Theorem algextdeglem6 34019

Description: Lemma for algextdeg 34022. By r1pquslmic 33807, the univariate polynomial remainder ring (𝐻 “_s 𝑃) is isomorphic with the quotient ring 𝑄. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
algextdeg.k	⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
algextdeg.l	⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
algextdeg.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐸)
algextdeg.m	⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
algextdeg.f	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
algextdeg.e	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
algextdeg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
algextdeglem.o	⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
algextdeglem.y	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐾)
algextdeglem.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
algextdeglem.g	⊢ 𝐺 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))
algextdeglem.n	⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ [𝑥](𝑃 ~QG 𝑍))
algextdeglem.z	⊢ 𝑍 = (◡𝐺 “ {(0g‘𝐿)})
algextdeglem.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝑍))
algextdeglem.j	⊢ 𝐽 = (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐺 “ 𝑝))
algextdeglem.r	⊢ 𝑅 = (rem1p‘𝐾)
algextdeglem.h	⊢ 𝐻 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)))

Assertion

Ref	Expression
algextdeglem6	⊢ (𝜑 → (dim‘𝑄) = (dim‘(𝐻 “s 𝑃)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐸,𝑝   𝐹,𝑝,𝑥   𝐺,𝑝,𝑥   𝐻,𝑝   𝐽,𝑝,𝑥   𝐾,𝑝   𝐿,𝑝,𝑥   𝑀,𝑝   𝑥,𝑁   𝑂,𝑝   𝑃,𝑝,𝑥   𝑄,𝑝,𝑥   𝑅,𝑝   𝑈,𝑝,𝑥   𝑍,𝑝,𝑥   𝜑,𝑝,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐷(𝑥,𝑝)   𝑅(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑝)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem algextdeglem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		algextdeglem.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝑍))
2		algextdeg.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
3		algextdeg.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
4		algextdeg.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐸)
5		algextdeg.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
6		algextdeg.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
7		algextdeg.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
8		algextdeg.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
9		algextdeglem.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
10		algextdeglem.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐾)
11		algextdeglem.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
12		algextdeglem.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))
13		algextdeglem.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ [𝑥](𝑃 ~QG 𝑍))
14		algextdeglem.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (◡𝐺 “ {(0g‘𝐿)})
15		algextdeglem.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐺 “ 𝑝))
16	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 1, 15	algextdeglem5 34018	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = ((RSpan‘𝑃)‘{(𝑀‘𝐴)}))
17		sdrgsubrg 20840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
18	7, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
19	2	subrgring 20624	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝐾 ∈ Ring)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Ring)
21	10	ply1ring 22309	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
23	2	fveq2i 6870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Poly1‘𝐾) = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
24	10, 23	eqtri 2785	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
25		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
26		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝐸) = (0g‘𝐸)
27	6	fldcrngd 20792	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
28	9, 2, 25, 26, 27, 18	irngssv 33985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 IntgRing 𝐹) ⊆ (Base‘𝐸))
29	28, 8	sseldd 3937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝐸))
30		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑝 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} = {𝑝 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}
31		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (RSpan‘𝑃) = (RSpan‘𝑃)
32		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
33	9, 24, 25, 6, 7, 29, 26, 30, 31, 32, 5	minplycl 34003	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘𝑃))
34	33, 11	eleqtrrdi 2873	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ 𝑈)
35		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (∥r‘𝑃) = (∥r‘𝑃)
36	11, 31, 35	rspsn 21403	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ 𝑈) → ((RSpan‘𝑃)‘{(𝑀‘𝐴)}) = {𝑝 ∣ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝})
37	22, 34, 36	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑃)‘{(𝑀‘𝐴)}) = {𝑝 ∣ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝})
38		nfv 1934	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑝𝜑
39		nfab1 2926	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑝{𝑝 ∣ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝}
40		nfrab1 3434	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑝{𝑝 ∈ 𝑈 ∣ (𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃)}
41	11, 35	dvdsrcl2 20415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝) → 𝑝 ∈ 𝑈)
42	41	ex 416	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → ((𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝 → 𝑝 ∈ 𝑈))
43	42	pm4.71rd 570	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → ((𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝 ↔ (𝑝 ∈ 𝑈 ∧ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝)))
44	22, 43	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝 ↔ (𝑝 ∈ 𝑈 ∧ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝)))
45	20	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝐾 ∈ Ring)
46		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑝 ∈ 𝑈)
47		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0g‘(Poly1‘𝐸)) = (0g‘(Poly1‘𝐸))
48	2	fveq2i 6870	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Monic1p‘𝐾) = (Monic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
49	47, 6, 7, 5, 8, 48	minplym1p 34010	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Monic1p‘𝐾))
50		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Unic1p‘𝐾) = (Unic1p‘𝐾)
51		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Monic1p‘𝐾) = (Monic1p‘𝐾)
52	50, 51	mon1puc1p 26211	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ (Monic1p‘𝐾)) → (𝑀‘𝐴) ∈ (Unic1p‘𝐾))
53	20, 49, 52	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Unic1p‘𝐾))
54	53	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (𝑀‘𝐴) ∈ (Unic1p‘𝐾))
55		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
56		algextdeglem.r	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑅 = (rem1p‘𝐾)
57	10, 35, 11, 50, 55, 56	dvdsr1p 26224	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ 𝑈 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ (Unic1p‘𝐾)) → ((𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝 ↔ (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)) = (0g‘𝑃)))
