Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signstf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem signstf 34231
Description: The zero skipping sign word is a word. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p ⨣ = (π‘Ž ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, π‘Ž, 𝑏))
signsv.w π‘Š = {⟨(Baseβ€˜ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“)) ↦ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(π‘“β€˜π‘–))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘“))if(((π‘‡β€˜π‘“)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜π‘“)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
Assertion
Ref Expression
signstf (𝐹 ∈ Word ℝ β†’ (π‘‡β€˜πΉ) ∈ Word ℝ)
Distinct variable groups:   π‘Ž,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,π‘Š,𝑖,𝑛
Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ž,𝑏)   𝐹(𝑗,π‘Ž,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ž,𝑏)   π‘Š(𝑗,π‘Ž,𝑏)
Proof of Theorem signstf
StepHypRef Expression
1 signsv.p . . . 4 ⨣ = (π‘Ž ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, π‘Ž, 𝑏))
2 signsv.w . . . 4 π‘Š = {⟨(Baseβ€˜ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ⨣ ⟩}
3 signsv.t . . . 4 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“)) ↦ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(π‘“β€˜π‘–))))))
4 signsv.v . . . 4 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘“))if(((π‘‡β€˜π‘“)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜π‘“)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
51, 2, 3, 4signstfv 34228 . . 3 (𝐹 ∈ Word ℝ β†’ (π‘‡β€˜πΉ) = (𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) ↦ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(πΉβ€˜π‘–))))))
6 neg1rr 12365 . . . . 5 -1 ∈ ℝ
7 0re 11254 . . . . 5 0 ∈ ℝ
8 1re 11252 . . . . 5 1 ∈ ℝ
9 tpssi 4844 . . . . 5 ((-1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ {-1, 0, 1} βŠ† ℝ)
106, 7, 8, 9mp3an 1457 . . . 4 {-1, 0, 1} βŠ† ℝ
111, 2signswbase 34219 . . . . 5 {-1, 0, 1} = (Baseβ€˜π‘Š)
121, 2signswmnd 34222 . . . . . 6 π‘Š ∈ Mnd
1312a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ π‘Š ∈ Mnd)
14 fzo0ssnn0 13753 . . . . . . . 8 (0..^(β™―β€˜πΉ)) βŠ† β„•0
15 nn0uz 12902 . . . . . . . 8 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
1614, 15sseqtri 4018 . . . . . . 7 (0..^(β™―β€˜πΉ)) βŠ† (β„€β‰₯β€˜0)
1716a1i 11 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word ℝ β†’ (0..^(β™―β€˜πΉ)) βŠ† (β„€β‰₯β€˜0))
1817sselda 3982 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
19 wrdf 14509 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ Word ℝ β†’ 𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))βŸΆβ„)
2019ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑛)) β†’ 𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))βŸΆβ„)
21 fzssfzo 34204 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (0...𝑛) βŠ† (0..^(β™―β€˜πΉ)))
2221adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (0...𝑛) βŠ† (0..^(β™―β€˜πΉ)))
2322sselda 3982 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑛)) β†’ 𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
2420, 23ffvelcdmd 7100 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑛)) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ∈ ℝ)
2524rexrd 11302 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑛)) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ∈ ℝ*)
26 sgncl 34191 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π‘–) ∈ ℝ* β†’ (sgnβ€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∈ {-1, 0, 1})
2725, 26syl 17 . . . . 5 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑛)) β†’ (sgnβ€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∈ {-1, 0, 1})
2811, 13, 18, 27gsumncl 34205 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(πΉβ€˜π‘–)))) ∈ {-1, 0, 1})
2910, 28sselid 3980 . . 3 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(πΉβ€˜π‘–)))) ∈ ℝ)
305, 29fmpt3d 7131 . 2 (𝐹 ∈ Word ℝ β†’ (π‘‡β€˜πΉ):(0..^(β™―β€˜πΉ))βŸΆβ„)
31 iswrdi 14508 . 2 ((π‘‡β€˜πΉ):(0..^(β™―β€˜πΉ))βŸΆβ„ β†’ (π‘‡β€˜πΉ) ∈ Word ℝ)
3230, 31syl 17 1 (𝐹 ∈ Word ℝ β†’ (π‘‡β€˜πΉ) ∈ Word ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937   βŠ† wss 3949  ifcif 4532  {cpr 4634  {ctp 4636  βŸ¨cop 4638   ↦ cmpt 5235  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∈ cmpo 7428  β„cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147  β„*cxr 11285   βˆ’ cmin 11482  -cneg 11483  β„•0cn0 12510  β„€β‰₯cuz 12860  ...cfz 13524  ..^cfzo 13667  β™―chash 14329  Word cword 14504  sgncsgn 15073  Ξ£csu 15672  ndxcnx 17169  Basecbs 17187  +gcplusg 17240   Ξ£g cgsu 17429  Mndcmnd 18701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-hash 14330  df-word 14505  df-sgn 15074  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702
This theorem is referenced by:  signstres  34240  signsvtp  34248  signsvtn  34249
  Copyright terms: Public domain W3C validator