Theorem submrcl 18095

Description: Reverse closure for submonoids. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
submrcl	⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝑀 ∈ Mnd)

Proof of Theorem submrcl

Dummy variables 𝑡 𝑥 𝑦 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-submnd 18085	. 2 ⊢ SubMnd = (𝑠 ∈ Mnd ↦ {𝑡 ∈ 𝒫 (Base‘𝑠) ∣ ((0g‘𝑠) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑡 ∀𝑦 ∈ 𝑡 (𝑥(+g‘𝑠)𝑦) ∈ 𝑡)})
2	1	mptrcl 6796	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝑀 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2114  ∀wral 3054  {crab 3058  𝒫 cpw 4498  ‘cfv 6349  (class class class)co 7182  Basecbs 16598  +_gcplusg 16680  0_gc0g 16828  Mndcmnd 18039  SubMndcsubmnd 18083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5306

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-ral 3059  df-rex 3060  df-rab 3063  df-v 3402  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4222  df-if 4425  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4807  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-iota 6307  df-fv 6357  df-submnd 18085

This theorem is referenced by:  issubmndb  18098  submss  18102  subm0cl  18104  submcl  18105  submmnd  18106  subm0  18108  subsubm  18109  insubm  18111  resmhm2  18114  gsumsubm  18127  gsumwsubmcl  18129  submmulgcl  18400  oppgsubm  18620  lsmub1x  18901  lsmub2x  18902  lsmsubm  18908  submarchi  31029