Theorem algextdeglem5 34231

Description: Lemma for algextdeg 34235. The subspace 𝑍 of annihilators of 𝐴 is a principal ideal generated by the minimal polynomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
algextdeg.k	⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
algextdeg.l	⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
algextdeg.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐸)
algextdeg.m	⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
algextdeg.f	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
algextdeg.e	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
algextdeg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
algextdeglem.o	⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
algextdeglem.y	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐾)
algextdeglem.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
algextdeglem.g	⊢ 𝐺 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))
algextdeglem.n	⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ [𝑥](𝑃 ~QG 𝑍))
algextdeglem.z	⊢ 𝑍 = (◡𝐺 “ {(0g‘𝐿)})
algextdeglem.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝑍))
algextdeglem.j	⊢ 𝐽 = (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐺 “ 𝑝))

Assertion

Ref	Expression
algextdeglem5	⊢ (𝜑 → 𝑍 = ((RSpan‘𝑃)‘{(𝑀‘𝐴)}))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐸,𝑝   𝐹,𝑝,𝑥   𝐺,𝑝,𝑥   𝐽,𝑝,𝑥   𝐾,𝑝   𝐿,𝑝,𝑥   𝑥,𝑁   𝑂,𝑝   𝑃,𝑝,𝑥   𝑄,𝑝,𝑥   𝑈,𝑝,𝑥   𝑍,𝑝,𝑥   𝜑,𝑝,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐷(𝑥, 𝑝)   𝐸(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑀(𝑥, 𝑝)   𝑁(𝑝)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem algextdeglem5

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		algextdeglem.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
2		algextdeglem.y	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐾)
3		algextdeg.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
4	3	fveq2i 6881	. . . 4 ⊢ (Poly1‘𝐾) = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
5	2, 4	eqtri 2783	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
6		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
7		algextdeg.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
8		algextdeg.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
9		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐸) = (0g‘𝐸)
10	7	fldcrngd 20905	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
11		issdrg 20954	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
12	8, 11	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
13	12	simp2d 1161	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
14	1, 3, 6, 9, 10, 13	irngssv 34198	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 IntgRing 𝐹) ⊆ (Base‘𝐸))
15		algextdeg.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
16	14, 15	sseldd 3932	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝐸))
17		eqid 2760	. . 3 ⊢ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}
18		eqid 2760	. . 3 ⊢ (RSpan‘𝑃) = (RSpan‘𝑃)
19		eqid 2760	. . 3 ⊢ (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
20	1, 5, 6, 7, 8, 16, 9, 17, 18, 19	ply1annig1p 34214	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} = ((RSpan‘𝑃)‘{((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})}))
21		algextdeglem.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (◡𝐺 “ {(0g‘𝐿)})
22	10	crnggrpd 20386	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Grp)
23	22	grpmndd 19070	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Mnd)
24	7	flddrngd 20904	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
25		subrgsubg 20739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐸))
26	6	subgss 19250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐸) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐸))
27	13, 25, 26	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐸))
28	16	snssd 4747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ (Base‘𝐸))
29	27, 28	unssd 4138	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∪ {𝐴}) ⊆ (Base‘𝐸))
30	6, 24, 29	fldgensdrg 33755	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ∈ (SubDRing‘𝐸))
31		sdrgsubrg 20957	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ∈ (SubDRing‘𝐸) → (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ∈ (SubRing‘𝐸))
32		subrgsubg 20739	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ∈ (SubRing‘𝐸) → (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ∈ (SubGrp‘𝐸))
33	9	subg0cl 19257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ∈ (SubGrp‘𝐸) → (0g‘𝐸) ∈ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
34	30, 31, 32, 33	4syl 20	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐸) ∈ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
35	6, 24, 29	fldgenssv 33756	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ⊆ (Base‘𝐸))
36		algextdeg.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
37	36, 6, 9	ress0g 18867	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ Mnd ∧ (0g‘𝐸) ∈ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ∧ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ⊆ (Base‘𝐸)) → (0g‘𝐸) = (0g‘𝐿))
38	23, 34, 35, 37	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐸) = (0g‘𝐿))
39	38	sneqd 4596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝐸)} = {(0g‘𝐿)})
40	39	imaeq2d 6056	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐺 “ {(0g‘𝐸)}) = (◡𝐺 “ {(0g‘𝐿)}))
41	21, 40	eqtr4id 2814	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (◡𝐺 “ {(0g‘𝐸)}))
42		algextdeglem.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))
43		algextdeglem.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
44	43	mpteq1i 5196	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴)) = (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))
45	42, 44	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))
46	1, 5, 6, 10, 13, 16, 9, 17, 45	ply1annidllem 34211	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} = (◡𝐺 “ {(0g‘𝐸)}))
47	41, 46	eqtr4d 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})
48		algextdeg.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
49	1, 5, 6, 7, 8, 16, 9, 17, 18, 19, 48	minplyval 34215	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = ((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}))
50	49	sneqd 4596	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝑀‘𝐴)} = {((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})})
51	50	fveq2d 6882	. 2 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑃)‘{(𝑀‘𝐴)}) = ((RSpan‘𝑃)‘{((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})}))
52	20, 47, 51	3eqtr4d 2805	1 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = ((RSpan‘𝑃)‘{(𝑀‘𝐴)}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3412   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ∪ cuni 4867   ↦ cmpt 5186  ^◡ccnv 5654  dom cdm 5655   “ cima 5658  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  [cec 8694  Basecbs 17301   ↾_s cress 17322  0_gc0g 17524   /_s cqus 17591  Mndcmnd 18836  SubGrpcsubg 19243   ~_QG cqg 19245  SubRingcsubrg 20731  DivRingcdr 20890  Fieldcfield 20891  SubDRingcsdrg 20952  RSpancrsp 21394  Poly₁cpl1 22402   evalSub₁ ces1 22538  deg₁cdg1 26279  idlGen_1pcig1p 26355   fldGen cfldgen 33751   IntgRing cirng 34193   minPoly cminply 34209

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-ofr 7679  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-hash 14395  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-starv 17357  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-unif 17365  df-hom 17366  df-cco 17367  df-0g 17526  df-gsum 17527  df-prds 17532  df-pws 17534  df-mre 17670  df-mrc 17671  df-acs 17673  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-mhm 18891  df-submnd 18892  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-sbg 19062  df-mulg 19191  df-subg 19246  df-ghm 19341  df-cntz 19444  df-cmn 19909  df-abl 19910  df-mgp 20274  df-rng 20288  df-ur 20321  df-srg 20326  df-ring 20374  df-cring 20375  df-oppr 20478  df-dvdsr 20498  df-unit 20499  df-invr 20529  df-dvr 20542  df-rhm 20613  df-subrng 20708  df-subrg 20732  df-rlreg 20856  df-drng 20892  df-field 20893  df-sdrg 20953  df-lmod 21046  df-lss 21116  df-lsp 21156  df-sra 21357  df-rgmod 21358  df-lidl 21395  df-rsp 21396  df-cnfld 21586  df-assa 22068  df-asp 22069  df-ascl 22070  df-psr 22124  df-mvr 22125  df-mpl 22126  df-opsr 22128  df-evls 22290  df-evl 22291  df-psr1 22405  df-vr1 22406  df-ply1 22407  df-coe1 22408  df-evls1 22540  df-evl1 22541  df-mdeg 26280  df-deg1 26281  df-mon1 26356  df-uc1p 26357  df-q1p 26358  df-r1p 26359  df-ig1p 26360  df-fldgen 33752  df-irng 34194  df-minply 34210

This theorem is used by:  algextdeglem6  34232