Theorem gsumwsubmcl 18863

Description: Closure of the composite in any submonoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gsumwsubmcl	⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem gsumwsubmcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7439	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg ∅))
2		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3	2	gsum0 18710	. . . 4 ⊢ (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺)
4	1, 3	eqtrdi 2791	. . 3 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝐺 Σg 𝑊) = (0g‘𝐺))
5	4	eleq1d 2824	. 2 ⊢ (𝑊 = ∅ → ((𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝑆 ↔ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆))
6		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
7		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
8		submrcl 18828	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐺 ∈ Mnd)
9	8	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝐺 ∈ Mnd)
10		lennncl 14569	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
11	10	adantll 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
12		nnm1nn0 12565	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
14		nn0uz 12918	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
15	13, 14	eleqtrdi 2849	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
16		wrdf 14554	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
17	16	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
18	11	nnzd 12638	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
19		fzoval 13697	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
21	20	feq2d 6723	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶𝑆))
22	17, 21	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶𝑆)
23	6	submss 18835	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
24	23	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
25	22, 24	fssd 6754	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶(Base‘𝐺))
26	6, 7, 9, 15, 25	gsumval2 18712	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐺 Σg 𝑊) = (seq0((+g‘𝐺), 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)))
27	22	ffvelcdmda 7104	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑊‘𝑥) ∈ 𝑆)
28	7	submcl 18838	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
29	28	3expb 1119	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
30	29	ad4ant14 752	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
31	15, 27, 30	seqcl 14060	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (seq0((+g‘𝐺), 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑆)
32	26, 31	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝑆)
33	2	subm0cl 18837	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
34	33	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
35	5, 32, 34	pm2.61ne 3025	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   − cmin 11490  ℕcn 12264  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12876  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691  seqcseq 14039  ♯chash 14366  Word cword 14549  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  0_gc0g 17486   Σ_g cgsu 17487  Mndcmnd 18760  SubMndcsubmnd 18808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-word 14550  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810

This theorem is referenced by:  gsumwcl  18865  gsumwspan  18872  frmdss2  18889  psgnunilem5  19527  cyc3genpm  33155  elrgspnlem4  33235