Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elsx Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem elsx 33681
Description: The cartesian product of two open sets is an element of the product sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
elsx (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ (𝑆 Γ—s 𝑇))
Proof of Theorem elsx
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2724 . . . . . 6 ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) = ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))
21txbasex 23392 . . . . 5 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ π‘Š) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∈ V)
3 sssigagen 33632 . . . . 5 (ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∈ V β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) βŠ† (sigaGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ π‘Š) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) βŠ† (sigaGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
54adantr 480 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) βŠ† (sigaGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
6 eqid 2724 . . . . . 6 (𝐴 Γ— 𝐡) = (𝐴 Γ— 𝐡)
7 xpeq1 5680 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (π‘₯ Γ— 𝑦) = (𝐴 Γ— 𝑦))
87eqeq2d 2735 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ((𝐴 Γ— 𝐡) = (π‘₯ Γ— 𝑦) ↔ (𝐴 Γ— 𝐡) = (𝐴 Γ— 𝑦)))
9 xpeq2 5687 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐡 β†’ (𝐴 Γ— 𝑦) = (𝐴 Γ— 𝐡))
109eqeq2d 2735 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐡 β†’ ((𝐴 Γ— 𝐡) = (𝐴 Γ— 𝑦) ↔ (𝐴 Γ— 𝐡) = (𝐴 Γ— 𝐡)))
118, 10rspc2ev 3616 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇 ∧ (𝐴 Γ— 𝐡) = (𝐴 Γ— 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑆 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑇 (𝐴 Γ— 𝐡) = (π‘₯ Γ— 𝑦))
126, 11mp3an3 1446 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑆 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑇 (𝐴 Γ— 𝐡) = (π‘₯ Γ— 𝑦))
13 xpexg 7730 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ V)
14 eqid 2724 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) = (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))
1514elrnmpog 7536 . . . . . 6 ((𝐴 Γ— 𝐡) ∈ V β†’ ((𝐴 Γ— 𝐡) ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑆 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑇 (𝐴 Γ— 𝐡) = (π‘₯ Γ— 𝑦)))
1613, 15syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇) β†’ ((𝐴 Γ— 𝐡) ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑆 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑇 (𝐴 Γ— 𝐡) = (π‘₯ Γ— 𝑦)))
1712, 16mpbird 257 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)))
1817adantl 481 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)))
195, 18sseldd 3975 . 2 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ (sigaGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
201sxval 33677 . . 3 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ π‘Š) β†’ (𝑆 Γ—s 𝑇) = (sigaGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
2120adantr 480 . 2 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑆 Γ—s 𝑇) = (sigaGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
2219, 21eleqtrrd 2828 1 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ (𝑆 Γ—s 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3062  Vcvv 3466   βŠ† wss 3940   Γ— cxp 5664  ran crn 5667  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   ∈ cmpo 7403  sigaGencsigagen 33625   Γ—s csx 33675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-siga 33596  df-sigagen 33626  df-sx 33676
This theorem is referenced by:  1stmbfm  33748  2ndmbfm  33749
  Copyright terms: Public domain W3C validator