Proof of Theorem subsubm
| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | eqid 2737 | . . . . . . . 8
⊢
(Base‘𝐻) =
(Base‘𝐻) | 
| 2 | 1 | submss 18822 | . . . . . . 7
⊢ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐻)) | 
| 3 | 2 | adantl 481 | . . . . . 6
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐻)) | 
| 4 |  | subsubm.h | . . . . . . . 8
⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆) | 
| 5 | 4 | submbas 18827 | . . . . . . 7
⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻)) | 
| 6 | 5 | adantr 480 | . . . . . 6
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → 𝑆 = (Base‘𝐻)) | 
| 7 | 3, 6 | sseqtrrd 4021 | . . . . 5
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → 𝐴 ⊆ 𝑆) | 
| 8 |  | eqid 2737 | . . . . . . 7
⊢
(Base‘𝐺) =
(Base‘𝐺) | 
| 9 | 8 | submss 18822 | . . . . . 6
⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) | 
| 10 | 9 | adantr 480 | . . . . 5
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) | 
| 11 | 7, 10 | sstrd 3994 | . . . 4
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)) | 
| 12 |  | eqid 2737 | . . . . . . 7
⊢
(0g‘𝐺) = (0g‘𝐺) | 
| 13 | 4, 12 | subm0 18828 | . . . . . 6
⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) →
(0g‘𝐺) =
(0g‘𝐻)) | 
| 14 | 13 | adantr 480 | . . . . 5
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻)) | 
| 15 |  | eqid 2737 | . . . . . . 7
⊢
(0g‘𝐻) = (0g‘𝐻) | 
| 16 | 15 | subm0cl 18824 | . . . . . 6
⊢ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻) →
(0g‘𝐻)
∈ 𝐴) | 
| 17 | 16 | adantl 481 | . . . . 5
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → (0g‘𝐻) ∈ 𝐴) | 
| 18 | 14, 17 | eqeltrd 2841 | . . . 4
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐴) | 
| 19 | 4 | oveq1i 7441 | . . . . . . 7
⊢ (𝐻 ↾s 𝐴) = ((𝐺 ↾s 𝑆) ↾s 𝐴) | 
| 20 |  | ressabs 17294 | . . . . . . 7
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → ((𝐺 ↾s 𝑆) ↾s 𝐴) = (𝐺 ↾s 𝐴)) | 
| 21 | 19, 20 | eqtrid 2789 | . . . . . 6
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → (𝐻 ↾s 𝐴) = (𝐺 ↾s 𝐴)) | 
| 22 | 7, 21 | syldan 591 | . . . . 5
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → (𝐻 ↾s 𝐴) = (𝐺 ↾s 𝐴)) | 
| 23 |  | eqid 2737 | . . . . . . 7
⊢ (𝐻 ↾s 𝐴) = (𝐻 ↾s 𝐴) | 
| 24 | 23 | submmnd 18826 | . . . . . 6
⊢ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻) → (𝐻 ↾s 𝐴) ∈ Mnd) | 
| 25 | 24 | adantl 481 | . . . . 5
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → (𝐻 ↾s 𝐴) ∈ Mnd) | 
| 26 | 22, 25 | eqeltrrd 2842 | . . . 4
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → (𝐺 ↾s 𝐴) ∈ Mnd) | 
| 27 |  | submrcl 18815 | . . . . . 6
⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐺 ∈ Mnd) | 
| 28 | 27 | adantr 480 | . . . . 5
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → 𝐺 ∈ Mnd) | 
| 29 |  | eqid 2737 | . . . . . 6
⊢ (𝐺 ↾s 𝐴) = (𝐺 ↾s 𝐴) | 
| 30 | 8, 12, 29 | issubm2 18817 | . . . . 5
⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺 ↾s 𝐴) ∈ Mnd))) | 
| 31 | 28, 30 | syl 17 | . . . 4
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺 ↾s 𝐴) ∈ Mnd))) | 
| 32 | 11, 18, 26, 31 | mpbir3and 1343 | . . 3
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺)) | 
| 33 | 32, 7 | jca 511 | . 2
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) | 
| 34 |  | simprr 773 | . . . 4
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → 𝐴 ⊆ 𝑆) | 
| 35 | 5 | adantr 480 | . . . 4
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → 𝑆 = (Base‘𝐻)) | 
| 36 | 34, 35 | sseqtrd 4020 | . . 3
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐻)) | 
| 37 | 13 | adantr 480 | . . . 4
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻)) | 
| 38 | 12 | subm0cl 18824 | . . . . 5
⊢ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) →
(0g‘𝐺)
∈ 𝐴) | 
| 39 | 38 | ad2antrl 728 | . . . 4
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐴) | 
| 40 | 37, 39 | eqeltrrd 2842 | . . 3
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → (0g‘𝐻) ∈ 𝐴) | 
| 41 | 21 | adantrl 716 | . . . 4
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → (𝐻 ↾s 𝐴) = (𝐺 ↾s 𝐴)) | 
| 42 | 29 | submmnd 18826 | . . . . 5
⊢ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝐴) ∈ Mnd) | 
| 43 | 42 | ad2antrl 728 | . . . 4
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → (𝐺 ↾s 𝐴) ∈ Mnd) | 
| 44 | 41, 43 | eqeltrd 2841 | . . 3
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → (𝐻 ↾s 𝐴) ∈ Mnd) | 
| 45 | 4 | submmnd 18826 | . . . . 5
⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐻 ∈ Mnd) | 
| 46 | 45 | adantr 480 | . . . 4
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → 𝐻 ∈ Mnd) | 
| 47 | 1, 15, 23 | issubm2 18817 | . . . 4
⊢ (𝐻 ∈ Mnd → (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐻) ∧ (0g‘𝐻) ∈ 𝐴 ∧ (𝐻 ↾s 𝐴) ∈ Mnd))) | 
| 48 | 46, 47 | syl 17 | . . 3
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐻) ∧ (0g‘𝐻) ∈ 𝐴 ∧ (𝐻 ↾s 𝐴) ∈ Mnd))) | 
| 49 | 36, 40, 44, 48 | mpbir3and 1343 | . 2
⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) | 
| 50 | 33, 49 | impbida 801 | 1
⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻) ↔ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆))) |