Theorem cnmbfm 34433

Description: A continuous function is measurable with respect to the Borel Algebra of its domain and range. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmbfm.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
cnmbfm.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 = (sigaGen‘𝐽))
cnmbfm.3	⊢ (𝜑 → 𝑇 = (sigaGen‘𝐾))

Assertion

Ref	Expression
cnmbfm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇))

Proof of Theorem cnmbfm

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmbfm.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
4	2, 3	cnf 23195	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
6		cnmbfm.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (sigaGen‘𝐽))
7	6	unieqd 4877	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = ∪ (sigaGen‘𝐽))
8		cntop1 23189	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
9		unisg 34313	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ (sigaGen‘𝐽) = ∪ 𝐽)
10	1, 8, 9	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ (sigaGen‘𝐽) = ∪ 𝐽)
11	7, 10	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = ∪ 𝐽)
12		cnmbfm.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (sigaGen‘𝐾))
13	12	unieqd 4877	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑇 = ∪ (sigaGen‘𝐾))
14		cntop2 23190	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
15		unisg 34313	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ Top → ∪ (sigaGen‘𝐾) = ∪ 𝐾)
16	1, 14, 15	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ (sigaGen‘𝐾) = ∪ 𝐾)
17	13, 16	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑇 = ∪ 𝐾)
18	11, 17	feq23d 6658	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹:∪ 𝑆⟶∪ 𝑇 ↔ 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾))
19	5, 18	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ 𝑆⟶∪ 𝑇)
20		sssigagen 34315	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (sigaGen‘𝐽))
21	1, 8, 20	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ (sigaGen‘𝐽))
22	21, 6	sseqtrrd 3972	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝑆)
23	22	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐾) → 𝐽 ⊆ 𝑆)
24		cnima 23214	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑎 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝑎) ∈ 𝐽)
25	1, 24	sylan 581	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝑎) ∈ 𝐽)
26	23, 25	sseldd 3935	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝑎) ∈ 𝑆)
27	26	ralrimiva 3129	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑎) ∈ 𝑆)
28		elex 3462	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Top → 𝐾 ∈ V)
29	1, 14, 28	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ V)
30		sigagensiga 34311	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (sigaGen‘𝐽) ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝐽))
31	1, 8, 30	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (sigaGen‘𝐽) ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝐽))
32	6, 31	eqeltrd 2837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝐽))
33		elrnsiga 34296	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝐽) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
34	32, 33	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
35	29, 34, 12	imambfm 34432	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇) ↔ (𝐹:∪ 𝑆⟶∪ 𝑇 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑎) ∈ 𝑆)))
36	19, 27, 35	mpbir2and 714	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3441   ⊆ wss 3902  ∪ cuni 4864  ^◡ccnv 5624  ran crn 5626   “ cima 5628  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Topctop 22842   Cn ccn 23173  sigAlgebracsiga 34278  sigaGencsigagen 34308  MblFnMcmbfm 34419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-inf2 9555  ax-ac2 10378

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-er 8638  df-map 8770  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-oi 9420  df-dju 9818  df-card 9856  df-acn 9859  df-ac 10031  df-top 22843  df-topon 22860  df-cn 23176  df-siga 34279  df-sigagen 34309  df-mbfm 34420

This theorem is referenced by:  sxbrsiga  34460  rrvadd  34622  rrvmulc  34623