Theorem subm0cl 18793

Description: Submonoids contain zero. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subm0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
subm0cl	⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 0 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem subm0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submrcl 18784	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝑀 ∈ Mnd)
2		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
3		subm0cl.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑀)
4		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ↾s 𝑆) = (𝑀 ↾s 𝑆)
5	2, 3, 4	issubm2 18786	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀 ↾s 𝑆) ∈ Mnd)))
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀 ↾s 𝑆) ∈ Mnd)))
7	6	ibi 267	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀 ↾s 𝑆) ∈ Mnd))
8	7	simp2d 1143	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 0 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3931  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  Basecbs 17229   ↾_s cress 17252  0_gc0g 17455  Mndcmnd 18716  SubMndcsubmnd 18764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17230  df-ress 17253  df-plusg 17286  df-0g 17457  df-mgm 18622  df-sgrp 18701  df-mnd 18717  df-submnd 18766

This theorem is referenced by:  subm0  18797  subsubm  18798  resmhm  18802  mhmima  18807  gsumsubm  18817  gsumwsubmcl  18819  submmulgcl  19104  issubg3  19131  symggen  19456  lsmub1x  19632  lsmub2x  19633  lsmsubm  19639  gsumzsplit  19913  gsumpt  19948  chfacfisfcpmat  22809  gsumwun  33007  erlbr2d  33207  erler  33208  rloccring  33213  rloc0g  33214  rloc1r  33215  rlocf1  33216  idlinsubrg  33394  ssdifidlprm  33421  evls1fldgencl  33657