MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumwsubmcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumwsubmcl 18652
Description: Closure of the composite in any submonoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
gsumwsubmcl ((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ Word 𝑆) β†’ (𝐺 Ξ£g π‘Š) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem gsumwsubmcl
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7366 . . . 4 (π‘Š = βˆ… β†’ (𝐺 Ξ£g π‘Š) = (𝐺 Ξ£g βˆ…))
2 eqid 2733 . . . . 5 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
32gsum0 18544 . . . 4 (𝐺 Ξ£g βˆ…) = (0gβ€˜πΊ)
41, 3eqtrdi 2789 . . 3 (π‘Š = βˆ… β†’ (𝐺 Ξ£g π‘Š) = (0gβ€˜πΊ))
54eleq1d 2819 . 2 (π‘Š = βˆ… β†’ ((𝐺 Ξ£g π‘Š) ∈ 𝑆 ↔ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑆))
6 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
7 eqid 2733 . . . 4 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
8 submrcl 18618 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
98ad2antrr 725 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ Word 𝑆) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
10 lennncl 14428 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑆 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•)
1110adantll 713 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ Word 𝑆) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•)
12 nnm1nn0 12459 . . . . . 6 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„• β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
1311, 12syl 17 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ Word 𝑆) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
14 nn0uz 12810 . . . . 5 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
1513, 14eleqtrdi 2844 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ Word 𝑆) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
16 wrdf 14413 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ Word 𝑆 β†’ π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))βŸΆπ‘†)
1716ad2antlr 726 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ Word 𝑆) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))βŸΆπ‘†)
1811nnzd 12531 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ Word 𝑆) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€)
19 fzoval 13579 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€ β†’ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) = (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ Word 𝑆) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) = (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
2120feq2d 6655 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ Word 𝑆) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))βŸΆπ‘† ↔ π‘Š:(0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))βŸΆπ‘†))
2217, 21mpbid 231 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ Word 𝑆) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ π‘Š:(0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))βŸΆπ‘†)
236submss 18625 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
2423ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ Word 𝑆) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
2522, 24fssd 6687 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ Word 𝑆) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ π‘Š:(0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))⟢(Baseβ€˜πΊ))
266, 7, 9, 15, 25gsumval2 18546 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ Word 𝑆) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (𝐺 Ξ£g π‘Š) = (seq0((+gβ€˜πΊ), π‘Š)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
2722ffvelcdmda 7036 . . . 4 ((((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ Word 𝑆) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) β†’ (π‘Šβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆)
287submcl 18628 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑆)
29283expb 1121 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑆)
3029ad4ant14 751 . . . 4 ((((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ Word 𝑆) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑆)
3115, 27, 30seqcl 13934 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ Word 𝑆) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (seq0((+gβ€˜πΊ), π‘Š)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ∈ 𝑆)
3226, 31eqeltrd 2834 . 2 (((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ Word 𝑆) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (𝐺 Ξ£g π‘Š) ∈ 𝑆)
332subm0cl 18627 . . 3 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑆)
3433adantr 482 . 2 ((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ Word 𝑆) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑆)
355, 32, 34pm2.61ne 3027 1 ((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ Word 𝑆) β†’ (𝐺 Ξ£g π‘Š) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11056  1c1 11057   βˆ’ cmin 11390  β„•cn 12158  β„•0cn0 12418  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768  ...cfz 13430  ..^cfzo 13573  seqcseq 13912  β™―chash 14236  Word cword 14408  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  0gc0g 17326   Ξ£g cgsu 17327  Mndcmnd 18561  SubMndcsubmnd 18605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-hash 14237  df-word 14409  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607
This theorem is referenced by:  gsumwcl  18654  gsumwspan  18661  frmdss2  18678  psgnunilem5  19281  cyc3genpm  32050
  Copyright terms: Public domain W3C validator