Theorem minplyann 33699

Description: The minimal polynomial for 𝐴 annihilates 𝐴 (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1annig1p.o	⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
ply1annig1p.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
ply1annig1p.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
ply1annig1p.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
ply1annig1p.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
ply1annig1p.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
minplyann.1	⊢ 0 = (0g‘𝐸)
minplyann.m	⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
minplyann	⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀‘𝐴))‘𝐴) = 0 )

Proof of Theorem minplyann

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1annig1p.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
2		ply1annig1p.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
3		ply1annig1p.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
4		ply1annig1p.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
5		ply1annig1p.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
6		ply1annig1p.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
7		minplyann.1	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐸)
8		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 } = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }
9		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (RSpan‘𝑃) = (RSpan‘𝑃)
10		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
11		minplyann.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	minplyval 33695	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = ((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }))
13		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s 𝐹)
14	13	sdrgdrng 20699	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
15	5, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
16	4	fldcrngd 20651	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
17		sdrgsubrg 20700	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
18	5, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
19	1, 2, 3, 16, 18, 6, 7, 8	ply1annidl 33692	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 } ∈ (LIdeal‘𝑃))
20		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘𝑃) = (LIdeal‘𝑃)
21	2, 10, 20	ig1pcl 26084	. . . . 5 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing ∧ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 } ∈ (LIdeal‘𝑃)) → ((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }) ∈ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 })
22	15, 19, 21	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }) ∈ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 })
23	12, 22	eqeltrd 2828	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 })
24		fveq2 6858	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = (𝑀‘𝐴) → (𝑂‘𝑞) = (𝑂‘(𝑀‘𝐴)))
25	24	fveq1d 6860	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = (𝑀‘𝐴) → ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = ((𝑂‘(𝑀‘𝐴))‘𝐴))
26	25	eqeq1d 2731	. . . 4 ⊢ (𝑞 = (𝑀‘𝐴) → (((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 ↔ ((𝑂‘(𝑀‘𝐴))‘𝐴) = 0 ))
27	26	elrab 3659	. . 3 ⊢ ((𝑀‘𝐴) ∈ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 } ↔ ((𝑀‘𝐴) ∈ dom 𝑂 ∧ ((𝑂‘(𝑀‘𝐴))‘𝐴) = 0 ))
28	23, 27	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴) ∈ dom 𝑂 ∧ ((𝑂‘(𝑀‘𝐴))‘𝐴) = 0 ))
29	28	simprd 495	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀‘𝐴))‘𝐴) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3405  dom cdm 5638  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  0_gc0g 17402  SubRingcsubrg 20478  DivRingcdr 20638  Fieldcfield 20639  SubDRingcsdrg 20695  LIdealclidl 21116  RSpancrsp 21117  Poly₁cpl1 22061   evalSub₁ ces1 22200  idlGen_1pcig1p 26035   minPoly cminply 33689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-ofr 7654  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-tpos 8205  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-hash 14296  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-ghm 19145  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-srg 20096  df-ring 20144  df-cring 20145  df-oppr 20246  df-dvdsr 20266  df-unit 20267  df-invr 20297  df-rhm 20381  df-subrng 20455  df-subrg 20479  df-rlreg 20603  df-drng 20640  df-field 20641  df-sdrg 20696  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-lsp 20878  df-sra 21080  df-rgmod 21081  df-lidl 21118  df-cnfld 21265  df-assa 21762  df-asp 21763  df-ascl 21764  df-psr 21818  df-mvr 21819  df-mpl 21820  df-opsr 21822  df-evls 21981  df-evl 21982  df-psr1 22064  df-vr1 22065  df-ply1 22066  df-coe1 22067  df-evls1 22202  df-evl1 22203  df-mdeg 25960  df-deg1 25961  df-mon1 26036  df-uc1p 26037  df-ig1p 26040  df-minply 33690

This theorem is referenced by:  minplyelirng  33705  irredminply  33706