Theorem algextdeglem6 33828

Description: Lemma for algextdeg 33831. By r1pquslmic 33641, the univariate polynomial remainder ring (𝐻 “_s 𝑃) is isomorphic with the quotient ring 𝑄. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
algextdeg.k	⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
algextdeg.l	⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
algextdeg.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐸)
algextdeg.m	⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
algextdeg.f	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
algextdeg.e	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
algextdeg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
algextdeglem.o	⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
algextdeglem.y	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐾)
algextdeglem.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
algextdeglem.g	⊢ 𝐺 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))
algextdeglem.n	⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ [𝑥](𝑃 ~QG 𝑍))
algextdeglem.z	⊢ 𝑍 = (◡𝐺 “ {(0g‘𝐿)})
algextdeglem.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝑍))
algextdeglem.j	⊢ 𝐽 = (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐺 “ 𝑝))
algextdeglem.r	⊢ 𝑅 = (rem1p‘𝐾)
algextdeglem.h	⊢ 𝐻 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)))

Assertion

Ref	Expression
algextdeglem6	⊢ (𝜑 → (dim‘𝑄) = (dim‘(𝐻 “s 𝑃)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐸,𝑝   𝐹,𝑝,𝑥   𝐺,𝑝,𝑥   𝐻,𝑝   𝐽,𝑝,𝑥   𝐾,𝑝   𝐿,𝑝,𝑥   𝑀,𝑝   𝑥,𝑁   𝑂,𝑝   𝑃,𝑝,𝑥   𝑄,𝑝,𝑥   𝑅,𝑝   𝑈,𝑝,𝑥   𝑍,𝑝,𝑥   𝜑,𝑝,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐷(𝑥,𝑝)   𝑅(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑝)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem algextdeglem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		algextdeglem.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝑍))
2		algextdeg.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
3		algextdeg.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
4		algextdeg.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐸)
5		algextdeg.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
6		algextdeg.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
7		algextdeg.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
8		algextdeg.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
9		algextdeglem.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
10		algextdeglem.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐾)
11		algextdeglem.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
12		algextdeglem.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))
13		algextdeglem.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ [𝑥](𝑃 ~QG 𝑍))
14		algextdeglem.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (◡𝐺 “ {(0g‘𝐿)})
15		algextdeglem.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐺 “ 𝑝))
16	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 1, 15	algextdeglem5 33827	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = ((RSpan‘𝑃)‘{(𝑀‘𝐴)}))
17		sdrgsubrg 20722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
18	7, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
19	2	subrgring 20505	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝐾 ∈ Ring)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Ring)
21	10	ply1ring 22186	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
23	2	fveq2i 6835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Poly1‘𝐾) = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
24	10, 23	eqtri 2757	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
25		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
26		eqid 2734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝐸) = (0g‘𝐸)
27	6	fldcrngd 20673	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
28	9, 2, 25, 26, 27, 18	irngssv 33794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 IntgRing 𝐹) ⊆ (Base‘𝐸))
29	28, 8	sseldd 3932	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝐸))
30		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑝 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} = {𝑝 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}
31		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (RSpan‘𝑃) = (RSpan‘𝑃)
32		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
33	9, 24, 25, 6, 7, 29, 26, 30, 31, 32, 5	minplycl 33812	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘𝑃))
34	33, 11	eleqtrrdi 2845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ 𝑈)
35		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (∥r‘𝑃) = (∥r‘𝑃)
36	11, 31, 35	rspsn 21286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ 𝑈) → ((RSpan‘𝑃)‘{(𝑀‘𝐴)}) = {𝑝 ∣ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝})
37	22, 34, 36	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑃)‘{(𝑀‘𝐴)}) = {𝑝 ∣ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝})
38		nfv 1915	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑝𝜑
39		nfab1 2898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑝{𝑝 ∣ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝}
40		nfrab1 3417	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑝{𝑝 ∈ 𝑈 ∣ (𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃)}
41	11, 35	dvdsrcl2 20300	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝) → 𝑝 ∈ 𝑈)
42	41	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → ((𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝 → 𝑝 ∈ 𝑈))
43	42	pm4.71rd 562	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → ((𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝 ↔ (𝑝 ∈ 𝑈 ∧ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝)))
44	22, 43	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝 ↔ (𝑝 ∈ 𝑈 ∧ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝)))
45	20	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝐾 ∈ Ring)
46		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑝 ∈ 𝑈)
47		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0g‘(Poly1‘𝐸)) = (0g‘(Poly1‘𝐸))
48	2	fveq2i 6835	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Monic1p‘𝐾) = (Monic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
49	47, 6, 7, 5, 8, 48	minplym1p 33819	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Monic1p‘𝐾))
50		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Unic1p‘𝐾) = (Unic1p‘𝐾)
51		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Monic1p‘𝐾) = (Monic1p‘𝐾)
52	50, 51	mon1puc1p 26110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ (Monic1p‘𝐾)) → (𝑀‘𝐴) ∈ (Unic1p‘𝐾))
53	20, 49, 52	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Unic1p‘𝐾))
54	53	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (𝑀‘𝐴) ∈ (Unic1p‘𝐾))
55		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
56		algextdeglem.r	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑅 = (rem1p‘𝐾)
57	10, 35, 11, 50, 55, 56	dvdsr1p 26123	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ 𝑈 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ (Unic1p‘𝐾)) → ((𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝 ↔ (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)) = (0g‘𝑃)))
