Theorem minplyann 34046

Description: The minimal polynomial for 𝐴 annihilates 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1annig1p.o	⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
ply1annig1p.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
ply1annig1p.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
ply1annig1p.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
ply1annig1p.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
ply1annig1p.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
minplyann.1	⊢ 0 = (0g‘𝐸)
minplyann.m	⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
minplyann	⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀‘𝐴))‘𝐴) = 0 )

Proof of Theorem minplyann

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1annig1p.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
2		ply1annig1p.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
3		ply1annig1p.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
4		ply1annig1p.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
5		ply1annig1p.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
6		ply1annig1p.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
7		minplyann.1	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐸)
8		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 } = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }
9		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (RSpan‘𝑃) = (RSpan‘𝑃)
10		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
11		minplyann.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	minplyval 34042	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = ((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }))
13		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s 𝐹)
14	13	sdrgdrng 20873	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
15	5, 14	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
16	4	fldcrngd 20828	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
17		sdrgsubrg 20874	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
18	5, 17	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
19	1, 2, 3, 16, 18, 6, 7, 8	ply1annidl 34039	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 } ∈ (LIdeal‘𝑃))
20		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘𝑃) = (LIdeal‘𝑃)
21	2, 10, 20	ig1pcl 26307	. . . . 5 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing ∧ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 } ∈ (LIdeal‘𝑃)) → ((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }) ∈ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 })
22	15, 19, 21	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }) ∈ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 })
23	12, 22	eqeltrd 2869	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 })
24		fveq2 6884	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = (𝑀‘𝐴) → (𝑂‘𝑞) = (𝑂‘(𝑀‘𝐴)))
25	24	fveq1d 6886	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = (𝑀‘𝐴) → ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = ((𝑂‘(𝑀‘𝐴))‘𝐴))
26	25	eqeq1d 2771	. . . 4 ⊢ (𝑞 = (𝑀‘𝐴) → (((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 ↔ ((𝑂‘(𝑀‘𝐴))‘𝐴) = 0 ))
27	26	elrab 3659	. . 3 ⊢ ((𝑀‘𝐴) ∈ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 } ↔ ((𝑀‘𝐴) ∈ dom 𝑂 ∧ ((𝑂‘(𝑀‘𝐴))‘𝐴) = 0 ))
28	23, 27	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴) ∈ dom 𝑂 ∧ ((𝑂‘(𝑀‘𝐴))‘𝐴) = 0 ))
29	28	simprd 500	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀‘𝐴))‘𝐴) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {crab 3423  dom cdm 5664  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413  Basecbs 17271   ↾_s cress 17292  0_gc0g 17494  SubRingcsubrg 20656  DivRingcdr 20815  Fieldcfield 20816  SubDRingcsdrg 20869  LIdealclidl 21310  RSpancrsp 21311  Poly₁cpl1 22308   evalSub₁ ces1 22444  idlGen_1pcig1p 26258   minPoly cminply 34036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179  ax-pre-sup 11180  ax-addf 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7677  df-ofr 7678  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9324  df-sup 9404  df-inf 9405  df-oi 9474  df-card 9927  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12236  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12865  df-fz 13538  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-hash 14369  df-struct 17209  df-sets 17226  df-slot 17244  df-ndx 17256  df-base 17272  df-ress 17293  df-plusg 17325  df-mulr 17326  df-starv 17327  df-sca 17328  df-vsca 17329  df-ip 17330  df-tset 17331  df-ple 17332  df-ds 17334  df-unif 17335  df-hom 17336  df-cco 17337  df-0g 17496  df-gsum 17497  df-prds 17502  df-pws 17504  df-mre 17640  df-mrc 17641  df-acs 17643  df-mgm 18700  df-sgrp 18779  df-mnd 18795  df-mhm 18843  df-submnd 18844  df-grp 19005  df-minusg 19006  df-sbg 19007  df-mulg 19136  df-subg 19191  df-ghm 19286  df-cntz 19389  df-cmn 19854  df-abl 19855  df-mgp 20219  df-rng 20233  df-ur 20266  df-srg 20271  df-ring 20319  df-cring 20320  df-oppr 20421  df-dvdsr 20441  df-unit 20442  df-invr 20472  df-rhm 20556  df-subrng 20633  df-subrg 20657  df-rlreg 20781  df-drng 20817  df-field 20818  df-sdrg 20870  df-lmod 20963  df-lss 21033  df-lsp 21073  df-sra 21274  df-rgmod 21275  df-lidl 21312  df-cnfld 21494  df-assa 21974  df-asp 21975  df-ascl 21976  df-psr 22030  df-mvr 22031  df-mpl 22032  df-opsr 22034  df-evls 22196  df-evl 22197  df-psr1 22311  df-vr1 22312  df-ply1 22313  df-coe1 22314  df-evls1 22446  df-evl1 22447  df-mdeg 26183  df-deg1 26184  df-mon1 26259  df-uc1p 26260  df-ig1p 26263  df-minply 34037

This theorem is referenced by:  minplyelirng  34052  irredminply  34053