Theorem lsmub1x 19640

Description: Subgroup sum is an upper bound of its arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmless2.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
lsmless2.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lsmub1x	⊢ ((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝑇 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))

Proof of Theorem lsmub1x

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submrcl 18787	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐺 ∈ Mnd)
2	1	ad2antlr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝐺 ∈ Mnd)
3		simpll 765	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑇 ⊆ 𝐵)
4		simpr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ 𝑇)
5	3, 4	sseldd 3979	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ 𝐵)
6		lsmless2.v	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
8		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
9	6, 7, 8	mndrid 18743	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = 𝑥)
10	2, 5, 9	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑥(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = 𝑥)
11	6	submss 18794	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑈 ⊆ 𝐵)
12	11	ad2antlr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑈 ⊆ 𝐵)
13	8	subm0cl 18796	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑈)
14	13	ad2antlr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑈)
15		lsmless2.s	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
16	6, 7, 15	lsmelvalix 19635	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑈)) → (𝑥(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
17	2, 3, 12, 4, 14, 16	syl32anc 1375	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑥(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
18	10, 17	eqeltrrd 2827	. . 3 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
19	18	ex 411	. 2 ⊢ ((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
20	19	ssrdv 3984	1 ⊢ ((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝑇 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3946  ‘cfv 6546  (class class class)co 7416  Basecbs 17208  +_gcplusg 17261  0_gc0g 17449  Mndcmnd 18722  SubMndcsubmnd 18767  LSSumclsm 19628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-nn 12259  df-2 12321  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-0g 17451  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-submnd 18769  df-lsm 19630

This theorem is referenced by:  lsmsubm  19647  smndlsmidm  19650  lsmub1  19651