MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxmval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxmval 23923
Description: The value of the Euclidean metric. Compare with rrnmval 34975. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxmval.1 𝑋 = { ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ finSupp 0}
rrxmval.d 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
Assertion
Ref Expression
rrxmval ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐹𝐷𝐺) = (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
Distinct variable groups:   ,𝐹,𝑘   ,𝐺,𝑘   ,𝐼,𝑘   ,𝑉,𝑘   𝑘,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐷(,𝑘)   𝑋()

Proof of Theorem rrxmval
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . . . . . 6 (ℝ^‘𝐼) = (ℝ^‘𝐼)
2 eqid 2824 . . . . . 6 (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (Base‘(ℝ^‘𝐼))
31, 2rrxds 23911 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))) = (dist‘(ℝ^‘𝐼)))
4 rrxmval.d . . . . 5 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
53, 4syl6reqr 2879 . . . 4 (𝐼𝑉𝐷 = (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))))
61, 2rrxbase 23906 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = { ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ finSupp 0})
7 rrxmval.1 . . . . . 6 𝑋 = { ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ finSupp 0}
86, 7syl6reqr 2879 . . . . 5 (𝐼𝑉𝑋 = (Base‘(ℝ^‘𝐼)))
9 mpoeq12 7222 . . . . 5 ((𝑋 = (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ∧ 𝑋 = (Base‘(ℝ^‘𝐼))) → (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))) = (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))))
108, 8, 9syl2anc 584 . . . 4 (𝐼𝑉 → (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))) = (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))))
115, 10eqtr4d 2863 . . 3 (𝐼𝑉𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))))
12113ad2ant1 1127 . 2 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → 𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))))
13 simprl 767 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → 𝑓 = 𝐹)
1413fveq1d 6668 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → (𝑓𝑥) = (𝐹𝑥))
15 simprr 769 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → 𝑔 = 𝐺)
1615fveq1d 6668 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → (𝑔𝑥) = (𝐺𝑥))
1714, 16oveq12d 7169 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → ((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥)) = ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)))
1817oveq1d 7166 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2) = (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))
1918mpteq2dv 5158 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)) = (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)))
2019oveq2d 7167 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))) = (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))))
21 simp2 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → 𝐹𝑋)
227, 21rrxf 23919 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → 𝐹:𝐼⟶ℝ)
2322ffvelrnda 6846 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
24 simp3 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → 𝐺𝑋)
257, 24rrxf 23919 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → 𝐺:𝐼⟶ℝ)
2625ffvelrnda 6846 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
2723, 26resubcld 11060 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) ∈ ℝ)
2827resqcld 13604 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2) ∈ ℝ)
2928fmpttd 6874 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)):𝐼⟶ℝ)
307, 21rrxfsupp 23920 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐹 supp 0) ∈ Fin)
317, 24rrxfsupp 23920 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐺 supp 0) ∈ Fin)
32 unfi 8777 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 supp 0) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 0) ∈ Fin) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∈ Fin)
3330, 31, 32syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∈ Fin)
347rrxmvallem 23922 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
3533, 34ssfid 8733 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0) ∈ Fin)
36 mptexg 6982 . . . . . . . . . 10 (𝐼𝑉 → (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) ∈ V)
37 funmpt 6389 . . . . . . . . . . 11 Fun (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))
38 0cn 10625 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℂ
39 funisfsupp 8830 . . . . . . . . . . 11 ((Fun (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) ∧ (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) ∈ V ∧ 0 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) finSupp 0 ↔ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0) ∈ Fin))
4037, 38, 39mp3an13 1445 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) ∈ V → ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) finSupp 0 ↔ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0) ∈ Fin))
4136, 40syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑉 → ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) finSupp 0 ↔ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0) ∈ Fin))
42413ad2ant1 1127 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) finSupp 0 ↔ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0) ∈ Fin))
4335, 42mpbird 258 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) finSupp 0)
44 simp1 1130 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → 𝐼𝑉)
45 regsumsupp 20682 . . . . . . 7 (((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)):𝐼⟶ℝ ∧ (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) finSupp 0 ∧ 𝐼𝑉) → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))) = Σ𝑘 ∈ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0)((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))‘𝑘))
4629, 43, 44, 45syl3anc 1365 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))) = Σ𝑘 ∈ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0)((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))‘𝑘))
47 suppssdm 7837 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0) ⊆ dom (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))
48 eqid 2824 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) = (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))
4948dmmptss 6092 . . . . . . . . . . 11 dom (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) ⊆ 𝐼
5047, 49sstri 3979 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0) ⊆ 𝐼
5150a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0) ⊆ 𝐼)
5251sselda 3970 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0)) → 𝑘𝐼)
53 eqidd 2825 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) = (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)))
54 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑘) → 𝑥 = 𝑘)
5554fveq2d 6670 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑘) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑘))
