Theorem elmbfmvol2 34430

Description: Measurable functions with respect to the Lebesgue measure. We only have the inclusion, since MblFn includes complex-valued functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
elmbfmvol2	⊢ (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅ℝ) → 𝐹 ∈ MblFn)

Proof of Theorem elmbfmvol2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retopbas 24738	. . . . . 6 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
2		bastg 22944	. . . . . 6 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
4		retop 24739	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
5		sssigagen 34308	. . . . . 6 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top → (topGen‘ran (,)) ⊆ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) ⊆ (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
7	3, 6	sstri 3932	. . . 4 ⊢ ran (,) ⊆ (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
8		df-brsiga 34345	. . . 4 ⊢ 𝔅ℝ = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
9	7, 8	sseqtrri 3972	. . 3 ⊢ ran (,) ⊆ 𝔅ℝ
10		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ vol = vol
11		dmvlsiga 34292	. . . . . . 7 ⊢ dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
12		elrnsiga 34289	. . . . . . 7 ⊢ (dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → dom vol ∈ ∪ ran sigAlgebra)
13	11, 12	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (vol = vol → dom vol ∈ ∪ ran sigAlgebra)
14		brsigarn 34347	. . . . . . 7 ⊢ 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
15		elrnsiga 34289	. . . . . . 7 ⊢ (𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
16	14, 15	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (vol = vol → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
17	13, 16	ismbfm 34414	. . . . 5 ⊢ (vol = vol → (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅ℝ) ↔ (𝐹 ∈ (∪ 𝔅ℝ ↑m ∪ dom vol) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝔅ℝ (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol)))
18	10, 17	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅ℝ) ↔ (𝐹 ∈ (∪ 𝔅ℝ ↑m ∪ dom vol) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝔅ℝ (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol))
19	18	simprbi 497	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅ℝ) → ∀𝑥 ∈ 𝔅ℝ (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol)
20		ssralv 3991	. . 3 ⊢ (ran (,) ⊆ 𝔅ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝔅ℝ (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol → ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol))
21	9, 19, 20	mpsyl 68	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅ℝ) → ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol)
22	18	simplbi 496	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅ℝ) → 𝐹 ∈ (∪ 𝔅ℝ ↑m ∪ dom vol))
23		elmapi 8790	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (ℝ ↑m ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
24		unibrsiga 34349	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝔅ℝ = ℝ
25		unidmvol 25521	. . . . 5 ⊢ ∪ dom vol = ℝ
26	24, 25	oveq12i 7373	. . . 4 ⊢ (∪ 𝔅ℝ ↑m ∪ dom vol) = (ℝ ↑m ℝ)
27	23, 26	eleq2s 2855	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (∪ 𝔅ℝ ↑m ∪ dom vol) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
28		ismbf 25608	. . 3 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol))
29	22, 27, 28	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅ℝ) → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol))
30	21, 29	mpbird 257	1 ⊢ (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅ℝ) → 𝐹 ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ⊆ wss 3890  ∪ cuni 4851  ^◡ccnv 5624  dom cdm 5625  ran crn 5626   “ cima 5628  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   ↑_m cmap 8767  ℝcr 11031  (,)cioo 13292  topGenctg 17394  Topctop 22871  TopBasesctb 22923  volcvol 25443  MblFncmbf 25594  sigAlgebracsiga 34271  sigaGencsigagen 34301  𝔅_ℝcbrsiga 34344  MblFnMcmbfm 34412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-inf2 9556  ax-cc 10351  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-disj 5054  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-dju 9819  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-q 12893  df-rp 12937  df-xadd 13058  df-ioo 13296  df-ico 13298  df-icc 13299  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-fl 13745  df-seq 13958  df-exp 14018  df-hash 14287  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-clim 15444  df-rlim 15445  df-sum 15643  df-topgen 17400  df-xmet 21340  df-met 21341  df-top 22872  df-bases 22924  df-ovol 25444  df-vol 25445  df-mbf 25599  df-siga 34272  df-sigagen 34302  df-brsiga 34345  df-mbfm 34413

This theorem is referenced by: (None)