Proof of Theorem trirn
| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | csbrn.1 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin) | 
| 2 |  | csbrn.2 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ) | 
| 3 | 2 | resqcld 14165 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℝ) | 
| 4 |  | 2re 12340 | . . . . . . 7
⊢ 2 ∈
ℝ | 
| 5 |  | csbrn.3 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ) | 
| 6 | 2, 5 | remulcld 11291 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ) | 
| 7 |  | remulcl 11240 | . . . . . . 7
⊢ ((2
∈ ℝ ∧ (𝐵
· 𝐶) ∈ ℝ)
→ (2 · (𝐵
· 𝐶)) ∈
ℝ) | 
| 8 | 4, 6, 7 | sylancr 587 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ) | 
| 9 | 3, 8 | readdcld 11290 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) ∈ ℝ) | 
| 10 | 1, 9 | fsumrecl 15770 | . . . 4
⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) ∈ ℝ) | 
| 11 | 1, 3 | fsumrecl 15770 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) ∈ ℝ) | 
| 12 | 5 | resqcld 14165 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶↑2) ∈ ℝ) | 
| 13 | 1, 12 | fsumrecl 15770 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2) ∈ ℝ) | 
| 14 | 11, 13 | remulcld 11291 | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ) | 
| 15 | 2 | sqge0d 14177 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐵↑2)) | 
| 16 | 1, 3, 15 | fsumge0 15831 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) | 
| 17 | 5 | sqge0d 14177 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐶↑2)) | 
| 18 | 1, 12, 17 | fsumge0 15831 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) | 
| 19 | 11, 13, 16, 18 | mulge0d 11840 | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 0 ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) | 
| 20 | 14, 19 | resqrtcld 15456 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 →
(√‘(Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ) | 
| 21 |  | remulcl 11240 | . . . . . 6
⊢ ((2
∈ ℝ ∧ (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ) → (2
· (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))) ∈ ℝ) | 
| 22 | 4, 20, 21 | sylancr 587 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → (2 ·
(√‘(Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))) ∈ ℝ) | 
| 23 | 11, 22 | readdcld 11290 | . . . 4
⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + (2 ·
(√‘(Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) ∈
ℝ) | 
| 24 | 3 | recnd 11289 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℂ) | 
| 25 | 8 | recnd 11289 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ) | 
| 26 | 1, 24, 25 | fsumadd 15776 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)))) | 
| 27 | 1, 8 | fsumrecl 15770 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ) | 
| 28 |  | 2cnd 12344 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℂ) | 
| 29 | 6 | recnd 11289 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ) | 
| 30 | 1, 28, 29 | fsummulc2 15820 | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶))) | 
| 31 | 1, 6 | fsumrecl 15770 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ) | 
| 32 | 31 | recnd 11289 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ) | 
| 33 | 32 | abscld 15475 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ) | 
| 34 | 31 | leabsd 15453 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))) | 
| 35 | 1, 2, 5 | csbren 25433 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) | 
| 36 |  | absresq 15341 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(Σ𝑘 ∈
𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ →
((abs‘Σ𝑘 ∈
𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)) | 
| 37 | 31, 36 | syl 17 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)) | 
| 38 |  | resqrtth 15294 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(((Σ𝑘 ∈
𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤
(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) →
((√‘(Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) | 
| 39 | 14, 19, 38 | syl2anc 584 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 →
((√‘(Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) | 
| 40 | 35, 37, 39 | 3brtr4d 5175 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) ≤
((√‘(Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2)) | 
| 41 | 32 | absge0d 15483 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 0 ≤
(abs‘Σ𝑘 ∈
𝐴 (𝐵 · 𝐶))) | 
| 42 | 14, 19 | sqrtge0d 15459 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 0 ≤
(√‘(Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))) | 
| 43 | 33, 20, 41, 42 | le2sqd 14296 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ≤ (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ↔ ((abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) ≤
((√‘(Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2))) | 
