Theorem sscid 17283

Description: The subcategory subset relation is reflexive. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
sscid	⊢ ((𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆) ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → 𝐻 ⊆cat 𝐻)

Proof of Theorem sscid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnresdm 6474	. . 3 ⊢ (𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆) → (𝐻 ↾ (𝑆 × 𝑆)) = 𝐻)
2	1	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆) ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (𝐻 ↾ (𝑆 × 𝑆)) = 𝐻)
3		sscres 17282	. 2 ⊢ ((𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆) ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (𝐻 ↾ (𝑆 × 𝑆)) ⊆cat 𝐻)
4	2, 3	eqbrtrrd 5063	1 ⊢ ((𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆) ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → 𝐻 ⊆cat 𝐻)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5039   × cxp 5534   ↾ cres 5538   Fn wfn 6353   ⊆_cat cssc 17266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7194  df-ixp 8557  df-ssc 17269

This theorem is referenced by: (None)