Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elmbfmvol2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elmbfmvol2 33561
Description: Measurable functions with respect to the Lebesgue measure. We only have the inclusion, since MblFn includes complex-valued functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
elmbfmvol2 (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅ℝ) β†’ 𝐹 ∈ MblFn)

Proof of Theorem elmbfmvol2
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 retopbas 24498 . . . . . 6 ran (,) ∈ TopBases
2 bastg 22690 . . . . . 6 (ran (,) ∈ TopBases β†’ ran (,) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 ran (,) βŠ† (topGenβ€˜ran (,))
4 retop 24499 . . . . . 6 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
5 sssigagen 33438 . . . . . 6 ((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top β†’ (topGenβ€˜ran (,)) βŠ† (sigaGenβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 (topGenβ€˜ran (,)) βŠ† (sigaGenβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))
73, 6sstri 3992 . . . 4 ran (,) βŠ† (sigaGenβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))
8 df-brsiga 33475 . . . 4 𝔅ℝ = (sigaGenβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))
97, 8sseqtrri 4020 . . 3 ran (,) βŠ† 𝔅ℝ
10 eqid 2731 . . . . 5 vol = vol
11 dmvlsiga 33422 . . . . . . 7 dom vol ∈ (sigAlgebraβ€˜β„)
12 elrnsiga 33419 . . . . . . 7 (dom vol ∈ (sigAlgebraβ€˜β„) β†’ dom vol ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
1311, 12mp1i 13 . . . . . 6 (vol = vol β†’ dom vol ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
14 brsigarn 33477 . . . . . . 7 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebraβ€˜β„)
15 elrnsiga 33419 . . . . . . 7 (𝔅ℝ ∈ (sigAlgebraβ€˜β„) β†’ 𝔅ℝ ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
1614, 15mp1i 13 . . . . . 6 (vol = vol β†’ 𝔅ℝ ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
1713, 16ismbfm 33544 . . . . 5 (vol = vol β†’ (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅ℝ) ↔ (𝐹 ∈ (βˆͺ 𝔅ℝ ↑m βˆͺ dom vol) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝔅ℝ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol)))
1810, 17ax-mp 5 . . . 4 (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅ℝ) ↔ (𝐹 ∈ (βˆͺ 𝔅ℝ ↑m βˆͺ dom vol) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝔅ℝ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
1918simprbi 496 . . 3 (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅ℝ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝔅ℝ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
20 ssralv 4051 . . 3 (ran (,) βŠ† 𝔅ℝ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝔅ℝ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
219, 19, 20mpsyl 68 . 2 (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅ℝ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
2218simplbi 497 . . 3 (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅ℝ) β†’ 𝐹 ∈ (βˆͺ 𝔅ℝ ↑m βˆͺ dom vol))
23 elmapi 8846 . . . 4 (𝐹 ∈ (ℝ ↑m ℝ) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
24 unibrsiga 33479 . . . . 5 βˆͺ 𝔅ℝ = ℝ
25 unidmvol 25291 . . . . 5 βˆͺ dom vol = ℝ
2624, 25oveq12i 7424 . . . 4 (βˆͺ 𝔅ℝ ↑m βˆͺ dom vol) = (ℝ ↑m ℝ)
2723, 26eleq2s 2850 . . 3 (𝐹 ∈ (βˆͺ 𝔅ℝ ↑m βˆͺ dom vol) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
28 ismbf 25378 . . 3 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
2922, 27, 283syl 18 . 2 (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅ℝ) β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
3021, 29mpbird 256 1 (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅ℝ) β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060   βŠ† wss 3949  βˆͺ cuni 4909  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   β€œ cima 5680  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412   ↑m cmap 8823  β„cr 11112  (,)cioo 13329  topGenctg 17388  Topctop 22616  TopBasesctb 22669  volcvol 25213  MblFncmbf 25364  sigAlgebracsiga 33401  sigaGencsigagen 33431  π”…ℝcbrsiga 33474  MblFnMcmbfm 33542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cc 10433  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xadd 13098  df-ioo 13333  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-topgen 17394  df-xmet 21138  df-met 21139  df-top 22617  df-bases 22670  df-ovol 25214  df-vol 25215  df-mbf 25369  df-siga 33402  df-sigagen 33432  df-brsiga 33475  df-mbfm 33543
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator