MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  submrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submrcl 17955
Description: Reverse closure for submonoids. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
submrcl (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝑀 ∈ Mnd)

Proof of Theorem submrcl
Dummy variables 𝑡 𝑥 𝑦 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-submnd 17945 . 2 SubMnd = (𝑠 ∈ Mnd ↦ {𝑡 ∈ 𝒫 (Base‘𝑠) ∣ ((0g𝑠) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥𝑡𝑦𝑡 (𝑥(+g𝑠)𝑦) ∈ 𝑡)})
21mptrcl 6769 1 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝑀 ∈ Mnd)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2105  wral 3135  {crab 3139  𝒫 cpw 4535  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  0gc0g 16701  Mndcmnd 17899  SubMndcsubmnd 17943
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fv 6356  df-submnd 17945
This theorem is referenced by:  issubmndb  17958  submss  17962  subm0cl  17964  submcl  17965  submmnd  17966  subm0  17968  subsubm  17969  insubm  17971  resmhm2  17974  gsumsubm  17987  gsumwsubmcl  17989  submmulgcl  18208  oppgsubm  18428  lsmub1x  18700  lsmub2x  18701  lsmsubm  18707  submarchi  30742
  Copyright terms: Public domain W3C validator