MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxmval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxmval 23935
Description: The value of the Euclidean metric. Compare with rrnmval 34987. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxmval.1 𝑋 = { ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ finSupp 0}
rrxmval.d 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
Assertion
Ref Expression
rrxmval ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐹𝐷𝐺) = (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
Distinct variable groups:   ,𝐹,𝑘   ,𝐺,𝑘   ,𝐼,𝑘   ,𝑉,𝑘   𝑘,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐷(,𝑘)   𝑋()

Proof of Theorem rrxmval
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . . . . . 6 (ℝ^‘𝐼) = (ℝ^‘𝐼)
2 eqid 2818 . . . . . 6 (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (Base‘(ℝ^‘𝐼))
31, 2rrxds 23923 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))) = (dist‘(ℝ^‘𝐼)))
4 rrxmval.d . . . . 5 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
53, 4syl6reqr 2872 . . . 4 (𝐼𝑉𝐷 = (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))))
61, 2rrxbase 23918 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = { ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ finSupp 0})
7 rrxmval.1 . . . . . 6 𝑋 = { ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ finSupp 0}
86, 7syl6reqr 2872 . . . . 5 (𝐼𝑉𝑋 = (Base‘(ℝ^‘𝐼)))
9 mpoeq12 7216 . . . . 5 ((𝑋 = (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ∧ 𝑋 = (Base‘(ℝ^‘𝐼))) → (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))) = (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))))
108, 8, 9syl2anc 584 . . . 4 (𝐼𝑉 → (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))) = (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))))
115, 10eqtr4d 2856 . . 3 (𝐼𝑉𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))))
12113ad2ant1 1125 . 2 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → 𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))))
13 simprl 767 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → 𝑓 = 𝐹)
1413fveq1d 6665 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → (𝑓𝑥) = (𝐹𝑥))
15 simprr 769 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → 𝑔 = 𝐺)
1615fveq1d 6665 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → (𝑔𝑥) = (𝐺𝑥))
1714, 16oveq12d 7163 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → ((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥)) = ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)))
1817oveq1d 7160 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2) = (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))
1918mpteq2dv 5153 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)) = (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)))
2019oveq2d 7161 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))) = (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))))
21 simp2 1129 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → 𝐹𝑋)
227, 21rrxf 23931 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → 𝐹:𝐼⟶ℝ)
2322ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
24 simp3 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → 𝐺𝑋)
257, 24rrxf 23931 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → 𝐺:𝐼⟶ℝ)
2625ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
2723, 26resubcld 11056 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) ∈ ℝ)
2827resqcld 13599 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2) ∈ ℝ)
2928fmpttd 6871 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)):𝐼⟶ℝ)
307, 21rrxfsupp 23932 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐹 supp 0) ∈ Fin)
317, 24rrxfsupp 23932 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐺 supp 0) ∈ Fin)
32 unfi 8773 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 supp 0) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 0) ∈ Fin) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∈ Fin)
3330, 31, 32syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∈ Fin)
347rrxmvallem 23934 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
3533, 34ssfid 8729 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0) ∈ Fin)
36 mptexg 6975 . . . . . . . . . 10 (𝐼𝑉 → (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) ∈ V)
37 funmpt 6386 . . . . . . . . . . 11 Fun (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))
38 0cn 10621 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℂ
39 funisfsupp 8826 . . . . . . . . . . 11 ((Fun (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) ∧ (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) ∈ V ∧ 0 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) finSupp 0 ↔ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0) ∈ Fin))
4037, 38, 39mp3an13 1443 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) ∈ V → ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) finSupp 0 ↔ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0) ∈ Fin))
4136, 40syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑉 → ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) finSupp 0 ↔ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0) ∈ Fin))
42413ad2ant1 1125 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) finSupp 0 ↔ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0) ∈ Fin))
4335, 42mpbird 258 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) finSupp 0)
44 simp1 1128 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → 𝐼𝑉)
45 regsumsupp 20694 . . . . . . 7 (((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)):𝐼⟶ℝ ∧ (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) finSupp 0 ∧ 𝐼𝑉) → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))) = Σ𝑘 ∈ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0)((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))‘𝑘))
4629, 43, 44, 45syl3anc 1363 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))) = Σ𝑘 ∈ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0)((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))‘𝑘))
47 suppssdm 7832 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0) ⊆ dom (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))
48 eqid 2818 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) = (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))
4948dmmptss 6088 . . . . . . . . . . 11 dom (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) ⊆ 𝐼
5047, 49sstri 3973 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0) ⊆ 𝐼
5150a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0) ⊆ 𝐼)
5251sselda 3964 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0)) → 𝑘𝐼)
53 eqidd 2819 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) = (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)))
54 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑘) → 𝑥 = 𝑘)
5554fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑘) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑘))
5654fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑘) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑘))
5755, 56oveq12d 7163 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑘) → ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘)))
5857oveq1d 7160 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑘) → (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2) = (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
59 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑘𝐼)
60 ovexd 7180 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) ∈ V)
6153, 58, 59, 60fvmptd 6767 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))‘𝑘) = (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
6261eqcomd 2824 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) = ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))‘𝑘))
6352, 62syldan 591 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0)) → (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) = ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))‘𝑘))
6463sumeq2dv 15048 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → Σ𝑘 ∈ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0)(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) = Σ𝑘 ∈ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0)((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))‘𝑘))
6546, 64eqtr4d 2856 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))) = Σ𝑘 ∈ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0)(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
6665adantr 481 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))) = Σ𝑘 ∈ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0)(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
6722ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
6867recnd 10657 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
6925ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
7069recnd 10657 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
7168, 70subcld 10985 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘)) ∈ ℂ)
7271sqcld 13496 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) ∈ ℂ)
7352, 72syldan 591 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0)) → (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) ∈ ℂ)
747, 21rrxsuppss 23933 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐹 supp 0) ⊆ 𝐼)
757, 24rrxsuppss 23933 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐼)
7674, 75unssd 4159 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ⊆ 𝐼)
7776ssdifssd 4116 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → (((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∖ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0)) ⊆ 𝐼)
7877sselda 3964 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∖ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0))) → 𝑘𝐼)
7978, 62syldan 591 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∖ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0))) → (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) = ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))‘𝑘))
8076ssdifd 4114 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → (((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∖ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0)) ⊆ (𝐼 ∖ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0)))
8180sselda 3964 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∖ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0))) → 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0)))
82 ssidd 3987 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0) ⊆ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0))
83 0cnd 10622 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → 0 ∈ ℂ)
8429, 82, 44, 83suppssr 7850 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0))) → ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))‘𝑘) = 0)
8581, 84syldan 591 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∖ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0))) → ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))‘𝑘) = 0)
8679, 85eqtrd 2853 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∖ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0))) → (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) = 0)
8734, 73, 86, 33fsumss 15070 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → Σ𝑘 ∈ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0)(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) = Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
8887adantr 481 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → Σ𝑘 ∈ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0)(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) = Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
8920, 66, 883eqtrd 2857 . . 3 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))) = Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
9089fveq2d 6667 . 2 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)))) = (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
91 fvexd 6678 . 2 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) ∈ V)
9212, 90, 21, 24, 91ovmpod 7291 1 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐹𝐷𝐺) = (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  {crab 3139  Vcvv 3492  cdif 3930  cun 3931  wss 3933   class class class wbr 5057  cmpt 5137  dom cdm 5548  Fun wfun 6342  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cmpo 7147   supp csupp 7819  m cmap 8395  Fincfn 8497   finSupp cfsupp 8821  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  cmin 10858  2c2 11680  cexp 13417  csqrt 14580  Σcsu 15030  Basecbs 16471  distcds 16562   Σg cgsu 16702  fldcrefld 20676  ℝ^crrx 23913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-prds 16709  df-pws 16711  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-subg 18214  df-ghm 18294  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-cring 19229  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-dvr 19362  df-rnghom 19396  df-drng 19433  df-field 19434  df-subrg 19462  df-staf 19545  df-srng 19546  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-sra 19873  df-rgmod 19874  df-cnfld 20474  df-refld 20677  df-dsmm 20804  df-frlm 20819  df-nm 23119  df-tng 23121  df-tcph 23700  df-rrx 23915
This theorem is referenced by:  rrxmfval  23936  rrxmet  23938  rrxdstprj1  23939
  Copyright terms: Public domain W3C validator