Theorem cnmbfm 31631

Description: A continuous function is measurable with respect to the Borel Algebra of its domain and range. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmbfm.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
cnmbfm.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 = (sigaGen‘𝐽))
cnmbfm.3	⊢ (𝜑 → 𝑇 = (sigaGen‘𝐾))

Assertion

Ref	Expression
cnmbfm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇))

Proof of Theorem cnmbfm

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmbfm.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
3		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
4	2, 3	cnf 21851	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
6		cnmbfm.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (sigaGen‘𝐽))
7	6	unieqd 4814	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = ∪ (sigaGen‘𝐽))
8		cntop1 21845	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
9		unisg 31512	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ (sigaGen‘𝐽) = ∪ 𝐽)
10	1, 8, 9	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ (sigaGen‘𝐽) = ∪ 𝐽)
11	7, 10	eqtrd 2833	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = ∪ 𝐽)
12		cnmbfm.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (sigaGen‘𝐾))
13	12	unieqd 4814	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑇 = ∪ (sigaGen‘𝐾))
14		cntop2 21846	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
15		unisg 31512	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ Top → ∪ (sigaGen‘𝐾) = ∪ 𝐾)
16	1, 14, 15	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ (sigaGen‘𝐾) = ∪ 𝐾)
17	13, 16	eqtrd 2833	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑇 = ∪ 𝐾)
18	11, 17	feq23d 6482	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹:∪ 𝑆⟶∪ 𝑇 ↔ 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾))
19	5, 18	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ 𝑆⟶∪ 𝑇)
20		sssigagen 31514	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (sigaGen‘𝐽))
21	1, 8, 20	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ (sigaGen‘𝐽))
22	21, 6	sseqtrrd 3956	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝑆)
23	22	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐾) → 𝐽 ⊆ 𝑆)
24		cnima 21870	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑎 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝑎) ∈ 𝐽)
25	1, 24	sylan 583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝑎) ∈ 𝐽)
26	23, 25	sseldd 3916	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝑎) ∈ 𝑆)
27	26	ralrimiva 3149	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑎) ∈ 𝑆)
28		elex 3459	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Top → 𝐾 ∈ V)
29	1, 14, 28	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ V)
30		sigagensiga 31510	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (sigaGen‘𝐽) ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝐽))
31	1, 8, 30	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (sigaGen‘𝐽) ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝐽))
32	6, 31	eqeltrd 2890	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝐽))
33		elrnsiga 31495	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝐽) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
34	32, 33	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
35	29, 34, 12	imambfm 31630	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇) ↔ (𝐹:∪ 𝑆⟶∪ 𝑇 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑎) ∈ 𝑆)))
36	19, 27, 35	mpbir2and 712	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881  ∪ cuni 4800  ^◡ccnv 5518  ran crn 5520   “ cima 5522  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Topctop 21498   Cn ccn 21829  sigAlgebracsiga 31477  sigaGencsigagen 31507  MblFnMcmbfm 31618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-ac2 9874

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-oi 8958  df-dju 9314  df-card 9352  df-acn 9355  df-ac 9527  df-top 21499  df-topon 21516  df-cn 21832  df-siga 31478  df-sigagen 31508  df-mbfm 31619

This theorem is referenced by:  sxbrsiga  31658  rrvadd  31820  rrvmulc  31821