58	45, 46, 54, 57	syl3anc 1390	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → ((𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝 ↔ (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)) = (0g‘𝑃)))
59		ovexd 7431	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)) ∈ V)
60		algextdeglem.h	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐻 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)))
61	60	fvmpt2 6987	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝑈 ∧ (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)) ∈ V) → (𝐻‘𝑝) = (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)))
62	46, 59, 61	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (𝐻‘𝑝) = (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)))
63	62	eqeq1d 2764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → ((𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃) ↔ (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)) = (0g‘𝑃)))
64	58, 63	bitr4d 284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → ((𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝 ↔ (𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃)))
65	64	pm5.32da 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∈ 𝑈 ∧ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝) ↔ (𝑝 ∈ 𝑈 ∧ (𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃))))
66	44, 65	bitrd 281	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝 ↔ (𝑝 ∈ 𝑈 ∧ (𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃))))
67		abid 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑝 ∣ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝} ↔ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝)
68		rabid 3435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑝 ∈ 𝑈 ∣ (𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃)} ↔ (𝑝 ∈ 𝑈 ∧ (𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃)))
69	66, 67, 68	3bitr4g 316	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ {𝑝 ∣ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝} ↔ 𝑝 ∈ {𝑝 ∈ 𝑈 ∣ (𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃)}))
70	38, 39, 40, 69	eqrd 3955	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑝 ∣ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝} = {𝑝 ∈ 𝑈 ∣ (𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃)})
71	38, 59, 60	fnmptd 6662	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn 𝑈)
72		fniniseg2 7043	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 Fn 𝑈 → (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)}) = {𝑝 ∈ 𝑈 ∣ (𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃)})
73	71, 72	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)}) = {𝑝 ∈ 𝑈 ∣ (𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃)})
74	70, 73	eqtr4d 2800	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑝 ∣ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝} = (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)}))
75	16, 37, 74	3eqtrd 2801	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)}))
76	75	oveq2d 7412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ~QG 𝑍) = (𝑃 ~QG (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)})))
77	76	oveq2d 7412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝑍)) = (𝑃 /s (𝑃 ~QG (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)}))))
78	1, 77	eqtrid 2809	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)}))))
79		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)}) = (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)})
80		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (𝑃 /s (𝑃 ~QG (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)}))) = (𝑃 /s (𝑃 ~QG (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)})))
81	10, 11, 56, 50, 60, 20, 53, 55, 79, 80	r1pquslmic 33807	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 /s (𝑃 ~QG (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)}))) ≃𝑚 (𝐻 “s 𝑃))
82	78, 81	eqbrtrd 5122	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≃𝑚 (𝐻 “s 𝑃))
83	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 1, 15	algextdeglem3 34016	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ LVec)
84	82, 83	lmicdim 33902	1 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝑄) = (dim‘(𝐻 “s 𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  {cab 2740  {crab 3414  Vcvv 3454   ∪ cun 3902  {csn 4582  ∪ cuni 4865   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ^◡ccnv 5646  dom cdm 5647   “ cima 5650   Fn wfn 6516  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  [cec 8676  Basecbs 17245   ↾_s cress 17266  0_gc0g 17468   “_s cimas 17534   /_s cqus 17535   ~_QG cqg 19164  Ringcrg 20283  ∥_rcdsr 20403  SubRingcsubrg 20619  Fieldcfield 20780  SubDRingcsdrg 20835   ≃_𝑚 clmic 21088  RSpancrsp 21277  Poly₁cpl1 22239   evalSub₁ ces1 22376  deg₁cdg1 26114  Monic_1pcmn1 26186  Unic_1pcuc1p 26187  rem_1pcr1p 26189  idlGen_1pcig1p 26190   fldGen cfldgen 33497  dimcldim 33896   IntgRing cirng 33980   minPoly cminply 33996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-reg 9540  ax-inf2 9596  ax-ac2 10420  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151  ax-addf 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-ofr 7661  df-rpss 7706  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-tpos 8206  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8678  df-ec 8680  df-qs 8684  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9458  df-r1 9722  df-rank 9723  df-dju 9859  df-card 9897  df-acn 9900  df-ac 10072  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-xnn0 12555  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-seq 14015  df-hash 14344  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ocomp 17307  df-ds 17308  df-unif 17309  df-hom 17310  df-cco 17311  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-prds 17476  df-pws 17478  df-imas 17538  df-qus 17539  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-mri 17616  df-acs 17617  df-proset 18326  df-drs 18327  df-poset 18345  df-ipo 18560  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-mhm 18817  df-submnd 18818  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-mulg 19110  df-subg 19165  df-nsg 19166  df-eqg 19167  df-ghm 19254  df-gim 19299  df-cntz 19357  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-rng 20199  df-ur 20232  df-srg 20237  df-ring 20285  df-cring 20286  df-oppr 20386  df-dvdsr 20406  df-unit 20407  df-invr 20437  df-dvr 20450  df-rhm 20521  df-subrng 20596  df-subrg 20620  df-rlreg 20744  df-drng 20781  df-field 20782  df-sdrg 20836  df-lmod 20929  df-lss 20999  df-lsp 21039  df-lmhm 21089  df-lmim 21090  df-lmic 21091  df-lbs 21142  df-lvec 21170  df-sra 21240  df-rgmod 21241  df-lidl 21278  df-rsp 21279  df-cnfld 21425  df-lindf 21858  df-linds 21859  df-assa 21905  df-asp 21906  df-ascl 21907  df-psr 21961  df-mvr 21962  df-mpl 21963  df-opsr 21965  df-evls 22127  df-evl 22128  df-psr1 22242  df-vr1 22243  df-ply1 22244  df-coe1 22245  df-evls1 22378  df-evl1 22379  df-mdeg 26115  df-deg1 26116  df-mon1 26191  df-uc1p 26192  df-q1p 26193  df-r1p 26194  df-ig1p 26195  df-fldgen 33498  df-dim 33897  df-irng 33981  df-minply 33997

This theorem is referenced by:  algextdeg  34022