Theorem algextdeglem6 34404

Description: Lemma for algextdeg 34407. By r1pquslmic 34192, the univariate polynomial remainder ring (𝐻 “_s 𝑃) is isomorphic with the quotient ring 𝑄. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
algextdeg.k	⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
algextdeg.l	⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
algextdeg.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐸)
algextdeg.m	⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
algextdeg.f	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
algextdeg.e	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
algextdeg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
algextdeglem.o	⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
algextdeglem.y	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐾)
algextdeglem.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
algextdeglem.g	⊢ 𝐺 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))
algextdeglem.n	⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ [𝑥](𝑃 ~QG 𝑍))
algextdeglem.z	⊢ 𝑍 = (◡𝐺 “ {(0g‘𝐿)})
algextdeglem.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝑍))
algextdeglem.j	⊢ 𝐽 = (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐺 “ 𝑝))
algextdeglem.r	⊢ 𝑅 = (rem1p‘𝐾)
algextdeglem.h	⊢ 𝐻 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)))

Assertion

Ref	Expression
algextdeglem6	⊢ (𝜑 → (dim‘𝑄) = (dim‘(𝐻 “s 𝑃)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐸,𝑝   𝐹,𝑝,𝑥   𝐺,𝑝,𝑥   𝐻,𝑝   𝐽,𝑝,𝑥   𝐾,𝑝   𝐿,𝑝,𝑥   𝑀,𝑝   𝑥,𝑁   𝑂,𝑝   𝑃,𝑝,𝑥   𝑄,𝑝,𝑥   𝑅,𝑝   𝑈,𝑝,𝑥   𝑍,𝑝,𝑥   𝜑,𝑝,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐷(𝑥, 𝑝)   𝑅(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑝)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem algextdeglem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		algextdeglem.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝑍))
2		algextdeg.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
3		algextdeg.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
4		algextdeg.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐸)
5		algextdeg.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
6		algextdeg.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
7		algextdeg.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
8		algextdeg.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
9		algextdeglem.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
10		algextdeglem.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐾)
11		algextdeglem.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
12		algextdeglem.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))
13		algextdeglem.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ [𝑥](𝑃 ~QG 𝑍))
14		algextdeglem.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (◡𝐺 “ {(0g‘𝐿)})
15		algextdeglem.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐺 “ 𝑝))
16	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 1, 15	algextdeglem5 34403	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = ((RSpan‘𝑃)‘{(𝑀‘𝐴)}))
17		sdrgsubrg 21057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
18	7, 17	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
19	2	subrgring 20835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝐾 ∈ Ring)
20	18, 19	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Ring)
21	10	ply1ring 22574	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
22	20, 21	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
23	2	fveq2i 6893	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Poly1‘𝐾) = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
24	10, 23	eqtri 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
25		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
26		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝐸) = (0g‘𝐸)
27	6	fldcrngd 21004	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
28	9, 2, 25, 26, 27, 18	irngssv 34370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 IntgRing 𝐹) ⊆ (Base‘𝐸))
29	28, 8	sseldd 3910	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝐸))
30		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑝 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} = {𝑝 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}
31		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (RSpan‘𝑃) = (RSpan‘𝑃)
32		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
33	9, 24, 25, 6, 7, 29, 26, 30, 31, 32, 5	minplycl 34388	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘𝑃))
34	33, 11	eleqtrrdi 2871	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ 𝑈)
35		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (∥r‘𝑃) = (∥r‘𝑃)
36	11, 31, 35	rspsn 21666	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ 𝑈) → ((RSpan‘𝑃)‘{(𝑀‘𝐴)}) = {𝑝 ∣ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝})
37	22, 34, 36	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑃)‘{(𝑀‘𝐴)}) = {𝑝 ∣ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝})
38		nfv 1946	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑝𝜑
39		nfab1 2924	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑝{𝑝 ∣ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝}
40		nfrab1 3431	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑝{𝑝 ∈ 𝑈 ∣ (𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃)}
41	11, 35	dvdsrcl2 20605	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝) → 𝑝 ∈ 𝑈)
42	41	ex 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → ((𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝 → 𝑝 ∈ 𝑈))
43	42	pm4.71rd 572	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → ((𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝 ↔ (𝑝 ∈ 𝑈 ∧ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝)))
44	22, 43	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝 ↔ (𝑝 ∈ 𝑈 ∧ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝)))
45	20	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝐾 ∈ Ring)
46		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑝 ∈ 𝑈)
47		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0g‘(Poly1‘𝐸)) = (0g‘(Poly1‘𝐸))
