Proof of Theorem signslema
| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | signslema.5 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐸 < 𝐺 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐺 − 𝐸))) |
| 2 | 1 | simpld 494 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐸 < 𝐺) |
| 3 | 2 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 0) → 𝐸 < 𝐺) |
| 4 | | signslema.4 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈
ℕ0) |
| 5 | 4 | nn0cnd 12589 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℂ) |
| 6 | | signslema.2 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈
ℕ0) |
| 7 | 6 | nn0cnd 12589 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ) |
| 8 | 5, 7 | subcld 11620 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐻 − 𝐹) ∈ ℂ) |
| 9 | | signslema.3 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈
ℕ0) |
| 10 | 9 | nn0cnd 12589 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ) |
| 11 | | signslema.1 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈
ℕ0) |
| 12 | 11 | nn0cnd 12589 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ) |
| 13 | 10, 12 | subcld 11620 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐸) ∈ ℂ) |
| 14 | 8, 13 | subeq0ad 11630 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 0 ↔ (𝐻 − 𝐹) = (𝐺 − 𝐸))) |
| 15 | 14 | biimpa 476 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 0) → (𝐻 − 𝐹) = (𝐺 − 𝐸)) |
| 16 | 15 | breq2d 5155 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 0) → (0 < (𝐻 − 𝐹) ↔ 0 < (𝐺 − 𝐸))) |
| 17 | 6 | nn0red 12588 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℝ) |
| 18 | 4 | nn0red 12588 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℝ) |
| 19 | 17, 18 | posdifd 11850 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐹 < 𝐻 ↔ 0 < (𝐻 − 𝐹))) |
| 20 | 19 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 0) → (𝐹 < 𝐻 ↔ 0 < (𝐻 − 𝐹))) |
| 21 | 11 | nn0red 12588 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ) |
| 22 | 9 | nn0red 12588 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ) |
| 23 | 21, 22 | posdifd 11850 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐸 < 𝐺 ↔ 0 < (𝐺 − 𝐸))) |
| 24 | 23 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 0) → (𝐸 < 𝐺 ↔ 0 < (𝐺 − 𝐸))) |
| 25 | 16, 20, 24 | 3bitr4rd 312 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 0) → (𝐸 < 𝐺 ↔ 𝐹 < 𝐻)) |
| 26 | 3, 25 | mpbid 232 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 0) → 𝐹 < 𝐻) |
| 27 | | 0red 11264 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 2) → 0 ∈
ℝ) |
| 28 | 22, 21 | resubcld 11691 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐸) ∈ ℝ) |
| 29 | 28 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 2) → (𝐺 − 𝐸) ∈ ℝ) |
| 30 | 18, 17 | resubcld 11691 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐻 − 𝐹) ∈ ℝ) |
| 31 | 30 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 2) → (𝐻 − 𝐹) ∈ ℝ) |
| 32 | 2 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 2) → 𝐸 < 𝐺) |
| 33 | 23 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 2) → (𝐸 < 𝐺 ↔ 0 < (𝐺 − 𝐸))) |
| 34 | 32, 33 | mpbid 232 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 2) → 0 < (𝐺 − 𝐸)) |
| 35 | | 2pos 12369 |
. . . . . . 7
⊢ 0 <
2 |
| 36 | | breq2 5147 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 2 → (0 < ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) ↔ 0 < 2)) |
| 37 | 35, 36 | mpbiri 258 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 2 → 0 < ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸))) |
| 38 | 28, 30 | posdifd 11850 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝐺 − 𝐸) < (𝐻 − 𝐹) ↔ 0 < ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)))) |
| 39 | 38 | biimpar 477 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸))) → (𝐺 − 𝐸) < (𝐻 − 𝐹)) |
| 40 | 37, 39 | sylan2 593 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 2) → (𝐺 − 𝐸) < (𝐻 − 𝐹)) |
| 41 | 27, 29, 31, 34, 40 | lttrd 11422 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 2) → 0 < (𝐻 − 𝐹)) |
| 42 | 19 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 2) → (𝐹 < 𝐻 ↔ 0 < (𝐻 − 𝐹))) |
| 43 | 41, 42 | mpbird 257 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 2) → 𝐹 < 𝐻) |
| 44 | 5, 10, 7, 12 | sub4d 11669 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝐻 − 𝐺) − (𝐹 − 𝐸)) = ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸))) |
| 45 | | signslema.6 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝐻 − 𝐺) − (𝐹 − 𝐸)) ∈ {0, 2}) |
| 46 | 44, 45 | eqeltrrd 2842 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) ∈ {0, 2}) |
| 47 | | ovex 7464 |
. . . . 5
⊢ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) ∈ V |
| 48 | 47 | elpr 4650 |
. . . 4
⊢ (((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) ∈ {0, 2} ↔ (((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 0 ∨ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 2)) |
| 49 | 46, 48 | sylib 218 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 0 ∨ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 2)) |
| 50 | 26, 43, 49 | mpjaodan 961 |
. 2
⊢ (𝜑 → 𝐹 < 𝐻) |
| 51 | 1 | simprd 495 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ (𝐺 − 𝐸)) |
| 52 | 51 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 0) → ¬ 2 ∥ (𝐺 − 𝐸)) |
| 53 | 15 | breq2d 5155 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 0) → (2 ∥ (𝐻 − 𝐹) ↔ 2 ∥ (𝐺 − 𝐸))) |
| 54 | 52, 53 | mtbird 325 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 0) → ¬ 2 ∥ (𝐻 − 𝐹)) |
| 55 | | 2z 12649 |
. . . . . . 7
⊢ 2 ∈
ℤ |
| 56 | 9 | nn0zd 12639 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℤ) |
| 57 | 11 | nn0zd 12639 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ) |
| 58 | 56, 57 | zsubcld 12727 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐸) ∈ ℤ) |
| 59 | | dvdsaddr 16340 |
. . . . . . 7
⊢ ((2
∈ ℤ ∧ (𝐺
− 𝐸) ∈ ℤ)
→ (2 ∥ (𝐺
− 𝐸) ↔ 2 ∥
((𝐺 − 𝐸) + 2))) |
| 60 | 55, 58, 59 | sylancr 587 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (2 ∥ (𝐺 − 𝐸) ↔ 2 ∥ ((𝐺 − 𝐸) + 2))) |
| 61 | 51, 60 | mtbid 324 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ ((𝐺 − 𝐸) + 2)) |
| 62 | 61 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 2) → ¬ 2 ∥ ((𝐺 − 𝐸) + 2)) |
| 63 | | 2cnd 12344 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℂ) |
| 64 | 8, 13, 63 | subaddd 11638 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 2 ↔ ((𝐺 − 𝐸) + 2) = (𝐻 − 𝐹))) |
| 65 | 64 | biimpa 476 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 2) → ((𝐺 − 𝐸) + 2) = (𝐻 − 𝐹)) |
| 66 | 65 | breq2d 5155 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 2) → (2 ∥ ((𝐺 − 𝐸) + 2) ↔ 2 ∥ (𝐻 − 𝐹))) |
| 67 | 62, 66 | mtbid 324 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 2) → ¬ 2 ∥ (𝐻 − 𝐹)) |
| 68 | 54, 67, 49 | mpjaodan 961 |
. 2
⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ (𝐻 − 𝐹)) |
| 69 | 50, 68 | jca 511 |
1
⊢ (𝜑 → (𝐹 < 𝐻 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐻 − 𝐹))) |