Theorem minplyann 33872

Description: The minimal polynomial for 𝐴 annihilates 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1annig1p.o	⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
ply1annig1p.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
ply1annig1p.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
ply1annig1p.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
ply1annig1p.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
ply1annig1p.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
minplyann.1	⊢ 0 = (0g‘𝐸)
minplyann.m	⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
minplyann	⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀‘𝐴))‘𝐴) = 0 )

Proof of Theorem minplyann

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1annig1p.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
2		ply1annig1p.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
3		ply1annig1p.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
4		ply1annig1p.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
5		ply1annig1p.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
6		ply1annig1p.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
7		minplyann.1	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐸)
8		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 } = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }
9		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (RSpan‘𝑃) = (RSpan‘𝑃)
10		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
11		minplyann.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	minplyval 33868	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = ((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }))
13		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s 𝐹)
14	13	sdrgdrng 20761	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
15	5, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
16	4	fldcrngd 20713	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
17		sdrgsubrg 20762	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
18	5, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
19	1, 2, 3, 16, 18, 6, 7, 8	ply1annidl 33865	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 } ∈ (LIdeal‘𝑃))
20		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘𝑃) = (LIdeal‘𝑃)
21	2, 10, 20	ig1pcl 26157	. . . . 5 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing ∧ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 } ∈ (LIdeal‘𝑃)) → ((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }) ∈ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 })
22	15, 19, 21	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }) ∈ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 })
23	12, 22	eqeltrd 2837	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 })
24		fveq2 6835	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = (𝑀‘𝐴) → (𝑂‘𝑞) = (𝑂‘(𝑀‘𝐴)))
25	24	fveq1d 6837	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = (𝑀‘𝐴) → ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = ((𝑂‘(𝑀‘𝐴))‘𝐴))
26	25	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ (𝑞 = (𝑀‘𝐴) → (((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 ↔ ((𝑂‘(𝑀‘𝐴))‘𝐴) = 0 ))
27	26	elrab 3635	. . 3 ⊢ ((𝑀‘𝐴) ∈ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 } ↔ ((𝑀‘𝐴) ∈ dom 𝑂 ∧ ((𝑂‘(𝑀‘𝐴))‘𝐴) = 0 ))
28	23, 27	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴) ∈ dom 𝑂 ∧ ((𝑂‘(𝑀‘𝐴))‘𝐴) = 0 ))
29	28	simprd 495	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀‘𝐴))‘𝐴) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390  dom cdm 5625  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Basecbs 17173   ↾_s cress 17194  0_gc0g 17396  SubRingcsubrg 20540  DivRingcdr 20700  Fieldcfield 20701  SubDRingcsdrg 20757  LIdealclidl 21199  RSpancrsp 21200  Poly₁cpl1 22153   evalSub₁ ces1 22291  idlGen_1pcig1p 26108   minPoly cminply 33862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110  ax-addf 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-ofr 7626  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-seq 13958  df-hash 14287  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-starv 17229  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-unif 17237  df-hom 17238  df-cco 17239  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-prds 17404  df-pws 17406  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-mhm 18745  df-submnd 18746  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-mulg 19038  df-subg 19093  df-ghm 19182  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-srg 20162  df-ring 20210  df-cring 20211  df-oppr 20311  df-dvdsr 20331  df-unit 20332  df-invr 20362  df-rhm 20446  df-subrng 20517  df-subrg 20541  df-rlreg 20665  df-drng 20702  df-field 20703  df-sdrg 20758  df-lmod 20851  df-lss 20921  df-lsp 20961  df-sra 21163  df-rgmod 21164  df-lidl 21201  df-cnfld 21348  df-assa 21846  df-asp 21847  df-ascl 21848  df-psr 21902  df-mvr 21903  df-mpl 21904  df-opsr 21906  df-evls 22065  df-evl 22066  df-psr1 22156  df-vr1 22157  df-ply1 22158  df-coe1 22159  df-evls1 22293  df-evl1 22294  df-mdeg 26033  df-deg1 26034  df-mon1 26109  df-uc1p 26110  df-ig1p 26113  df-minply 33863

This theorem is referenced by:  minplyelirng  33878  irredminply  33879