Theorem lsmub1x 19853

Description: Subgroup sum is an upper bound of its arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmless2.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
lsmless2.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lsmub1x	⊢ ((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝑇 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))

Proof of Theorem lsmub1x

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submrcl 18990	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐺 ∈ Mnd)
2	1	ad2antlr 740	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝐺 ∈ Mnd)
3		simpll 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑇 ⊆ 𝐵)
4		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ 𝑇)
5	3, 4	sseldd 3932	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ 𝐵)
6		lsmless2.v	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
8		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
9	6, 7, 8	mndrid 18938	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = 𝑥)
10	2, 5, 9	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑥(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = 𝑥)
11	6	submss 18997	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑈 ⊆ 𝐵)
12	11	ad2antlr 740	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑈 ⊆ 𝐵)
13	8	subm0cl 18999	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑈)
14	13	ad2antlr 740	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑈)
15		lsmless2.s	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
16	6, 7, 15	lsmelvalix 19848	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑈)) → (𝑥(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
17	2, 3, 12, 4, 14, 16	syl32anc 1405	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑥(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
18	10, 17	eqeltrrd 2862	. . 3 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
19	18	ex 418	. 2 ⊢ ((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
20	19	ssrdv 3937	1 ⊢ ((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝑇 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Basecbs 17380  +_gcplusg 17421  0_gc0g 17603  Mndcmnd 18916  SubMndcsubmnd 18970  LSSumclsm 19841

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-0g 17605  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-submnd 18972  df-lsm 19843

This theorem is used by:  lsmsubm  19860  smndlsmidm  19863  lsmub1  19864