Theorem cnmbfm 34244

Description: A continuous function is measurable with respect to the Borel Algebra of its domain and range. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmbfm.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
cnmbfm.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 = (sigaGen‘𝐽))
cnmbfm.3	⊢ (𝜑 → 𝑇 = (sigaGen‘𝐾))

Assertion

Ref	Expression
cnmbfm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇))

Proof of Theorem cnmbfm

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmbfm.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
3		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
4	2, 3	cnf 23115	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
6		cnmbfm.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (sigaGen‘𝐽))
7	6	unieqd 4869	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = ∪ (sigaGen‘𝐽))
8		cntop1 23109	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
9		unisg 34124	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ (sigaGen‘𝐽) = ∪ 𝐽)
10	1, 8, 9	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ (sigaGen‘𝐽) = ∪ 𝐽)
11	7, 10	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = ∪ 𝐽)
12		cnmbfm.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (sigaGen‘𝐾))
13	12	unieqd 4869	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑇 = ∪ (sigaGen‘𝐾))
14		cntop2 23110	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
15		unisg 34124	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ Top → ∪ (sigaGen‘𝐾) = ∪ 𝐾)
16	1, 14, 15	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ (sigaGen‘𝐾) = ∪ 𝐾)
17	13, 16	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑇 = ∪ 𝐾)
18	11, 17	feq23d 6641	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹:∪ 𝑆⟶∪ 𝑇 ↔ 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾))
19	5, 18	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ 𝑆⟶∪ 𝑇)
20		sssigagen 34126	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (sigaGen‘𝐽))
21	1, 8, 20	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ (sigaGen‘𝐽))
22	21, 6	sseqtrrd 3969	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝑆)
23	22	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐾) → 𝐽 ⊆ 𝑆)
24		cnima 23134	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑎 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝑎) ∈ 𝐽)
25	1, 24	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝑎) ∈ 𝐽)
26	23, 25	sseldd 3932	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝑎) ∈ 𝑆)
27	26	ralrimiva 3121	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑎) ∈ 𝑆)
28		elex 3454	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Top → 𝐾 ∈ V)
29	1, 14, 28	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ V)
30		sigagensiga 34122	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (sigaGen‘𝐽) ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝐽))
31	1, 8, 30	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (sigaGen‘𝐽) ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝐽))
32	6, 31	eqeltrd 2828	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝐽))
33		elrnsiga 34107	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝐽) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
34	32, 33	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
35	29, 34, 12	imambfm 34243	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇) ↔ (𝐹:∪ 𝑆⟶∪ 𝑇 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑎) ∈ 𝑆)))
36	19, 27, 35	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3433   ⊆ wss 3899  ∪ cuni 4856  ^◡ccnv 5612  ran crn 5614   “ cima 5616  ⟶wf 6472  ‘cfv 6476  (class class class)co 7340  Topctop 22762   Cn ccn 23093  sigAlgebracsiga 34089  sigaGencsigagen 34119  MblFnMcmbfm 34230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-inf2 9525  ax-ac2 10345

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4895  df-iun 4940  df-iin 4941  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-se 5567  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-om 7791  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-2o 8380  df-er 8616  df-map 8746  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-fin 8867  df-oi 9390  df-dju 9785  df-card 9823  df-acn 9826  df-ac 9998  df-top 22763  df-topon 22780  df-cn 23096  df-siga 34090  df-sigagen 34120  df-mbfm 34231

This theorem is referenced by:  sxbrsiga  34271  rrvadd  34433  rrvmulc  34434