Theorem subsubm 18925

Description: A submonoid of a submonoid is a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subsubm.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subsubm	⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻) ↔ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)))

Proof of Theorem subsubm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
2	1	submss 18917	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐻))
3	2	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐻))
4		subsubm.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
5	4	submbas 18923	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
6	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
7	3, 6	sseqtrrd 3968	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → 𝐴 ⊆ 𝑆)
8		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
9	8	submss 18917	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
10	9	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
11	7, 10	sstrd 3941	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
12		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
13	4, 12	subm0 18924	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
14	13	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
15		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
16	15	subm0cl 18919	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻) → (0g‘𝐻) ∈ 𝐴)
17	16	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → (0g‘𝐻) ∈ 𝐴)
18	14, 17	eqeltrd 2860	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐴)
19	4	oveq1i 7423	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ↾s 𝐴) = ((𝐺 ↾s 𝑆) ↾s 𝐴)
20		ressabs 17340	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → ((𝐺 ↾s 𝑆) ↾s 𝐴) = (𝐺 ↾s 𝐴))
21	19, 20	eqtrid 2807	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → (𝐻 ↾s 𝐴) = (𝐺 ↾s 𝐴))
22	7, 21	syldan 603	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → (𝐻 ↾s 𝐴) = (𝐺 ↾s 𝐴))
23		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ↾s 𝐴) = (𝐻 ↾s 𝐴)
24	23	submmnd 18922	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻) → (𝐻 ↾s 𝐴) ∈ Mnd)
25	24	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → (𝐻 ↾s 𝐴) ∈ Mnd)
26	22, 25	eqeltrrd 2861	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → (𝐺 ↾s 𝐴) ∈ Mnd)
27		submrcl 18910	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐺 ∈ Mnd)
28	27	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → 𝐺 ∈ Mnd)
29		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ↾s 𝐴) = (𝐺 ↾s 𝐴)
30	8, 12, 29	issubm2 18912	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺 ↾s 𝐴) ∈ Mnd)))
31	28, 30	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺 ↾s 𝐴) ∈ Mnd)))
32	11, 18, 26, 31	mpbir3and 1361	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺))
33	32, 7	jca 521	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻)) → (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆))
34		simprr 785	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → 𝐴 ⊆ 𝑆)
35	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
36	34, 35	sseqtrd 3967	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐻))
37	13	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
38	12	subm0cl 18919	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐴)
39	38	ad2antrl 741	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐴)
40	37, 39	eqeltrrd 2861	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → (0g‘𝐻) ∈ 𝐴)
41	21	adantrl 729	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → (𝐻 ↾s 𝐴) = (𝐺 ↾s 𝐴))
42	29	submmnd 18922	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝐴) ∈ Mnd)
43	42	ad2antrl 741	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → (𝐺 ↾s 𝐴) ∈ Mnd)
44	41, 43	eqeltrd 2860	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → (𝐻 ↾s 𝐴) ∈ Mnd)
45	4	submmnd 18922	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐻 ∈ Mnd)
46	45	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → 𝐻 ∈ Mnd)
47	1, 15, 23	issubm2 18912	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Mnd → (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐻) ∧ (0g‘𝐻) ∈ 𝐴 ∧ (𝐻 ↾s 𝐴) ∈ Mnd)))
48	46, 47	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐻) ∧ (0g‘𝐻) ∈ 𝐴 ∧ (𝐻 ↾s 𝐴) ∈ Mnd)))
49	36, 40, 44, 48	mpbir3and 1361	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻))
50	33, 49	impbida 813	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐻) ↔ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Basecbs 17301   ↾_s cress 17322  0_gc0g 17524  Mndcmnd 18836  SubMndcsubmnd 18890

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-0g 17526  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18892

This theorem is used by:  zrhpsgnmhm  21797  amgmlem  27226  nn0archi  33787  amgmwlem  50820  amgmlemALT  50821