Theorem cnmbfm 34399

Description: A continuous function is measurable with respect to the Borel Algebra of its domain and range. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmbfm.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
cnmbfm.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 = (sigaGen‘𝐽))
cnmbfm.3	⊢ (𝜑 → 𝑇 = (sigaGen‘𝐾))

Assertion

Ref	Expression
cnmbfm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇))

Proof of Theorem cnmbfm

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmbfm.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
3		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
4	2, 3	cnf 23192	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
6		cnmbfm.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (sigaGen‘𝐽))
7	6	unieqd 4875	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = ∪ (sigaGen‘𝐽))
8		cntop1 23186	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
9		unisg 34279	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ (sigaGen‘𝐽) = ∪ 𝐽)
10	1, 8, 9	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ (sigaGen‘𝐽) = ∪ 𝐽)
11	7, 10	eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = ∪ 𝐽)
12		cnmbfm.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (sigaGen‘𝐾))
13	12	unieqd 4875	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑇 = ∪ (sigaGen‘𝐾))
14		cntop2 23187	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
15		unisg 34279	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ Top → ∪ (sigaGen‘𝐾) = ∪ 𝐾)
16	1, 14, 15	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ (sigaGen‘𝐾) = ∪ 𝐾)
17	13, 16	eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑇 = ∪ 𝐾)
18	11, 17	feq23d 6656	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹:∪ 𝑆⟶∪ 𝑇 ↔ 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾))
19	5, 18	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ 𝑆⟶∪ 𝑇)
20		sssigagen 34281	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (sigaGen‘𝐽))
21	1, 8, 20	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ (sigaGen‘𝐽))
22	21, 6	sseqtrrd 3970	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝑆)
23	22	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐾) → 𝐽 ⊆ 𝑆)
24		cnima 23211	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑎 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝑎) ∈ 𝐽)
25	1, 24	sylan 581	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝑎) ∈ 𝐽)
26	23, 25	sseldd 3933	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝑎) ∈ 𝑆)
27	26	ralrimiva 3127	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑎) ∈ 𝑆)
28		elex 3460	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Top → 𝐾 ∈ V)
29	1, 14, 28	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ V)
30		sigagensiga 34277	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (sigaGen‘𝐽) ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝐽))
31	1, 8, 30	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (sigaGen‘𝐽) ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝐽))
32	6, 31	eqeltrd 2835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝐽))
33		elrnsiga 34262	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝐽) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
34	32, 33	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
35	29, 34, 12	imambfm 34398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇) ↔ (𝐹:∪ 𝑆⟶∪ 𝑇 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑎) ∈ 𝑆)))
36	19, 27, 35	mpbir2and 714	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3050  Vcvv 3439   ⊆ wss 3900  ∪ cuni 4862  ^◡ccnv 5622  ran crn 5624   “ cima 5626  ⟶wf 6487  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  Topctop 22839   Cn ccn 23170  sigAlgebracsiga 34244  sigaGencsigagen 34274  MblFnMcmbfm 34385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-inf2 9552  ax-ac2 10375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-iin 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8767  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-oi 9417  df-dju 9815  df-card 9853  df-acn 9856  df-ac 10028  df-top 22840  df-topon 22857  df-cn 23173  df-siga 34245  df-sigagen 34275  df-mbfm 34386

This theorem is referenced by:  sxbrsiga  34426  rrvadd  34588  rrvmulc  34589