Theorem algextdeglem5 34092

Description: Lemma for algextdeg 34096. The subspace 𝑍 of annihilators of 𝐴 is a principal ideal generated by the minimal polynomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
algextdeg.k	⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
algextdeg.l	⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
algextdeg.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐸)
algextdeg.m	⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
algextdeg.f	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
algextdeg.e	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
algextdeg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
algextdeglem.o	⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
algextdeglem.y	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐾)
algextdeglem.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
algextdeglem.g	⊢ 𝐺 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))
algextdeglem.n	⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ [𝑥](𝑃 ~QG 𝑍))
algextdeglem.z	⊢ 𝑍 = (◡𝐺 “ {(0g‘𝐿)})
algextdeglem.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝑍))
algextdeglem.j	⊢ 𝐽 = (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐺 “ 𝑝))

Assertion

Ref	Expression
algextdeglem5	⊢ (𝜑 → 𝑍 = ((RSpan‘𝑃)‘{(𝑀‘𝐴)}))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐸,𝑝   𝐹,𝑝,𝑥   𝐺,𝑝,𝑥   𝐽,𝑝,𝑥   𝐾,𝑝   𝐿,𝑝,𝑥   𝑥,𝑁   𝑂,𝑝   𝑃,𝑝,𝑥   𝑄,𝑝,𝑥   𝑈,𝑝,𝑥   𝑍,𝑝,𝑥   𝜑,𝑝,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐷(𝑥,𝑝)   𝐸(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑀(𝑥,𝑝)   𝑁(𝑝)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem algextdeglem5

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		algextdeglem.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
2		algextdeglem.y	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐾)
3		algextdeg.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
4	3	fveq2i 6886	. . . 4 ⊢ (Poly1‘𝐾) = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
5	2, 4	eqtri 2786	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
6		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
7		algextdeg.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
8		algextdeg.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
9		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐸) = (0g‘𝐸)
10	7	fldcrngd 20829	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
11		issdrg 20872	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
12	8, 11	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
13	12	simp2d 1161	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
14	1, 3, 6, 9, 10, 13	irngssv 34059	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 IntgRing 𝐹) ⊆ (Base‘𝐸))
15		algextdeg.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
16	14, 15	sseldd 3939	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝐸))
17		eqid 2763	. . 3 ⊢ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}
18		eqid 2763	. . 3 ⊢ (RSpan‘𝑃) = (RSpan‘𝑃)
19		eqid 2763	. . 3 ⊢ (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
20	1, 5, 6, 7, 8, 16, 9, 17, 18, 19	ply1annig1p 34075	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} = ((RSpan‘𝑃)‘{((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})}))
21		algextdeglem.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (◡𝐺 “ {(0g‘𝐿)})
22	10	crnggrpd 20330	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Grp)
23	22	grpmndd 19014	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Mnd)
24	7	flddrngd 20828	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
25		subrgsubg 20663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐸))
26	6	subgss 19194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐸) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐸))
27	13, 25, 26	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐸))
28	16	snssd 4753	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ (Base‘𝐸))
29	27, 28	unssd 4146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∪ {𝐴}) ⊆ (Base‘𝐸))
30	6, 24, 29	fldgensdrg 33616	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ∈ (SubDRing‘𝐸))
31		sdrgsubrg 20875	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ∈ (SubDRing‘𝐸) → (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ∈ (SubRing‘𝐸))
32		subrgsubg 20663	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ∈ (SubRing‘𝐸) → (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ∈ (SubGrp‘𝐸))
33	9	subg0cl 19201	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ∈ (SubGrp‘𝐸) → (0g‘𝐸) ∈ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
34	30, 31, 32, 33	4syl 20	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐸) ∈ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
35	6, 24, 29	fldgenssv 33617	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ⊆ (Base‘𝐸))
36		algextdeg.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
37	36, 6, 9	ress0g 18821	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ Mnd ∧ (0g‘𝐸) ∈ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ∧ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ⊆ (Base‘𝐸)) → (0g‘𝐸) = (0g‘𝐿))
38	23, 34, 35, 37	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐸) = (0g‘𝐿))
39	38	sneqd 4602	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝐸)} = {(0g‘𝐿)})
40	39	imaeq2d 6064	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐺 “ {(0g‘𝐸)}) = (◡𝐺 “ {(0g‘𝐿)}))
41	21, 40	eqtr4id 2817	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (◡𝐺 “ {(0g‘𝐸)}))
42		algextdeglem.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))
43		algextdeglem.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
44	43	mpteq1i 5203	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴)) = (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))
45	42, 44	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))
46	1, 5, 6, 10, 13, 16, 9, 17, 45	ply1annidllem 34072	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} = (◡𝐺 “ {(0g‘𝐸)}))
47	41, 46	eqtr4d 2801	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})
48		algextdeg.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
49	1, 5, 6, 7, 8, 16, 9, 17, 18, 19, 48	minplyval 34076	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = ((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}))
50	49	sneqd 4602	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝑀‘𝐴)} = {((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})})
51	50	fveq2d 6887	. 2 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑃)‘{(𝑀‘𝐴)}) = ((RSpan‘𝑃)‘{((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})}))
52	20, 47, 51	3eqtr4d 2808	1 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = ((RSpan‘𝑃)‘{(𝑀‘𝐴)}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {crab 3416   ∪ cun 3904   ⊆ wss 3906  {csn 4590  ∪ cuni 4873   ↦ cmpt 5193  ^◡ccnv 5662  dom cdm 5663   “ cima 5666  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  [cec 8693  Basecbs 17270   ↾_s cress 17291  0_gc0g 17493   /_s cqus 17560  Mndcmnd 18793  SubGrpcsubg 19187   ~_QG cqg 19189  SubRingcsubrg 20655  DivRingcdr 20814  Fieldcfield 20815  SubDRingcsdrg 20870  RSpancrsp 21312  Poly₁cpl1 22318   evalSub₁ ces1 22454  deg₁cdg1 26192  idlGen_1pcig1p 26268   fldGen cfldgen 33612   IntgRing cirng 34054   minPoly cminply 34070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179  ax-addf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-tpos 8223  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-hash 14369  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-prds 17501  df-pws 17503  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-mhm 18842  df-submnd 18843  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-mulg 19135  df-subg 19190  df-ghm 19285  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-srg 20270  df-ring 20318  df-cring 20319  df-oppr 20420  df-dvdsr 20440  df-unit 20441  df-invr 20471  df-dvr 20484  df-rhm 20555  df-subrng 20632  df-subrg 20656  df-rlreg 20780  df-drng 20816  df-field 20817  df-sdrg 20871  df-lmod 20964  df-lss 21034  df-lsp 21074  df-sra 21275  df-rgmod 21276  df-lidl 21313  df-rsp 21314  df-cnfld 21504  df-assa 21984  df-asp 21985  df-ascl 21986  df-psr 22040  df-mvr 22041  df-mpl 22042  df-opsr 22044  df-evls 22206  df-evl 22207  df-psr1 22321  df-vr1 22322  df-ply1 22323  df-coe1 22324  df-evls1 22456  df-evl1 22457  df-mdeg 26193  df-deg1 26194  df-mon1 26269  df-uc1p 26270  df-q1p 26271  df-r1p 26272  df-ig1p 26273  df-fldgen 33613  df-irng 34055  df-minply 34071

This theorem is referenced by:  algextdeglem6  34093