Theorem prub 10908

Description: A positive fraction not in a positive real is an upper bound. Remark (1) of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 25-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
prub	⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ∈ Q) → (¬ 𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐵 <Q 𝐶))

Proof of Theorem prub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ 𝐶 ∈ 𝐴))
2	1	biimpcd 249	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐵 = 𝐶 → 𝐶 ∈ 𝐴))
3	2	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐵 = 𝐶 → 𝐶 ∈ 𝐴))
4		prcdnq 10907	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐶 ∈ 𝐴))
5	3, 4	jaod 860	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 <Q 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐴))
6	5	con3d 152	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (¬ 𝐶 ∈ 𝐴 → ¬ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 <Q 𝐵)))
7	6	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ∈ Q) → (¬ 𝐶 ∈ 𝐴 → ¬ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 <Q 𝐵)))
8		elprnq 10905	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ Q)
9		ltsonq 10883	. . . 4 ⊢ <Q Or Q
10		sotric 5562	. . . 4 ⊢ (( <Q Or Q ∧ (𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q)) → (𝐵 <Q 𝐶 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 <Q 𝐵)))
11	9, 10	mpan 691	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → (𝐵 <Q 𝐶 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 <Q 𝐵)))
12	8, 11	sylan 581	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ∈ Q) → (𝐵 <Q 𝐶 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 <Q 𝐵)))
13	7, 12	sylibrd 259	1 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ∈ Q) → (¬ 𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐵 <Q 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086   Or wor 5531  Qcnq 10766   <_Q cltq 10772  Pcnp 10773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-oadd 8402  df-omul 8403  df-er 8636  df-ni 10786  df-mi 10788  df-lti 10789  df-ltpq 10824  df-enq 10825  df-nq 10826  df-ltnq 10832  df-np 10895

This theorem is referenced by:  genpnnp  10919  psslinpr  10945  ltexprlem6  10955  ltexprlem7  10956  prlem936  10961  reclem4pr  10964