Theorem algextdeglem5 33711

Description: Lemma for algextdeg 33715. The subspace 𝑍 of annihilators of 𝐴 is a principal ideal generated by the minimal polynomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
algextdeg.k	⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
algextdeg.l	⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
algextdeg.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐸)
algextdeg.m	⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
algextdeg.f	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
algextdeg.e	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
algextdeg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
algextdeglem.o	⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
algextdeglem.y	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐾)
algextdeglem.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
algextdeglem.g	⊢ 𝐺 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))
algextdeglem.n	⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ [𝑥](𝑃 ~QG 𝑍))
algextdeglem.z	⊢ 𝑍 = (◡𝐺 “ {(0g‘𝐿)})
algextdeglem.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝑍))
algextdeglem.j	⊢ 𝐽 = (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐺 “ 𝑝))

Assertion

Ref	Expression
algextdeglem5	⊢ (𝜑 → 𝑍 = ((RSpan‘𝑃)‘{(𝑀‘𝐴)}))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐸,𝑝   𝐹,𝑝,𝑥   𝐺,𝑝,𝑥   𝐽,𝑝,𝑥   𝐾,𝑝   𝐿,𝑝,𝑥   𝑥,𝑁   𝑂,𝑝   𝑃,𝑝,𝑥   𝑄,𝑝,𝑥   𝑈,𝑝,𝑥   𝑍,𝑝,𝑥   𝜑,𝑝,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐷(𝑥,𝑝)   𝐸(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑀(𝑥,𝑝)   𝑁(𝑝)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem algextdeglem5

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		algextdeglem.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
2		algextdeglem.y	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐾)
3		algextdeg.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
4	3	fveq2i 6861	. . . 4 ⊢ (Poly1‘𝐾) = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
5	2, 4	eqtri 2752	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
6		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
7		algextdeg.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
8		algextdeg.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
9		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐸) = (0g‘𝐸)
10	7	fldcrngd 20651	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
11		issdrg 20697	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
12	8, 11	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
13	12	simp2d 1143	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
14	1, 3, 6, 9, 10, 13	irngssv 33683	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 IntgRing 𝐹) ⊆ (Base‘𝐸))
15		algextdeg.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
16	14, 15	sseldd 3947	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝐸))
17		eqid 2729	. . 3 ⊢ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}
18		eqid 2729	. . 3 ⊢ (RSpan‘𝑃) = (RSpan‘𝑃)
19		eqid 2729	. . 3 ⊢ (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
20	1, 5, 6, 7, 8, 16, 9, 17, 18, 19	ply1annig1p 33694	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} = ((RSpan‘𝑃)‘{((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})}))
21		algextdeglem.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (◡𝐺 “ {(0g‘𝐿)})
22	10	crnggrpd 20156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Grp)
23	22	grpmndd 18878	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Mnd)
24	7	flddrngd 20650	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
25		subrgsubg 20486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐸))
26	6	subgss 19059	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐸) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐸))
27	13, 25, 26	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐸))
28	16	snssd 4773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ (Base‘𝐸))
29	27, 28	unssd 4155	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∪ {𝐴}) ⊆ (Base‘𝐸))
30	6, 24, 29	fldgensdrg 33264	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ∈ (SubDRing‘𝐸))
31		sdrgsubrg 20700	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ∈ (SubDRing‘𝐸) → (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ∈ (SubRing‘𝐸))
32		subrgsubg 20486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ∈ (SubRing‘𝐸) → (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ∈ (SubGrp‘𝐸))
33	9	subg0cl 19066	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ∈ (SubGrp‘𝐸) → (0g‘𝐸) ∈ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
34	30, 31, 32, 33	4syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐸) ∈ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
35	6, 24, 29	fldgenssv 33265	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ⊆ (Base‘𝐸))
36		algextdeg.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
37	36, 6, 9	ress0g 18689	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ Mnd ∧ (0g‘𝐸) ∈ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ∧ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ⊆ (Base‘𝐸)) → (0g‘𝐸) = (0g‘𝐿))
38	23, 34, 35, 37	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐸) = (0g‘𝐿))
39	38	sneqd 4601	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝐸)} = {(0g‘𝐿)})
40	39	imaeq2d 6031	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐺 “ {(0g‘𝐸)}) = (◡𝐺 “ {(0g‘𝐿)}))
41	21, 40	eqtr4id 2783	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (◡𝐺 “ {(0g‘𝐸)}))
42		algextdeglem.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))
43		algextdeglem.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
44	43	mpteq1i 5198	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴)) = (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))
45	42, 44	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))
46	1, 5, 6, 10, 13, 16, 9, 17, 45	ply1annidllem 33691	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} = (◡𝐺 “ {(0g‘𝐸)}))
47	41, 46	eqtr4d 2767	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})
48		algextdeg.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
49	1, 5, 6, 7, 8, 16, 9, 17, 18, 19, 48	minplyval 33695	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = ((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}))
50	49	sneqd 4601	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝑀‘𝐴)} = {((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})})
51	50	fveq2d 6862	. 2 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑃)‘{(𝑀‘𝐴)}) = ((RSpan‘𝑃)‘{((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})}))
52	20, 47, 51	3eqtr4d 2774	1 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = ((RSpan‘𝑃)‘{(𝑀‘𝐴)}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3405   ∪ cun 3912   ⊆ wss 3914  {csn 4589  ∪ cuni 4871   ↦ cmpt 5188  ^◡ccnv 5637  dom cdm 5638   “ cima 5641  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  [cec 8669  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  0_gc0g 17402   /_s cqus 17468  Mndcmnd 18661  SubGrpcsubg 19052   ~_QG cqg 19054  SubRingcsubrg 20478  DivRingcdr 20638  Fieldcfield 20639  SubDRingcsdrg 20695  RSpancrsp 21117  Poly₁cpl1 22061   evalSub₁ ces1 22200  deg₁cdg1 25959  idlGen_1pcig1p 26035   fldGen cfldgen 33260   IntgRing cirng 33678   minPoly cminply 33689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-ofr 7654  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-tpos 8205  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-hash 14296  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-ghm 19145  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-srg 20096  df-ring 20144  df-cring 20145  df-oppr 20246  df-dvdsr 20266  df-unit 20267  df-invr 20297  df-dvr 20310  df-rhm 20381  df-subrng 20455  df-subrg 20479  df-rlreg 20603  df-drng 20640  df-field 20641  df-sdrg 20696  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-lsp 20878  df-sra 21080  df-rgmod 21081  df-lidl 21118  df-rsp 21119  df-cnfld 21265  df-assa 21762  df-asp 21763  df-ascl 21764  df-psr 21818  df-mvr 21819  df-mpl 21820  df-opsr 21822  df-evls 21981  df-evl 21982  df-psr1 22064  df-vr1 22065  df-ply1 22066  df-coe1 22067  df-evls1 22202  df-evl1 22203  df-mdeg 25960  df-deg1 25961  df-mon1 26036  df-uc1p 26037  df-q1p 26038  df-r1p 26039  df-ig1p 26040  df-fldgen 33261  df-irng 33679  df-minply 33690

This theorem is referenced by:  algextdeglem6  33712