MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmsubm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lsmsubm 19515
Description: The sum of two commuting submonoids is a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmsubg.p βŠ• = (LSSumβ€˜πΊ)
lsmsubg.z 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
lsmsubm ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
Proof of Theorem lsmsubm
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 submrcl 18679 . . . 4 (𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
213ad2ant1 1133 . . 3 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
3 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
43submss 18686 . . . 4 (𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 𝑇 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
543ad2ant1 1133 . . 3 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ 𝑇 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
63submss 18686 . . . 4 (π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
763ad2ant2 1134 . . 3 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
8 lsmsubg.p . . . 4 βŠ• = (LSSumβ€˜πΊ)
93, 8lsmssv 19505 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
102, 5, 7, 9syl3anc 1371 . 2 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
11 simp2 1137 . . . 4 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
123, 8lsmub1x 19508 . . . 4 ((𝑇 βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ)) β†’ 𝑇 βŠ† (𝑇 βŠ• π‘ˆ))
135, 11, 12syl2anc 584 . . 3 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ 𝑇 βŠ† (𝑇 βŠ• π‘ˆ))
14 eqid 2732 . . . . 5 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
1514subm0cl 18688 . . . 4 (𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑇)
16153ad2ant1 1133 . . 3 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑇)
1713, 16sseldd 3982 . 2 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ))
18 eqid 2732 . . . . . . 7 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
193, 18, 8lsmelvalx 19502 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑇 βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐)))
202, 5, 7, 19syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑇 βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐)))
213, 18, 8lsmelvalx 19502 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝑦 ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝑇 βˆƒπ‘‘ ∈ π‘ˆ 𝑦 = (𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)))
222, 5, 7, 21syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑦 ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝑇 βˆƒπ‘‘ ∈ π‘ˆ 𝑦 = (𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)))
2320, 22anbi12d 631 . . . 4 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)) ↔ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑇 βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐) ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝑇 βˆƒπ‘‘ ∈ π‘ˆ 𝑦 = (𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑))))
24 reeanv 3226 . . . . 5 (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑇 βˆƒπ‘ ∈ 𝑇 (βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ π‘ˆ 𝑦 = (𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)) ↔ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑇 βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐) ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝑇 βˆƒπ‘‘ ∈ π‘ˆ 𝑦 = (𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)))
25 reeanv 3226 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘‘ ∈ π‘ˆ (π‘₯ = (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐) ∧ 𝑦 = (𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)) ↔ (βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ π‘ˆ 𝑦 = (𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)))
262adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
275adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ 𝑇 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
28 simprll 777 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ π‘Ž ∈ 𝑇)
2927, 28sseldd 3982 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ))
30 simprlr 778 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ 𝑏 ∈ 𝑇)
3127, 30sseldd 3982 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
327adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
33 simprrl 779 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ 𝑐 ∈ π‘ˆ)
3432, 33sseldd 3982 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
35 simprrr 780 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ 𝑑 ∈ π‘ˆ)
3632, 35sseldd 3982 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
37 simpl3 1193 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ))
3837, 30sseldd 3982 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ 𝑏 ∈ (π‘β€˜π‘ˆ))
39 lsmsubg.z . . . . . . . . . . . . . 14 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
4018, 39cntzi 19187 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ (π‘β€˜π‘ˆ) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑐) = (𝑐(+gβ€˜πΊ)𝑏))
4138, 33, 40syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ (𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑐) = (𝑐(+gβ€˜πΊ)𝑏))
423, 18, 26, 29, 31, 34, 36, 41mnd4g 18635 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ ((π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏)(+gβ€˜πΊ)(𝑐(+gβ€˜πΊ)𝑑)) = ((π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐)(+gβ€˜πΊ)(𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)))
43 simpl1 1191 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ 𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
4418submcl 18689 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝑇)
4543, 28, 30, 44syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝑇)
46 simpl2 1192 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
4718submcl 18689 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑐(+gβ€˜πΊ)𝑑) ∈ π‘ˆ)
4846, 33, 35, 47syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ (𝑐(+gβ€˜πΊ)𝑑) ∈ π‘ˆ)
493, 18, 8lsmelvalix 19503 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜πΊ)) ∧ ((π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝑇 ∧ (𝑐(+gβ€˜πΊ)𝑑) ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏)(+gβ€˜πΊ)(𝑐(+gβ€˜πΊ)𝑑)) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ))
5026, 27, 32, 45, 48, 49syl32anc 1378 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ ((π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏)(+gβ€˜πΊ)(𝑐(+gβ€˜πΊ)𝑑)) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ))
5142, 50eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . 10 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ ((π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐)(+gβ€˜πΊ)(𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ))
52 oveq12 7414 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ = (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐) ∧ 𝑦 = (𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = ((π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐)(+gβ€˜πΊ)(𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)))
5352eleq1d 2818 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ = (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐) ∧ 𝑦 = (𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) ↔ ((π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐)(+gβ€˜πΊ)(𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)))
5451, 53syl5ibrcom 246 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ ((π‘₯ = (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐) ∧ 𝑦 = (𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)))
5554anassrs 468 . . . . . . . 8 ((((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘₯ = (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐) ∧ 𝑦 = (𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)))
5655rexlimdvva 3211 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘‘ ∈ π‘ˆ (π‘₯ = (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐) ∧ 𝑦 = (𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)))
5725, 56biimtrrid 242 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇)) β†’ ((βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ π‘ˆ 𝑦 = (𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)))
5857rexlimdvva 3211 . . . . 5 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑇 βˆƒπ‘ ∈ 𝑇 (βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ π‘ˆ 𝑦 = (𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)))
5924, 58biimtrrid 242 . . . 4 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ ((βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑇 βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐) ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝑇 βˆƒπ‘‘ ∈ π‘ˆ 𝑦 = (𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)))
6023, 59sylbid 239 . . 3 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)))
6160ralrimivv 3198 . 2 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)βˆ€π‘¦ ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)(π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ))
623, 14, 18issubm 18680 . . 3 (𝐺 ∈ Mnd β†’ ((𝑇 βŠ• π‘ˆ) ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ↔ ((𝑇 βŠ• π‘ˆ) βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)βˆ€π‘¦ ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)(π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ))))
632, 62syl 17 . 2 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ ((𝑇 βŠ• π‘ˆ) ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ↔ ((𝑇 βŠ• π‘ˆ) βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)βˆ€π‘¦ ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)(π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ))))
6410, 17, 61, 63mpbir3and 1342 1 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3947  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  0gc0g 17381  Mndcmnd 18621  SubMndcsubmnd 18666  Cntzccntz 19173  LSSumclsm 19496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-cntz 19175  df-lsm 19498
This theorem is referenced by:  lsmsubg  19516
  Copyright terms: Public domain W3C validator