Theorem gsumwsubmcl 18745

Description: Closure of the composite in any submonoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gsumwsubmcl	⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem gsumwsubmcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7354	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg ∅))
2		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3	2	gsum0 18592	. . . 4 ⊢ (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺)
4	1, 3	eqtrdi 2782	. . 3 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝐺 Σg 𝑊) = (0g‘𝐺))
5	4	eleq1d 2816	. 2 ⊢ (𝑊 = ∅ → ((𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝑆 ↔ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆))
6		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
7		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
8		submrcl 18710	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐺 ∈ Mnd)
9	8	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝐺 ∈ Mnd)
10		lennncl 14441	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
11	10	adantll 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
12		nnm1nn0 12422	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
14		nn0uz 12774	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
15	13, 14	eleqtrdi 2841	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
16		wrdf 14425	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
17	16	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
18	11	nnzd 12495	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
19		fzoval 13560	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
21	20	feq2d 6635	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶𝑆))
22	17, 21	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶𝑆)
23	6	submss 18717	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
24	23	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
25	22, 24	fssd 6668	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶(Base‘𝐺))
26	6, 7, 9, 15, 25	gsumval2 18594	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐺 Σg 𝑊) = (seq0((+g‘𝐺), 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)))
27	22	ffvelcdmda 7017	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑊‘𝑥) ∈ 𝑆)
28	7	submcl 18720	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
29	28	3expb 1120	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
30	29	ad4ant14 752	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
31	15, 27, 30	seqcl 13929	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (seq0((+g‘𝐺), 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑆)
32	26, 31	eqeltrd 2831	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝑆)
33	2	subm0cl 18719	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
34	33	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
35	5, 32, 34	pm2.61ne 3013	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   ⊆ wss 3897  ∅c0 4280  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11006  1c1 11007   − cmin 11344  ℕcn 12125  ℕ₀cn0 12381  ℤcz 12468  ℤ_≥cuz 12732  ...cfz 13407  ..^cfzo 13554  seqcseq 13908  ♯chash 14237  Word cword 14420  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  0_gc0g 17343   Σ_g cgsu 17344  Mndcmnd 18642  SubMndcsubmnd 18690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-hash 14238  df-word 14421  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692

This theorem is referenced by:  gsumwcl  18747  gsumwspan  18754  frmdss2  18771  psgnunilem5  19406  cyc3genpm  33121  elrgspnlem4  33212