Theorem signstf 34934

Description: The zero skipping sign word is a word. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))

Assertion

Ref	Expression
signstf	⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝑇‘𝐹) ∈ Word ℝ)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛

Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signstf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		signsv.p	. . . 4 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
2		signsv.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
3		signsv.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
4		signsv.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
5	1, 2, 3, 4	signstfv 34931	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝑇‘𝐹) = (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖))))))
6		neg1rr 12205	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℝ
7		0re 11211	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
8		1re 11209	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
9		tpssi 4804	. . . . 5 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → {-1, 0, 1} ⊆ ℝ)
10	6, 7, 8, 9	mp3an 1490	. . . 4 ⊢ {-1, 0, 1} ⊆ ℝ
11	1, 2	signswbase 34922	. . . . 5 ⊢ {-1, 0, 1} = (Base‘𝑊)
12	1, 2	signswmnd 34925	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 ∈ Mnd
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑊 ∈ Mnd)
14		fzo0ssnn0 13777	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ ℕ0
15		nn0uz 12901	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
16	14, 15	sseqtri 3986	. . . . . . 7 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (ℤ≥‘0)
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (ℤ≥‘0))
18	17	sselda 3938	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘0))
19		wrdf 14557	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶ℝ)
20	19	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑛)) → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶ℝ)
21		fzssfzo 34910	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (0...𝑛) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
22	21	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (0...𝑛) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
23	22	sselda 3938	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑛)) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
24	20, 23	ffvelcdmd 7082	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑛)) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ)
25	24	rexrd 11260	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑛)) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ*)
26		sgncl 15136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑖) ∈ ℝ* → (sgn‘(𝐹‘𝑖)) ∈ {-1, 0, 1})
27	25, 26	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑛)) → (sgn‘(𝐹‘𝑖)) ∈ {-1, 0, 1})
28	11, 13, 18, 27	gsumncl 34911	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖)))) ∈ {-1, 0, 1})
29	10, 28	sselid 3936	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖)))) ∈ ℝ)
30	5, 29	fmpt3d 7113	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝑇‘𝐹):(0..^(♯‘𝐹))⟶ℝ)
31		iswrdi 14556	. 2 ⊢ ((𝑇‘𝐹):(0..^(♯‘𝐹))⟶ℝ → (𝑇‘𝐹) ∈ Word ℝ)
32	30, 31	syl 18	1 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝑇‘𝐹) ∈ Word ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ⊆ wss 3906  ifcif 4488  {cpr 4592  {ctp 4594  ⟨cop 4596   ↦ cmpt 5193  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  ℝcr 11100  0cc0 11101  1c1 11102  ℝ^*cxr 11243   − cmin 11442  -cneg 11443  ℕ₀cn0 12505  ℤ_≥cuz 12863  ...cfz 13536  ..^cfzo 13684  ♯chash 14368  Word cword 14552  sgncsgn 15125  Σcsu 15739  ndxcnx 17254  Basecbs 17270  +_gcplusg 17311   Σ_g cgsu 17494  Mndcmnd 18793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-hash 14369  df-word 14553  df-sgn 15126  df-struct 17208  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-plusg 17324  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794

This theorem is referenced by:  signstres  34943  signsvtp  34951  signsvtn  34952