MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  submrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submrcl 17553
Description: Reverse closure for submonoids. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
submrcl (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝑀 ∈ Mnd)

Proof of Theorem submrcl
Dummy variables 𝑡 𝑥 𝑦 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-submnd 17543 . . 3 SubMnd = (𝑠 ∈ Mnd ↦ {𝑡 ∈ 𝒫 (Base‘𝑠) ∣ ((0g𝑠) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥𝑡𝑦𝑡 (𝑥(+g𝑠)𝑦) ∈ 𝑡)})
21dmmptss 5774 . 2 dom SubMnd ⊆ Mnd
3 elfvdm 6363 . 2 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝑀 ∈ dom SubMnd)
42, 3sseldi 3750 1 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝑀 ∈ Mnd)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 2145  wral 3061  {crab 3065  𝒫 cpw 4298  dom cdm 5250  cfv 6030  (class class class)co 6795  Basecbs 16063  +gcplusg 16148  0gc0g 16307  Mndcmnd 17501  SubMndcsubmnd 17541
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fv 6038  df-submnd 17543
This theorem is referenced by:  submss  17557  subm0cl  17559  submcl  17560  submmnd  17561  subm0  17563  subsubm  17564  resmhm2  17567  gsumsubm  17580  gsumwsubmcl  17582  submmulgcl  17792  oppgsubm  17998  lsmub1x  18267  lsmub2x  18268  lsmsubm  18274  submarchi  30079
  Copyright terms: Public domain W3C validator