Theorem elmbfmvol2 34258

Description: Measurable functions with respect to the Lebesgue measure. We only have the inclusion, since MblFn includes complex-valued functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
elmbfmvol2	⊢ (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅ℝ) → 𝐹 ∈ MblFn)

Proof of Theorem elmbfmvol2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retopbas 24648	. . . . . 6 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
2		bastg 22853	. . . . . 6 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
4		retop 24649	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
5		sssigagen 34135	. . . . . 6 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top → (topGen‘ran (,)) ⊆ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) ⊆ (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
7	3, 6	sstri 3956	. . . 4 ⊢ ran (,) ⊆ (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
8		df-brsiga 34172	. . . 4 ⊢ 𝔅ℝ = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
9	7, 8	sseqtrri 3996	. . 3 ⊢ ran (,) ⊆ 𝔅ℝ
10		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ vol = vol
11		dmvlsiga 34119	. . . . . . 7 ⊢ dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
12		elrnsiga 34116	. . . . . . 7 ⊢ (dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → dom vol ∈ ∪ ran sigAlgebra)
13	11, 12	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (vol = vol → dom vol ∈ ∪ ran sigAlgebra)
14		brsigarn 34174	. . . . . . 7 ⊢ 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
15		elrnsiga 34116	. . . . . . 7 ⊢ (𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
16	14, 15	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (vol = vol → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
17	13, 16	ismbfm 34241	. . . . 5 ⊢ (vol = vol → (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅ℝ) ↔ (𝐹 ∈ (∪ 𝔅ℝ ↑m ∪ dom vol) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝔅ℝ (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol)))
18	10, 17	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅ℝ) ↔ (𝐹 ∈ (∪ 𝔅ℝ ↑m ∪ dom vol) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝔅ℝ (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol))
19	18	simprbi 496	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅ℝ) → ∀𝑥 ∈ 𝔅ℝ (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol)
20		ssralv 4015	. . 3 ⊢ (ran (,) ⊆ 𝔅ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝔅ℝ (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol → ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol))
21	9, 19, 20	mpsyl 68	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅ℝ) → ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol)
22	18	simplbi 497	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅ℝ) → 𝐹 ∈ (∪ 𝔅ℝ ↑m ∪ dom vol))
23		elmapi 8822	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (ℝ ↑m ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
24		unibrsiga 34176	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝔅ℝ = ℝ
25		unidmvol 25442	. . . . 5 ⊢ ∪ dom vol = ℝ
26	24, 25	oveq12i 7399	. . . 4 ⊢ (∪ 𝔅ℝ ↑m ∪ dom vol) = (ℝ ↑m ℝ)
27	23, 26	eleq2s 2846	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (∪ 𝔅ℝ ↑m ∪ dom vol) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
28		ismbf 25529	. . 3 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol))
29	22, 27, 28	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅ℝ) → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol))
30	21, 29	mpbird 257	1 ⊢ (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅ℝ) → 𝐹 ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ⊆ wss 3914  ∪ cuni 4871  ^◡ccnv 5637  dom cdm 5638  ran crn 5639   “ cima 5641  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ↑_m cmap 8799  ℝcr 11067  (,)cioo 13306  topGenctg 17400  Topctop 22780  TopBasesctb 22832  volcvol 25364  MblFncmbf 25515  sigAlgebracsiga 34098  sigaGencsigagen 34128  𝔅_ℝcbrsiga 34171  MblFnMcmbfm 34239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cc 10388  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-disj 5075  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xadd 13073  df-ioo 13310  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-topgen 17406  df-xmet 21257  df-met 21258  df-top 22781  df-bases 22833  df-ovol 25365  df-vol 25366  df-mbf 25520  df-siga 34099  df-sigagen 34129  df-brsiga 34172  df-mbfm 34240

This theorem is referenced by: (None)