Theorem orvcoel 34465

Description: If the relation produces open sets, preimage maps by a measurable function are measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
orvccel.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
orvccel.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
orvccel.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑆MblFnM(sigaGen‘𝐽)))
orvccel.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
orvcoel.5	⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ∪ 𝐽 ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∈ 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
orvcoel	⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋   𝑦,𝐽

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑆(𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem orvcoel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orvccel.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
2		orvccel.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
3		orvccel.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑆MblFnM(sigaGen‘𝐽)))
4		orvccel.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5	1, 2, 3, 4	orvcval4 34464	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) = (◡𝑋 “ {𝑦 ∈ ∪ 𝐽 ∣ 𝑦𝑅𝐴}))
6	2	sgsiga 34144	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sigaGen‘𝐽) ∈ ∪ ran sigAlgebra)
7		sssigagen 34147	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (sigaGen‘𝐽))
8	2, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ (sigaGen‘𝐽))
9		orvcoel.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ∪ 𝐽 ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∈ 𝐽)
10	8, 9	sseldd 3983	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ∪ 𝐽 ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∈ (sigaGen‘𝐽))
11	1, 6, 3, 10	mbfmcnvima 34258	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝑋 “ {𝑦 ∈ ∪ 𝐽 ∣ 𝑦𝑅𝐴}) ∈ 𝑆)
12	5, 11	eqeltrd 2840	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  {crab 3435   ⊆ wss 3950  ∪ cuni 4906   class class class wbr 5142  ^◡ccnv 5683  ran crn 5685   “ cima 5687  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Topctop 22900  sigAlgebracsiga 34110  sigaGencsigagen 34140  MblFnMcmbfm 34251  ∘_RV/𝑐corvc 34459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-fo 6566  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-map 8869  df-siga 34111  df-sigagen 34141  df-mbfm 34252  df-orvc 34460

This theorem is referenced by:  orrvcoel  34469