Theorem signstf 34865

Description: The zero skipping sign word is a word. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))

Assertion

Ref	Expression
signstf	⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝑇‘𝐹) ∈ Word ℝ)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛

Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signstf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		signsv.p	. . . 4 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
2		signsv.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
3		signsv.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
4		signsv.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
5	1, 2, 3, 4	signstfv 34862	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝑇‘𝐹) = (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖))))))
6		neg1rr 12192	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℝ
7		0re 11198	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
8		1re 11196	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
9		tpssi 4798	. . . . 5 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → {-1, 0, 1} ⊆ ℝ)
10	6, 7, 8, 9	mp3an 1485	. . . 4 ⊢ {-1, 0, 1} ⊆ ℝ
11	1, 2	signswbase 34853	. . . . 5 ⊢ {-1, 0, 1} = (Base‘𝑊)
12	1, 2	signswmnd 34856	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 ∈ Mnd
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑊 ∈ Mnd)
14		fzo0ssnn0 13763	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ ℕ0
15		nn0uz 12888	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
16	14, 15	sseqtri 3987	. . . . . . 7 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (ℤ≥‘0)
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (ℤ≥‘0))
18	17	sselda 3939	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘0))
19		wrdf 14543	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶ℝ)
20	19	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑛)) → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶ℝ)
21		fzssfzo 34841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (0...𝑛) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
22	21	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (0...𝑛) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
23	22	sselda 3939	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑛)) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
24	20, 23	ffvelcdmd 7070	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑛)) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ)
25	24	rexrd 11247	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑛)) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ*)
26		sgncl 15122	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑖) ∈ ℝ* → (sgn‘(𝐹‘𝑖)) ∈ {-1, 0, 1})
27	25, 26	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑛)) → (sgn‘(𝐹‘𝑖)) ∈ {-1, 0, 1})
28	11, 13, 18, 27	gsumncl 34842	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖)))) ∈ {-1, 0, 1})
29	10, 28	sselid 3937	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖)))) ∈ ℝ)
30	5, 29	fmpt3d 7101	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝑇‘𝐹):(0..^(♯‘𝐹))⟶ℝ)
31		iswrdi 14542	. 2 ⊢ ((𝑇‘𝐹):(0..^(♯‘𝐹))⟶ℝ → (𝑇‘𝐹) ∈ Word ℝ)
32	30, 31	syl 18	1 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝑇‘𝐹) ∈ Word ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960   ⊆ wss 3907  ifcif 4483  {cpr 4587  {ctp 4589  ⟨cop 4591   ↦ cmpt 5185  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ∈ cmpo 7402  ℝcr 11087  0cc0 11088  1c1 11089  ℝ^*cxr 11230   − cmin 11429  -cneg 11430  ℕ₀cn0 12492  ℤ_≥cuz 12850  ...cfz 13523  ..^cfzo 13670  ♯chash 14354  Word cword 14538  sgncsgn 15111  Σcsu 15725  ndxcnx 17241  Basecbs 17257  +_gcplusg 17298   Σ_g cgsu 17481  Mndcmnd 18780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-seq 14026  df-hash 14355  df-word 14539  df-sgn 15112  df-struct 17195  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-plusg 17311  df-0g 17482  df-gsum 17483  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781

This theorem is referenced by:  signstres  34874  signsvtp  34882  signsvtn  34883