MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmsubm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmsubm 19440
Description: The sum of two commuting submonoids is a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmsubg.p βŠ• = (LSSumβ€˜πΊ)
lsmsubg.z 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
lsmsubm ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) ∈ (SubMndβ€˜πΊ))

Proof of Theorem lsmsubm
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 submrcl 18618 . . . 4 (𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
213ad2ant1 1134 . . 3 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
3 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
43submss 18625 . . . 4 (𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 𝑇 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
543ad2ant1 1134 . . 3 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ 𝑇 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
63submss 18625 . . . 4 (π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
763ad2ant2 1135 . . 3 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
8 lsmsubg.p . . . 4 βŠ• = (LSSumβ€˜πΊ)
93, 8lsmssv 19430 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
102, 5, 7, 9syl3anc 1372 . 2 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
11 simp2 1138 . . . 4 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
123, 8lsmub1x 19433 . . . 4 ((𝑇 βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ)) β†’ 𝑇 βŠ† (𝑇 βŠ• π‘ˆ))
135, 11, 12syl2anc 585 . . 3 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ 𝑇 βŠ† (𝑇 βŠ• π‘ˆ))
14 eqid 2733 . . . . 5 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
1514subm0cl 18627 . . . 4 (𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑇)
16153ad2ant1 1134 . . 3 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑇)
1713, 16sseldd 3946 . 2 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ))
18 eqid 2733 . . . . . . 7 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
193, 18, 8lsmelvalx 19427 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑇 βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐)))
202, 5, 7, 19syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑇 βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐)))
213, 18, 8lsmelvalx 19427 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝑦 ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝑇 βˆƒπ‘‘ ∈ π‘ˆ 𝑦 = (𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)))
222, 5, 7, 21syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑦 ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝑇 βˆƒπ‘‘ ∈ π‘ˆ 𝑦 = (𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)))
2320, 22anbi12d 632 . . . 4 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)) ↔ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑇 βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐) ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝑇 βˆƒπ‘‘ ∈ π‘ˆ 𝑦 = (𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑))))
24 reeanv 3216 . . . . 5 (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑇 βˆƒπ‘ ∈ 𝑇 (βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ π‘ˆ 𝑦 = (𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)) ↔ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑇 βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐) ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝑇 βˆƒπ‘‘ ∈ π‘ˆ 𝑦 = (𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)))
25 reeanv 3216 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘‘ ∈ π‘ˆ (π‘₯ = (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐) ∧ 𝑦 = (𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)) ↔ (βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ π‘ˆ 𝑦 = (𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)))
262adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
275adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ 𝑇 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
28 simprll 778 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ π‘Ž ∈ 𝑇)
2927, 28sseldd 3946 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ))
30 simprlr 779 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ 𝑏 ∈ 𝑇)
3127, 30sseldd 3946 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
327adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
33 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ 𝑐 ∈ π‘ˆ)
3432, 33sseldd 3946 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
35 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ 𝑑 ∈ π‘ˆ)
3632, 35sseldd 3946 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
37 simpl3 1194 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ))
3837, 30sseldd 3946 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ 𝑏 ∈ (π‘β€˜π‘ˆ))
39 lsmsubg.z . . . . . . . . . . . . . 14 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
4018, 39cntzi 19114 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ (π‘β€˜π‘ˆ) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑐) = (𝑐(+gβ€˜πΊ)𝑏))
4138, 33, 40syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ (𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑐) = (𝑐(+gβ€˜πΊ)𝑏))
423, 18, 26, 29, 31, 34, 36, 41mnd4g 18575 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ ((π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏)(+gβ€˜πΊ)(𝑐(+gβ€˜πΊ)𝑑)) = ((π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐)(+gβ€˜πΊ)(𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)))
43 simpl1 1192 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ 𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
4418submcl 18628 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝑇)
4543, 28, 30, 44syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝑇)
46 simpl2 1193 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
4718submcl 18628 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑐(+gβ€˜πΊ)𝑑) ∈ π‘ˆ)
4846, 33, 35, 47syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ (𝑐(+gβ€˜πΊ)𝑑) ∈ π‘ˆ)
493, 18, 8lsmelvalix 19428 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜πΊ)) ∧ ((π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝑇 ∧ (𝑐(+gβ€˜πΊ)𝑑) ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏)(+gβ€˜πΊ)(𝑐(+gβ€˜πΊ)𝑑)) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ))
5026, 27, 32, 45, 48, 49syl32anc 1379 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ ((π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏)(+gβ€˜πΊ)(𝑐(+gβ€˜πΊ)𝑑)) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ))
5142, 50eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . 10 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ ((π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐)(+gβ€˜πΊ)(𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ))
52 oveq12 7367 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ = (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐) ∧ 𝑦 = (𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = ((π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐)(+gβ€˜πΊ)(𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)))
5352eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ = (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐) ∧ 𝑦 = (𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) ↔ ((π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐)(+gβ€˜πΊ)(𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)))
5451, 53syl5ibrcom 247 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ))) β†’ ((π‘₯ = (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐) ∧ 𝑦 = (𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)))
5554anassrs 469 . . . . . . . 8 ((((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑐 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘₯ = (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐) ∧ 𝑦 = (𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)))
5655rexlimdvva 3202 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘‘ ∈ π‘ˆ (π‘₯ = (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐) ∧ 𝑦 = (𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)))
5725, 56biimtrrid 242 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇)) β†’ ((βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ π‘ˆ 𝑦 = (𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)))
5857rexlimdvva 3202 . . . . 5 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑇 βˆƒπ‘ ∈ 𝑇 (βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ π‘ˆ 𝑦 = (𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)))
5924, 58biimtrrid 242 . . . 4 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ ((βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑇 βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑐) ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝑇 βˆƒπ‘‘ ∈ π‘ˆ 𝑦 = (𝑏(+gβ€˜πΊ)𝑑)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)))
6023, 59sylbid 239 . . 3 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)))
6160ralrimivv 3192 . 2 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)βˆ€π‘¦ ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)(π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ))
623, 14, 18issubm 18619 . . 3 (𝐺 ∈ Mnd β†’ ((𝑇 βŠ• π‘ˆ) ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ↔ ((𝑇 βŠ• π‘ˆ) βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)βˆ€π‘¦ ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)(π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ))))
632, 62syl 17 . 2 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ ((𝑇 βŠ• π‘ˆ) ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ↔ ((𝑇 βŠ• π‘ˆ) βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)βˆ€π‘¦ ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ)(π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (𝑇 βŠ• π‘ˆ))))
6410, 17, 61, 63mpbir3and 1343 1 ((𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3911  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  0gc0g 17326  Mndcmnd 18561  SubMndcsubmnd 18605  Cntzccntz 19100  LSSumclsm 19421
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-cntz 19102  df-lsm 19423
This theorem is referenced by:  lsmsubg  19441
  Copyright terms: Public domain W3C validator