Theorem gsumwsubmcl 18390

Description: Closure of the composite in any submonoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gsumwsubmcl	⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem gsumwsubmcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7263	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg ∅))
2		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3	2	gsum0 18283	. . . 4 ⊢ (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺)
4	1, 3	eqtrdi 2795	. . 3 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝐺 Σg 𝑊) = (0g‘𝐺))
5	4	eleq1d 2823	. 2 ⊢ (𝑊 = ∅ → ((𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝑆 ↔ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆))
6		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
7		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
8		submrcl 18356	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐺 ∈ Mnd)
9	8	ad2antrr 722	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝐺 ∈ Mnd)
10		lennncl 14165	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
11	10	adantll 710	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
12		nnm1nn0 12204	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
14		nn0uz 12549	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
15	13, 14	eleqtrdi 2849	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
16		wrdf 14150	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
17	16	ad2antlr 723	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
18	11	nnzd 12354	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
19		fzoval 13317	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
21	20	feq2d 6570	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶𝑆))
22	17, 21	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶𝑆)
23	6	submss 18363	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
24	23	ad2antrr 722	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
25	22, 24	fssd 6602	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶(Base‘𝐺))
26	6, 7, 9, 15, 25	gsumval2 18285	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐺 Σg 𝑊) = (seq0((+g‘𝐺), 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)))
27	22	ffvelrnda 6943	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑊‘𝑥) ∈ 𝑆)
28	7	submcl 18366	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
29	28	3expb 1118	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
30	29	ad4ant14 748	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
31	15, 27, 30	seqcl 13671	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (seq0((+g‘𝐺), 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑆)
32	26, 31	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝑆)
33	2	subm0cl 18365	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
34	33	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
35	5, 32, 34	pm2.61ne 3029	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803   − cmin 11135  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ...cfz 13168  ..^cfzo 13311  seqcseq 13649  ♯chash 13972  Word cword 14145  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  0_gc0g 17067   Σ_g cgsu 17068  Mndcmnd 18300  SubMndcsubmnd 18344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-word 14146  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346

This theorem is referenced by:  gsumwcl  18392  gsumwspan  18400  frmdss2  18417  psgnunilem5  19017  cyc3genpm  31321