Theorem algextdeglem6 33735

Description: Lemma for algextdeg 33738. By r1pquslmic 33571, the univariate polynomial remainder ring (𝐻 “_s 𝑃) is isomorphic with the quotient ring 𝑄. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
algextdeg.k	⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
algextdeg.l	⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
algextdeg.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐸)
algextdeg.m	⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
algextdeg.f	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
algextdeg.e	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
algextdeg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
algextdeglem.o	⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
algextdeglem.y	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐾)
algextdeglem.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
algextdeglem.g	⊢ 𝐺 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))
algextdeglem.n	⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ [𝑥](𝑃 ~QG 𝑍))
algextdeglem.z	⊢ 𝑍 = (◡𝐺 “ {(0g‘𝐿)})
algextdeglem.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝑍))
algextdeglem.j	⊢ 𝐽 = (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐺 “ 𝑝))
algextdeglem.r	⊢ 𝑅 = (rem1p‘𝐾)
algextdeglem.h	⊢ 𝐻 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)))

Assertion

Ref	Expression
algextdeglem6	⊢ (𝜑 → (dim‘𝑄) = (dim‘(𝐻 “s 𝑃)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐸,𝑝   𝐹,𝑝,𝑥   𝐺,𝑝,𝑥   𝐻,𝑝   𝐽,𝑝,𝑥   𝐾,𝑝   𝐿,𝑝,𝑥   𝑀,𝑝   𝑥,𝑁   𝑂,𝑝   𝑃,𝑝,𝑥   𝑄,𝑝,𝑥   𝑅,𝑝   𝑈,𝑝,𝑥   𝑍,𝑝,𝑥   𝜑,𝑝,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐷(𝑥,𝑝)   𝑅(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑝)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem algextdeglem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		algextdeglem.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝑍))
2		algextdeg.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
3		algextdeg.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
4		algextdeg.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐸)
5		algextdeg.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
6		algextdeg.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
7		algextdeg.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
8		algextdeg.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
9		algextdeglem.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
10		algextdeglem.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐾)
11		algextdeglem.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
12		algextdeglem.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))
13		algextdeglem.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ [𝑥](𝑃 ~QG 𝑍))
14		algextdeglem.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (◡𝐺 “ {(0g‘𝐿)})
15		algextdeglem.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐺 “ 𝑝))
16	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 1, 15	algextdeglem5 33734	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = ((RSpan‘𝑃)‘{(𝑀‘𝐴)}))
17		sdrgsubrg 20706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
18	7, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
19	2	subrgring 20489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝐾 ∈ Ring)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Ring)
21	10	ply1ring 22160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
23	2	fveq2i 6825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Poly1‘𝐾) = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
24	10, 23	eqtri 2754	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
25		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
26		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝐸) = (0g‘𝐸)
27	6	fldcrngd 20657	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
28	9, 2, 25, 26, 27, 18	irngssv 33701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 IntgRing 𝐹) ⊆ (Base‘𝐸))
29	28, 8	sseldd 3930	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝐸))
30		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑝 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} = {𝑝 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}
31		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (RSpan‘𝑃) = (RSpan‘𝑃)
32		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
33	9, 24, 25, 6, 7, 29, 26, 30, 31, 32, 5	minplycl 33719	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘𝑃))
34	33, 11	eleqtrrdi 2842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ 𝑈)
35		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (∥r‘𝑃) = (∥r‘𝑃)
36	11, 31, 35	rspsn 21270	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ 𝑈) → ((RSpan‘𝑃)‘{(𝑀‘𝐴)}) = {𝑝 ∣ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝})
37	22, 34, 36	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑃)‘{(𝑀‘𝐴)}) = {𝑝 ∣ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝})
38		nfv 1915	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑝𝜑
39		nfab1 2896	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑝{𝑝 ∣ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝}
40		nfrab1 3415	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑝{𝑝 ∈ 𝑈 ∣ (𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃)}
41	11, 35	dvdsrcl2 20284	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝) → 𝑝 ∈ 𝑈)
42	41	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → ((𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝 → 𝑝 ∈ 𝑈))
43	42	pm4.71rd 562	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → ((𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝 ↔ (𝑝 ∈ 𝑈 ∧ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝)))
44	22, 43	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝 ↔ (𝑝 ∈ 𝑈 ∧ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝)))
45	20	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝐾 ∈ Ring)
46		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑝 ∈ 𝑈)
47		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0g‘(Poly1‘𝐸)) = (0g‘(Poly1‘𝐸))
48	2	fveq2i 6825	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Monic1p‘𝐾) = (Monic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
49	47, 6, 7, 5, 8, 48	minplym1p 33726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Monic1p‘𝐾))
50		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Unic1p‘𝐾) = (Unic1p‘𝐾)
51		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Monic1p‘𝐾) = (Monic1p‘𝐾)
52	50, 51	mon1puc1p 26083	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ (Monic1p‘𝐾)) → (𝑀‘𝐴) ∈ (Unic1p‘𝐾))
53	20, 49, 52	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Unic1p‘𝐾))
54	53	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (𝑀‘𝐴) ∈ (Unic1p‘𝐾))
55		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
56		algextdeglem.r	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑅 = (rem1p‘𝐾)
57	10, 35, 11, 50, 55, 56	dvdsr1p 26096	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ 𝑈 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ (Unic1p‘𝐾)) → ((𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝 ↔ (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)) = (0g‘𝑃)))
