Theorem fiming 9000

Description: A finite set has a minimum under a total order. (Contributed by AV, 6-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fiming	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥𝑅𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fiming

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fimin2g 8999	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
2		nesym 3007	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑥)
3	2	imbi1i 353	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥𝑅𝑦) ↔ (¬ 𝑦 = 𝑥 → 𝑥𝑅𝑦))
4		pm4.64 846	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑦 = 𝑥 → 𝑥𝑅𝑦) ↔ (𝑦 = 𝑥 ∨ 𝑥𝑅𝑦))
5	3, 4	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥𝑅𝑦) ↔ (𝑦 = 𝑥 ∨ 𝑥𝑅𝑦))
6		sotric 5473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (𝑦𝑅𝑥 ↔ ¬ (𝑦 = 𝑥 ∨ 𝑥𝑅𝑦)))
7	6	ancom2s 649	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (𝑦𝑅𝑥 ↔ ¬ (𝑦 = 𝑥 ∨ 𝑥𝑅𝑦)))
8	7	con2bid 358	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ((𝑦 = 𝑥 ∨ 𝑥𝑅𝑦) ↔ ¬ 𝑦𝑅𝑥))
9	5, 8	syl5bb 286	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ((𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥𝑅𝑦) ↔ ¬ 𝑦𝑅𝑥))
10	9	anassrs 471	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥𝑅𝑦) ↔ ¬ 𝑦𝑅𝑥))
11	10	ralbidva 3125	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥𝑅𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
12	11	rexbidva 3220	. . 3 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥𝑅𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
13	12	3ad2ant1 1130	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥𝑅𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
14	1, 13	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥𝑅𝑦))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  ∃wrex 3071  ∅c0 4227   class class class wbr 5035   Or wor 5445  Fincfn 8532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pr 5301  ax-un 7464

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-br 5036  df-opab 5098  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-om 7585  df-en 8533  df-fin 8536

This theorem is referenced by:  fiinfg  9001  fiminre  11630