Theorem submmnd 18928

Description: Submonoids are themselves monoids under the given operation. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
submmnd.h	⊢ 𝐻 = (𝑀 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
submmnd	⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝐻 ∈ Mnd)

Proof of Theorem submmnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submrcl 18916	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝑀 ∈ Mnd)
2		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
3		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
4		submmnd.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑀 ↾s 𝑆)
5	2, 3, 4	issubm2 18918	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝑆 ∧ 𝐻 ∈ Mnd)))
6	1, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝑆 ∧ 𝐻 ∈ Mnd)))
7	6	ibi 270	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝑆 ∧ 𝐻 ∈ Mnd))
8	7	simp3d 1162	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝐻 ∈ Mnd)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307   ↾_s cress 17328  0_gc0g 17530  Mndcmnd 18842  SubMndcsubmnd 18896

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-0g 17532  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-submnd 18898

This theorem is used by:  subm0  18930  subsubm  18931  resmhm  18935  resmhm2b  18937  finodsubmsubg  19700  submcmn  19971  submcmn2  19972  cntrcmnd  19975  gsumzsubmcl  20051  expmhm  21655  nn0srg  21656  rge0srg  21657  xrge0cmn  21663  mhpsclcl  22381  mhpvarcl  22382  submtmd  24336  tsmssubm  24375  amgmlem  27234  submarchi  33634  nn0omnd  33792  mhphflem  43450  deg1mhm  44049  amgmwlem  50828  amgmlemALT  50829