MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fiming Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fiming 8646
Description: A finite set has a minimum under a total order. (Contributed by AV, 6-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
fiming ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑥𝑅𝑦))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fiming
StepHypRef Expression
1 fimin2g 8645 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
2 nesym 3027 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑥)
32imbi1i 341 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑦𝑥𝑅𝑦) ↔ (¬ 𝑦 = 𝑥𝑥𝑅𝑦))
4 pm4.64 876 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑦 = 𝑥𝑥𝑅𝑦) ↔ (𝑦 = 𝑥𝑥𝑅𝑦))
53, 4bitri 267 . . . . . . 7 ((𝑥𝑦𝑥𝑅𝑦) ↔ (𝑦 = 𝑥𝑥𝑅𝑦))
6 sotric 5259 . . . . . . . . 9 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑦𝐴𝑥𝐴)) → (𝑦𝑅𝑥 ↔ ¬ (𝑦 = 𝑥𝑥𝑅𝑦)))
76ancom2s 641 . . . . . . . 8 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑦𝑅𝑥 ↔ ¬ (𝑦 = 𝑥𝑥𝑅𝑦)))
87con2bid 346 . . . . . . 7 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝑦 = 𝑥𝑥𝑅𝑦) ↔ ¬ 𝑦𝑅𝑥))
95, 8syl5bb 275 . . . . . 6 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝑥𝑦𝑥𝑅𝑦) ↔ ¬ 𝑦𝑅𝑥))
109anassrs 460 . . . . 5 (((𝑅 Or 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑥𝑦𝑥𝑅𝑦) ↔ ¬ 𝑦𝑅𝑥))
1110ralbidva 3166 . . . 4 ((𝑅 Or 𝐴𝑥𝐴) → (∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑥𝑅𝑦) ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
1211rexbidva 3230 . . 3 (𝑅 Or 𝐴 → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑥𝑅𝑦) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
13123ad2ant1 1164 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑥𝑅𝑦) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
141, 13mpbird 249 1 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑥𝑅𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 385  wo 874  w3a 1108  wcel 2157  wne 2971  wral 3089  wrex 3090  c0 4115   class class class wbr 4843   Or wor 5232  Fincfn 8195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-om 7300  df-1o 7799  df-er 7982  df-en 8196  df-fin 8199
This theorem is referenced by:  fiinfg  8647
  Copyright terms: Public domain W3C validator