Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elsx Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem elsx 33749
Description: The cartesian product of two open sets is an element of the product sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
elsx (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ (𝑆 Γ—s 𝑇))
Proof of Theorem elsx
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2727 . . . . . 6 ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) = ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))
21txbasex 23457 . . . . 5 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ π‘Š) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∈ V)
3 sssigagen 33700 . . . . 5 (ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∈ V β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) βŠ† (sigaGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ π‘Š) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) βŠ† (sigaGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
54adantr 480 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) βŠ† (sigaGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
6 eqid 2727 . . . . . 6 (𝐴 Γ— 𝐡) = (𝐴 Γ— 𝐡)
7 xpeq1 5686 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (π‘₯ Γ— 𝑦) = (𝐴 Γ— 𝑦))
87eqeq2d 2738 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ((𝐴 Γ— 𝐡) = (π‘₯ Γ— 𝑦) ↔ (𝐴 Γ— 𝐡) = (𝐴 Γ— 𝑦)))
9 xpeq2 5693 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐡 β†’ (𝐴 Γ— 𝑦) = (𝐴 Γ— 𝐡))
109eqeq2d 2738 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐡 β†’ ((𝐴 Γ— 𝐡) = (𝐴 Γ— 𝑦) ↔ (𝐴 Γ— 𝐡) = (𝐴 Γ— 𝐡)))
118, 10rspc2ev 3620 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇 ∧ (𝐴 Γ— 𝐡) = (𝐴 Γ— 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑆 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑇 (𝐴 Γ— 𝐡) = (π‘₯ Γ— 𝑦))
126, 11mp3an3 1447 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑆 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑇 (𝐴 Γ— 𝐡) = (π‘₯ Γ— 𝑦))
13 xpexg 7746 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ V)
14 eqid 2727 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) = (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))
1514elrnmpog 7550 . . . . . 6 ((𝐴 Γ— 𝐡) ∈ V β†’ ((𝐴 Γ— 𝐡) ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑆 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑇 (𝐴 Γ— 𝐡) = (π‘₯ Γ— 𝑦)))
1613, 15syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇) β†’ ((𝐴 Γ— 𝐡) ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑆 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑇 (𝐴 Γ— 𝐡) = (π‘₯ Γ— 𝑦)))
1712, 16mpbird 257 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)))
1817adantl 481 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)))
195, 18sseldd 3979 . 2 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ (sigaGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
201sxval 33745 . . 3 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ π‘Š) β†’ (𝑆 Γ—s 𝑇) = (sigaGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
2120adantr 480 . 2 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑆 Γ—s 𝑇) = (sigaGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
2219, 21eleqtrrd 2831 1 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ (𝑆 Γ—s 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆƒwrex 3065  Vcvv 3469   βŠ† wss 3944   Γ— cxp 5670  ran crn 5673  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416  sigaGencsigagen 33693   Γ—s csx 33743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-siga 33664  df-sigagen 33694  df-sx 33744
This theorem is referenced by:  1stmbfm  33816  2ndmbfm  33817
  Copyright terms: Public domain W3C validator