Theorem prub 10750

Description: A positive fraction not in a positive real is an upper bound. Remark (1) of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 25-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
prub	⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ∈ Q) → (¬ 𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐵 <Q 𝐶))

Proof of Theorem prub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2826	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ 𝐶 ∈ 𝐴))
2	1	biimpcd 248	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐵 = 𝐶 → 𝐶 ∈ 𝐴))
3	2	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐵 = 𝐶 → 𝐶 ∈ 𝐴))
4		prcdnq 10749	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐶 ∈ 𝐴))
5	3, 4	jaod 856	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 <Q 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐴))
6	5	con3d 152	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (¬ 𝐶 ∈ 𝐴 → ¬ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 <Q 𝐵)))
7	6	adantr 481	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ∈ Q) → (¬ 𝐶 ∈ 𝐴 → ¬ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 <Q 𝐵)))
8		elprnq 10747	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ Q)
9		ltsonq 10725	. . . 4 ⊢ <Q Or Q
10		sotric 5531	. . . 4 ⊢ (( <Q Or Q ∧ (𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q)) → (𝐵 <Q 𝐶 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 <Q 𝐵)))
11	9, 10	mpan 687	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → (𝐵 <Q 𝐶 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 <Q 𝐵)))
12	8, 11	sylan 580	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ∈ Q) → (𝐵 <Q 𝐶 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 <Q 𝐵)))
13	7, 12	sylibrd 258	1 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ∈ Q) → (¬ 𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐵 <Q 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074   Or wor 5502  Qcnq 10608   <_Q cltq 10614  Pcnp 10615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-oadd 8301  df-omul 8302  df-er 8498  df-ni 10628  df-mi 10630  df-lti 10631  df-ltpq 10666  df-enq 10667  df-nq 10668  df-ltnq 10674  df-np 10737

This theorem is referenced by:  genpnnp  10761  psslinpr  10787  ltexprlem6  10797  ltexprlem7  10798  prlem936  10803  reclem4pr  10806