Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fiming Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fiming 9000
 Description: A finite set has a minimum under a total order. (Contributed by AV, 6-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
fiming ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑥𝑅𝑦))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fiming
StepHypRef Expression
1 fimin2g 8999 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
2 nesym 3007 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑥)
32imbi1i 353 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑦𝑥𝑅𝑦) ↔ (¬ 𝑦 = 𝑥𝑥𝑅𝑦))
4 pm4.64 846 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑦 = 𝑥𝑥𝑅𝑦) ↔ (𝑦 = 𝑥𝑥𝑅𝑦))
53, 4bitri 278 . . . . . . 7 ((𝑥𝑦𝑥𝑅𝑦) ↔ (𝑦 = 𝑥𝑥𝑅𝑦))
6 sotric 5473 . . . . . . . . 9 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑦𝐴𝑥𝐴)) → (𝑦𝑅𝑥 ↔ ¬ (𝑦 = 𝑥𝑥𝑅𝑦)))
76ancom2s 649 . . . . . . . 8 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑦𝑅𝑥 ↔ ¬ (𝑦 = 𝑥𝑥𝑅𝑦)))
87con2bid 358 . . . . . . 7 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝑦 = 𝑥𝑥𝑅𝑦) ↔ ¬ 𝑦𝑅𝑥))
95, 8syl5bb 286 . . . . . 6 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝑥𝑦𝑥𝑅𝑦) ↔ ¬ 𝑦𝑅𝑥))
109anassrs 471 . . . . 5 (((𝑅 Or 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑥𝑦𝑥𝑅𝑦) ↔ ¬ 𝑦𝑅𝑥))
1110ralbidva 3125 . . . 4 ((𝑅 Or 𝐴𝑥𝐴) → (∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑥𝑅𝑦) ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
1211rexbidva 3220 . . 3 (𝑅 Or 𝐴 → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑥𝑅𝑦) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
13123ad2ant1 1130 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑥𝑅𝑦) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
141, 13mpbird 260 1 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑥𝑅𝑦))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  ∃wrex 3071  ∅c0 4227   class class class wbr 5035   Or wor 5445  Fincfn 8532 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pr 5301  ax-un 7464 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-br 5036  df-opab 5098  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-om 7585  df-en 8533  df-fin 8536 This theorem is referenced by:  fiinfg  9001  fiminre  11630
 Copyright terms: Public domain W3C validator