58	45, 46, 54, 57	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → ((𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝 ↔ (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)) = (0g‘𝑃)))
59		ovexd 7391	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)) ∈ V)
60		algextdeglem.h	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐻 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)))
61	60	fvmpt2 6950	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝑈 ∧ (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)) ∈ V) → (𝐻‘𝑝) = (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)))
62	46, 59, 61	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (𝐻‘𝑝) = (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)))
63	62	eqeq1d 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → ((𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃) ↔ (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)) = (0g‘𝑃)))
64	58, 63	bitr4d 282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → ((𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝 ↔ (𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃)))
65	64	pm5.32da 579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∈ 𝑈 ∧ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝) ↔ (𝑝 ∈ 𝑈 ∧ (𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃))))
66	44, 65	bitrd 279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝 ↔ (𝑝 ∈ 𝑈 ∧ (𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃))))
67		abid 2716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑝 ∣ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝} ↔ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝)
68		rabid 3418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑝 ∈ 𝑈 ∣ (𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃)} ↔ (𝑝 ∈ 𝑈 ∧ (𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃)))
69	66, 67, 68	3bitr4g 314	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ {𝑝 ∣ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝} ↔ 𝑝 ∈ {𝑝 ∈ 𝑈 ∣ (𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃)}))
70	38, 39, 40, 69	eqrd 3951	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑝 ∣ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝} = {𝑝 ∈ 𝑈 ∣ (𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃)})
71	38, 59, 60	fnmptd 6631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn 𝑈)
72		fniniseg2 7005	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 Fn 𝑈 → (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)}) = {𝑝 ∈ 𝑈 ∣ (𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃)})
73	71, 72	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)}) = {𝑝 ∈ 𝑈 ∣ (𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃)})
74	70, 73	eqtr4d 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑝 ∣ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝} = (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)}))
75	16, 37, 74	3eqtrd 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)}))
76	75	oveq2d 7372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ~QG 𝑍) = (𝑃 ~QG (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)})))
77	76	oveq2d 7372	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝑍)) = (𝑃 /s (𝑃 ~QG (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)}))))
78	1, 77	eqtrid 2781	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)}))))
79		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)}) = (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)})
80		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (𝑃 /s (𝑃 ~QG (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)}))) = (𝑃 /s (𝑃 ~QG (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)})))
81	10, 11, 56, 50, 60, 20, 53, 55, 79, 80	r1pquslmic 33641	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 /s (𝑃 ~QG (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)}))) ≃𝑚 (𝐻 “s 𝑃))
82	78, 81	eqbrtrd 5118	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≃𝑚 (𝐻 “s 𝑃))
83	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 1, 15	algextdeglem3 33825	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ LVec)
84	82, 83	lmicdim 33710	1 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝑄) = (dim‘(𝐻 “s 𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {cab 2712  {crab 3397  Vcvv 3438   ∪ cun 3897  {csn 4578  ∪ cuni 4861   class class class wbr 5096   ↦ cmpt 5177  ^◡ccnv 5621  dom cdm 5622   “ cima 5625   Fn wfn 6485  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  [cec 8631  Basecbs 17134   ↾_s cress 17155  0_gc0g 17357   “_s cimas 17423   /_s cqus 17424   ~_QG cqg 19050  Ringcrg 20166  ∥_rcdsr 20288  SubRingcsubrg 20500  Fieldcfield 20661  SubDRingcsdrg 20717   ≃_𝑚 clmic 20971  RSpancrsp 21160  Poly₁cpl1 22115   evalSub₁ ces1 22255  deg₁cdg1 26013  Monic_1pcmn1 26085  Unic_1pcuc1p 26086  rem_1pcr1p 26088  idlGen_1pcig1p 26089   fldGen cfldgen 33341  dimcldim 33704   IntgRing cirng 33789   minPoly cminply 33805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-reg 9495  ax-inf2 9548  ax-ac2 10371  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102  ax-addf 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-ofr 7621  df-rpss 7666  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8633  df-ec 8635  df-qs 8639  df-map 8763  df-pm 8764  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-sup 9343  df-inf 9344  df-oi 9413  df-r1 9674  df-rank 9675  df-dju 9811  df-card 9849  df-acn 9852  df-ac 10024  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-xnn0 12473  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-seq 13923  df-hash 14252  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ocomp 17196  df-ds 17197  df-unif 17198  df-hom 17199  df-cco 17200  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-prds 17365  df-pws 17367  df-imas 17427  df-qus 17428  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-mri 17505  df-acs 17506  df-proset 18215  df-drs 18216  df-poset 18234  df-ipo 18449  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18996  df-subg 19051  df-nsg 19052  df-eqg 19053  df-ghm 19140  df-gim 19186  df-cntz 19244  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-srg 20120  df-ring 20168  df-cring 20169  df-oppr 20271  df-dvdsr 20291  df-unit 20292  df-invr 20322  df-dvr 20335  df-rhm 20406  df-subrng 20477  df-subrg 20501  df-rlreg 20625  df-drng 20662  df-field 20663  df-sdrg 20718  df-lmod 20811  df-lss 20881  df-lsp 20921  df-lmhm 20972  df-lmim 20973  df-lmic 20974  df-lbs 21025  df-lvec 21053  df-sra 21123  df-rgmod 21124  df-lidl 21161  df-rsp 21162  df-cnfld 21308  df-lindf 21759  df-linds 21760  df-assa 21806  df-asp 21807  df-ascl 21808  df-psr 21863  df-mvr 21864  df-mpl 21865  df-opsr 21867  df-evls 22027  df-evl 22028  df-psr1 22118  df-vr1 22119  df-ply1 22120  df-coe1 22121  df-evls1 22257  df-evl1 22258  df-mdeg 26014  df-deg1 26015  df-mon1 26090  df-uc1p 26091  df-q1p 26092  df-r1p 26093  df-ig1p 26094  df-fldgen 33342  df-dim 33705  df-irng 33790  df-minply 33806

This theorem is referenced by:  algextdeg  33831