MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumwsubmcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumwsubmcl 18774
Description: Closure of the composite in any submonoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
gsumwsubmcl ((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ Word 𝑆) β†’ (𝐺 Ξ£g π‘Š) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem gsumwsubmcl
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7422 . . . 4 (π‘Š = βˆ… β†’ (𝐺 Ξ£g π‘Š) = (𝐺 Ξ£g βˆ…))
2 eqid 2727 . . . . 5 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
32gsum0 18629 . . . 4 (𝐺 Ξ£g βˆ…) = (0gβ€˜πΊ)
41, 3eqtrdi 2783 . . 3 (π‘Š = βˆ… β†’ (𝐺 Ξ£g π‘Š) = (0gβ€˜πΊ))
54eleq1d 2813 . 2 (π‘Š = βˆ… β†’ ((𝐺 Ξ£g π‘Š) ∈ 𝑆 ↔ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑆))
6 eqid 2727 . . . 4 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
7 eqid 2727 . . . 4 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
8 submrcl 18739 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
98ad2antrr 725 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ Word 𝑆) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
10 lennncl 14502 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑆 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•)
1110adantll 713 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ Word 𝑆) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•)
12 nnm1nn0 12529 . . . . . 6 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„• β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
1311, 12syl 17 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ Word 𝑆) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
14 nn0uz 12880 . . . . 5 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
1513, 14eleqtrdi 2838 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ Word 𝑆) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
16 wrdf 14487 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ Word 𝑆 β†’ π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))βŸΆπ‘†)
1716ad2antlr 726 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ Word 𝑆) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))βŸΆπ‘†)
1811nnzd 12601 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ Word 𝑆) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€)
19 fzoval 13651 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€ β†’ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) = (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ Word 𝑆) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) = (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
2120feq2d 6702 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ Word 𝑆) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))βŸΆπ‘† ↔ π‘Š:(0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))βŸΆπ‘†))
2217, 21mpbid 231 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ Word 𝑆) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ π‘Š:(0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))βŸΆπ‘†)
236submss 18746 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
2423ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ Word 𝑆) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
2522, 24fssd 6734 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ Word 𝑆) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ π‘Š:(0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))⟢(Baseβ€˜πΊ))
266, 7, 9, 15, 25gsumval2 18631 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ Word 𝑆) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (𝐺 Ξ£g π‘Š) = (seq0((+gβ€˜πΊ), π‘Š)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
2722ffvelcdmda 7088 . . . 4 ((((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ Word 𝑆) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) β†’ (π‘Šβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆)
287submcl 18749 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑆)
29283expb 1118 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑆)
3029ad4ant14 751 . . . 4 ((((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ Word 𝑆) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑆)
3115, 27, 30seqcl 14005 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ Word 𝑆) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (seq0((+gβ€˜πΊ), π‘Š)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ∈ 𝑆)
3226, 31eqeltrd 2828 . 2 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ Word 𝑆) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (𝐺 Ξ£g π‘Š) ∈ 𝑆)
332subm0cl 18748 . . 3 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑆)
3433adantr 480 . 2 ((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ Word 𝑆) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑆)
355, 32, 34pm2.61ne 3022 1 ((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ Word 𝑆) β†’ (𝐺 Ξ£g π‘Š) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935   βŠ† wss 3944  βˆ…c0 4318  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11124  1c1 11125   βˆ’ cmin 11460  β„•cn 12228  β„•0cn0 12488  β„€cz 12574  β„€β‰₯cuz 12838  ...cfz 13502  ..^cfzo 13645  seqcseq 13984  β™―chash 14307  Word cword 14482  Basecbs 17165  +gcplusg 17218  0gc0g 17406   Ξ£g cgsu 17407  Mndcmnd 18679  SubMndcsubmnd 18724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-hash 14308  df-word 14483  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-submnd 18726
This theorem is referenced by:  gsumwcl  18776  gsumwspan  18783  frmdss2  18800  psgnunilem5  19433  cyc3genpm  32838
  Copyright terms: Public domain W3C validator