Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elmbfmvol2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elmbfmvol2 31425
Description: Measurable functions with respect to the Lebesgue measure. We only have the inclusion, since MblFn includes complex-valued functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
elmbfmvol2 (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅) → 𝐹 ∈ MblFn)

Proof of Theorem elmbfmvol2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 retopbas 23298 . . . . . 6 ran (,) ∈ TopBases
2 bastg 21504 . . . . . 6 (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
4 retop 23299 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
5 sssigagen 31304 . . . . . 6 ((topGen‘ran (,)) ∈ Top → (topGen‘ran (,)) ⊆ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) ⊆ (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
73, 6sstri 3975 . . . 4 ran (,) ⊆ (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
8 df-brsiga 31341 . . . 4 𝔅 = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
97, 8sseqtrri 4003 . . 3 ran (,) ⊆ 𝔅
10 eqid 2821 . . . . 5 vol = vol
11 dmvlsiga 31288 . . . . . . 7 dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
12 elrnsiga 31285 . . . . . . 7 (dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → dom vol ∈ ran sigAlgebra)
1311, 12mp1i 13 . . . . . 6 (vol = vol → dom vol ∈ ran sigAlgebra)
14 brsigarn 31343 . . . . . . 7 𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
15 elrnsiga 31285 . . . . . . 7 (𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅 ran sigAlgebra)
1614, 15mp1i 13 . . . . . 6 (vol = vol → 𝔅 ran sigAlgebra)
1713, 16ismbfm 31410 . . . . 5 (vol = vol → (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅) ↔ (𝐹 ∈ ( 𝔅m dom vol) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝔅 (𝐹𝑥) ∈ dom vol)))
1810, 17ax-mp 5 . . . 4 (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅) ↔ (𝐹 ∈ ( 𝔅m dom vol) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝔅 (𝐹𝑥) ∈ dom vol))
1918simprbi 497 . . 3 (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅) → ∀𝑥 ∈ 𝔅 (𝐹𝑥) ∈ dom vol)
20 ssralv 4032 . . 3 (ran (,) ⊆ 𝔅 → (∀𝑥 ∈ 𝔅 (𝐹𝑥) ∈ dom vol → ∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol))
219, 19, 20mpsyl 68 . 2 (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅) → ∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol)
2218simplbi 498 . . 3 (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅) → 𝐹 ∈ ( 𝔅m dom vol))
23 elmapi 8418 . . . 4 (𝐹 ∈ (ℝ ↑m ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
24 unibrsiga 31345 . . . . 5 𝔅 = ℝ
25 unidmvol 24071 . . . . 5 dom vol = ℝ
2624, 25oveq12i 7157 . . . 4 ( 𝔅m dom vol) = (ℝ ↑m ℝ)
2723, 26eleq2s 2931 . . 3 (𝐹 ∈ ( 𝔅m dom vol) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
28 ismbf 24158 . . 3 (𝐹:ℝ⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol))
2922, 27, 283syl 18 . 2 (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅) → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol))
3021, 29mpbird 258 1 (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅) → 𝐹 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3138  wss 3935   cuni 4832  ccnv 5548  dom cdm 5549  ran crn 5550  cima 5552  wf 6345  cfv 6349  (class class class)co 7145  m cmap 8396  cr 10525  (,)cioo 12728  topGenctg 16701  Topctop 21431  TopBasesctb 21483  volcvol 23993  MblFncmbf 24144  sigAlgebracsiga 31267  sigaGencsigagen 31297  𝔅cbrsiga 31340  MblFnMcmbfm 31408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-inf2 9093  ax-cc 9846  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-disj 5024  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-dju 9319  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xadd 12498  df-ioo 12732  df-ico 12734  df-icc 12735  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-seq 13360  df-exp 13420  df-hash 13681  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-clim 14835  df-rlim 14836  df-sum 15033  df-topgen 16707  df-xmet 20468  df-met 20469  df-top 21432  df-bases 21484  df-ovol 23994  df-vol 23995  df-mbf 24149  df-siga 31268  df-sigagen 31298  df-brsiga 31341  df-mbfm 31409
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator