Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elsx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elsx 32857
Description: The cartesian product of two open sets is an element of the product sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
elsx (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ (𝑆 Γ—s 𝑇))

Proof of Theorem elsx
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . . 6 ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) = ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))
21txbasex 22940 . . . . 5 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ π‘Š) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∈ V)
3 sssigagen 32808 . . . . 5 (ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∈ V β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) βŠ† (sigaGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ π‘Š) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) βŠ† (sigaGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
54adantr 482 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) βŠ† (sigaGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
6 eqid 2733 . . . . . 6 (𝐴 Γ— 𝐡) = (𝐴 Γ— 𝐡)
7 xpeq1 5651 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (π‘₯ Γ— 𝑦) = (𝐴 Γ— 𝑦))
87eqeq2d 2744 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ((𝐴 Γ— 𝐡) = (π‘₯ Γ— 𝑦) ↔ (𝐴 Γ— 𝐡) = (𝐴 Γ— 𝑦)))
9 xpeq2 5658 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐡 β†’ (𝐴 Γ— 𝑦) = (𝐴 Γ— 𝐡))
109eqeq2d 2744 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐡 β†’ ((𝐴 Γ— 𝐡) = (𝐴 Γ— 𝑦) ↔ (𝐴 Γ— 𝐡) = (𝐴 Γ— 𝐡)))
118, 10rspc2ev 3594 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇 ∧ (𝐴 Γ— 𝐡) = (𝐴 Γ— 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑆 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑇 (𝐴 Γ— 𝐡) = (π‘₯ Γ— 𝑦))
126, 11mp3an3 1451 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑆 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑇 (𝐴 Γ— 𝐡) = (π‘₯ Γ— 𝑦))
13 xpexg 7688 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ V)
14 eqid 2733 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) = (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))
1514elrnmpog 7495 . . . . . 6 ((𝐴 Γ— 𝐡) ∈ V β†’ ((𝐴 Γ— 𝐡) ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑆 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑇 (𝐴 Γ— 𝐡) = (π‘₯ Γ— 𝑦)))
1613, 15syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇) β†’ ((𝐴 Γ— 𝐡) ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑆 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑇 (𝐴 Γ— 𝐡) = (π‘₯ Γ— 𝑦)))
1712, 16mpbird 257 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)))
1817adantl 483 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)))
195, 18sseldd 3949 . 2 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ (sigaGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
201sxval 32853 . . 3 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ π‘Š) β†’ (𝑆 Γ—s 𝑇) = (sigaGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
2120adantr 482 . 2 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑆 Γ—s 𝑇) = (sigaGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
2219, 21eleqtrrd 2837 1 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ (𝑆 Γ—s 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3447   βŠ† wss 3914   Γ— cxp 5635  ran crn 5638  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∈ cmpo 7363  sigaGencsigagen 32801   Γ—s csx 32851
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-siga 32772  df-sigagen 32802  df-sx 32852
This theorem is referenced by:  1stmbfm  32924  2ndmbfm  32925
  Copyright terms: Public domain W3C validator