58	45, 46, 54, 57	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → ((𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝 ↔ (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)) = (0g‘𝑃)))
59		ovexd 7381	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)) ∈ V)
60		algextdeglem.h	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐻 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)))
61	60	fvmpt2 6940	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝑈 ∧ (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)) ∈ V) → (𝐻‘𝑝) = (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)))
62	46, 59, 61	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (𝐻‘𝑝) = (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)))
63	62	eqeq1d 2733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → ((𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃) ↔ (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)) = (0g‘𝑃)))
64	58, 63	bitr4d 282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → ((𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝 ↔ (𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃)))
65	64	pm5.32da 579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∈ 𝑈 ∧ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝) ↔ (𝑝 ∈ 𝑈 ∧ (𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃))))
66	44, 65	bitrd 279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝 ↔ (𝑝 ∈ 𝑈 ∧ (𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃))))
67		abid 2713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑝 ∣ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝} ↔ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝)
68		rabid 3416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑝 ∈ 𝑈 ∣ (𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃)} ↔ (𝑝 ∈ 𝑈 ∧ (𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃)))
69	66, 67, 68	3bitr4g 314	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ {𝑝 ∣ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝} ↔ 𝑝 ∈ {𝑝 ∈ 𝑈 ∣ (𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃)}))
70	38, 39, 40, 69	eqrd 3949	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑝 ∣ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝} = {𝑝 ∈ 𝑈 ∣ (𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃)})
71	38, 59, 60	fnmptd 6622	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn 𝑈)
72		fniniseg2 6995	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 Fn 𝑈 → (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)}) = {𝑝 ∈ 𝑈 ∣ (𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃)})
73	71, 72	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)}) = {𝑝 ∈ 𝑈 ∣ (𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃)})
74	70, 73	eqtr4d 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑝 ∣ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝} = (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)}))
75	16, 37, 74	3eqtrd 2770	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)}))
76	75	oveq2d 7362	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ~QG 𝑍) = (𝑃 ~QG (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)})))
77	76	oveq2d 7362	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝑍)) = (𝑃 /s (𝑃 ~QG (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)}))))
78	1, 77	eqtrid 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)}))))
79		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)}) = (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)})
80		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝑃 /s (𝑃 ~QG (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)}))) = (𝑃 /s (𝑃 ~QG (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)})))
81	10, 11, 56, 50, 60, 20, 53, 55, 79, 80	r1pquslmic 33571	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 /s (𝑃 ~QG (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)}))) ≃𝑚 (𝐻 “s 𝑃))
82	78, 81	eqbrtrd 5111	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≃𝑚 (𝐻 “s 𝑃))
83	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 1, 15	algextdeglem3 33732	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ LVec)
84	82, 83	lmicdim 33617	1 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝑄) = (dim‘(𝐻 “s 𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {cab 2709  {crab 3395  Vcvv 3436   ∪ cun 3895  {csn 4573  ∪ cuni 4856   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170  ^◡ccnv 5613  dom cdm 5614   “ cima 5617   Fn wfn 6476  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  [cec 8620  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  0_gc0g 17343   “_s cimas 17408   /_s cqus 17409   ~_QG cqg 19035  Ringcrg 20151  ∥_rcdsr 20272  SubRingcsubrg 20484  Fieldcfield 20645  SubDRingcsdrg 20701   ≃_𝑚 clmic 20955  RSpancrsp 21144  Poly₁cpl1 22089   evalSub₁ ces1 22228  deg₁cdg1 25986  Monic_1pcmn1 26058  Unic_1pcuc1p 26059  rem_1pcr1p 26061  idlGen_1pcig1p 26062   fldGen cfldgen 33276  dimcldim 33611   IntgRing cirng 33696   minPoly cminply 33712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-reg 9478  ax-inf2 9531  ax-ac2 10354  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084  ax-addf 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-ofr 7611  df-rpss 7656  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-er 8622  df-ec 8624  df-qs 8628  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-r1 9657  df-rank 9658  df-dju 9794  df-card 9832  df-acn 9835  df-ac 10007  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-xnn0 12455  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-hash 14238  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ocomp 17182  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-prds 17351  df-pws 17353  df-imas 17412  df-qus 17413  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-mri 17490  df-acs 17491  df-proset 18200  df-drs 18201  df-poset 18219  df-ipo 18434  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-mulg 18981  df-subg 19036  df-nsg 19037  df-eqg 19038  df-ghm 19125  df-gim 19171  df-cntz 19229  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-srg 20105  df-ring 20153  df-cring 20154  df-oppr 20255  df-dvdsr 20275  df-unit 20276  df-invr 20306  df-dvr 20319  df-rhm 20390  df-subrng 20461  df-subrg 20485  df-rlreg 20609  df-drng 20646  df-field 20647  df-sdrg 20702  df-lmod 20795  df-lss 20865  df-lsp 20905  df-lmhm 20956  df-lmim 20957  df-lmic 20958  df-lbs 21009  df-lvec 21037  df-sra 21107  df-rgmod 21108  df-lidl 21145  df-rsp 21146  df-cnfld 21292  df-lindf 21743  df-linds 21744  df-assa 21790  df-asp 21791  df-ascl 21792  df-psr 21846  df-mvr 21847  df-mpl 21848  df-opsr 21850  df-evls 22009  df-evl 22010  df-psr1 22092  df-vr1 22093  df-ply1 22094  df-coe1 22095  df-evls1 22230  df-evl1 22231  df-mdeg 25987  df-deg1 25988  df-mon1 26063  df-uc1p 26064  df-q1p 26065  df-r1p 26066  df-ig1p 26067  df-fldgen 33277  df-dim 33612  df-irng 33697  df-minply 33713

This theorem is referenced by:  algextdeg  33738