Theorem cnmbfm 34815

Description: A continuous function is measurable with respect to the Borel Algebra of its domain and range. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmbfm.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
cnmbfm.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 = (sigaGen‘𝐽))
cnmbfm.3	⊢ (𝜑 → 𝑇 = (sigaGen‘𝐾))

Assertion

Ref	Expression
cnmbfm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇))

Proof of Theorem cnmbfm

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmbfm.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
3		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
4	2, 3	cnf 23511	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
5	1, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
6		cnmbfm.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (sigaGen‘𝐽))
7	6	unieqd 4880	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = ∪ (sigaGen‘𝐽))
8		cntop1 23505	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
9		unisg 34695	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ (sigaGen‘𝐽) = ∪ 𝐽)
10	1, 8, 9	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ (sigaGen‘𝐽) = ∪ 𝐽)
11	7, 10	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = ∪ 𝐽)
12		cnmbfm.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (sigaGen‘𝐾))
13	12	unieqd 4880	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑇 = ∪ (sigaGen‘𝐾))
14		cntop2 23506	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
15		unisg 34695	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ Top → ∪ (sigaGen‘𝐾) = ∪ 𝐾)
16	1, 14, 15	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ (sigaGen‘𝐾) = ∪ 𝐾)
17	13, 16	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑇 = ∪ 𝐾)
18	11, 17	feq23d 6693	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹:∪ 𝑆⟶∪ 𝑇 ↔ 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾))
19	5, 18	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ 𝑆⟶∪ 𝑇)
20		sssigagen 34697	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (sigaGen‘𝐽))
21	1, 8, 20	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ (sigaGen‘𝐽))
22	21, 6	sseqtrrd 3968	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝑆)
23	22	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐾) → 𝐽 ⊆ 𝑆)
24		cnima 23530	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑎 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝑎) ∈ 𝐽)
25	1, 24	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝑎) ∈ 𝐽)
26	23, 25	sseldd 3932	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝑎) ∈ 𝑆)
27	26	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑎) ∈ 𝑆)
28		elex 3471	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Top → 𝐾 ∈ V)
29	1, 14, 28	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ V)
30		sigagensiga 34693	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (sigaGen‘𝐽) ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝐽))
31	1, 8, 30	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (sigaGen‘𝐽) ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝐽))
32	6, 31	eqeltrd 2860	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝐽))
33		elrnsiga 34677	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝐽) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
34	32, 33	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
35	29, 34, 12	imambfm 34814	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇) ↔ (𝐹:∪ 𝑆⟶∪ 𝑇 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑎) ∈ 𝑆)))
36	19, 27, 35	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899  ∪ cuni 4867  ^◡ccnv 5647  ran crn 5649   “ cima 5651  ⟶wf 6524  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  Topctop 23158   Cn ccn 23489  sigAlgebracsiga 34659  sigaGencsigagen 34690  MblFnMcmbfm 34801

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-inf2 9620

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-oi 9482  df-dju 9939  df-card 9977  df-acn 9980  df-top 23159  df-topon 23176  df-cn 23492  df-siga 34660  df-sigagen 34691  df-mbfm 34802

This theorem is used by:  sxbrsiga  34842  rrvadd  35004  rrvmulc  35005