Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fimaxg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fimaxg 8759
 Description: A finite set has a maximum under a total order. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
fimaxg ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fimaxg
StepHypRef Expression
1 fimax2g 8758 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
2 df-ne 3022 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑦 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
32imbi1i 351 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥) ↔ (¬ 𝑥 = 𝑦𝑦𝑅𝑥))
4 pm4.64 845 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑥 = 𝑦𝑦𝑅𝑥) ↔ (𝑥 = 𝑦𝑦𝑅𝑥))
53, 4bitri 276 . . . . . . 7 ((𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥) ↔ (𝑥 = 𝑦𝑦𝑅𝑥))
6 sotric 5500 . . . . . . . 8 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ (𝑥 = 𝑦𝑦𝑅𝑥)))
76con2bid 356 . . . . . . 7 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝑥 = 𝑦𝑦𝑅𝑥) ↔ ¬ 𝑥𝑅𝑦))
85, 7syl5bb 284 . . . . . 6 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥) ↔ ¬ 𝑥𝑅𝑦))
98anassrs 468 . . . . 5 (((𝑅 Or 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥) ↔ ¬ 𝑥𝑅𝑦))
109ralbidva 3201 . . . 4 ((𝑅 Or 𝐴𝑥𝐴) → (∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥) ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
1110rexbidva 3301 . . 3 (𝑅 Or 𝐴 → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
12113ad2ant1 1127 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
131, 12mpbird 258 1 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦𝑅𝑥))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 843   ∧ w3a 1081   ∈ wcel 2107   ≠ wne 3021  ∀wral 3143  ∃wrex 3144  ∅c0 4295   class class class wbr 5063   Or wor 5472  Fincfn 8503 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-br 5064  df-opab 5126  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-om 7574  df-1o 8098  df-er 8284  df-en 8504  df-fin 8507 This theorem is referenced by:  fisupg  8760  fimaxre  11578  fimaxreOLD  11579
 Copyright terms: Public domain W3C validator