Theorem submrcl 19003

Description: Reverse closure for submonoids. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
submrcl	⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝑀 ∈ Mnd)

Proof of Theorem submrcl

Dummy variables 𝑡 𝑥 𝑦 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-submnd 18985	. 2 ⊢ SubMnd = (𝑠 ∈ Mnd ↦ {𝑡 ∈ 𝒫 (Base‘𝑠) ∣ ((0g‘𝑠) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑡 ∀𝑦 ∈ 𝑡 (𝑥(+g‘𝑠)𝑦) ∈ 𝑡)})
2	1	mptrcl 7004	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝑀 ∈ Mnd)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  {crab 3412  𝒫 cpw 4556  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17393  +_gcplusg 17434  0_gc0g 17616  Mndcmnd 18929  SubMndcsubmnd 18983

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fv 6547  df-submnd 18985

This theorem is used by:  issubmndb  19006  submss  19010  subm0cl  19012  submcl  19013  submmnd  19015  subm0  19017  subsubm  19018  insubm  19020  resmhm2  19023  gsumsubm  19037  gsumwsubmcl  19039  submmulgcl  19333  oppgsubm  19582  lsmub1x  19866  lsmub2x  19867  lsmsubm  19873  submarchi  33794