| 44 | 40, 43 | mpbird 257 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ≤ (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))) | 
| 45 | 31, 33, 20, 34, 44 | letrd 11418 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ≤ (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))) | 
| 46 | 4 | a1i 11 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℝ) | 
| 47 |  | 2pos 12369 | . . . . . . . . . 10
⊢ 0 <
2 | 
| 48 | 47 | a1i 11 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 0 < 2) | 
| 49 |  | lemul2 12120 | . . . . . . . . 9
⊢
((Σ𝑘 ∈
𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ ∧
(√‘(Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ ∧ (2 ∈
ℝ ∧ 0 < 2)) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ≤ (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ↔ (2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ≤ (2 ·
(√‘(Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))))) | 
| 50 | 31, 20, 46, 48, 49 | syl112anc 1376 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) ≤ (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ↔ (2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ≤ (2 ·
(√‘(Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))))) | 
| 51 | 45, 50 | mpbid 232 | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (2 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ≤ (2 ·
(√‘(Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) | 
| 52 | 30, 51 | eqbrtrrd 5167 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)) ≤ (2 ·
(√‘(Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) | 
| 53 | 27, 22, 11, 52 | leadd2dd 11878 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶))) ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + (2 ·
(√‘(Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))))) | 
| 54 | 26, 53 | eqbrtrd 5165 | . . . 4
⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + (2 ·
(√‘(Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))))) | 
| 55 | 10, 23, 13, 54 | leadd1dd 11877 | . . 3
⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ≤ ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + (2 ·
(√‘(Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) | 
| 56 | 2, 5 | readdcld 11290 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ) | 
| 57 | 56 | resqcld 14165 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐵 + 𝐶)↑2) ∈ ℝ) | 
| 58 | 1, 57 | fsumrecl 15770 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2) ∈ ℝ) | 
| 59 | 56 | sqge0d 14177 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ ((𝐵 + 𝐶)↑2)) | 
| 60 | 1, 57, 59 | fsumge0 15831 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2)) | 
| 61 |  | resqrtth 15294 | . . . . 5
⊢
((Σ𝑘 ∈
𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤
Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2)) →
((√‘Σ𝑘
∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2)) | 
| 62 | 58, 60, 61 | syl2anc 584 | . . . 4
⊢ (𝜑 →
((√‘Σ𝑘
∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2)) | 
| 63 | 2 | recnd 11289 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) | 
| 64 | 5 | recnd 11289 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ) | 
| 65 |  | binom2 14256 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 + 𝐶)↑2) = (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2))) | 
| 66 | 63, 64, 65 | syl2anc 584 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐵 + 𝐶)↑2) = (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2))) | 
| 67 | 66 | sumeq2dv 15738 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2))) | 
| 68 | 9 | recnd 11289 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) ∈ ℂ) | 
| 69 | 12 | recnd 11289 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶↑2) ∈ ℂ) | 
| 70 | 1, 68, 69 | fsumadd 15776 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) | 
| 71 | 67, 70 | eqtrd 2777 | . . . 4
⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) | 
| 72 | 62, 71 | eqtrd 2777 | . . 3
⊢ (𝜑 →
((√‘Σ𝑘
∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))↑2) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) | 
| 73 | 11, 16 | resqrtcld 15456 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 →
(√‘Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐵↑2)) ∈ ℝ) | 
| 74 | 73 | recnd 11289 | . . . . 5
⊢ (𝜑 →
(√‘Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐵↑2)) ∈ ℂ) | 
| 75 | 13, 18 | resqrtcld 15456 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 →
(√‘Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ) | 
| 76 | 75 | recnd 11289 | . . . . 5
⊢ (𝜑 →
(√‘Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℂ) | 
| 77 |  | binom2 14256 | . . . . 5
⊢
(((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) ∈ ℂ ∧
(√‘Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℂ) →
(((√‘Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2) =
