Theorem signstf 34564

Description: The zero skipping sign word is a word. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))

Assertion

Ref	Expression
signstf	⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝑇‘𝐹) ∈ Word ℝ)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛

Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signstf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		signsv.p	. . . 4 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
2		signsv.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
3		signsv.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
4		signsv.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
5	1, 2, 3, 4	signstfv 34561	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝑇‘𝐹) = (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖))))))
6		neg1rr 12179	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℝ
7		0re 11183	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
8		1re 11181	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
9		tpssi 4805	. . . . 5 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → {-1, 0, 1} ⊆ ℝ)
10	6, 7, 8, 9	mp3an 1463	. . . 4 ⊢ {-1, 0, 1} ⊆ ℝ
11	1, 2	signswbase 34552	. . . . 5 ⊢ {-1, 0, 1} = (Base‘𝑊)
12	1, 2	signswmnd 34555	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 ∈ Mnd
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑊 ∈ Mnd)
14		fzo0ssnn0 13714	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ ℕ0
15		nn0uz 12842	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
16	14, 15	sseqtri 3998	. . . . . . 7 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (ℤ≥‘0)
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (ℤ≥‘0))
18	17	sselda 3949	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘0))
19		wrdf 14490	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶ℝ)
20	19	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑛)) → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶ℝ)
21		fzssfzo 34537	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (0...𝑛) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
22	21	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (0...𝑛) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
23	22	sselda 3949	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑛)) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
24	20, 23	ffvelcdmd 7060	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑛)) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ)
25	24	rexrd 11231	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑛)) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ*)
26		sgncl 32763	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑖) ∈ ℝ* → (sgn‘(𝐹‘𝑖)) ∈ {-1, 0, 1})
27	25, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑛)) → (sgn‘(𝐹‘𝑖)) ∈ {-1, 0, 1})
28	11, 13, 18, 27	gsumncl 34538	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖)))) ∈ {-1, 0, 1})
29	10, 28	sselid 3947	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖)))) ∈ ℝ)
30	5, 29	fmpt3d 7091	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝑇‘𝐹):(0..^(♯‘𝐹))⟶ℝ)
31		iswrdi 14489	. 2 ⊢ ((𝑇‘𝐹):(0..^(♯‘𝐹))⟶ℝ → (𝑇‘𝐹) ∈ Word ℝ)
32	30, 31	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝑇‘𝐹) ∈ Word ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ⊆ wss 3917  ifcif 4491  {cpr 4594  {ctp 4596  ⟨cop 4598   ↦ cmpt 5191  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∈ cmpo 7392  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076  ℝ^*cxr 11214   − cmin 11412  -cneg 11413  ℕ₀cn0 12449  ℤ_≥cuz 12800  ...cfz 13475  ..^cfzo 13622  ♯chash 14302  Word cword 14485  sgncsgn 15059  Σcsu 15659  ndxcnx 17170  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227   Σ_g cgsu 17410  Mndcmnd 18668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-hash 14303  df-word 14486  df-sgn 15060  df-struct 17124  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669

This theorem is referenced by:  signstres  34573  signsvtp  34581  signsvtn  34582