Theorem lsmub1x 19249

Description: Subgroup sum is an upper bound of its arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmless2.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
lsmless2.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lsmub1x	⊢ ((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝑇 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))

Proof of Theorem lsmub1x

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submrcl 18439	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐺 ∈ Mnd)
2	1	ad2antlr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝐺 ∈ Mnd)
3		simpll 764	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑇 ⊆ 𝐵)
4		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ 𝑇)
5	3, 4	sseldd 3927	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ 𝐵)
6		lsmless2.v	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
8		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
9	6, 7, 8	mndrid 18404	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = 𝑥)
10	2, 5, 9	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑥(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = 𝑥)
11	6	submss 18446	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑈 ⊆ 𝐵)
12	11	ad2antlr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑈 ⊆ 𝐵)
13	8	subm0cl 18448	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑈)
14	13	ad2antlr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑈)
15		lsmless2.s	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
16	6, 7, 15	lsmelvalix 19244	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑈)) → (𝑥(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
17	2, 3, 12, 4, 14, 16	syl32anc 1377	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑥(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
18	10, 17	eqeltrrd 2842	. . 3 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
19	18	ex 413	. 2 ⊢ ((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
20	19	ssrdv 3932	1 ⊢ ((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝑇 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3892  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271  Basecbs 16910  +_gcplusg 16960  0_gc0g 17148  Mndcmnd 18383  SubMndcsubmnd 18427  LSSumclsm 19237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-0g 17150  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-submnd 18429  df-lsm 19239

This theorem is referenced by:  lsmsubm  19256  smndlsmidm  19259  lsmub1  19260