Theorem sssigagen 34323

Description: A set is a subset of the sigma-algebra it generates. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
sssigagen	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ⊆ (sigaGen‘𝐴))

Proof of Theorem sssigagen

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssintub 4923	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ ∩ {𝑠 ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝐴) ∣ 𝐴 ⊆ 𝑠}
2		sigagenval 34318	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (sigaGen‘𝐴) = ∩ {𝑠 ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝐴) ∣ 𝐴 ⊆ 𝑠})
3	1, 2	sseqtrrid 3979	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ⊆ (sigaGen‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  {crab 3401   ⊆ wss 3903  ∪ cuni 4865  ∩ cint 4904  ‘cfv 6500  sigAlgebracsiga 34286  sigaGencsigagen 34316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fv 6508  df-siga 34287  df-sigagen 34317

This theorem is referenced by:  sssigagen2  34324  elsigagen  34325  elsigagen2  34326  sigagenid  34329  elsx  34372  imambfm  34440  cnmbfm  34441  elmbfmvol2  34445  sxbrsigalem3  34450  orvcoel  34640