MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fimaxg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fimaxg 9290
Description: A finite set has a maximum under a total order. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
fimaxg ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fimaxg
StepHypRef Expression
1 fimax2g 9289 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
2 df-ne 2942 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑦 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
32imbi1i 350 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥) ↔ (¬ 𝑥 = 𝑦𝑦𝑅𝑥))
4 pm4.64 848 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑥 = 𝑦𝑦𝑅𝑥) ↔ (𝑥 = 𝑦𝑦𝑅𝑥))
53, 4bitri 275 . . . . . . 7 ((𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥) ↔ (𝑥 = 𝑦𝑦𝑅𝑥))
6 sotric 5617 . . . . . . . 8 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ (𝑥 = 𝑦𝑦𝑅𝑥)))
76con2bid 355 . . . . . . 7 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝑥 = 𝑦𝑦𝑅𝑥) ↔ ¬ 𝑥𝑅𝑦))
85, 7bitrid 283 . . . . . 6 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥) ↔ ¬ 𝑥𝑅𝑦))
98anassrs 469 . . . . 5 (((𝑅 Or 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥) ↔ ¬ 𝑥𝑅𝑦))
109ralbidva 3176 . . . 4 ((𝑅 Or 𝐴𝑥𝐴) → (∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥) ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
1110rexbidva 3177 . . 3 (𝑅 Or 𝐴 → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
12113ad2ant1 1134 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
131, 12mpbird 257 1 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  w3a 1088  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  c0 4323   class class class wbr 5149   Or wor 5588  Fincfn 8939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-om 7856  df-en 8940  df-fin 8943
This theorem is referenced by:  fisupg  9291  fimaxre  12158
  Copyright terms: Public domain W3C validator