MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suplem2pr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suplem2pr 10128
Description: The union of a set of positive reals (if a positive real) is its supremum (the least upper bound). Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 19-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
suplem2pr (𝐴P → ((𝑦𝐴 → ¬ 𝐴<P 𝑦) ∧ (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧)))
Distinct variable group:   𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem suplem2pr
StepHypRef Expression
1 ltrelpr 10073 . . . . . 6 <P ⊆ (P × P)
21brel 5336 . . . . 5 (𝑦<P 𝐴 → (𝑦P 𝐴P))
32simpld 488 . . . 4 (𝑦<P 𝐴𝑦P)
4 ralnex 3139 . . . . . . . . 9 (∀𝑧𝐴 ¬ 𝑦<P 𝑧 ↔ ¬ ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧)
5 ssel2 3756 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴P𝑧𝐴) → 𝑧P)
6 ltsopr 10107 . . . . . . . . . . . . . . . 16 <P Or P
7 sotric 5224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((<P Or P ∧ (𝑦P𝑧P)) → (𝑦<P 𝑧 ↔ ¬ (𝑦 = 𝑧𝑧<P 𝑦)))
86, 7mpan 681 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦P𝑧P) → (𝑦<P 𝑧 ↔ ¬ (𝑦 = 𝑧𝑧<P 𝑦)))
98con2bid 345 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦P𝑧P) → ((𝑦 = 𝑧𝑧<P 𝑦) ↔ ¬ 𝑦<P 𝑧))
109ancoms 450 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧P𝑦P) → ((𝑦 = 𝑧𝑧<P 𝑦) ↔ ¬ 𝑦<P 𝑧))
11 ltprord 10105 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧P𝑦P) → (𝑧<P 𝑦𝑧𝑦))
1211orbi2d 939 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧P𝑦P) → ((𝑦 = 𝑧𝑧<P 𝑦) ↔ (𝑦 = 𝑧𝑧𝑦)))
13 sspss 3867 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧𝑦 ↔ (𝑧𝑦𝑧 = 𝑦))
14 equcom 2115 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑦𝑦 = 𝑧)
1514orbi2i 936 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧𝑦𝑧 = 𝑦) ↔ (𝑧𝑦𝑦 = 𝑧))
16 orcom 896 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧𝑦𝑦 = 𝑧) ↔ (𝑦 = 𝑧𝑧𝑦))
1713, 15, 163bitri 288 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝑦 ↔ (𝑦 = 𝑧𝑧𝑦))
1812, 17syl6bbr 280 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧P𝑦P) → ((𝑦 = 𝑧𝑧<P 𝑦) ↔ 𝑧𝑦))
1910, 18bitr3d 272 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧P𝑦P) → (¬ 𝑦<P 𝑧𝑧𝑦))
205, 19sylan 575 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴P𝑧𝐴) ∧ 𝑦P) → (¬ 𝑦<P 𝑧𝑧𝑦))
2120an32s 642 . . . . . . . . . 10 (((𝐴P𝑦P) ∧ 𝑧𝐴) → (¬ 𝑦<P 𝑧𝑧𝑦))
2221ralbidva 3132 . . . . . . . . 9 ((𝐴P𝑦P) → (∀𝑧𝐴 ¬ 𝑦<P 𝑧 ↔ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦))
234, 22syl5bbr 276 . . . . . . . 8 ((𝐴P𝑦P) → (¬ ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧 ↔ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦))
24 unissb 4627 . . . . . . . 8 ( 𝐴𝑦 ↔ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦)
2523, 24syl6bbr 280 . . . . . . 7 ((𝐴P𝑦P) → (¬ ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧 𝐴𝑦))
26 ssnpss 3871 . . . . . . . 8 ( 𝐴𝑦 → ¬ 𝑦 𝐴)
27 ltprord 10105 . . . . . . . . . 10 ((𝑦P 𝐴P) → (𝑦<P 𝐴𝑦 𝐴))
2827biimpd 220 . . . . . . . . 9 ((𝑦P 𝐴P) → (𝑦<P 𝐴𝑦 𝐴))
292, 28mpcom 38 . . . . . . . 8 (𝑦<P 𝐴𝑦 𝐴)
3026, 29nsyl 137 . . . . . . 7 ( 𝐴𝑦 → ¬ 𝑦<P 𝐴)
3125, 30syl6bi 244 . . . . . 6 ((𝐴P𝑦P) → (¬ ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧 → ¬ 𝑦<P 𝐴))
3231con4d 115 . . . . 5 ((𝐴P𝑦P) → (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧))
3332ex 401 . . . 4 (𝐴P → (𝑦P → (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧)))
343, 33syl5 34 . . 3 (𝐴P → (𝑦<P 𝐴 → (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧)))
3534pm2.43d 53 . 2 (𝐴P → (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧))
36 elssuni 4625 . . . 4 (𝑦𝐴𝑦 𝐴)
37 ssnpss 3871 . . . 4 (𝑦 𝐴 → ¬ 𝐴𝑦)
3836, 37syl 17 . . 3 (𝑦𝐴 → ¬ 𝐴𝑦)
391brel 5336 . . . 4 ( 𝐴<P 𝑦 → ( 𝐴P𝑦P))
40 ltprord 10105 . . . . 5 (( 𝐴P𝑦P) → ( 𝐴<P 𝑦 𝐴𝑦))
4140biimpd 220 . . . 4 (( 𝐴P𝑦P) → ( 𝐴<P 𝑦 𝐴𝑦))
4239, 41mpcom 38 . . 3 ( 𝐴<P 𝑦 𝐴𝑦)
4338, 42nsyl 137 . 2 (𝑦𝐴 → ¬ 𝐴<P 𝑦)
4435, 43jctil 515 1 (𝐴P → ((𝑦𝐴 → ¬ 𝐴<P 𝑦) ∧ (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873  wcel 2155  wral 3055  wrex 3056  wss 3732  wpss 3733   cuni 4594   class class class wbr 4809   Or wor 5197  Pcnp 9934  <P cltp 9938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-oadd 7768  df-omul 7769  df-er 7947  df-ni 9947  df-mi 9949  df-lti 9950  df-ltpq 9985  df-enq 9986  df-nq 9987  df-ltnq 9993  df-np 10056  df-ltp 10060
This theorem is referenced by:  supexpr  10129
  Copyright terms: Public domain W3C validator