5654fveq2d 6670 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑘) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑘))
5755, 56oveq12d 7169 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑘) → ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘)))
5857oveq1d 7166 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑘) → (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2) = (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
59 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑘𝐼)
60 ovexd 7186 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) ∈ V)
6153, 58, 59, 60fvmptd 6770 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))‘𝑘) = (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
6261eqcomd 2830 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) = ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))‘𝑘))
6352, 62syldan 591 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0)) → (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) = ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))‘𝑘))
6463sumeq2dv 15052 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → Σ𝑘 ∈ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0)(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) = Σ𝑘 ∈ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0)((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))‘𝑘))
6546, 64eqtr4d 2863 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))) = Σ𝑘 ∈ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0)(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
6665adantr 481 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))) = Σ𝑘 ∈ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0)(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
6722ffvelrnda 6846 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
6867recnd 10661 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
6925ffvelrnda 6846 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
7069recnd 10661 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
7168, 70subcld 10989 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘)) ∈ ℂ)
7271sqcld 13501 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) ∈ ℂ)
7352, 72syldan 591 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0)) → (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) ∈ ℂ)
747, 21rrxsuppss 23921 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐹 supp 0) ⊆ 𝐼)
757, 24rrxsuppss 23921 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐼)
7674, 75unssd 4165 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ⊆ 𝐼)
7776ssdifssd 4122 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → (((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∖ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0)) ⊆ 𝐼)
7877sselda 3970 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∖ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0))) → 𝑘𝐼)
7978, 62syldan 591 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∖ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0))) → (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) = ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))‘𝑘))
8076ssdifd 4120 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → (((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∖ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0)) ⊆ (𝐼 ∖ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0)))
8180sselda 3970 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∖ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0))) → 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0)))
82 ssidd 3993 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0) ⊆ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0))
83 0cnd 10626 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → 0 ∈ ℂ)
8429, 82, 44, 83suppssr 7855 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0))) → ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))‘𝑘) = 0)
8581, 84syldan 591 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∖ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0))) → ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))‘𝑘) = 0)
8679, 85eqtrd 2860 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∖ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0))) → (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) = 0)
8734, 73, 86, 33fsumss 15074 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → Σ𝑘 ∈ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0)(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) = Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
8887adantr 481 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → Σ𝑘 ∈ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0)(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) = Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
8920, 66, 883eqtrd 2864 . . 3 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))) = Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
9089fveq2d 6670 . 2 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)))) = (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
91 fvexd 6681 . 2 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) ∈ V)
9212, 90, 21, 24, 91ovmpod 7295 1 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐹𝐷𝐺) = (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2106  {crab 3146  Vcvv 3499  cdif 3936  cun 3937  wss 3939   class class class wbr 5062  cmpt 5142  dom cdm 5553  Fun wfun 6345  wf 6347  cfv 6351  (class class class)co 7151  cmpo 7153   supp csupp 7824  m cmap 8399  Fincfn 8501   finSupp cfsupp 8825  cc 10527  cr 10528  0cc0 10529  cmin 10862  2c2 11684  cexp 13422  csqrt 14585  Σcsu 15035  Basecbs 16475  distcds 16566   Σg cgsu 16706  fldcrefld 20664  ℝ^crrx 23901
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-ext 2796  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-sup 8898  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-rp 12383  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-seq 13363  df-exp 13423  df-hash 13684  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-clim 14838  df-sum 15036  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-prds 16713  df-pws 16715  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-mhm 17946  df-grp 18038  df-minusg 18039  df-sbg 18040  df-subg 18208  df-ghm 18288  df-cntz 18379  df-cmn 18830  df-abl 18831  df-mgp 19162  df-ur 19174  df-ring 19221  df-cring 19222  df-oppr 19295  df-dvdsr 19313  df-unit 19314  df-invr 19344  df-dvr 19355  df-rnghom 19389  df-drng 19426  df-field 19427  df-subrg 19455  df-staf 19538  df-srng 19539  df-lmod 19558  df-lss 19626  df-sra 19866  df-rgmod 19867  df-cnfld 20462  df-refld 20665  df-dsmm 20792  df-frlm 20807  df-nm 23107  df-tng 23109  df-tcph 23688  df-rrx 23903
This theorem is referenced by:  rrxmfval  23924  rrxmet  23926  rrxdstprj1  23927
  Copyright terms: Public domain W3C validator