Theorem submss 18857

Description: Submonoids are subsets of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
submss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
submss	⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝑆 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem submss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submrcl 18850	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝑀 ∈ Mnd)
2		submss.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
3		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
4		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ↾s 𝑆) = (𝑀 ↾s 𝑆)
5	2, 3, 4	issubm2 18852	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝑆 ∧ (𝑀 ↾s 𝑆) ∈ Mnd)))
6	1, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝑆 ∧ (𝑀 ↾s 𝑆) ∈ Mnd)))
7	6	ibi 270	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝑆 ∧ (𝑀 ↾s 𝑆) ∈ Mnd))
8	7	simp1d 1158	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝑆 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3907  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259   ↾_s cress 17280  0_gc0g 17482  Mndcmnd 18782  SubMndcsubmnd 18830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-0g 17484  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-submnd 18832

This theorem is referenced by:  submbas  18863  subm0  18864  subsubm  18865  resmhm  18869  resmhm2  18870  mhmima  18874  gsumsubm  18884  gsumwsubmcl  18886  submmulgcl  19174  submmulg  19175  subgacs  19218  finodsubmsubg  19628  submod  19630  lsmub1x  19707  lsmub2x  19708  lsmsubm  19714  smndlsmidm  19717  submcmn2  19900  gsumsubmcl  19980  gsumzadd  19983  ssdifidlprm  21446  xrge0cmn  21554  submtmd  24222  tsmssubm  24261  gsumwun  33309  submarchi  33419  erlbr2d  33497  erler  33498  erld2  33499  rlocaddval  33502  rlocmulval  33503  rloccring  33504  rloc0g  33505  rloc1r  33506  rlocf1  33507  rlocinvunit  33508  rlocisunit  33509  finsubmsubg  43144