Theorem algextdeglem6 34112

Description: Lemma for algextdeg 34115. By r1pquslmic 33900, the univariate polynomial remainder ring (𝐻 “_s 𝑃) is isomorphic with the quotient ring 𝑄. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
algextdeg.k	⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
algextdeg.l	⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
algextdeg.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐸)
algextdeg.m	⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
algextdeg.f	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
algextdeg.e	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
algextdeg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
algextdeglem.o	⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
algextdeglem.y	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐾)
algextdeglem.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
algextdeglem.g	⊢ 𝐺 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))
algextdeglem.n	⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ [𝑥](𝑃 ~QG 𝑍))
algextdeglem.z	⊢ 𝑍 = (◡𝐺 “ {(0g‘𝐿)})
algextdeglem.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝑍))
algextdeglem.j	⊢ 𝐽 = (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐺 “ 𝑝))
algextdeglem.r	⊢ 𝑅 = (rem1p‘𝐾)
algextdeglem.h	⊢ 𝐻 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)))

Assertion

Ref	Expression
algextdeglem6	⊢ (𝜑 → (dim‘𝑄) = (dim‘(𝐻 “s 𝑃)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐸,𝑝   𝐹,𝑝,𝑥   𝐺,𝑝,𝑥   𝐻,𝑝   𝐽,𝑝,𝑥   𝐾,𝑝   𝐿,𝑝,𝑥   𝑀,𝑝   𝑥,𝑁   𝑂,𝑝   𝑃,𝑝,𝑥   𝑄,𝑝,𝑥   𝑅,𝑝   𝑈,𝑝,𝑥   𝑍,𝑝,𝑥   𝜑,𝑝,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐷(𝑥,𝑝)   𝑅(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑝)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem algextdeglem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		algextdeglem.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝑍))
2		algextdeg.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
3		algextdeg.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
4		algextdeg.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐸)
5		algextdeg.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
6		algextdeg.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
7		algextdeg.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
8		algextdeg.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
9		algextdeglem.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
10		algextdeglem.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐾)
11		algextdeglem.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
12		algextdeglem.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))
13		algextdeglem.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ [𝑥](𝑃 ~QG 𝑍))
14		algextdeglem.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (◡𝐺 “ {(0g‘𝐿)})
15		algextdeglem.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐺 “ 𝑝))
16	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 1, 15	algextdeglem5 34111	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = ((RSpan‘𝑃)‘{(𝑀‘𝐴)}))
17		sdrgsubrg 20894	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
18	7, 17	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
19	2	subrgring 20673	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝐾 ∈ Ring)
20	18, 19	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Ring)
21	10	ply1ring 22407	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
22	20, 21	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
23	2	fveq2i 6884	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Poly1‘𝐾) = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
24	10, 23	eqtri 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
25		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
26		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝐸) = (0g‘𝐸)
27	6	fldcrngd 20842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
28	9, 2, 25, 26, 27, 18	irngssv 34078	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 IntgRing 𝐹) ⊆ (Base‘𝐸))
29	28, 8	sseldd 3938	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝐸))
30		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑝 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} = {𝑝 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}
31		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (RSpan‘𝑃) = (RSpan‘𝑃)
32		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
33	9, 24, 25, 6, 7, 29, 26, 30, 31, 32, 5	minplycl 34096	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘𝑃))
34	33, 11	eleqtrrdi 2874	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ 𝑈)
35		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (∥r‘𝑃) = (∥r‘𝑃)
36	11, 31, 35	rspsn 21501	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ 𝑈) → ((RSpan‘𝑃)‘{(𝑀‘𝐴)}) = {𝑝 ∣ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝})
37	22, 34, 36	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑃)‘{(𝑀‘𝐴)}) = {𝑝 ∣ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝})
38		nfv 1944	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑝𝜑
39		nfab1 2927	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑝{𝑝 ∣ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝}
40		nfrab1 3436	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑝{𝑝 ∈ 𝑈 ∣ (𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃)}
41	11, 35	dvdsrcl2 20444	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝) → 𝑝 ∈ 𝑈)
42	41	ex 417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → ((𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝 → 𝑝 ∈ 𝑈))
43	42	pm4.71rd 571	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → ((𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝 ↔ (𝑝 ∈ 𝑈 ∧ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝)))
44	22, 43	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝 ↔ (𝑝 ∈ 𝑈 ∧ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝)))
45	20	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝐾 ∈ Ring)
46		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑝 ∈ 𝑈)
47		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0g‘(Poly1‘𝐸)) = (0g‘(Poly1‘𝐸))
48	2	fveq2i 6884	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Monic1p‘𝐾) = (Monic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
49	47, 6, 7, 5, 8, 48	minplym1p 34103	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Monic1p‘𝐾))
50		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Unic1p‘𝐾) = (Unic1p‘𝐾)
51		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Monic1p‘𝐾) = (Monic1p‘𝐾)
52	50, 51	mon1puc1p 26308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ (Monic1p‘𝐾)) → (𝑀‘𝐴) ∈ (Unic1p‘𝐾))
53	20, 49, 52	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Unic1p‘𝐾))
54	53	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (𝑀‘𝐴) ∈ (Unic1p‘𝐾))
55		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
56		algextdeglem.r	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑅 = (rem1p‘𝐾)
