 6537 (class class class)co 7418 Fincfn 8966 ℂcc 11191 ℝcr 11192 0cc0 11193 + caddc 11196 · cmul 11198 < clt 11336 ≤ cle 11337 2c2 12390 ↑cexp 14197 √csqrt 15393 abscabs 15394 Σcsu 15846

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2213 ax-ext 2733 ax-rep 5232 ax-sep 5249 ax-nul 5260 ax-pow 5327 ax-pr 5391 ax-un 7749 ax-inf2 9635 ax-cnex 11249 ax-resscn 11250 ax-1cn 11251 ax-icn 11252 ax-addcl 11253 ax-addrcl 11254 ax-mulcl 11255 ax-mulrcl 11256 ax-mulcom 11257 ax-addass 11258 ax-mulass 11259 ax-distr 11260 ax-i2m1 11261 ax-1ne0 11262 ax-1rid 11263 ax-rnegex 11264 ax-rrecex 11265 ax-cnre 11266 ax-pre-lttri 11267 ax-pre-lttrn 11268 ax-pre-ltadd 11269 ax-pre-mulgt0 11270 ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2565 df-eu 2595 df-clab 2740 df-cleq 2753 df-clel 2836 df-nfc 2910 df-ne 2957 df-nel 3063 df-ral 3078 df-rex 3088 df-rmo 3366 df-reu 3367 df-rab 3414 df-v 3453 df-sbc 3740 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4280 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4591 df-uni 4868 df-int 4908 df-iun 4953 df-br 5104 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-tr 5213 df-id 5546 df-eprel 5551 df-po 5559 df-so 5560 df-fr 5604 df-se 5605 df-we 5606 df-xp 5657 df-rel 5658 df-cnv 5659 df-co 5660 df-dm 5661 df-rn 5662 df-res 5663 df-ima 5664 df-pred 6303 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6493 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-isom 6546 df-riota 7375 df-ov 7421 df-oprab 7422 df-mpo 7423 df-om 7876 df-1st 7999 df-2nd 8000 df-frecs 8292 df-wrecs 8323 df-recs 8372 df-rdg 8411 df-1o 8469 df-er 8710 df-en 8967 df-dom 8968 df-sdom 8969 df-fin 8970 df-sup 9427 df-oi 9497 df-card 10013 df-pnf 11338 df-mnf 11339 df-xr 11340 df-ltxr 11341 df-le 11342 df-sub 11536 df-neg 11537 df-div 11967 df-nn 12329 df-2 12398 df-3 12399 df-4 12400 df-n0 12600 df-z 12687 df-uz 12959 df-rp 13114 df-ico 13475 df-fz 13633 df-fzo 13782 df-seq 14138 df-exp 14198 df-hash 14468 df-cj 15259 df-re 15260 df-im 15261 df-sqrt 15395 df-abs 15396 df-clim 15648 df-sum 15847

This theorem is used by: rrxmet 25722 rrnmet 38743

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