Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnmbfm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmbfm 34245
Description: A continuous function is measurable with respect to the Borel Algebra of its domain and range. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmbfm.1 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
cnmbfm.2 (𝜑𝑆 = (sigaGen‘𝐽))
cnmbfm.3 (𝜑𝑇 = (sigaGen‘𝐾))
Assertion
Ref Expression
cnmbfm (𝜑𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇))

Proof of Theorem cnmbfm
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmbfm.1 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2 eqid 2735 . . . . 5 𝐽 = 𝐽
3 eqid 2735 . . . . 5 𝐾 = 𝐾
42, 3cnf 23270 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹: 𝐽 𝐾)
51, 4syl 17 . . 3 (𝜑𝐹: 𝐽 𝐾)
6 cnmbfm.2 . . . . . 6 (𝜑𝑆 = (sigaGen‘𝐽))
76unieqd 4925 . . . . 5 (𝜑 𝑆 = (sigaGen‘𝐽))
8 cntop1 23264 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
9 unisg 34124 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top → (sigaGen‘𝐽) = 𝐽)
101, 8, 93syl 18 . . . . 5 (𝜑 (sigaGen‘𝐽) = 𝐽)
117, 10eqtrd 2775 . . . 4 (𝜑 𝑆 = 𝐽)
12 cnmbfm.3 . . . . . 6 (𝜑𝑇 = (sigaGen‘𝐾))
1312unieqd 4925 . . . . 5 (𝜑 𝑇 = (sigaGen‘𝐾))
14 cntop2 23265 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
15 unisg 34124 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Top → (sigaGen‘𝐾) = 𝐾)
161, 14, 153syl 18 . . . . 5 (𝜑 (sigaGen‘𝐾) = 𝐾)
1713, 16eqtrd 2775 . . . 4 (𝜑 𝑇 = 𝐾)
1811, 17feq23d 6732 . . 3 (𝜑 → (𝐹: 𝑆 𝑇𝐹: 𝐽 𝐾))
195, 18mpbird 257 . 2 (𝜑𝐹: 𝑆 𝑇)
20 sssigagen 34126 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (sigaGen‘𝐽))
211, 8, 203syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ⊆ (sigaGen‘𝐽))
2221, 6sseqtrrd 4037 . . . . 5 (𝜑𝐽𝑆)
2322adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐾) → 𝐽𝑆)
24 cnima 23289 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑎𝐾) → (𝐹𝑎) ∈ 𝐽)
251, 24sylan 580 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐾) → (𝐹𝑎) ∈ 𝐽)
2623, 25sseldd 3996 . . 3 ((𝜑𝑎𝐾) → (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)
2726ralrimiva 3144 . 2 (𝜑 → ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)
28 elex 3499 . . . 4 (𝐾 ∈ Top → 𝐾 ∈ V)
291, 14, 283syl 18 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ V)
30 sigagensiga 34122 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top → (sigaGen‘𝐽) ∈ (sigAlgebra‘ 𝐽))
311, 8, 303syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (sigaGen‘𝐽) ∈ (sigAlgebra‘ 𝐽))
326, 31eqeltrd 2839 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ (sigAlgebra‘ 𝐽))
33 elrnsiga 34107 . . . 4 (𝑆 ∈ (sigAlgebra‘ 𝐽) → 𝑆 ran sigAlgebra)
3432, 33syl 17 . . 3 (𝜑𝑆 ran sigAlgebra)
3529, 34, 12imambfm 34244 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇) ↔ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)))
3619, 27, 35mpbir2and 713 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  Vcvv 3478  wss 3963   cuni 4912  ccnv 5688  ran crn 5690  cima 5692  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  Topctop 22915   Cn ccn 23248  sigAlgebracsiga 34089  sigaGencsigagen 34119  MblFnMcmbfm 34230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-ac2 10501
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-acn 9980  df-ac 10154  df-top 22916  df-topon 22933  df-cn 23251  df-siga 34090  df-sigagen 34120  df-mbfm 34231
This theorem is referenced by:  sxbrsiga  34272  rrvadd  34434  rrvmulc  34435
  Copyright terms: Public domain W3C validator