Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elmbfmvol2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elmbfmvol2 34269
Description: Measurable functions with respect to the Lebesgue measure. We only have the inclusion, since MblFn includes complex-valued functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
elmbfmvol2 (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅) → 𝐹 ∈ MblFn)

Proof of Theorem elmbfmvol2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 retopbas 24781 . . . . . 6 ran (,) ∈ TopBases
2 bastg 22973 . . . . . 6 (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
4 retop 24782 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
5 sssigagen 34146 . . . . . 6 ((topGen‘ran (,)) ∈ Top → (topGen‘ran (,)) ⊆ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) ⊆ (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
73, 6sstri 3993 . . . 4 ran (,) ⊆ (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
8 df-brsiga 34183 . . . 4 𝔅 = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
97, 8sseqtrri 4033 . . 3 ran (,) ⊆ 𝔅
10 eqid 2737 . . . . 5 vol = vol
11 dmvlsiga 34130 . . . . . . 7 dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
12 elrnsiga 34127 . . . . . . 7 (dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → dom vol ∈ ran sigAlgebra)
1311, 12mp1i 13 . . . . . 6 (vol = vol → dom vol ∈ ran sigAlgebra)
14 brsigarn 34185 . . . . . . 7 𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
15 elrnsiga 34127 . . . . . . 7 (𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅 ran sigAlgebra)
1614, 15mp1i 13 . . . . . 6 (vol = vol → 𝔅 ran sigAlgebra)
1713, 16ismbfm 34252 . . . . 5 (vol = vol → (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅) ↔ (𝐹 ∈ ( 𝔅m dom vol) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝔅 (𝐹𝑥) ∈ dom vol)))
1810, 17ax-mp 5 . . . 4 (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅) ↔ (𝐹 ∈ ( 𝔅m dom vol) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝔅 (𝐹𝑥) ∈ dom vol))
1918simprbi 496 . . 3 (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅) → ∀𝑥 ∈ 𝔅 (𝐹𝑥) ∈ dom vol)
20 ssralv 4052 . . 3 (ran (,) ⊆ 𝔅 → (∀𝑥 ∈ 𝔅 (𝐹𝑥) ∈ dom vol → ∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol))
219, 19, 20mpsyl 68 . 2 (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅) → ∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol)
2218simplbi 497 . . 3 (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅) → 𝐹 ∈ ( 𝔅m dom vol))
23 elmapi 8889 . . . 4 (𝐹 ∈ (ℝ ↑m ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
24 unibrsiga 34187 . . . . 5 𝔅 = ℝ
25 unidmvol 25576 . . . . 5 dom vol = ℝ
2624, 25oveq12i 7443 . . . 4 ( 𝔅m dom vol) = (ℝ ↑m ℝ)
2723, 26eleq2s 2859 . . 3 (𝐹 ∈ ( 𝔅m dom vol) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
28 ismbf 25663 . . 3 (𝐹:ℝ⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol))
2922, 27, 283syl 18 . 2 (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅) → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol))
3021, 29mpbird 257 1 (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅) → 𝐹 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wss 3951   cuni 4907  ccnv 5684  dom cdm 5685  ran crn 5686  cima 5688  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  m cmap 8866  cr 11154  (,)cioo 13387  topGenctg 17482  Topctop 22899  TopBasesctb 22952  volcvol 25498  MblFncmbf 25649  sigAlgebracsiga 34109  sigaGencsigagen 34139  𝔅cbrsiga 34182  MblFnMcmbfm 34250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xadd 13155  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-topgen 17488  df-xmet 21357  df-met 21358  df-top 22900  df-bases 22953  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654  df-siga 34110  df-sigagen 34140  df-brsiga 34183  df-mbfm 34251
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator