Theorem sssigagen 31514

Description: A set is a subset of the sigma-algebra it generates. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
sssigagen	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ⊆ (sigaGen‘𝐴))

Proof of Theorem sssigagen

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssintub 4856	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ ∩ {𝑠 ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝐴) ∣ 𝐴 ⊆ 𝑠}
2		sigagenval 31509	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (sigaGen‘𝐴) = ∩ {𝑠 ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝐴) ∣ 𝐴 ⊆ 𝑠})
3	1, 2	sseqtrrid 3968	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ⊆ (sigaGen‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  {crab 3110   ⊆ wss 3881  ∪ cuni 4800  ∩ cint 4838  ‘cfv 6324  sigAlgebracsiga 31477  sigaGencsigagen 31507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fv 6332  df-siga 31478  df-sigagen 31508

This theorem is referenced by:  sssigagen2  31515  elsigagen  31516  elsigagen2  31517  sigagenid  31520  elsx  31563  imambfm  31630  cnmbfm  31631  elmbfmvol2  31635  sxbrsigalem3  31640  orvcoel  31829