Theorem elmbfmvol2 33255

Description: Measurable functions with respect to the Lebesgue measure. We only have the inclusion, since MblFn includes complex-valued functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
elmbfmvol2	⊢ (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅ℝ) → 𝐹 ∈ MblFn)

Proof of Theorem elmbfmvol2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retopbas 24269	. . . . . 6 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
2		bastg 22461	. . . . . 6 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
4		retop 24270	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
5		sssigagen 33132	. . . . . 6 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top → (topGen‘ran (,)) ⊆ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) ⊆ (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
7	3, 6	sstri 3991	. . . 4 ⊢ ran (,) ⊆ (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
8		df-brsiga 33169	. . . 4 ⊢ 𝔅ℝ = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
9	7, 8	sseqtrri 4019	. . 3 ⊢ ran (,) ⊆ 𝔅ℝ
10		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ vol = vol
11		dmvlsiga 33116	. . . . . . 7 ⊢ dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
12		elrnsiga 33113	. . . . . . 7 ⊢ (dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → dom vol ∈ ∪ ran sigAlgebra)
13	11, 12	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (vol = vol → dom vol ∈ ∪ ran sigAlgebra)
14		brsigarn 33171	. . . . . . 7 ⊢ 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
15		elrnsiga 33113	. . . . . . 7 ⊢ (𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
16	14, 15	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (vol = vol → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
17	13, 16	ismbfm 33238	. . . . 5 ⊢ (vol = vol → (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅ℝ) ↔ (𝐹 ∈ (∪ 𝔅ℝ ↑m ∪ dom vol) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝔅ℝ (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol)))
18	10, 17	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅ℝ) ↔ (𝐹 ∈ (∪ 𝔅ℝ ↑m ∪ dom vol) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝔅ℝ (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol))
19	18	simprbi 498	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅ℝ) → ∀𝑥 ∈ 𝔅ℝ (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol)
20		ssralv 4050	. . 3 ⊢ (ran (,) ⊆ 𝔅ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝔅ℝ (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol → ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol))
21	9, 19, 20	mpsyl 68	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅ℝ) → ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol)
22	18	simplbi 499	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅ℝ) → 𝐹 ∈ (∪ 𝔅ℝ ↑m ∪ dom vol))
23		elmapi 8840	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (ℝ ↑m ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
24		unibrsiga 33173	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝔅ℝ = ℝ
25		unidmvol 25050	. . . . 5 ⊢ ∪ dom vol = ℝ
26	24, 25	oveq12i 7418	. . . 4 ⊢ (∪ 𝔅ℝ ↑m ∪ dom vol) = (ℝ ↑m ℝ)
27	23, 26	eleq2s 2852	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (∪ 𝔅ℝ ↑m ∪ dom vol) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
28		ismbf 25137	. . 3 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol))
29	22, 27, 28	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅ℝ) → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol))
30	21, 29	mpbird 257	1 ⊢ (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅ℝ) → 𝐹 ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062   ⊆ wss 3948  ∪ cuni 4908  ^◡ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   “ cima 5679  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406   ↑_m cmap 8817  ℝcr 11106  (,)cioo 13321  topGenctg 17380  Topctop 22387  TopBasesctb 22440  volcvol 24972  MblFncmbf 25123  sigAlgebracsiga 33095  sigaGencsigagen 33125  𝔅_ℝcbrsiga 33168  MblFnMcmbfm 33236

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cc 10427  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-dju 9893  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xadd 13090  df-ioo 13325  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-topgen 17386  df-xmet 20930  df-met 20931  df-top 22388  df-bases 22441  df-ovol 24973  df-vol 24974  df-mbf 25128  df-siga 33096  df-sigagen 33126  df-brsiga 33169  df-mbfm 33237

This theorem is referenced by: (None)