57	10, 35, 11, 50, 55, 56	dvdsr1p 26321	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ 𝑈 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ (Unic1p‘𝐾)) → ((𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝 ↔ (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)) = (0g‘𝑃)))
58	45, 46, 54, 57	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → ((𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝 ↔ (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)) = (0g‘𝑃)))
59		ovexd 7445	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)) ∈ V)
60		algextdeglem.h	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐻 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)))
61	60	fvmpt2 7001	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝑈 ∧ (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)) ∈ V) → (𝐻‘𝑝) = (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)))
62	46, 59, 61	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (𝐻‘𝑝) = (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)))
63	62	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → ((𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃) ↔ (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)) = (0g‘𝑃)))
64	58, 63	bitr4d 285	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → ((𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝 ↔ (𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃)))
65	64	pm5.32da 589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∈ 𝑈 ∧ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝) ↔ (𝑝 ∈ 𝑈 ∧ (𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃))))
66	44, 65	bitrd 282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝 ↔ (𝑝 ∈ 𝑈 ∧ (𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃))))
67		abid 2745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑝 ∣ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝} ↔ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝)
68		rabid 3437	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑝 ∈ 𝑈 ∣ (𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃)} ↔ (𝑝 ∈ 𝑈 ∧ (𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃)))
69	66, 67, 68	3bitr4g 317	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ {𝑝 ∣ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝} ↔ 𝑝 ∈ {𝑝 ∈ 𝑈 ∣ (𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃)}))
70	38, 39, 40, 69	eqrd 3956	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑝 ∣ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝} = {𝑝 ∈ 𝑈 ∣ (𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃)})
71	38, 59, 60	fnmptd 6676	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn 𝑈)
72		fniniseg2 7057	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 Fn 𝑈 → (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)}) = {𝑝 ∈ 𝑈 ∣ (𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃)})
73	71, 72	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)}) = {𝑝 ∈ 𝑈 ∣ (𝐻‘𝑝) = (0g‘𝑃)})
74	70, 73	eqtr4d 2801	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑝 ∣ (𝑀‘𝐴)(∥r‘𝑃)𝑝} = (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)}))
75	16, 37, 74	3eqtrd 2802	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)}))
76	75	oveq2d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ~QG 𝑍) = (𝑃 ~QG (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)})))
77	76	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝑍)) = (𝑃 /s (𝑃 ~QG (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)}))))
78	1, 77	eqtrid 2810	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)}))))
79		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)}) = (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)})
80		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑃 /s (𝑃 ~QG (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)}))) = (𝑃 /s (𝑃 ~QG (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)})))
81	10, 11, 56, 50, 60, 20, 53, 55, 79, 80	r1pquslmic 33900	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 /s (𝑃 ~QG (◡𝐻 “ {(0g‘𝑃)}))) ≃𝑚 (𝐻 “s 𝑃))
82	78, 81	eqbrtrd 5133	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≃𝑚 (𝐻 “s 𝑃))
83	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 1, 15	algextdeglem3 34109	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ LVec)
84	82, 83	lmicdim 33995	1 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝑄) = (dim‘(𝐻 “s 𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {cab 2741  {crab 3416  Vcvv 3455   ∪ cun 3903  {csn 4589  ∪ cuni 4872   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  ^◡ccnv 5660  dom cdm 5661   “ cima 5664   Fn wfn 6531  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  [cec 8688  Basecbs 17264   ↾_s cress 17285  0_gc0g 17487   “_s cimas 17553   /_s cqus 17554   ~_QG cqg 19183  Ringcrg 20310  ∥_rcdsr 20432  SubRingcsubrg 20668  Fieldcfield 20828  SubDRingcsdrg 20889   ≃_𝑚 clmic 21142  RSpancrsp 21331  Poly₁cpl1 22337   evalSub₁ ces1 22473  deg₁cdg1 26211  Monic_1pcmn1 26283  Unic_1pcuc1p 26284  rem_1pcr1p 26286  idlGen_1pcig1p 26287   fldGen cfldgen 33631  dimcldim 33989   IntgRing cirng 34073   minPoly cminply 34089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-reg 9550  ax-inf2 9606  ax-ac2 10442  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173  ax-addf 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-ofr 7675  df-rpss 7720  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-er 8690  df-ec 8692  df-qs 8696  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-r1 9732  df-rank 9733  df-dju 9883  df-card 9921  df-acn 9924  df-ac 10096  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-hash 14363  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ocomp 17326  df-ds 17327  df-unif 17328  df-hom 17329  df-cco 17330  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-prds 17495  df-pws 17497  df-imas 17557  df-qus 17558  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-mri 17635  df-acs 17636  df-proset 18345  df-drs 18346  df-poset 18364  df-ipo 18579  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-mhm 18836  df-submnd 18837  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-mulg 19129  df-subg 19184  df-nsg 19185  df-eqg 19186  df-ghm 19279  df-gim 19324  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-srg 20264  df-ring 20312  df-cring 20313  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-dvr 20479  df-rhm 20550  df-subrng 20645  df-subrg 20669  df-rlreg 20793  df-drng 20829  df-field 20830  df-sdrg 20890  df-lmod 20983  df-lss 21053  df-lsp 21093  df-lmhm 21143  df-lmim 21144  df-lmic 21145  df-lbs 21196  df-lvec 21224  df-sra 21294  df-rgmod 21295  df-lidl 21332  df-rsp 21333  df-cnfld 21523  df-lindf 21956  df-linds 21957  df-assa 22003  df-asp 22004  df-ascl 22005  df-psr 22059  df-mvr 22060  df-mpl 22061  df-opsr 22063  df-evls 22225  df-evl 22226  df-psr1 22340  df-vr1 22341  df-ply1 22342  df-coe1 22343  df-evls1 22475  df-evl1 22476  df-mdeg 26212  df-deg1 26213  df-mon1 26288  df-uc1p 26289  df-q1p 26290  df-r1p 26291  df-ig1p 26292  df-fldgen 33632  df-dim 33990  df-irng 34074  df-minply 34090

This theorem is referenced by:  algextdeg  34115