MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prub 11035
Description: A positive fraction not in a positive real is an upper bound. Remark (1) of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 25-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
prub (((𝐴P𝐵𝐴) ∧ 𝐶Q) → (¬ 𝐶𝐴𝐵 <Q 𝐶))

Proof of Theorem prub
StepHypRef Expression
1 eleq1 2828 . . . . . . 7 (𝐵 = 𝐶 → (𝐵𝐴𝐶𝐴))
21biimpcd 249 . . . . . 6 (𝐵𝐴 → (𝐵 = 𝐶𝐶𝐴))
32adantl 481 . . . . 5 ((𝐴P𝐵𝐴) → (𝐵 = 𝐶𝐶𝐴))
4 prcdnq 11034 . . . . 5 ((𝐴P𝐵𝐴) → (𝐶 <Q 𝐵𝐶𝐴))
53, 4jaod 859 . . . 4 ((𝐴P𝐵𝐴) → ((𝐵 = 𝐶𝐶 <Q 𝐵) → 𝐶𝐴))
65con3d 152 . . 3 ((𝐴P𝐵𝐴) → (¬ 𝐶𝐴 → ¬ (𝐵 = 𝐶𝐶 <Q 𝐵)))
76adantr 480 . 2 (((𝐴P𝐵𝐴) ∧ 𝐶Q) → (¬ 𝐶𝐴 → ¬ (𝐵 = 𝐶𝐶 <Q 𝐵)))
8 elprnq 11032 . . 3 ((𝐴P𝐵𝐴) → 𝐵Q)
9 ltsonq 11010 . . . 4 <Q Or Q
10 sotric 5621 . . . 4 (( <Q Or Q ∧ (𝐵Q𝐶Q)) → (𝐵 <Q 𝐶 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐶𝐶 <Q 𝐵)))
119, 10mpan 690 . . 3 ((𝐵Q𝐶Q) → (𝐵 <Q 𝐶 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐶𝐶 <Q 𝐵)))
128, 11sylan 580 . 2 (((𝐴P𝐵𝐴) ∧ 𝐶Q) → (𝐵 <Q 𝐶 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐶𝐶 <Q 𝐵)))
137, 12sylibrd 259 1 (((𝐴P𝐵𝐴) ∧ 𝐶Q) → (¬ 𝐶𝐴𝐵 <Q 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1539  wcel 2107   class class class wbr 5142   Or wor 5590  Qcnq 10893   <Q cltq 10899  Pcnp 10900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-oadd 8511  df-omul 8512  df-er 8746  df-ni 10913  df-mi 10915  df-lti 10916  df-ltpq 10951  df-enq 10952  df-nq 10953  df-ltnq 10959  df-np 11022
This theorem is referenced by:  genpnnp  11046  psslinpr  11072  ltexprlem6  11082  ltexprlem7  11083  prlem936  11088  reclem4pr  11091
  Copyright terms: Public domain W3C validator