MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sscid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sscid 16880
Description: The subcategory subset relation is reflexive. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
sscid ((𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆) ∧ 𝑆𝑉) → 𝐻cat 𝐻)

Proof of Theorem sscid
StepHypRef Expression
1 fnresdm 6248 . . 3 (𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆) → (𝐻 ↾ (𝑆 × 𝑆)) = 𝐻)
21adantr 474 . 2 ((𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆) ∧ 𝑆𝑉) → (𝐻 ↾ (𝑆 × 𝑆)) = 𝐻)
3 sscres 16879 . 2 ((𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆) ∧ 𝑆𝑉) → (𝐻 ↾ (𝑆 × 𝑆)) ⊆cat 𝐻)
42, 3eqbrtrrd 4912 1 ((𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆) ∧ 𝑆𝑉) → 𝐻cat 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107   class class class wbr 4888   × cxp 5355  cres 5359   Fn wfn 6132  cat cssc 16863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-ov 6927  df-ixp 8197  df-ssc 16866
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator