Theorem prub 10986

Description: A positive fraction not in a positive real is an upper bound. Remark (1) of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 25-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
prub	⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ∈ Q) → (¬ 𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐵 <Q 𝐶))

Proof of Theorem prub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2813	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ 𝐶 ∈ 𝐴))
2	1	biimpcd 248	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐵 = 𝐶 → 𝐶 ∈ 𝐴))
3	2	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐵 = 𝐶 → 𝐶 ∈ 𝐴))
4		prcdnq 10985	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐶 ∈ 𝐴))
5	3, 4	jaod 856	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 <Q 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐴))
6	5	con3d 152	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (¬ 𝐶 ∈ 𝐴 → ¬ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 <Q 𝐵)))
7	6	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ∈ Q) → (¬ 𝐶 ∈ 𝐴 → ¬ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 <Q 𝐵)))
8		elprnq 10983	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ Q)
9		ltsonq 10961	. . . 4 ⊢ <Q Or Q
10		sotric 5607	. . . 4 ⊢ (( <Q Or Q ∧ (𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q)) → (𝐵 <Q 𝐶 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 <Q 𝐵)))
11	9, 10	mpan 687	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → (𝐵 <Q 𝐶 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 <Q 𝐵)))
12	8, 11	sylan 579	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ∈ Q) → (𝐵 <Q 𝐶 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 <Q 𝐵)))
13	7, 12	sylibrd 259	1 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ∈ Q) → (¬ 𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐵 <Q 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5139   Or wor 5578  Qcnq 10844   <_Q cltq 10850  Pcnp 10851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418  ax-un 7719

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8700  df-ni 10864  df-mi 10866  df-lti 10867  df-ltpq 10902  df-enq 10903  df-nq 10904  df-ltnq 10910  df-np 10973

This theorem is referenced by:  genpnnp  10997  psslinpr  11023  ltexprlem6  11033  ltexprlem7  11034  prlem936  11039  reclem4pr  11042