Theorem prub 10903

Description: A positive fraction not in a positive real is an upper bound. Remark (1) of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 25-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
prub	⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ∈ Q) → (¬ 𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐵 <Q 𝐶))

Proof of Theorem prub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ 𝐶 ∈ 𝐴))
2	1	biimpcd 249	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐵 = 𝐶 → 𝐶 ∈ 𝐴))
3	2	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐵 = 𝐶 → 𝐶 ∈ 𝐴))
4		prcdnq 10902	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐶 ∈ 𝐴))
5	3, 4	jaod 859	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 <Q 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐴))
6	5	con3d 152	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (¬ 𝐶 ∈ 𝐴 → ¬ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 <Q 𝐵)))
7	6	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ∈ Q) → (¬ 𝐶 ∈ 𝐴 → ¬ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 <Q 𝐵)))
8		elprnq 10900	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ Q)
9		ltsonq 10878	. . . 4 ⊢ <Q Or Q
10		sotric 5560	. . . 4 ⊢ (( <Q Or Q ∧ (𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q)) → (𝐵 <Q 𝐶 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 <Q 𝐵)))
11	9, 10	mpan 690	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → (𝐵 <Q 𝐶 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 <Q 𝐵)))
12	8, 11	sylan 580	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ∈ Q) → (𝐵 <Q 𝐶 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 <Q 𝐵)))
13	7, 12	sylibrd 259	1 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ∈ Q) → (¬ 𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐵 <Q 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5096   Or wor 5529  Qcnq 10761   <_Q cltq 10767  Pcnp 10768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8633  df-ni 10781  df-mi 10783  df-lti 10784  df-ltpq 10819  df-enq 10820  df-nq 10821  df-ltnq 10827  df-np 10890

This theorem is referenced by:  genpnnp  10914  psslinpr  10940  ltexprlem6  10950  ltexprlem7  10951  prlem936  10956  reclem4pr  10959