Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnmbfm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmbfm 31420
Description: A continuous function is measurable with respect to the Borel Algebra of its domain and range. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmbfm.1 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
cnmbfm.2 (𝜑𝑆 = (sigaGen‘𝐽))
cnmbfm.3 (𝜑𝑇 = (sigaGen‘𝐾))
Assertion
Ref Expression
cnmbfm (𝜑𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇))

Proof of Theorem cnmbfm
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmbfm.1 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2 eqid 2818 . . . . 5 𝐽 = 𝐽
3 eqid 2818 . . . . 5 𝐾 = 𝐾
42, 3cnf 21782 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹: 𝐽 𝐾)
51, 4syl 17 . . 3 (𝜑𝐹: 𝐽 𝐾)
6 cnmbfm.2 . . . . . 6 (𝜑𝑆 = (sigaGen‘𝐽))
76unieqd 4840 . . . . 5 (𝜑 𝑆 = (sigaGen‘𝐽))
8 cntop1 21776 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
9 unisg 31301 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top → (sigaGen‘𝐽) = 𝐽)
101, 8, 93syl 18 . . . . 5 (𝜑 (sigaGen‘𝐽) = 𝐽)
117, 10eqtrd 2853 . . . 4 (𝜑 𝑆 = 𝐽)
12 cnmbfm.3 . . . . . 6 (𝜑𝑇 = (sigaGen‘𝐾))
1312unieqd 4840 . . . . 5 (𝜑 𝑇 = (sigaGen‘𝐾))
14 cntop2 21777 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
15 unisg 31301 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Top → (sigaGen‘𝐾) = 𝐾)
161, 14, 153syl 18 . . . . 5 (𝜑 (sigaGen‘𝐾) = 𝐾)
1713, 16eqtrd 2853 . . . 4 (𝜑 𝑇 = 𝐾)
1811, 17feq23d 6502 . . 3 (𝜑 → (𝐹: 𝑆 𝑇𝐹: 𝐽 𝐾))
195, 18mpbird 258 . 2 (𝜑𝐹: 𝑆 𝑇)
20 sssigagen 31303 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (sigaGen‘𝐽))
211, 8, 203syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ⊆ (sigaGen‘𝐽))
2221, 6sseqtrrd 4005 . . . . 5 (𝜑𝐽𝑆)
2322adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐾) → 𝐽𝑆)
24 cnima 21801 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑎𝐾) → (𝐹𝑎) ∈ 𝐽)
251, 24sylan 580 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐾) → (𝐹𝑎) ∈ 𝐽)
2623, 25sseldd 3965 . . 3 ((𝜑𝑎𝐾) → (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)
2726ralrimiva 3179 . 2 (𝜑 → ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)
28 elex 3510 . . . 4 (𝐾 ∈ Top → 𝐾 ∈ V)
291, 14, 283syl 18 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ V)
30 sigagensiga 31299 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top → (sigaGen‘𝐽) ∈ (sigAlgebra‘ 𝐽))
311, 8, 303syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (sigaGen‘𝐽) ∈ (sigAlgebra‘ 𝐽))
326, 31eqeltrd 2910 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ (sigAlgebra‘ 𝐽))
33 elrnsiga 31284 . . . 4 (𝑆 ∈ (sigAlgebra‘ 𝐽) → 𝑆 ran sigAlgebra)
3432, 33syl 17 . . 3 (𝜑𝑆 ran sigAlgebra)
3529, 34, 12imambfm 31419 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇) ↔ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)))
3619, 27, 35mpbir2and 709 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  Vcvv 3492  wss 3933   cuni 4830  ccnv 5547  ran crn 5549  cima 5551  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  Topctop 21429   Cn ccn 21760  sigAlgebracsiga 31266  sigaGencsigagen 31296  MblFnMcmbfm 31407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-ac2 9873
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-ac 9530  df-top 21430  df-topon 21447  df-cn 21763  df-siga 31267  df-sigagen 31297  df-mbfm 31408
This theorem is referenced by:  sxbrsiga  31447  rrvadd  31609  rrvmulc  31610
  Copyright terms: Public domain W3C validator