Theorem submrcl 18739

Description: Reverse closure for submonoids. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
submrcl	⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝑀 ∈ Mnd)

Proof of Theorem submrcl

Dummy variables 𝑡 𝑥 𝑦 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-submnd 18721	. 2 ⊢ SubMnd = (𝑠 ∈ Mnd ↦ {𝑡 ∈ 𝒫 (Base‘𝑠) ∣ ((0g‘𝑠) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑡 ∀𝑦 ∈ 𝑡 (𝑥(+g‘𝑠)𝑦) ∈ 𝑡)})
2	1	mptrcl 6959	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝑀 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {crab 3401  𝒫 cpw 4556  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189  0_gc0g 17371  Mndcmnd 18671  SubMndcsubmnd 18719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fv 6508  df-submnd 18721

This theorem is referenced by:  issubmndb  18742  submss  18746  subm0cl  18748  submcl  18749  submmnd  18750  subm0  18752  subsubm  18753  insubm  18755  resmhm2  18758  gsumsubm  18772  gsumwsubmcl  18774  submmulgcl  19059  oppgsubm  19303  lsmub1x  19587  lsmub2x  19588  lsmsubm  19594  submarchi  33279