Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  algextdeglem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem algextdeglem5 33727
Description: Lemma for algextdeg 33731. The subspace 𝑍 of annihilators of 𝐴 is a principal ideal generated by the minimal polynomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
algextdeg.k 𝐾 = (𝐸s 𝐹)
algextdeg.l 𝐿 = (𝐸s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
algextdeg.d 𝐷 = (deg1𝐸)
algextdeg.m 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
algextdeg.f (𝜑𝐸 ∈ Field)
algextdeg.e (𝜑𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
algextdeg.a (𝜑𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
algextdeglem.o 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
algextdeglem.y 𝑃 = (Poly1𝐾)
algextdeglem.u 𝑈 = (Base‘𝑃)
algextdeglem.g 𝐺 = (𝑝𝑈 ↦ ((𝑂𝑝)‘𝐴))
algextdeglem.n 𝑁 = (𝑥𝑈 ↦ [𝑥](𝑃 ~QG 𝑍))
algextdeglem.z 𝑍 = (𝐺 “ {(0g𝐿)})
algextdeglem.q 𝑄 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝑍))
algextdeglem.j 𝐽 = (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ (𝐺𝑝))
Assertion
Ref Expression
algextdeglem5 (𝜑𝑍 = ((RSpan‘𝑃)‘{(𝑀𝐴)}))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐸,𝑝   𝐹,𝑝,𝑥   𝐺,𝑝,𝑥   𝐽,𝑝,𝑥   𝐾,𝑝   𝐿,𝑝,𝑥   𝑥,𝑁   𝑂,𝑝   𝑃,𝑝,𝑥   𝑄,𝑝,𝑥   𝑈,𝑝,𝑥   𝑍,𝑝,𝑥   𝜑,𝑝,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐷(𝑥,𝑝)   𝐸(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑀(𝑥,𝑝)   𝑁(𝑝)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem algextdeglem5
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 algextdeglem.o . . 3 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
2 algextdeglem.y . . . 4 𝑃 = (Poly1𝐾)
3 algextdeg.k . . . . 5 𝐾 = (𝐸s 𝐹)
43fveq2i 6910 . . . 4 (Poly1𝐾) = (Poly1‘(𝐸s 𝐹))
52, 4eqtri 2763 . . 3 𝑃 = (Poly1‘(𝐸s 𝐹))
6 eqid 2735 . . 3 (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
7 algextdeg.f . . 3 (𝜑𝐸 ∈ Field)
8 algextdeg.e . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
9 eqid 2735 . . . . 5 (0g𝐸) = (0g𝐸)
107fldcrngd 20759 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ CRing)
11 issdrg 20806 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸s 𝐹) ∈ DivRing))
128, 11sylib 218 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸s 𝐹) ∈ DivRing))
1312simp2d 1142 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
141, 3, 6, 9, 10, 13irngssv 33703 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 IntgRing 𝐹) ⊆ (Base‘𝐸))
15 algextdeg.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
1614, 15sseldd 3996 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (Base‘𝐸))
17 eqid 2735 . . 3 {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂𝑞)‘𝐴) = (0g𝐸)} = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂𝑞)‘𝐴) = (0g𝐸)}
18 eqid 2735 . . 3 (RSpan‘𝑃) = (RSpan‘𝑃)
19 eqid 2735 . . 3 (idlGen1p‘(𝐸s 𝐹)) = (idlGen1p‘(𝐸s 𝐹))
201, 5, 6, 7, 8, 16, 9, 17, 18, 19ply1annig1p 33712 . 2 (𝜑 → {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂𝑞)‘𝐴) = (0g𝐸)} = ((RSpan‘𝑃)‘{((idlGen1p‘(𝐸s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂𝑞)‘𝐴) = (0g𝐸)})}))
21 algextdeglem.z . . . 4 𝑍 = (𝐺 “ {(0g𝐿)})
2210crnggrpd 20265 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ Grp)
2322grpmndd 18977 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ Mnd)
247flddrngd 20758 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ DivRing)
25 subrgsubg 20594 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐸))
266subgss 19158 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐸) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐸))
2713, 25, 263syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ⊆ (Base‘𝐸))
2816snssd 4814 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝐴} ⊆ (Base‘𝐸))
2927, 28unssd 4202 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 ∪ {𝐴}) ⊆ (Base‘𝐸))
