Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signslema Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signslema 31892
 Description: Computational part of signwlemn . (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signslema.1 (𝜑𝐸 ∈ ℕ0)
signslema.2 (𝜑𝐹 ∈ ℕ0)
signslema.3 (𝜑𝐺 ∈ ℕ0)
signslema.4 (𝜑𝐻 ∈ ℕ0)
signslema.5 (𝜑 → (𝐸 < 𝐺 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐺𝐸)))
signslema.6 (𝜑 → ((𝐻𝐺) − (𝐹𝐸)) ∈ {0, 2})
Assertion
Ref Expression
signslema (𝜑 → (𝐹 < 𝐻 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐻𝐹)))

Proof of Theorem signslema
StepHypRef Expression
1 signslema.5 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 < 𝐺 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐺𝐸)))
21simpld 498 . . . . 5 (𝜑𝐸 < 𝐺)
32adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0) → 𝐸 < 𝐺)
4 signslema.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻 ∈ ℕ0)
54nn0cnd 11954 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻 ∈ ℂ)
6 signslema.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ ℕ0)
76nn0cnd 11954 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ ℂ)
85, 7subcld 10995 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐻𝐹) ∈ ℂ)
9 signslema.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 ∈ ℕ0)
109nn0cnd 11954 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
11 signslema.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 ∈ ℕ0)
1211nn0cnd 11954 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
1310, 12subcld 10995 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺𝐸) ∈ ℂ)
148, 13subeq0ad 11005 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0 ↔ (𝐻𝐹) = (𝐺𝐸)))
1514biimpa 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0) → (𝐻𝐹) = (𝐺𝐸))
1615breq2d 5064 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0) → (0 < (𝐻𝐹) ↔ 0 < (𝐺𝐸)))
176nn0red 11953 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ ℝ)
184nn0red 11953 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 ∈ ℝ)
1917, 18posdifd 11225 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 < 𝐻 ↔ 0 < (𝐻𝐹)))
2019adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0) → (𝐹 < 𝐻 ↔ 0 < (𝐻𝐹)))
2111nn0red 11953 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
229nn0red 11953 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ ℝ)
2321, 22posdifd 11225 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 < 𝐺 ↔ 0 < (𝐺𝐸)))
2423adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0) → (𝐸 < 𝐺 ↔ 0 < (𝐺𝐸)))
2516, 20, 243bitr4rd 315 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0) → (𝐸 < 𝐺𝐹 < 𝐻))
263, 25mpbid 235 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0) → 𝐹 < 𝐻)
27 0red 10642 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → 0 ∈ ℝ)
2822, 21resubcld 11066 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺𝐸) ∈ ℝ)
2928adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → (𝐺𝐸) ∈ ℝ)
3018, 17resubcld 11066 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻𝐹) ∈ ℝ)
3130adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → (𝐻𝐹) ∈ ℝ)
322adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → 𝐸 < 𝐺)
3323adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → (𝐸 < 𝐺 ↔ 0 < (𝐺𝐸)))
3432, 33mpbid 235 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → 0 < (𝐺𝐸))
35 2pos 11737 . . . . . . 7 0 < 2
36 breq2 5056 . . . . . . 7 (((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2 → (0 < ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) ↔ 0 < 2))
3735, 36mpbiri 261 . . . . . 6 (((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2 → 0 < ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)))
3828, 30posdifd 11225 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺𝐸) < (𝐻𝐹) ↔ 0 < ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸))))
3938biimpar 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸))) → (𝐺𝐸) < (𝐻𝐹))
4037, 39sylan2 595 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → (𝐺𝐸) < (𝐻𝐹))
4127, 29, 31, 34, 40lttrd 10799 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → 0 < (𝐻𝐹))
4219adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → (𝐹 < 𝐻 ↔ 0 < (𝐻𝐹)))
4341, 42mpbird 260 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → 𝐹 < 𝐻)
445, 10, 7, 12sub4d 11044 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐻𝐺) − (𝐹𝐸)) = ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)))
45 signslema.6 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐻𝐺) − (𝐹𝐸)) ∈ {0, 2})
4644, 45eqeltrrd 2917 . . . 4 (𝜑 → ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) ∈ {0, 2})
47 ovex 7182 . . . . 5 ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) ∈ V
4847elpr 4573 . . . 4 (((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) ∈ {0, 2} ↔ (((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0 ∨ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2))
4946, 48sylib 221 . . 3 (𝜑 → (((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0 ∨ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2))
5026, 43, 49mpjaodan 956 . 2 (𝜑𝐹 < 𝐻)
511simprd 499 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 2 ∥ (𝐺𝐸))
5251adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0) → ¬ 2 ∥ (𝐺𝐸))
5315breq2d 5064 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0) → (2 ∥ (𝐻𝐹) ↔ 2 ∥ (𝐺𝐸)))
5452, 53mtbird 328 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0) → ¬ 2 ∥ (𝐻𝐹))
55 2z 12011 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
569nn0zd 12082 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ ℤ)
5711nn0zd 12082 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ ℤ)
5856, 57zsubcld 12089 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝐸) ∈ ℤ)
59 dvdsaddr 15653 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ (𝐺𝐸) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝐺𝐸) ↔ 2 ∥ ((𝐺𝐸) + 2)))
6055, 58, 59sylancr 590 . . . . . 6 (𝜑 → (2 ∥ (𝐺𝐸) ↔ 2 ∥ ((𝐺𝐸) + 2)))
6151, 60mtbid 327 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 2 ∥ ((𝐺𝐸) + 2))
6261adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → ¬ 2 ∥ ((𝐺𝐸) + 2))
63 2cnd 11712 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
648, 13, 63subaddd 11013 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2 ↔ ((𝐺𝐸) + 2) = (𝐻𝐹)))
6564biimpa 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → ((𝐺𝐸) + 2) = (𝐻𝐹))
6665breq2d 5064 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → (2 ∥ ((𝐺𝐸) + 2) ↔ 2 ∥ (𝐻𝐹)))
6762, 66mtbid 327 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → ¬ 2 ∥ (𝐻𝐹))
6854, 67, 49mpjaodan 956 . 2 (𝜑 → ¬ 2 ∥ (𝐻𝐹))
6950, 68jca 515 1 (𝜑 → (𝐹 < 𝐻 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐻𝐹)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  {cpr 4552   class class class wbr 5052  (class class class)co 7149  ℝcr 10534  0cc0 10535   + caddc 10538   < clt 10673   − cmin 10868  2c2 11689  ℕ0cn0 11894  ℤcz 11978   ∥ cdvds 15607 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-n0 11895  df-z 11979  df-dvds 15608 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator