Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signstf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem signstf 34106
Description: The zero skipping sign word is a word. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p ⨣ = (π‘Ž ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, π‘Ž, 𝑏))
signsv.w π‘Š = {⟨(Baseβ€˜ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“)) ↦ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(π‘“β€˜π‘–))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘“))if(((π‘‡β€˜π‘“)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜π‘“)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
Assertion
Ref Expression
signstf (𝐹 ∈ Word ℝ β†’ (π‘‡β€˜πΉ) ∈ Word ℝ)
Distinct variable groups:   π‘Ž,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,π‘Š,𝑖,𝑛
Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ž,𝑏)   𝐹(𝑗,π‘Ž,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ž,𝑏)   π‘Š(𝑗,π‘Ž,𝑏)
Proof of Theorem signstf
StepHypRef Expression
1 signsv.p . . . 4 ⨣ = (π‘Ž ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, π‘Ž, 𝑏))
2 signsv.w . . . 4 π‘Š = {⟨(Baseβ€˜ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ⨣ ⟩}
3 signsv.t . . . 4 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“)) ↦ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(π‘“β€˜π‘–))))))
4 signsv.v . . . 4 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘“))if(((π‘‡β€˜π‘“)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜π‘“)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
51, 2, 3, 4signstfv 34103 . . 3 (𝐹 ∈ Word ℝ β†’ (π‘‡β€˜πΉ) = (𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) ↦ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(πΉβ€˜π‘–))))))
6 neg1rr 12328 . . . . 5 -1 ∈ ℝ
7 0re 11217 . . . . 5 0 ∈ ℝ
8 1re 11215 . . . . 5 1 ∈ ℝ
9 tpssi 4834 . . . . 5 ((-1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ {-1, 0, 1} βŠ† ℝ)
106, 7, 8, 9mp3an 1457 . . . 4 {-1, 0, 1} βŠ† ℝ
111, 2signswbase 34094 . . . . 5 {-1, 0, 1} = (Baseβ€˜π‘Š)
121, 2signswmnd 34097 . . . . . 6 π‘Š ∈ Mnd
1312a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ π‘Š ∈ Mnd)
14 fzo0ssnn0 13716 . . . . . . . 8 (0..^(β™―β€˜πΉ)) βŠ† β„•0
15 nn0uz 12865 . . . . . . . 8 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
1614, 15sseqtri 4013 . . . . . . 7 (0..^(β™―β€˜πΉ)) βŠ† (β„€β‰₯β€˜0)
1716a1i 11 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word ℝ β†’ (0..^(β™―β€˜πΉ)) βŠ† (β„€β‰₯β€˜0))
1817sselda 3977 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
19 wrdf 14472 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ Word ℝ β†’ 𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))βŸΆβ„)
2019ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑛)) β†’ 𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))βŸΆβ„)
21 fzssfzo 34079 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (0...𝑛) βŠ† (0..^(β™―β€˜πΉ)))
2221adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (0...𝑛) βŠ† (0..^(β™―β€˜πΉ)))
2322sselda 3977 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑛)) β†’ 𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
2420, 23ffvelcdmd 7080 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑛)) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ∈ ℝ)
2524rexrd 11265 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑛)) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ∈ ℝ*)
26 sgncl 34066 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π‘–) ∈ ℝ* β†’ (sgnβ€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∈ {-1, 0, 1})
2725, 26syl 17 . . . . 5 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑛)) β†’ (sgnβ€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∈ {-1, 0, 1})
2811, 13, 18, 27gsumncl 34080 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(πΉβ€˜π‘–)))) ∈ {-1, 0, 1})
2910, 28sselid 3975 . . 3 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(πΉβ€˜π‘–)))) ∈ ℝ)
305, 29fmpt3d 7110 . 2 (𝐹 ∈ Word ℝ β†’ (π‘‡β€˜πΉ):(0..^(β™―β€˜πΉ))βŸΆβ„)
31 iswrdi 14471 . 2 ((π‘‡β€˜πΉ):(0..^(β™―β€˜πΉ))βŸΆβ„ β†’ (π‘‡β€˜πΉ) ∈ Word ℝ)
3230, 31syl 17 1 (𝐹 ∈ Word ℝ β†’ (π‘‡β€˜πΉ) ∈ Word ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   βŠ† wss 3943  ifcif 4523  {cpr 4625  {ctp 4627  βŸ¨cop 4629   ↦ cmpt 5224  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ∈ cmpo 7406  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110  β„*cxr 11248   βˆ’ cmin 11445  -cneg 11446  β„•0cn0 12473  β„€β‰₯cuz 12823  ...cfz 13487  ..^cfzo 13630  β™―chash 14292  Word cword 14467  sgncsgn 15036  Ξ£csu 15635  ndxcnx 17132  Basecbs 17150  +gcplusg 17203   Ξ£g cgsu 17392  Mndcmnd 18664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14293  df-word 14468  df-sgn 15037  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-plusg 17216  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665
This theorem is referenced by:  signstres  34115  signsvtp  34123  signsvtn  34124
  Copyright terms: Public domain W3C validator