48	2	fveq2i 6893	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Monic1p‘𝐾) = (Monic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
49	47, 6, 7, 5, 8, 48	minplym1p 34395	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Monic1p‘𝐾))
50		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Unic1p‘𝐾) = (Unic1p‘𝐾)
51		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Monic1p‘𝐾) = (Monic1p‘𝐾)
52	50, 51	mon1puc1p 26478	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ (Monic1p‘𝐾)) → (𝑀‘𝐴) ∈ (Unic1p‘𝐾))
53	20, 49, 52	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Unic1p‘𝐾))
54	53	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (𝑀‘𝐴) ∈ (Unic1p‘𝐾))
55		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
56		algextdeglem.r	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑅 = (rem1p‘𝐾)
57	10, 35, 11, 50, 55, 56	dvdsr1p 26491	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ 𝑈 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ (Unic1p‘𝐾)) → ((𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝 ↔ (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)) = (0g‘𝑃)))
58	45, 46, 54, 57	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → ((𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝 ↔ (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)) = (0g‘𝑃)))
59		ovexd 7459	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)) ∈ V)
60		algextdeglem.h	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐻 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)))
61	60	fvmpt2 7010	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝑈 ∧ (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)) ∈ V) → (𝐻‘𝑝) = (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)))
62	46, 59, 61	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (𝐻‘𝑝) = (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)))
63	62	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → ((𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃) ↔ (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)) = (0g‘𝑃)))
64	58, 63	bitr4d 285	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → ((𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝 ↔ (𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃)))
65	64	pm5.32da 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∈ 𝑈 ∧ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝) ↔ (𝑝 ∈ 𝑈 ∧ (𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃))))
66	44, 65	bitrd 282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝 ↔ (𝑝 ∈ 𝑈 ∧ (𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃))))
67		abid 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑝 ∣ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝} ↔ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝)
68		rabid 3432	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑝 ∈ 𝑈 ∣ (𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃)} ↔ (𝑝 ∈ 𝑈 ∧ (𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃)))
69	66, 67, 68	3bitr4g 317	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ {𝑝 ∣ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝} ↔ 𝑝 ∈ {𝑝 ∈ 𝑈 ∣ (𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃)}))
70	38, 39, 40, 69	eqrd 3928	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑝 ∣ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝} = {𝑝 ∈ 𝑈 ∣ (𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃)})
71	38, 59, 60	fnmptd 6685	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn 𝑈)
72		fniniseg2 7066	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 Fn 𝑈 → (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)}) = {𝑝 ∈ 𝑈 ∣ (𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃)})
73	71, 72	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)}) = {𝑝 ∈ 𝑈 ∣ (𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃)})
74	70, 73	eqtr4d 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑝 ∣ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝} = (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)}))
75	16, 37, 74	3eqtrd 2799	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)}))
76	75	oveq2d 7440	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ~QG 𝑍) = (𝑃 ~QG (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)})))
77	76	oveq2d 7440	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝑍)) = (𝑃 /s (𝑃 ~QG (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)}))))
78	1, 77	eqtrid 2807	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)}))))
79		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)}) = (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)})
80		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑃 /s (𝑃 ~QG (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)}))) = (𝑃 /s (𝑃 ~QG (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)})))
81	10, 11, 56, 50, 60, 20, 53, 55, 79, 80	r1pquslmic 34192	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 /s (𝑃 ~QG (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)}))) ≃𝑚 (𝐻 “s 𝑃))
82	78, 81	eqbrtrd 5126	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≃𝑚 (𝐻 “s 𝑃))
83	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 1, 15	algextdeglem3 34401	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ LVec)
84	82, 83	lmicdim 34287	1 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝑄) = (dim‘(𝐻 “s 𝑃)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {cab 2738  {crab 3412  Vcvv 3450   ∪ cun 4148  {csn 4584  ∪ cuni 4866   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ^◡ccnv 5650  dom cdm 5651   “ cima 5654   Fn wfn 6538  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  [cec 8723  Basecbs 17396   ↾_s cress 17417  0_gc0g 17619   “_s cimas 17685   /_s cqus 17686   ~_QG cqg 19341  Ringcrg 20468  ∥_rcdsr 20593  SubRingcsubrg 20830  Fieldcfield 20990  SubDRingcsdrg 21052   ≃_𝑚 clmic 21305  RSpancrsp 21494  Poly₁cpl1 22504   evalSub₁ ces1 22640  deg₁cdg1 26381  Monic_1pcmn1 26453  Unic_1pcuc1p 26454  rem_1pcr1p 26456  idlGen_1pcig1p 26457   fldGen cfldgen 33922  dimcldim 34281   IntgRing cirng 34365   minPoly cminply 34381

