MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  submmulgcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submmulgcl 18261
Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
submmulgcl.t = (.g𝐺)
Assertion
Ref Expression
submmulgcl ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → (𝑁 𝑋) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem submmulgcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2822 . 2 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2 submmulgcl.t . 2 = (.g𝐺)
3 eqid 2822 . 2 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4 submrcl 17958 . 2 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐺 ∈ Mnd)
51submss 17965 . 2 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
63submcl 17968 . 2 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑥𝑆𝑦𝑆) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
7 eqid 2822 . 2 (0g𝐺) = (0g𝐺)
87subm0cl 17967 . 2 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝑆)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mulgnn0subcl 18232 1 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → (𝑁 𝑋) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114  cfv 6334  (class class class)co 7140  0cn0 11885  Basecbs 16474  +gcplusg 16556  0gc0g 16704  Mndcmnd 17902  SubMndcsubmnd 17946  .gcmg 18215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-seq 13365  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-0g 16706  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17948  df-mulg 18216
This theorem is referenced by:  cmodscexp  23724  plypf1  24807
  Copyright terms: Public domain W3C validator