MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prub 11012
Description: A positive fraction not in a positive real is an upper bound. Remark (1) of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 25-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
prub (((𝐴P𝐵𝐴) ∧ 𝐶Q) → (¬ 𝐶𝐴𝐵 <Q 𝐶))

Proof of Theorem prub
StepHypRef Expression
1 eleq1 2817 . . . . . . 7 (𝐵 = 𝐶 → (𝐵𝐴𝐶𝐴))
21biimpcd 248 . . . . . 6 (𝐵𝐴 → (𝐵 = 𝐶𝐶𝐴))
32adantl 481 . . . . 5 ((𝐴P𝐵𝐴) → (𝐵 = 𝐶𝐶𝐴))
4 prcdnq 11011 . . . . 5 ((𝐴P𝐵𝐴) → (𝐶 <Q 𝐵𝐶𝐴))
53, 4jaod 858 . . . 4 ((𝐴P𝐵𝐴) → ((𝐵 = 𝐶𝐶 <Q 𝐵) → 𝐶𝐴))
65con3d 152 . . 3 ((𝐴P𝐵𝐴) → (¬ 𝐶𝐴 → ¬ (𝐵 = 𝐶𝐶 <Q 𝐵)))
76adantr 480 . 2 (((𝐴P𝐵𝐴) ∧ 𝐶Q) → (¬ 𝐶𝐴 → ¬ (𝐵 = 𝐶𝐶 <Q 𝐵)))
8 elprnq 11009 . . 3 ((𝐴P𝐵𝐴) → 𝐵Q)
9 ltsonq 10987 . . . 4 <Q Or Q
10 sotric 5613 . . . 4 (( <Q Or Q ∧ (𝐵Q𝐶Q)) → (𝐵 <Q 𝐶 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐶𝐶 <Q 𝐵)))
119, 10mpan 689 . . 3 ((𝐵Q𝐶Q) → (𝐵 <Q 𝐶 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐶𝐶 <Q 𝐵)))
128, 11sylan 579 . 2 (((𝐴P𝐵𝐴) ∧ 𝐶Q) → (𝐵 <Q 𝐶 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐶𝐶 <Q 𝐵)))
137, 12sylibrd 259 1 (((𝐴P𝐵𝐴) ∧ 𝐶Q) → (¬ 𝐶𝐴𝐵 <Q 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wo 846   = wceq 1534  wcel 2099   class class class wbr 5143   Or wor 5584  Qcnq 10870   <Q cltq 10876  Pcnp 10877
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5424  ax-un 7735
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-oadd 8485  df-omul 8486  df-er 8719  df-ni 10890  df-mi 10892  df-lti 10893  df-ltpq 10928  df-enq 10929  df-nq 10930  df-ltnq 10936  df-np 10999
This theorem is referenced by:  genpnnp  11023  psslinpr  11049  ltexprlem6  11059  ltexprlem7  11060  prlem936  11065  reclem4pr  11068
  Copyright terms: Public domain W3C validator