Theorem elmbfmvol2 32234

Description: Measurable functions with respect to the Lebesgue measure. We only have the inclusion, since MblFn includes complex-valued functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
elmbfmvol2	⊢ (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅ℝ) → 𝐹 ∈ MblFn)

Proof of Theorem elmbfmvol2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retopbas 23924	. . . . . 6 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
2		bastg 22116	. . . . . 6 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
4		retop 23925	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
5		sssigagen 32113	. . . . . 6 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top → (topGen‘ran (,)) ⊆ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) ⊆ (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
7	3, 6	sstri 3930	. . . 4 ⊢ ran (,) ⊆ (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
8		df-brsiga 32150	. . . 4 ⊢ 𝔅ℝ = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
9	7, 8	sseqtrri 3958	. . 3 ⊢ ran (,) ⊆ 𝔅ℝ
10		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ vol = vol
11		dmvlsiga 32097	. . . . . . 7 ⊢ dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
12		elrnsiga 32094	. . . . . . 7 ⊢ (dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → dom vol ∈ ∪ ran sigAlgebra)
13	11, 12	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (vol = vol → dom vol ∈ ∪ ran sigAlgebra)
14		brsigarn 32152	. . . . . . 7 ⊢ 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
15		elrnsiga 32094	. . . . . . 7 ⊢ (𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
16	14, 15	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (vol = vol → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
17	13, 16	ismbfm 32219	. . . . 5 ⊢ (vol = vol → (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅ℝ) ↔ (𝐹 ∈ (∪ 𝔅ℝ ↑m ∪ dom vol) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝔅ℝ (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol)))
18	10, 17	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅ℝ) ↔ (𝐹 ∈ (∪ 𝔅ℝ ↑m ∪ dom vol) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝔅ℝ (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol))
19	18	simprbi 497	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅ℝ) → ∀𝑥 ∈ 𝔅ℝ (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol)
20		ssralv 3987	. . 3 ⊢ (ran (,) ⊆ 𝔅ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝔅ℝ (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol → ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol))
21	9, 19, 20	mpsyl 68	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅ℝ) → ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol)
22	18	simplbi 498	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅ℝ) → 𝐹 ∈ (∪ 𝔅ℝ ↑m ∪ dom vol))
23		elmapi 8637	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (ℝ ↑m ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
24		unibrsiga 32154	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝔅ℝ = ℝ
25		unidmvol 24705	. . . . 5 ⊢ ∪ dom vol = ℝ
26	24, 25	oveq12i 7287	. . . 4 ⊢ (∪ 𝔅ℝ ↑m ∪ dom vol) = (ℝ ↑m ℝ)
27	23, 26	eleq2s 2857	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (∪ 𝔅ℝ ↑m ∪ dom vol) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
28		ismbf 24792	. . 3 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol))
29	22, 27, 28	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅ℝ) → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol))
30	21, 29	mpbird 256	1 ⊢ (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅ℝ) → 𝐹 ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   ⊆ wss 3887  ∪ cuni 4839  ^◡ccnv 5588  dom cdm 5589  ran crn 5590   “ cima 5592  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ↑_m cmap 8615  ℝcr 10870  (,)cioo 13079  topGenctg 17148  Topctop 22042  TopBasesctb 22095  volcvol 24627  MblFncmbf 24778  sigAlgebracsiga 32076  sigaGencsigagen 32106  𝔅_ℝcbrsiga 32149  MblFnMcmbfm 32217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cc 10191  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-disj 5040  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xadd 12849  df-ioo 13083  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-topgen 17154  df-xmet 20590  df-met 20591  df-top 22043  df-bases 22096  df-ovol 24628  df-vol 24629  df-mbf 24783  df-siga 32077  df-sigagen 32107  df-brsiga 32150  df-mbfm 32218

This theorem is referenced by: (None)