Theorem lsmub1x 19712

Description: Subgroup sum is an upper bound of its arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmless2.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
lsmless2.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lsmub1x	⊢ ((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝑇 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))

Proof of Theorem lsmub1x

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submrcl 18856	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐺 ∈ Mnd)
2	1	ad2antlr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝐺 ∈ Mnd)
3		simpll 778	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑇 ⊆ 𝐵)
4		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ 𝑇)
5	3, 4	sseldd 3946	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ 𝐵)
6		lsmless2.v	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
8		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
9	6, 7, 8	mndrid 18809	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = 𝑥)
10	2, 5, 9	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑥(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = 𝑥)
11	6	submss 18863	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑈 ⊆ 𝐵)
12	11	ad2antlr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑈 ⊆ 𝐵)
13	8	subm0cl 18865	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑈)
14	13	ad2antlr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑈)
15		lsmless2.s	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
16	6, 7, 15	lsmelvalix 19707	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑈)) → (𝑥(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
17	2, 3, 12, 4, 14, 16	syl32anc 1403	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑥(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
18	10, 17	eqeltrrd 2870	. . 3 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
19	18	ex 417	. 2 ⊢ ((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
20	19	ssrdv 3951	1 ⊢ ((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝑇 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  Basecbs 17265  +_gcplusg 17306  0_gc0g 17488  Mndcmnd 18788  SubMndcsubmnd 18836  LSSumclsm 19700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-0g 17490  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-submnd 18838  df-lsm 19702

This theorem is referenced by:  lsmsubm  19719  smndlsmidm  19722  lsmub1  19723