306, 24, 29fldgensdrg 33296 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ∈ (SubDRing‘𝐸))
31 sdrgsubrg 20809 . . . . . . . 8 ((𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ∈ (SubDRing‘𝐸) → (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ∈ (SubRing‘𝐸))
32 subrgsubg 20594 . . . . . . . 8 ((𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ∈ (SubRing‘𝐸) → (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ∈ (SubGrp‘𝐸))
339subg0cl 19165 . . . . . . . 8 ((𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ∈ (SubGrp‘𝐸) → (0g𝐸) ∈ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
3430, 31, 32, 334syl 19 . . . . . . 7 (𝜑 → (0g𝐸) ∈ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
356, 24, 29fldgenssv 33297 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ⊆ (Base‘𝐸))
36 algextdeg.l . . . . . . . 8 𝐿 = (𝐸s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
3736, 6, 9ress0g 18788 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ Mnd ∧ (0g𝐸) ∈ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ∧ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ⊆ (Base‘𝐸)) → (0g𝐸) = (0g𝐿))
3823, 34, 35, 37syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝐸) = (0g𝐿))
3938sneqd 4643 . . . . 5 (𝜑 → {(0g𝐸)} = {(0g𝐿)})
4039imaeq2d 6080 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 “ {(0g𝐸)}) = (𝐺 “ {(0g𝐿)}))
4121, 40eqtr4id 2794 . . 3 (𝜑𝑍 = (𝐺 “ {(0g𝐸)}))
42 algextdeglem.g . . . . 5 𝐺 = (𝑝𝑈 ↦ ((𝑂𝑝)‘𝐴))
43 algextdeglem.u . . . . . 6 𝑈 = (Base‘𝑃)
4443mpteq1i 5244 . . . . 5 (𝑝𝑈 ↦ ((𝑂𝑝)‘𝐴)) = (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂𝑝)‘𝐴))
4542, 44eqtri 2763 . . . 4 𝐺 = (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂𝑝)‘𝐴))
461, 5, 6, 10, 13, 16, 9, 17, 45ply1annidllem 33709 . . 3 (𝜑 → {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂𝑞)‘𝐴) = (0g𝐸)} = (𝐺 “ {(0g𝐸)}))
4741, 46eqtr4d 2778 . 2 (𝜑𝑍 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂𝑞)‘𝐴) = (0g𝐸)})
48 algextdeg.m . . . . 5 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
491, 5, 6, 7, 8, 16, 9, 17, 18, 19, 48minplyval 33713 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐴) = ((idlGen1p‘(𝐸s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂𝑞)‘𝐴) = (0g𝐸)}))
5049sneqd 4643 . . 3 (𝜑 → {(𝑀𝐴)} = {((idlGen1p‘(𝐸s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂𝑞)‘𝐴) = (0g𝐸)})})
5150fveq2d 6911 . 2 (𝜑 → ((RSpan‘𝑃)‘{(𝑀𝐴)}) = ((RSpan‘𝑃)‘{((idlGen1p‘(𝐸s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂𝑞)‘𝐴) = (0g𝐸)})}))
5220, 47, 513eqtr4d 2785 1 (𝜑𝑍 = ((RSpan‘𝑃)‘{(𝑀𝐴)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433  cun 3961  wss 3963  {csn 4631   cuni 4912  cmpt 5231  ccnv 5688  dom cdm 5689  cima 5692  cfv 6563  (class class class)co 7431  [cec 8742  Basecbs 17245  s cress 17274  0gc0g 17486   /s cqus 17552  Mndcmnd 18760  SubGrpcsubg 19151   ~QG cqg 19153  SubRingcsubrg 20586  DivRingcdr 20746  Fieldcfield 20747  SubDRingcsdrg 20804  RSpancrsp 21235  Poly1cpl1 22194   evalSub1 ces1 22333  deg1cdg1 26108  idlGen1pcig1p 26184   fldGen cfldgen 33292   IntgRing cirng 33698   minPoly cminply 33707
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-srg 20205  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-rlreg 20711  df-drng 20748  df-field 20749  df-sdrg 20805  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-lidl 21236  df-rsp 21237  df-cnfld 21383  df-assa 21891  df-asp 21892  df-ascl 21893  df-psr 21947  df-mvr 21948  df-mpl 21949  df-opsr 21951  df-evls 22116  df-evl 22117  df-psr1 22197  df-vr1 22198  df-ply1 22199  df-coe1 22200  df-evls1 22335  df-evl1 22336  df-mdeg 26109  df-deg1 26110  df-mon1 26185  df-uc1p 26186  df-q1p 26187  df-r1p 26188  df-ig1p 26189  df-fldgen 33293  df-irng 33699  df-minply 33708
This theorem is referenced by:  algextdeglem6  33728
  Copyright terms: Public domain W3C validator