Theorem signstf 34822

Description: The zero skipping sign word is a word. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))

Assertion

Ref	Expression
signstf	⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝑇‘𝐹) ∈ Word ℝ)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛

Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signstf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		signsv.p	. . . 4 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
2		signsv.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
3		signsv.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
4		signsv.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
5	1, 2, 3, 4	signstfv 34819	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝑇‘𝐹) = (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖))))))
6		neg1rr 12176	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℝ
7		0re 11178	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
8		1re 11176	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
9		tpssi 4795	. . . . 5 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → {-1, 0, 1} ⊆ ℝ)
10	6, 7, 8, 9	mp3an 1481	. . . 4 ⊢ {-1, 0, 1} ⊆ ℝ
11	1, 2	signswbase 34810	. . . . 5 ⊢ {-1, 0, 1} = (Base‘𝑊)
12	1, 2	signswmnd 34813	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 ∈ Mnd
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑊 ∈ Mnd)
14		fzo0ssnn0 13747	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ ℕ0
15		nn0uz 12872	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
16	14, 15	sseqtri 3984	. . . . . . 7 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (ℤ≥‘0)
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (ℤ≥‘0))
18	17	sselda 3936	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘0))
19		wrdf 14526	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶ℝ)
20	19	ad2antrr 736	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑛)) → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶ℝ)
21		fzssfzo 34795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (0...𝑛) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
22	21	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (0...𝑛) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
23	22	sselda 3936	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑛)) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
24	20, 23	ffvelcdmd 7060	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑛)) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ)
25	24	rexrd 11227	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑛)) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ*)
26		sgncl 32981	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑖) ∈ ℝ* → (sgn‘(𝐹‘𝑖)) ∈ {-1, 0, 1})
27	25, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑛)) → (sgn‘(𝐹‘𝑖)) ∈ {-1, 0, 1})
28	11, 13, 18, 27	gsumncl 34796	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖)))) ∈ {-1, 0, 1})
29	10, 28	sselid 3934	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖)))) ∈ ℝ)
30	5, 29	fmpt3d 7091	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝑇‘𝐹):(0..^(♯‘𝐹))⟶ℝ)
31		iswrdi 14525	. 2 ⊢ ((𝑇‘𝐹):(0..^(♯‘𝐹))⟶ℝ → (𝑇‘𝐹) ∈ Word ℝ)
32	30, 31	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝑇‘𝐹) ∈ Word ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   ⊆ wss 3904  ifcif 4479  {cpr 4583  {ctp 4585  ⟨cop 4587   ↦ cmpt 5180  ⟶wf 6511  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390   ∈ cmpo 7392  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069  ℝ^*cxr 11210   − cmin 11409  -cneg 11410  ℕ₀cn0 12476  ℤ_≥cuz 12834  ...cfz 13507  ..^cfzo 13654  ♯chash 14338  Word cword 14521  sgncsgn 15094  Σcsu 15694  ndxcnx 17210  Basecbs 17226  +_gcplusg 17267   Σ_g cgsu 17450  Mndcmnd 18749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7712  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-er 8671  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9892  df-pnf 11213  df-mnf 11214  df-xr 11215  df-ltxr 11216  df-le 11217  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12206  df-2 12275  df-n0 12477  df-z 12564  df-uz 12835  df-fz 13508  df-fzo 13655  df-seq 14010  df-hash 14339  df-word 14522  df-sgn 15095  df-struct 17164  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-plusg 17280  df-0g 17451  df-gsum 17452  df-mgm 18655  df-sgrp 18734  df-mnd 18750

This theorem is referenced by:  signstres  34831  signsvtp  34839  signsvtn  34840