Theorem orvcoel 35205

Description: If the relation produces open sets, preimage maps by a measurable function are measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
orvccel.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
orvccel.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
orvccel.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑆MblFnM(sigaGen‘𝐽)))
orvccel.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
orvcoel.5	⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ∪ 𝐽 ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∈ 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
orvcoel	⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋   𝑦,𝐽

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑆(𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem orvcoel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orvccel.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
2		orvccel.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
3		orvccel.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑆MblFnM(sigaGen‘𝐽)))
4		orvccel.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5	1, 2, 3, 4	orvcval4 35204	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) = (◡𝑋 “ {𝑦 ∈ ∪ 𝐽 ∣ 𝑦𝑅𝐴}))
6	2	sgsiga 34886	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sigaGen‘𝐽) ∈ ∪ ran sigAlgebra)
7		sssigagen 34889	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (sigaGen‘𝐽))
8	2, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ (sigaGen‘𝐽))
9		orvcoel.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ∪ 𝐽 ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∈ 𝐽)
10	8, 9	sseldd 3914	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ∪ 𝐽 ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∈ (sigaGen‘𝐽))
11	1, 6, 3, 10	mbfmcnvima 34999	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝑋 “ {𝑦 ∈ ∪ 𝐽 ∣ 𝑦𝑅𝐴}) ∈ 𝑆)
12	5, 11	eqeltrd 2864	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  {crab 3416   ⊆ wss 3900  ∪ cuni 4872   class class class wbr 5108  ^◡ccnv 5657  ran crn 5659   “ cima 5661  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Topctop 23266  sigAlgebracsiga 34851  sigaGencsigagen 34882  MblFnMcmbfm 34993  ∘_RV/𝑐corvc 35199

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-fo 6572  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-map 8887  df-siga 34852  df-sigagen 34883  df-mbfm 34994  df-orvc 35200

This theorem is used by:  orrvcoel  35209