MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumwsubmcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumwsubmcl 18760
Description: Closure of the composite in any submonoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
gsumwsubmcl ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem gsumwsubmcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7420 . . . 4 (𝑊 = ∅ → (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg ∅))
2 eqid 2731 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
32gsum0 18615 . . . 4 (𝐺 Σg ∅) = (0g𝐺)
41, 3eqtrdi 2787 . . 3 (𝑊 = ∅ → (𝐺 Σg 𝑊) = (0g𝐺))
54eleq1d 2817 . 2 (𝑊 = ∅ → ((𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝑆 ↔ (0g𝐺) ∈ 𝑆))
6 eqid 2731 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
7 eqid 2731 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
8 submrcl 18725 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐺 ∈ Mnd)
98ad2antrr 723 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝐺 ∈ Mnd)
10 lennncl 14491 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑆𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
1110adantll 711 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
12 nnm1nn0 12520 . . . . . 6 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
1311, 12syl 17 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
14 nn0uz 12871 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
1513, 14eleqtrdi 2842 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ‘0))
16 wrdf 14476 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝑆𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
1716ad2antlr 724 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
1811nnzd 12592 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
19 fzoval 13640 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
2120feq2d 6703 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶𝑆))
2217, 21mpbid 231 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶𝑆)
236submss 18732 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
2423ad2antrr 723 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
2522, 24fssd 6735 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶(Base‘𝐺))
266, 7, 9, 15, 25gsumval2 18617 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐺 Σg 𝑊) = (seq0((+g𝐺), 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)))
2722ffvelcdmda 7086 . . . 4 ((((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑊𝑥) ∈ 𝑆)
287submcl 18735 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑥𝑆𝑦𝑆) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
29283expb 1119 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
3029ad4ant14 749 . . . 4 ((((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
3115, 27, 30seqcl 13995 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (seq0((+g𝐺), 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑆)
3226, 31eqeltrd 2832 . 2 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝑆)
332subm0cl 18734 . . 3 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝑆)
3433adantr 480 . 2 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) → (0g𝐺) ∈ 𝑆)
355, 32, 34pm2.61ne 3026 1 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  wss 3948  c0 4322  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11116  1c1 11117  cmin 11451  cn 12219  0cn0 12479  cz 12565  cuz 12829  ...cfz 13491  ..^cfzo 13634  seqcseq 13973  chash 14297  Word cword 14471  Basecbs 17151  +gcplusg 17204  0gc0g 17392   Σg cgsu 17393  Mndcmnd 18665  SubMndcsubmnd 18710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-hash 14298  df-word 14472  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712
This theorem is referenced by:  gsumwcl  18762  gsumwspan  18769  frmdss2  18786  psgnunilem5  19410  cyc3genpm  32749
  Copyright terms: Public domain W3C validator