MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmsubm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lsmsubm 19615
Description: The sum of two commuting submonoids is a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmsubg.p βŠ• = (LSSumβ€˜πΊ)
lsmsubg.z 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
lsmsubm ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
Proof of Theorem lsmsubm
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 submrcl 18761 . . . 4 (𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
213ad2ant1 1130 . . 3 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
3 eqid 2728 . . . . 5 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
43submss 18768 . . . 4 (𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 𝑇 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
543ad2ant1 1130 . . 3 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ 𝑇 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
63submss 18768 . . . 4 (π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
763ad2ant2 1131 . . 3 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
8 lsmsubg.p . . . 4 βŠ• = (LSSumβ€˜πΊ)
93, 8lsmssv 19605 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
102, 5, 7, 9syl3anc 1368 . 2 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
11 simp2 1134 . . . 4 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
123, 8lsmub1x 19608 . . . 4 ((𝑇 βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ)) β†’ 𝑇 βŠ† (𝑇 βŠ• π‘ˆ))
135, 11, 12syl2anc 582 . . 3 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ 𝑇 βŠ† (𝑇 βŠ• π‘ˆ))
14 eqid 2728 . . . . 5 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
1514subm0cl 18770 . . . 4 (𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑇)
16153ad2ant1 1130 . . 3 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑇)
1713, 16sseldd 3983 . 2 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ))
18 eqid 2728 . . . . . . 7 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
193, 18, 8lsmelvalx 19602 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑇 βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐)))
202, 5, 7, 19syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑇 βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐)))
213, 18, 8lsmelvalx 19602 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝑦 ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝑇 βˆƒπ‘‘ ∈ π‘ˆ 𝑦 = (𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)))
222, 5, 7, 21syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑦 ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝑇 βˆƒπ‘‘ ∈ π‘ˆ 𝑦 = (𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)))
2320, 22anbi12d 630 . . . 4 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)) ↔ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑇 βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐) ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝑇 βˆƒπ‘‘ ∈ π‘ˆ 𝑦 = (𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑))))
24 reeanv 3224 . . . . 5 (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑇 βˆƒπ‘ ∈ 𝑇 (βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ π‘ˆ 𝑦 = (𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)) ↔ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑇 βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐) ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝑇 βˆƒπ‘‘ ∈ π‘ˆ 𝑦 = (𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)))
25 reeanv 3224 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘‘ ∈ π‘ˆ (π‘₯ = (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐) ∧ 𝑦 = (𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)) ↔ (βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ π‘ˆ 𝑦 = (𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)))
262adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
275adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ 𝑇 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
28 simprll 777 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ π‘Ž ∈ 𝑇)
2927, 28sseldd 3983 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ))
30 simprlr 778 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ 𝑏 ∈ 𝑇)
3127, 30sseldd 3983 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
327adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
33 simprrl 779 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ 𝑐 ∈ π‘ˆ)
3432, 33sseldd 3983 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
35 simprrr 780 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ 𝑑 ∈ π‘ˆ)
3632, 35sseldd 3983 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
37 simpl3 1190 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ))
3837, 30sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ 𝑏 ∈ (π‘β€˜π‘ˆ))
39 lsmsubg.z . . . . . . . . . . . . . 14 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
4018, 39cntzi 19287 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ (π‘β€˜π‘ˆ) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑐) = (𝑐(+gβ€˜πΊ)𝑏))
4138, 33, 40syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ (𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑐) = (𝑐(+gβ€˜πΊ)𝑏))
423, 18, 26, 29, 31, 34, 36, 41mnd4g 18715 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ ((π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏)(+gβ€˜πΊ)(𝑐(+gβ€˜πΊ)𝑑)) = ((π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐)(+gβ€˜πΊ)(𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)))
43 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ 𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
4418submcl 18771 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝑇)
4543, 28, 30, 44syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝑇)
46 simpl2 1189 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
4718submcl 18771 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑐(+gβ€˜πΊ)𝑑) ∈ π‘ˆ)
4846, 33, 35, 47syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ (𝑐(+gβ€˜πΊ)𝑑) ∈ π‘ˆ)
493, 18, 8lsmelvalix 19603 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜πΊ)) ∧ ((π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝑇 ∧ (𝑐(+gβ€˜πΊ)𝑑) ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏)(+gβ€˜πΊ)(𝑐(+gβ€˜πΊ)𝑑)) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ))
5026, 27, 32, 45, 48, 49syl32anc 1375 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ ((π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏)(+gβ€˜πΊ)(𝑐(+gβ€˜πΊ)𝑑)) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ))
5142, 50eqeltrrd 2830 . . . . . . . . . 10 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ ((π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐)(+gβ€˜πΊ)(𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ))
52 oveq12 7435 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ = (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐) ∧ 𝑦 = (𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = ((π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐)(+gβ€˜πΊ)(𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)))
5352eleq1d 2814 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ = (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐) ∧ 𝑦 = (𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) ↔ ((π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐)(+gβ€˜πΊ)(𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)))
5451, 53syl5ibrcom 246 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ ((π‘₯ = (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐) ∧ 𝑦 = (𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)))
5554anassrs 466 . . . . . . . 8 ((((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘₯ = (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐) ∧ 𝑦 = (𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)))
5655rexlimdvva 3209 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘‘ ∈ π‘ˆ (π‘₯ = (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐) ∧ 𝑦 = (𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)))
5725, 56biimtrrid 242 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇)) β†’ ((βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ π‘ˆ 𝑦 = (𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)))
5857rexlimdvva 3209 . . . . 5 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑇 βˆƒπ‘ ∈ 𝑇 (βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ π‘ˆ 𝑦 = (𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)))
5924, 58biimtrrid 242 . . . 4 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ ((βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑇 βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐) ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝑇 βˆƒπ‘‘ ∈ π‘ˆ 𝑦 = (𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)))
6023, 59sylbid 239 . . 3 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)))
6160ralrimivv 3196 . 2 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)βˆ€π‘¦ ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)(π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ))
623, 14, 18issubm 18762 . . 3 (𝐺 ∈ Mnd β†’ ((𝑇 βŠ• π‘ˆ) ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ↔ ((𝑇 βŠ• π‘ˆ) βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)βˆ€π‘¦ ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)(π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ))))
632, 62syl 17 . 2 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ ((𝑇 βŠ• π‘ˆ) ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ↔ ((𝑇 βŠ• π‘ˆ) βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)βˆ€π‘¦ ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)(π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ))))
6410, 17, 61, 63mpbir3and 1339 1 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067   βŠ† wss 3949  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  0gc0g 17428  Mndcmnd 18701  SubMndcsubmnd 18746  Cntzccntz 19273  LSSumclsm 19596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-cntz 19275  df-lsm 19598
This theorem is referenced by:  lsmsubg  19616
  Copyright terms: Public domain W3C validator