Theorem submmulgcl 19076

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
submmulgcl.t	⊢ ∙ = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
submmulgcl	⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 ∙ 𝑋) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem submmulgcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2725	. 2 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		submmulgcl.t	. 2 ⊢ ∙ = (.g‘𝐺)
3		eqid 2725	. 2 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		submrcl 18758	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐺 ∈ Mnd)
5	1	submss 18765	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
6	3	submcl 18768	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
7		eqid 2725	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
8	7	subm0cl 18767	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mulgnn0subcl 19046	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 ∙ 𝑋) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416  ℕ₀cn0 12502  Basecbs 17179  +_gcplusg 17232  0_gc0g 17420  Mndcmnd 18693  SubMndcsubmnd 18738  ._gcmg 19027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-seq 13999  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19028

This theorem is referenced by:  cmodscexp  25066  plypf1  26164