MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  submrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submrcl 18828
Description: Reverse closure for submonoids. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
submrcl (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝑀 ∈ Mnd)

Proof of Theorem submrcl
Dummy variables 𝑡 𝑥 𝑦 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-submnd 18810 . 2 SubMnd = (𝑠 ∈ Mnd ↦ {𝑡 ∈ 𝒫 (Base‘𝑠) ∣ ((0g𝑠) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥𝑡𝑦𝑡 (𝑥(+g𝑠)𝑦) ∈ 𝑡)})
21mptrcl 7025 1 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝑀 ∈ Mnd)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2106  wral 3059  {crab 3433  𝒫 cpw 4605  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  0gc0g 17486  Mndcmnd 18760  SubMndcsubmnd 18808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fv 6571  df-submnd 18810
This theorem is referenced by:  issubmndb  18831  submss  18835  subm0cl  18837  submcl  18838  submmnd  18839  subm0  18841  subsubm  18842  insubm  18844  resmhm2  18847  gsumsubm  18861  gsumwsubmcl  18863  submmulgcl  19148  oppgsubm  19396  lsmub1x  19679  lsmub2x  19680  lsmsubm  19686  submarchi  33176
  Copyright terms: Public domain W3C validator