Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elsx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elsx 33187
Description: The cartesian product of two open sets is an element of the product sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
elsx (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ (𝑆 Γ—s 𝑇))

Proof of Theorem elsx
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . . . 6 ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) = ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))
21txbasex 23069 . . . . 5 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ π‘Š) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∈ V)
3 sssigagen 33138 . . . . 5 (ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∈ V β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) βŠ† (sigaGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ π‘Š) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) βŠ† (sigaGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
54adantr 481 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) βŠ† (sigaGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
6 eqid 2732 . . . . . 6 (𝐴 Γ— 𝐡) = (𝐴 Γ— 𝐡)
7 xpeq1 5690 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (π‘₯ Γ— 𝑦) = (𝐴 Γ— 𝑦))
87eqeq2d 2743 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ((𝐴 Γ— 𝐡) = (π‘₯ Γ— 𝑦) ↔ (𝐴 Γ— 𝐡) = (𝐴 Γ— 𝑦)))
9 xpeq2 5697 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐡 β†’ (𝐴 Γ— 𝑦) = (𝐴 Γ— 𝐡))
109eqeq2d 2743 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐡 β†’ ((𝐴 Γ— 𝐡) = (𝐴 Γ— 𝑦) ↔ (𝐴 Γ— 𝐡) = (𝐴 Γ— 𝐡)))
118, 10rspc2ev 3624 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇 ∧ (𝐴 Γ— 𝐡) = (𝐴 Γ— 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑆 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑇 (𝐴 Γ— 𝐡) = (π‘₯ Γ— 𝑦))
126, 11mp3an3 1450 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑆 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑇 (𝐴 Γ— 𝐡) = (π‘₯ Γ— 𝑦))
13 xpexg 7736 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ V)
14 eqid 2732 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) = (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))
1514elrnmpog 7543 . . . . . 6 ((𝐴 Γ— 𝐡) ∈ V β†’ ((𝐴 Γ— 𝐡) ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑆 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑇 (𝐴 Γ— 𝐡) = (π‘₯ Γ— 𝑦)))
1613, 15syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇) β†’ ((𝐴 Γ— 𝐡) ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑆 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑇 (𝐴 Γ— 𝐡) = (π‘₯ Γ— 𝑦)))
1712, 16mpbird 256 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)))
1817adantl 482 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)))
195, 18sseldd 3983 . 2 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ (sigaGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
201sxval 33183 . . 3 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ π‘Š) β†’ (𝑆 Γ—s 𝑇) = (sigaGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
2120adantr 481 . 2 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑆 Γ—s 𝑇) = (sigaGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
2219, 21eleqtrrd 2836 1 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ (𝑆 Γ—s 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948   Γ— cxp 5674  ran crn 5677  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410  sigaGencsigagen 33131   Γ—s csx 33181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-siga 33102  df-sigagen 33132  df-sx 33182
This theorem is referenced by:  1stmbfm  33254  2ndmbfm  33255
  Copyright terms: Public domain W3C validator