Theorem orvcoel 34212

Description: If the relation produces open sets, preimage maps by a measurable function are measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
orvccel.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
orvccel.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
orvccel.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑆MblFnM(sigaGen‘𝐽)))
orvccel.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
orvcoel.5	⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ∪ 𝐽 ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∈ 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
orvcoel	⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋   𝑦,𝐽

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑆(𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem orvcoel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orvccel.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
2		orvccel.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
3		orvccel.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑆MblFnM(sigaGen‘𝐽)))
4		orvccel.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5	1, 2, 3, 4	orvcval4 34211	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) = (◡𝑋 “ {𝑦 ∈ ∪ 𝐽 ∣ 𝑦𝑅𝐴}))
6	2	sgsiga 33892	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sigaGen‘𝐽) ∈ ∪ ran sigAlgebra)
7		sssigagen 33895	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (sigaGen‘𝐽))
8	2, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ (sigaGen‘𝐽))
9		orvcoel.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ∪ 𝐽 ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∈ 𝐽)
10	8, 9	sseldd 3977	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ∪ 𝐽 ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∈ (sigaGen‘𝐽))
11	1, 6, 3, 10	mbfmcnvima 34006	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝑋 “ {𝑦 ∈ ∪ 𝐽 ∣ 𝑦𝑅𝐴}) ∈ 𝑆)
12	5, 11	eqeltrd 2825	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098  {crab 3418   ⊆ wss 3944  ∪ cuni 4909   class class class wbr 5149  ^◡ccnv 5677  ran crn 5679   “ cima 5681  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  Topctop 22839  sigAlgebracsiga 33858  sigaGencsigagen 33888  MblFnMcmbfm 33999  ∘_RV/𝑐corvc 34206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-fo 6555  df-fv 6557  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-map 8847  df-siga 33859  df-sigagen 33889  df-mbfm 34000  df-orvc 34207

This theorem is referenced by:  orrvcoel  34216