Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orvcoel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orvcoel 34212
Description: If the relation produces open sets, preimage maps by a measurable function are measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
orvccel.1 (𝜑𝑆 ran sigAlgebra)
orvccel.2 (𝜑𝐽 ∈ Top)
orvccel.3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑆MblFnM(sigaGen‘𝐽)))
orvccel.4 (𝜑𝐴𝑉)
orvcoel.5 (𝜑 → {𝑦 𝐽𝑦𝑅𝐴} ∈ 𝐽)
Assertion
Ref Expression
orvcoel (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝑅𝐴) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋   𝑦,𝐽
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑆(𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem orvcoel
StepHypRef Expression
1 orvccel.1 . . 3 (𝜑𝑆 ran sigAlgebra)
2 orvccel.2 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Top)
3 orvccel.3 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑆MblFnM(sigaGen‘𝐽)))
4 orvccel.4 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
51, 2, 3, 4orvcval4 34211 . 2 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝑅𝐴) = (𝑋 “ {𝑦 𝐽𝑦𝑅𝐴}))
62sgsiga 33892 . . 3 (𝜑 → (sigaGen‘𝐽) ∈ ran sigAlgebra)
7 sssigagen 33895 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (sigaGen‘𝐽))
82, 7syl 17 . . . 4 (𝜑𝐽 ⊆ (sigaGen‘𝐽))
9 orvcoel.5 . . . 4 (𝜑 → {𝑦 𝐽𝑦𝑅𝐴} ∈ 𝐽)
108, 9sseldd 3977 . . 3 (𝜑 → {𝑦 𝐽𝑦𝑅𝐴} ∈ (sigaGen‘𝐽))
111, 6, 3, 10mbfmcnvima 34006 . 2 (𝜑 → (𝑋 “ {𝑦 𝐽𝑦𝑅𝐴}) ∈ 𝑆)
125, 11eqeltrd 2825 1 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝑅𝐴) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2098  {crab 3418  wss 3944   cuni 4909   class class class wbr 5149  ccnv 5677  ran crn 5679  cima 5681  cfv 6549  (class class class)co 7419  Topctop 22839  sigAlgebracsiga 33858  sigaGencsigagen 33888  MblFnMcmbfm 33999  RV/𝑐corvc 34206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-fo 6555  df-fv 6557  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-map 8847  df-siga 33859  df-sigagen 33889  df-mbfm 34000  df-orvc 34207
This theorem is referenced by:  orrvcoel  34216
  Copyright terms: Public domain W3C validator