Theorem submrcl 18861

Description: Reverse closure for submonoids. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
submrcl	⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝑀 ∈ Mnd)

Proof of Theorem submrcl

Dummy variables 𝑡 𝑥 𝑦 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-submnd 18843	. 2 ⊢ SubMnd = (𝑠 ∈ Mnd ↦ {𝑡 ∈ 𝒫 (Base‘𝑠) ∣ ((0g‘𝑠) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑡 ∀𝑦 ∈ 𝑡 (𝑥(+g‘𝑠)𝑦) ∈ 𝑡)})
2	1	mptrcl 7001	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝑀 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  {crab 3416  𝒫 cpw 4563  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  +_gcplusg 17311  0_gc0g 17493  Mndcmnd 18793  SubMndcsubmnd 18841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fv 6546  df-submnd 18843

This theorem is referenced by:  issubmndb  18864  submss  18868  subm0cl  18870  submcl  18871  submmnd  18873  subm0  18875  subsubm  18876  insubm  18878  resmhm2  18881  gsumsubm  18895  gsumwsubmcl  18897  submmulgcl  19184  oppgsubm  19433  lsmub1x  19717  lsmub2x  19718  lsmsubm  19724  submarchi  33487