Theorem submrcl 17553

Description: Reverse closure for submonoids. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
submrcl	⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝑀 ∈ Mnd)

Proof of Theorem submrcl

Dummy variables 𝑡 𝑥 𝑦 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-submnd 17543	. . 3 ⊢ SubMnd = (𝑠 ∈ Mnd ↦ {𝑡 ∈ 𝒫 (Base‘𝑠) ∣ ((0g‘𝑠) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑡 ∀𝑦 ∈ 𝑡 (𝑥(+g‘𝑠)𝑦) ∈ 𝑡)})
2	1	dmmptss 5774	. 2 ⊢ dom SubMnd ⊆ Mnd
3		elfvdm 6363	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝑀 ∈ dom SubMnd)
4	2, 3	sseldi 3750	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝑀 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  {crab 3065  𝒫 cpw 4298  dom cdm 5250  ‘cfv 6030  (class class class)co 6795  Basecbs 16063  +_gcplusg 16148  0_gc0g 16307  Mndcmnd 17501  SubMndcsubmnd 17541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fv 6038  df-submnd 17543

This theorem is referenced by:  submss  17557  subm0cl  17559  submcl  17560  submmnd  17561  subm0  17563  subsubm  17564  resmhm2  17567  gsumsubm  17580  gsumwsubmcl  17582  submmulgcl  17792  oppgsubm  17998  lsmub1x  18267  lsmub2x  18268  lsmsubm  18274  submarchi  30079