Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orvcoel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orvcoel 33460
Description: If the relation produces open sets, preimage maps by a measurable function are measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
orvccel.1 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
orvccel.2 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
orvccel.3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑆MblFnM(sigaGenβ€˜π½)))
orvccel.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
orvcoel.5 (πœ‘ β†’ {𝑦 ∈ βˆͺ 𝐽 ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∈ 𝐽)
Assertion
Ref Expression
orvcoel (πœ‘ β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐𝑅𝐴) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋   𝑦,𝐽
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦)   𝑆(𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem orvcoel
StepHypRef Expression
1 orvccel.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
2 orvccel.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
3 orvccel.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑆MblFnM(sigaGenβ€˜π½)))
4 orvccel.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
51, 2, 3, 4orvcval4 33459 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐𝑅𝐴) = (◑𝑋 β€œ {𝑦 ∈ βˆͺ 𝐽 ∣ 𝑦𝑅𝐴}))
62sgsiga 33140 . . 3 (πœ‘ β†’ (sigaGenβ€˜π½) ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
7 sssigagen 33143 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐽 βŠ† (sigaGenβ€˜π½))
82, 7syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 βŠ† (sigaGenβ€˜π½))
9 orvcoel.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ {𝑦 ∈ βˆͺ 𝐽 ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∈ 𝐽)
108, 9sseldd 3984 . . 3 (πœ‘ β†’ {𝑦 ∈ βˆͺ 𝐽 ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∈ (sigaGenβ€˜π½))
111, 6, 3, 10mbfmcnvima 33254 . 2 (πœ‘ β†’ (◑𝑋 β€œ {𝑦 ∈ βˆͺ 𝐽 ∣ 𝑦𝑅𝐴}) ∈ 𝑆)
125, 11eqeltrd 2834 1 (πœ‘ β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐𝑅𝐴) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∈ wcel 2107  {crab 3433   βŠ† wss 3949  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149  β—‘ccnv 5676  ran crn 5678   β€œ cima 5680  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Topctop 22395  sigAlgebracsiga 33106  sigaGencsigagen 33136  MblFnMcmbfm 33247  βˆ˜RV/𝑐corvc 33454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fo 6550  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-map 8822  df-siga 33107  df-sigagen 33137  df-mbfm 33248  df-orvc 33455
This theorem is referenced by:  orrvcoel  33464
  Copyright terms: Public domain W3C validator