((((√‘Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐵↑2))↑2) + (2 ·
((√‘Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐵↑2)) ·
(√‘Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) + ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))↑2))) | 
| 78 | 74, 76, 77 | syl2anc 584 | . . . 4
⊢ (𝜑 →
(((√‘Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2) =
((((√‘Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐵↑2))↑2) + (2 ·
((√‘Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐵↑2)) ·
(√‘Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) + ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))↑2))) | 
| 79 |  | resqrtth 15294 | . . . . . . 7
⊢
((Σ𝑘 ∈
𝐴 (𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤
Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) →
((√‘Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐵↑2))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) | 
| 80 | 11, 16, 79 | syl2anc 584 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 →
((√‘Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐵↑2))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) | 
| 81 | 11, 16, 13, 18 | sqrtmuld 15463 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 →
(√‘(Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) = ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) ·
(√‘Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐶↑2)))) | 
| 82 | 81 | eqcomd 2743 | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 →
((√‘Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐵↑2)) ·
(√‘Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐶↑2))) = (√‘(Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))) | 
| 83 | 82 | oveq2d 7447 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → (2 ·
((√‘Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐵↑2)) ·
(√‘Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐶↑2)))) = (2 ·
(√‘(Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) | 
| 84 | 80, 83 | oveq12d 7449 | . . . . 5
⊢ (𝜑 →
(((√‘Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐵↑2))↑2) + (2 ·
((√‘Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐵↑2)) ·
(√‘Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + (2 ·
(√‘(Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))))) | 
| 85 |  | resqrtth 15294 | . . . . . 6
⊢
((Σ𝑘 ∈
𝐴 (𝐶↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤
Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) →
((√‘Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐶↑2))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) | 
| 86 | 13, 18, 85 | syl2anc 584 | . . . . 5
⊢ (𝜑 →
((√‘Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐶↑2))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)) | 
| 87 | 84, 86 | oveq12d 7449 | . . . 4
⊢ (𝜑 →
((((√‘Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐵↑2))↑2) + (2 ·
((√‘Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐵↑2)) ·
(√‘Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) + ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))↑2)) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + (2 ·
(√‘(Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) | 
| 88 | 78, 87 | eqtrd 2777 | . . 3
⊢ (𝜑 →
(((√‘Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2) + (2 ·
(√‘(Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))))) + Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) | 
| 89 | 55, 72, 88 | 3brtr4d 5175 | . 2
⊢ (𝜑 →
((√‘Σ𝑘
∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))↑2) ≤
(((√‘Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2)) | 
| 90 | 58, 60 | resqrtcld 15456 | . . 3
⊢ (𝜑 →
(√‘Σ𝑘
∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2)) ∈ ℝ) | 
| 91 | 73, 75 | readdcld 11290 | . . 3
⊢ (𝜑 →
((√‘Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ) | 
| 92 | 58, 60 | sqrtge0d 15459 | . . 3
⊢ (𝜑 → 0 ≤
(√‘Σ𝑘
∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))) | 
| 93 | 11, 16 | sqrtge0d 15459 | . . . 4
⊢ (𝜑 → 0 ≤
(√‘Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐵↑2))) | 
| 94 | 13, 18 | sqrtge0d 15459 | . . . 4
⊢ (𝜑 → 0 ≤
(√‘Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐶↑2))) | 
| 95 | 73, 75, 93, 94 | addge0d 11839 | . . 3
⊢ (𝜑 → 0 ≤
((√‘Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))) | 
| 96 | 90, 91, 92, 95 | le2sqd 14296 | . 2
⊢ (𝜑 →
((√‘Σ𝑘
∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2)) ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2))) ↔
((√‘Σ𝑘
∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2))↑2) ≤
(((√‘Σ𝑘
∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))↑2))) | 
| 97 | 89, 96 | mpbird 257 | 1
⊢ (𝜑 →
(√‘Σ𝑘
∈ 𝐴 ((𝐵 + 𝐶)↑2)) ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑2)) + (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶↑2)))) |