MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  submrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submrcl 18618
Description: Reverse closure for submonoids. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
submrcl (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ Mnd)

Proof of Theorem submrcl
Dummy variables 𝑑 π‘₯ 𝑦 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-submnd 18607 . 2 SubMnd = (𝑠 ∈ Mnd ↦ {𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘ ) ∣ ((0gβ€˜π‘ ) ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 (π‘₯(+gβ€˜π‘ )𝑦) ∈ 𝑑)})
21mptrcl 6958 1 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  {crab 3406  π’« cpw 4561  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  0gc0g 17326  Mndcmnd 18561  SubMndcsubmnd 18605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fv 6505  df-submnd 18607
This theorem is referenced by:  issubmndb  18621  submss  18625  subm0cl  18627  submcl  18628  submmnd  18629  subm0  18631  subsubm  18632  insubm  18634  resmhm2  18637  gsumsubm  18650  gsumwsubmcl  18652  submmulgcl  18924  oppgsubm  19148  lsmub1x  19433  lsmub2x  19434  lsmsubm  19440  submarchi  32071
  Copyright terms: Public domain W3C validator