Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnmbfm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmbfm 31525
Description: A continuous function is measurable with respect to the Borel Algebra of its domain and range. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmbfm.1 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
cnmbfm.2 (𝜑𝑆 = (sigaGen‘𝐽))
cnmbfm.3 (𝜑𝑇 = (sigaGen‘𝐾))
Assertion
Ref Expression
cnmbfm (𝜑𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇))

Proof of Theorem cnmbfm
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmbfm.1 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2 eqid 2820 . . . . 5 𝐽 = 𝐽
3 eqid 2820 . . . . 5 𝐾 = 𝐾
42, 3cnf 21826 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹: 𝐽 𝐾)
51, 4syl 17 . . 3 (𝜑𝐹: 𝐽 𝐾)
6 cnmbfm.2 . . . . . 6 (𝜑𝑆 = (sigaGen‘𝐽))
76unieqd 4824 . . . . 5 (𝜑 𝑆 = (sigaGen‘𝐽))
8 cntop1 21820 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
9 unisg 31406 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top → (sigaGen‘𝐽) = 𝐽)
101, 8, 93syl 18 . . . . 5 (𝜑 (sigaGen‘𝐽) = 𝐽)
117, 10eqtrd 2855 . . . 4 (𝜑 𝑆 = 𝐽)
12 cnmbfm.3 . . . . . 6 (𝜑𝑇 = (sigaGen‘𝐾))
1312unieqd 4824 . . . . 5 (𝜑 𝑇 = (sigaGen‘𝐾))
14 cntop2 21821 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
15 unisg 31406 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Top → (sigaGen‘𝐾) = 𝐾)
161, 14, 153syl 18 . . . . 5 (𝜑 (sigaGen‘𝐾) = 𝐾)
1713, 16eqtrd 2855 . . . 4 (𝜑 𝑇 = 𝐾)
1811, 17feq23d 6481 . . 3 (𝜑 → (𝐹: 𝑆 𝑇𝐹: 𝐽 𝐾))
195, 18mpbird 259 . 2 (𝜑𝐹: 𝑆 𝑇)
20 sssigagen 31408 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (sigaGen‘𝐽))
211, 8, 203syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ⊆ (sigaGen‘𝐽))
2221, 6sseqtrrd 3983 . . . . 5 (𝜑𝐽𝑆)
2322adantr 483 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐾) → 𝐽𝑆)
24 cnima 21845 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑎𝐾) → (𝐹𝑎) ∈ 𝐽)
251, 24sylan 582 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐾) → (𝐹𝑎) ∈ 𝐽)
2623, 25sseldd 3943 . . 3 ((𝜑𝑎𝐾) → (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)
2726ralrimiva 3169 . 2 (𝜑 → ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)
28 elex 3488 . . . 4 (𝐾 ∈ Top → 𝐾 ∈ V)
291, 14, 283syl 18 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ V)
30 sigagensiga 31404 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top → (sigaGen‘𝐽) ∈ (sigAlgebra‘ 𝐽))
311, 8, 303syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (sigaGen‘𝐽) ∈ (sigAlgebra‘ 𝐽))
326, 31eqeltrd 2911 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ (sigAlgebra‘ 𝐽))
33 elrnsiga 31389 . . . 4 (𝑆 ∈ (sigAlgebra‘ 𝐽) → 𝑆 ran sigAlgebra)
3432, 33syl 17 . . 3 (𝜑𝑆 ran sigAlgebra)
3529, 34, 12imambfm 31524 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇) ↔ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)))
3619, 27, 35mpbir2and 711 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  wral 3125  Vcvv 3470  wss 3909   cuni 4810  ccnv 5526  ran crn 5528  cima 5530  wf 6323  cfv 6327  (class class class)co 7129  Topctop 21473   Cn ccn 21804  sigAlgebracsiga 31371  sigaGencsigagen 31401  MblFnMcmbfm 31512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5162  ax-sep 5175  ax-nul 5182  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7435  ax-inf2 9078  ax-ac2 9859
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3472  df-sbc 3749  df-csb 3857  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4811  df-int 4849  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5039  df-opab 5101  df-mpt 5119  df-tr 5145  df-id 5432  df-eprel 5437  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-isom 6336  df-riota 7087  df-ov 7132  df-oprab 7133  df-mpo 7134  df-om 7555  df-1st 7663  df-2nd 7664  df-wrecs 7921  df-recs 7982  df-rdg 8020  df-1o 8076  df-2o 8077  df-oadd 8080  df-er 8263  df-map 8382  df-en 8484  df-dom 8485  df-sdom 8486  df-fin 8487  df-oi 8948  df-dju 9304  df-card 9342  df-acn 9345  df-ac 9516  df-top 21474  df-topon 21491  df-cn 21807  df-siga 31372  df-sigagen 31402  df-mbfm 31513
This theorem is referenced by:  sxbrsiga  31552  rrvadd  31714  rrvmulc  31715
  Copyright terms: Public domain W3C validator