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-ac2 10548  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285  ax-addf 11286

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-ofr 7698  df-rpss 7743  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8185  df-tpos 8251  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-2o 8485  df-oadd 8488  df-er 8725  df-ec 8727  df-qs 8731  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8934  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fsupp 9362  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9511  df-dju 9989  df-card 10027  df-acn 10030  df-ac 10202  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-xnn0 12687  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-seq 14152  df-hash 14482  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-starv 17452  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ocomp 17458  df-ds 17459  df-unif 17460  df-hom 17461  df-cco 17462  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-prds 17627  df-pws 17629  df-imas 17689  df-qus 17690  df-mre 17765  df-mrc 17766  df-mri 17767  df-acs 17768  df-proset 18477  df-drs 18478  df-poset 18496  df-ipo 18711  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-mhm 18987  df-submnd 18988  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-sbg 19158  df-mulg 19287  df-subg 19342  df-nsg 19343  df-eqg 19344  df-ghm 19437  df-gim 19482  df-cntz 19540  df-cmn 20005  df-abl 20006  df-mgp 20370  df-rng 20384  df-ur 20417  df-srg 20422  df-ring 20470  df-cring 20471  df-oppr 20576  df-dvdsr 20596  df-unit 20597  df-invr 20627  df-dvr 20640  df-rhm 20711  df-subrng 20807  df-subrg 20831  df-rlreg 20955  df-drng 20991  df-field 20992  df-sdrg 21053  df-lmod 21146  df-lss 21216  df-lsp 21256  df-lmhm 21306  df-lmim 21307  df-lmic 21308  df-lbs 21359  df-lvec 21387  df-sra 21457  df-rgmod 21458  df-lidl 21495  df-rsp 21496  df-cnfld 21688  df-lindf 22121  df-linds 22122  df-assa 22170  df-asp 22171  df-ascl 22172  df-psr 22226  df-mvr 22227  df-mpl 22228  df-opsr 22230  df-evls 22392  df-evl 22393  df-psr1 22507  df-vr1 22508  df-ply1 22509  df-coe1 22510  df-evls1 22642  df-evl1 22643  df-mdeg 26382  df-deg1 26383  df-mon1 26458  df-uc1p 26459  df-q1p 26460  df-r1p 26461  df-ig1p 26462  df-fldgen 33923  df-dim 34282  df-irng 34366  df-minply 34382

This theorem is used by:  algextdeg  34407